2019年高考数学一轮： 第8章 平面解析几何 第5节 椭 圆学案 理

第五节椭圆1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 D [椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]3．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m >0，故m ＝3.]4．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b2，所以e ＝c a ＝12.]5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________. 【导学号：51062285】3 [直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，即a ＝2，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.]M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )图8­5­1A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．(1)A (2)x 2＋32y 2＝1 [(1)由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． (2)不妨设点A 在第一象限，设半焦距为c ， 则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵AF 2⊥x 轴，则A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1)． 又|AF 1|＝3|F 1B |，得AF 1→＝3F 1B →，设B (x 0，y 0)，则(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)， ∴x 0＝－5c 3且y 0＝－b23，代入椭圆x 2＋y 2b2＝1，得25c 2＋b 2＝9，①又c 2＝1－b 2，② 联立①②，得b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.][规律方法] 1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件． (2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|的整体代换．2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式．[变式训练1] (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．(1)3 (2)x 24＋y 23＝1 [(1)由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝9，因此b ＝3.(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3，∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上， ∴1a 2＋94b2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A [法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c，从而直线AM的方程为y ＝y 0a －c(x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c. 同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c. ∵2y N ＝y E ，∴2a ＋c ＝1a －c，即2a －2c ＝a ＋c ， ∴e ＝c a ＝13.法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知|AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a . ∵PF ∥y 轴， ∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋ca . 又|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c2a， ∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.][规律方法] 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[变式训练2] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b <2，所以0<e ≤32，故选A.]☞角度1 由位置关系研究椭圆的方程与性质已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为c2.图8­5­2(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图8­5­2，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．[解] (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca，3分由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.6分(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k k ＋1＋4k2，x 1x 2＝k ＋2－4b21＋4k2.由x 1＋x 2＝－4，得－8kk ＋1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.12分 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝b 2－.由|AB |＝10，得b 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.15分☞角度2 由位置关系研究直线的性质已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【导学号：51062286】[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.3分 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.6分 (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).8分 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.10分故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.15分[规律方法] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[思想与方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[易错与防范]1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．3．椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .课时分层训练(四十七) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33C.22D.12B [原方程化为x 2m 2＋y 2m3＝1(m >0)，∴a 2＝m2，b 2＝m 3，则c 2＝a 2－b 2＝m6，则e 2＝13，∴e ＝33.]3．(2017·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16， ∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1，故选D.]4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) 【导学号：51062287】A ．2B ．3C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1A [∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝3，∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1.]二、填空题6．(2017·绍兴质检)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是__________．3 [由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.]7．(2017·嘉兴一中月考)如图8­5­3，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图8­5­3x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]8．如图8­5­4，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________. 【导学号：51062288】图8­5­463 [将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．]三、解答题9．如图8­5­5所示，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.图8­5­5(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．【解】 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.7分(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，10分所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .12分由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b＝5 3.15分法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .10分 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .13分由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.15分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .[解] (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.6分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).12分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4C [圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 又直线l 过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴， ∴直线l 的方程为x ＝－c . 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.]2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点相同，记为F ，设点M 是两曲线在第一象限内的公共点，且|MF |＝53，则M 点的横坐标是________，a ＋b ＝________. 【导学号：51062289】23 2＋3 [设M (x M ，y M )．易知F (1,0)，|MF |＝1＋x M ＝53，∴x M ＝23.从而y 2M ＝83. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，49a 2＋83b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝2＋ 3.]3．(2017·舟山调研)如图8­5­6，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图8­5­6(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.[解] (1)由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.6分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.8分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.10分从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.15分。

3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
题型一 椭圆的定义与标准方程 1．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦
点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( C )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
解析：由椭圆的方程得 a＝ 3．设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定 义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA| ＝ |BA|＋ |BF|＋ |CF|＋ |CA|＝ (|BA|＋ |BF|)＋ (|CF|＋ |CA|)＝ 2a＋ 2a＝ 4a＝ 4 3．
第八章 平面解析几何 第五节 椭圆
命题义、标准方程、本节主要考查考生的
几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的 数学运算、直观想象
命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、 核心素养及考生对数
三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现， 形结合思想、转化与
1．设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于
点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( D )

第五节椭圆1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系a2＝b2＋c21.e 与b a ：因为e ＝c a＝a 2－b 2a＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以离心率e 越大，则b a越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则ba越大，椭圆就越圆．2．点与椭圆的位置关系：已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20 a 2 ＋y 20b 2 ＜1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20 a 2 ＋y 20b2 ＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20 a 2 ＋y 20b2 ＞1.3．设椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 为短轴端点；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，这时，P 为长轴端点．4．若点P 是椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2.5．过椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 作x 轴的垂线，交椭圆于A ，B ，则|AB |＝2b 2a.6．椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0.7．若P 为椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，则a －c ≤|PF |≤a ＋c .1．(基础知识：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是( )①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；②椭圆的离心率越大，椭圆越接近圆；③若方程x 25－k ＋y 2k －3 ＝1表示椭圆，则(5－k )(k －3)＞0；④椭圆的离心率e ∈(0，1).A ．1B ．2C ．3D ．0〖答 案〗B2．(基础知识：椭圆的定义)已知椭圆x 225 ＋y 216 ＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7〖答 案〗D3．(基本方法：椭圆的方程)过点A (3，－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A ．x 215 ＋y 210 ＝1B ．x 225 ＋y 220 ＝1C ．x 210 ＋y 215 ＝1D ．x 220 ＋y 215 ＝1〖答 案〗A4．(基本能力：椭圆的离心率)已知椭圆x 25 ＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105 ，则m 的值为________．〖答 案〗3或2535．(基本应用：椭圆的性质)已知点P 是椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为____________．〖答 案〗⎝⎛⎭⎫152，1 或⎝⎛⎭⎫152，－1题型一 椭圆的定义及应用1．已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264 －y 248 ＝1B ．x 248 ＋y 264 ＝1C ．x 248 －y 264＝1D ．x 264 ＋y 248＝1〖解 析〗设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264 ＋y 248＝1.〖答 案〗D2．(2021·河南郑州第二次质量检测)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为23 ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A ．x 23 ＋y 2＝1B ．x 23 ＋y 22 ＝1C ．x 29 ＋y 24＝1D ．x 29 ＋y 25＝1〖解 析〗由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23 ，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29 ＋y 25＝1.〖答 案〗D3．设点P 为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．〖解 析〗由题意知，c ＝a 2－4 .又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4 ，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P |·|PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos 60°＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12 |F 1P |·|PF 2|sin 60°＝12 ×163 ×32 ＝433 .〖答 案〗4334．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．〖解 析〗椭圆方程可化为x 29 ＋y 25 ＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2，0)， ∴|AF 1|＝2 ，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当且仅当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|P A |＋|PF |≤6＋2 ，|P A |＋|PF |≥6－2 . 〖答 案〗6＋2 6－25．已知动圆M 过定点A (－3，0)并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．〖解 析〗因为点A 在圆B 内， 所以过点A 的圆与圆B 只能内切， 因为定圆圆心坐标为B (3，0)， 所以|AB |＝6.所以|BM |＝8－|MA |，即|MB |＋|MA |＝8＞|AB |， 所以动点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 即a ＝4，c ＝3.故b 2＝7.所以椭圆方程为x 216 ＋y 27＝1. 〖答 案〗x 216 ＋y 27 ＝1方法总结椭圆定义应用技巧思路应用 解读求方程 条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点 三角形求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a .平方是常用技巧求最值利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 为定值，利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|最值或利用三角形求最值．如a ＋c 、a －c题型二 椭圆的标准方程及应用〖典例剖析〗〖典例〗 (1)(2020·福建宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3 )是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A ．x 28 ＋y 26 ＝1B ．x 216 ＋y 26 ＝1C ．x 24 ＋y 22＝1D ．x 28 ＋y 24＝1〖解 析〗设椭圆的标准方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0).由点P (2，3 )在椭圆上知4a 2 ＋3b 2 ＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，解得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28 ＋y 26＝1. 〖答 案〗A(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52 ，(3 ，5 )，则椭圆的方程为________________________________________________________．〖解 析〗设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ). 由⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16 ，n ＝110 .∴椭圆方程为y 210 ＋x 26 ＝1.〖答 案〗y 210 ＋x 26＝1(3)已知椭圆C 1：x 24 ＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，求椭圆C 2的方程．〖解 析〗法一(待定系数法)：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2 ＋x 24 ＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32 ，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216 ＋x 24＝1. 法二(椭圆系法)：因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24 ＋x 2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1.又2k ＝2×2，故k ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216 ＋x 24 ＝1.〖答 案〗y 216 ＋x 24 ＝1方法总结求椭圆标准方程的方法方法解读适合题型定义法根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c 的值，即可求得方程 涉及两焦点的距离问题待定系数法(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程；(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设能够明确椭圆的焦点位置椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)椭圆 系法根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条件确定方程：与x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1有相同离心率的椭圆为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝λ(λ>0)或y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝λ(λ>0)；与x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1有共同焦点的椭圆为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0)具有某共同特征的椭圆求标准方程〖对点训练〗1．(2021·四川成都模拟)与椭圆x 24 ＋y 23 ＝1有相同离心率且经过点(2，－3 )的椭圆方程为________________．〖解 析〗因为e ＝ca＝a 2－b 2a＝1－b 2a2 ＝1－34 ＝12， 若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2 ＋y 2n 2 ＝1(m ＞n ＞0)，则1－⎝⎛⎭⎫n m 2＝14 ，从而⎝⎛⎭⎫n m 2＝34 ，n m ＝32 . 又4m 2 ＋3n2 ＝1，所以m 2＝8，n 2＝6. 所以所求椭圆方程为x 28 ＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2 ＋x 2k 2 ＝1(h ＞k ＞0)，则3h 2 ＋4k 2 ＝1，且k h ＝32 ，解得h 2＝253 ，k 2＝254 . 故所求椭圆方程为y 2253 ＋x 2254 ＝1，即3y 225 ＋4x 225 ＝1.〖答 案〗x 28 ＋y 26 ＝1或3y 225 ＋4x 225＝12．已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3，0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________________．〖解 析〗若焦点在x 轴上，则a ＝3.由e ＝53得c ＝5 ，∴b 2＝a 2－c 2＝9－5＝4， 所以椭圆方程为x 29 ＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53 ，解得a 2＝814 ，所以椭圆方程是y 2814＋x 29 ＝1，即4y 281 ＋x 29 ＝1.〖答 案〗x 29 ＋y 24 ＝1或4y 281 ＋x 29＝1题型三 椭圆的几何性质〖典例剖析〗类型 1 求离心率(范围)〖例1〗 (1)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．223〖解 析〗∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 .〖答 案〗C(2)设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足F A → ·FB →＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤22，53 B ．⎣⎡⎭⎫53，1C ．⎣⎡⎦⎤22，3－1 D ．〖3 －1，1)〖解 析〗设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′、BF ′(图略).由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又F A → ·FB →＝0，即F A ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝n ，|AF |＝m ，则在Rt △AF ′F 中，m ＋n ＝2a ， m 2＋n 2＝4c 2，①得mn ＝2b 2，②①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c 2b 2 . 又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得1≤|F A ||FB |≤2， 则mn ＝t ∈〖1，2〗， ∴t ＋1t ＝2c 2b2 ∈⎣⎡⎦⎤2，52 ，又2c 2b 2 ＝2c 2a 2－c 2 ＝2e 21－e 2 ，则可得22 ≤e ≤53 ， 即离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤22，53 . 〖答 案〗A(3)(2021·陕西西安检测)已知P 为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1、F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．〖解 析〗易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1与y 轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a 23 ＝4c 2，即a ＝3 c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33. 〖答 案〗33类型 2 有关最值及范围〖例2〗 (1)已知点P (0，1)，椭圆x 24 ＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP → ＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．〖解 析〗设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AP → ＝2PB → ，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1）， 即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2. 因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14 m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14 m 2＋52 m －94 ＝－14 (m －5)2＋4≤4， 所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2. 〖答 案〗5(2)(2021·山东烟台模拟)已知F (2，0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为6，若A (－2，2 )，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________．〖解 析〗设椭圆的左焦点为F ′，由椭圆的右焦点为F (2，0)，得c ＝2，又过F 且垂直于x 轴的弦长为6，即2b 2a ＝6，则a 2－c 2a ＝a 2－4a＝3，解得a ＝4，所以|MF |＋|MA |＝8－|MF ′|＋|MA |＝8＋|MA |－|MF ′|， 当M ，A ，F ′三点共线时，|MA |－|MF ′|取得最大值， (|MA |－|MF ′|)max ＝|AF ′|＝2 ， 所以|MF |＋|MA |的最大值为8＋2 . 〖答 案〗8＋2 方法总结1．求椭圆离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由e 2＝c 2a 2 ＝a 2－b 2a2 ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2 直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．〖题组突破〗1．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A ．23B ．12C ．13D ．14〖解 析〗如图所示，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3 ，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB | ＝3a ＋2 ＝36 ，解得a ＝4， 所以e ＝c a ＝14 .〖答 案〗D2．已知点P 为椭圆x 216 ＋y 212 ＝1上的动点，EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一直径， 则PE → ·PF →的最大值和最小值分别是( )A ．16，12－43B ．17，13－43C ．19，12－43D ．20，13－43〖解 析〗∵EF 是圆N 的直径，∴|NE |＝|NF |＝1，且NF → ＝－NE → ，则PE → ·PF → ＝(PN →＋NE → )·(PN → ＋NF → )＝(PN → ＋NE → )·(PN → －NE → )＝PN → 2－NE → 2＝PN → 2－1.设P (x 0，y 0)，则有x 20 16 ＋y 20 12 ＝1，即x 20 ＝16－43 y 2，又N (0，1)， ∴|PN → |2＝x 20 ＋(y 0－1)2＝－13 (y 0＋3)2＋20，又∵y 0∈〖－23 ，23 〗，∴当y 0＝－3时，|PN → |2取得最大值20，则(PE → ·PF → )max ＝20－1＝19.当y 0＝23 时，|PN →|2取得最小值13－43 ，则(PE → ·PF → )min ＝12－43 .综上，PE → ·PF →的最大值和最小值分别为19，12－43 .〖答 案〗C题型四 椭圆的综合应用〖典例剖析〗〖典例〗 (2020·安徽模拟)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|，且cos ∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝⎛⎭⎫14，0 ，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围．〖解 析〗(1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，① 则3r 1＝5r 2. 又r 1＋r 2＝2a ，②联立①②，解得r 1＝54 a ，r 2＝34a .在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝r 21 ＋r 22 －|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝⎛⎭⎫54a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35， 解得a 2＝4.因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 于是椭圆C 的标准方程为x 24 ＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2， x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且Δ＝(8km )2－4×(3＋4k 2)×(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0.③ 设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，图略则 x 0＝x 1＋x 22 ＝－4km 3＋4k 2 ，y 0＝kx 0＋m ＝3m 3＋4k 2 . 因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM .又Q ⎝⎛⎭⎫14，0 ，M 为线段AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km3＋4k 2－14＝－1， 解得m ＝－3＋4k 24k .④把④代入③，得3＋4k 2>⎝⎛⎭⎪⎫－3＋4k 24k 2 ，解得k <－12 或k >12.即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ . 方法总结1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] 或|AB |＝1＋1k2 |y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] (k 为直线斜率，k ≠0). 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．〖对点训练〗已知P (1，1)为椭圆x 24 ＋y 22 ＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．〖解 析〗法一：易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1 .又∵x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1 ＝2，解得k ＝－12 .经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21 4 ＋y 212＝1，①x 22 4 ＋y 222 ＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4 ＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2 ＝0.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22 ＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12 .经检验，k ＝－12 满足题意．∴此弦所在的直线方程为 y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0. 〖答 案〗x ＋2y －3＝0再研高考创新思维(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22 ＋y 2＝1B ．x 23 ＋y 22 ＝1C ．x 24 ＋y 23＝1D ．x 25 ＋y 24＝1〖解 析〗设椭圆的标准方程为x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0).由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a . ∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |， ∴|AB |＝|BF 1|＝32 |AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ， ∴点A 是椭圆的短轴端点，如图所示． 不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，，得B ⎝⎛⎭⎫32，b 2 .由点B 在椭圆上，得94a 2 ＋b 24b 2 ＝1，解得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23 ＋y 22 ＝1.〖答 案〗B 素养升华椭圆离心率的范围问题已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫33，1B ．⎣⎡⎦⎤33，22 C ．⎣⎡⎦⎤13，12D ．⎝⎛⎦⎤0，22 〖解 析〗设P (x ，y )，则x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，y 2＝b 2－b 2a 2 x 2，－a ≤x ≤a ，＝(－c －x ，－y )，＝(c －x ，－y ). 所以＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2 x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2 x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2.所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33 ≤c a ≤22. 〖答 案〗B。

则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形

[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、



右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(


A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)




解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,


所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程

为
(0, )


+


=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.

解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为

(0,).

提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线