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关于无穷积分收敛的判断课本中关于无穷积分收敛的判断主要是基于定理7与其推论（课本下册p.270）。
由这一推论可以看出：推论是根据 +∞→x 时无穷小量 ()x f 相对于x1的阶来判断。
因为：()d x f x x =∞+→λlim 等价于 ()d x x f x =∞+→λ1lim，当 +∞<<d 0 时，无穷小量 ()x f 与无穷小量 λx1 是同阶无穷小量（ 即：相对于无穷小量 x 1，无穷小量 ()x f 的阶是λ ），由于例3 （课本下册p.263），相对于无穷小量 x1，无穷小量 ()x f 的阶 1>λ时无穷积分()⎰∞+ax d x f 收敛，1≤λ 时无穷积分()⎰∞+ax d x f 发散。
当然，由于存在不可比较的无穷小量，这一判断收敛的方法也不是万能的。
习题例解：例1． 判别无穷积分⎰∞+121sinx d x的敛散性（课本下册p.277：2（5）） 解：由于 111sinlim22=∞+→x x x ，相对于无穷小量 x 1 ，无穷小量 21sin x 的阶为2 ，故：这一无穷积分收敛。
（ 若直接用推论，判定收敛的理由是 11sinlim 22=∞+→xx x 。
） 例2． 判别无穷积分⎰∞+0xex d 的敛散性（课本下册p.277：2（7））解：由于 011lim2=∞+→x e x x（注1），当 +∞→x ，无穷小量xe 1 是比无穷小量21x 更高阶的无穷小量，因而无穷积分⎰∞+0xex d 收敛。
注1．由洛必达法则（课本上册pp.250-254）有 0lim 4=∞+→x x ex ，故0lim 11lim 42==∞+→∞+→x x x x ex x e 。
无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。
无穷积分敛散性的一个新的判别法摘要：本文在分析无穷积分敛散性的基础上，提出了一种新的判定敛散性的准则，即采用谱函数法来判别它，这种方法将有力地推进数学分析研究，能够提供准确的敛散性判定结果。
本文首先介绍了无穷积分敛散性问题，探讨了无限积分敛散性的几种基本概念，并指出了常数微分方程在讨论无穷积分敛散性时的一些共性。
接着，介绍了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，该方法更简单，更为精确，还改善积分出现无限值的问题。
接下来，本文介绍了谱函数法在计算无穷积分时的特殊情况，分析了函数的谱函数解析展开，说明了如何判断整个函数的散度。
最后，结合实例，给出了一个具体的应用场景，同时也指出了谱函数法的缺点，为今后继续深入研究提供了参考。
关键词：无穷积分，敛散性，谱函数法1.言无穷积分的敛散性问题是数学分析中一个重要的问题，从古典数学研究到现代数学研究，都受到广泛的关注。
本文探讨了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，它更能精确地得出敛散性结果。
2.穷积分敛散性2.1念无穷积分敛散性是一种比较常见的概念，是指当某个函数对无穷范围内的某一函数进行无限次积分后，积分值是收敛的，还是散度的。
如果该函数的积分值在无穷的范围内收敛，则称该函数具有敛散性。
2.2数微分方程在讨论无穷积分敛散性问题时，常数微分方程在研究中也有很大的作用。
例如，求解积分的结果就可以转化为求解常数微分方程的任务，并从而分析其是否具有敛散性。
3.函数法3.1 介绍谱函数法是一种比较新的判断敛散性的准则，它采用数学函数的谱函数解析展开，进而判断整个函数的散度，从而更为精确地判断无穷积分敛散性。
3.2殊情况当函数只有一个有限的频率项时，可以利用谱函数法来计算无穷积分，从而判断敛散性。
当函数具有更多的频率项时，则需要将其全部解析开，进而分析其是否具有散度。
3.3用谱函数法在实际应用中也受到了广泛的欢迎，其优点在于准确性更高，而且可以解决传统方法在积分出现无限值时无法解决的问题。
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
无穷积分敛散性的一个新的判别法无穷积分敛散性是一个重要的数学概念，它涉及到许多重要的数学理论和应用计算，其应用广泛，从实际应用到数学建模等。
因此，研究无穷积分敛散性有着重要的意义，也是数学研究的一个重要部分。
本文将介绍一种新的识别无穷积分敛散性的方法，以及它的一些书面推导和实际应用。
首先，我们回顾一下无穷积分敛散性的基本原理。
无穷积分敛散性是指，存在一个无穷级数$sum_{k=0}^n a_k$，若它具有收敛性，则被称为无穷积分敛散性。
其收敛性的条件是，当$ k rightarrow infty $时，$a_k$晕于某一限值。
基于无穷积分敛散性的基本原理，我们可以建立一种新的识别无穷积分敛散性的方法。
此方法的首要步骤是，根据上述定义，使用微积分等法计算$sum_{k=0}^n a_k$的积分。
接下来，利用微积分的反变换公式，求解无穷积分敛散性的条件。
最后，根据实际应用，使用一系列试验，确定无穷积分敛散性是否满足本文定义的条件。
当确定问题满足无穷积分敛散性的条件后，就可以把它归类到无穷积分敛散性的范畴中，从而更好地研究此问题。
此外，该方法还可以协助我们用图形来分析某一问题的无穷积分敛散性以及其它连续情况，绘制出函数图像，更好地把握问题特征。
在实际应用中，无穷积分敛散性是一个重要的考虑因素。
比如，在经济领域，可以利用本文提出的方法来识别投资者在投入市场时可能遇到的无穷积分敛散性情况，并根据实际情况更好地做出投资决策。
此外，本文所提出的方法还可以应用到信号处理、数值分析等领域，可以指导更好的数学建模和算法设计。
综上所述，本文提出了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它不仅可以更好地研究无穷积分敛散性，而且可以为一些实际应用提供技术支持。
未来，本文所提出的方法还可以进一步发展和改进，希望能够为解决更多实际问题提供解决方案。
综上所述，本文介绍了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它可以更好地研究无穷积分敛散性。
无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。
让学生反常积分在一些实际问题中的应运。
二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。
但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。
由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。
例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。
2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。
4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。
五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。
六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dx x f J a⎰+∞=)(，并称dxx f a ⎰+∞)(收敛．如果极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim不存在，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散．类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注： dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线ax =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．例1 讨论无穷积分.1)102⎰+∞+x dx ，.1)22⎰∞+∞-+xdx ，.)302⎰+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：⎰+∞1)1p xdx， ;)(ln )22⎰+∞p x x dx 二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1 若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f k a⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性 质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证：⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f . 利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．性质3 若f 在任何有限区间[u a ,]上可积，b a <，则⎰+∞adx x f )(与⎰+∞bdx x f )(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞adx x f )(=⎰b adx x f )(+⎰+∞bdx x f )(,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞adx x f )(收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在0≥G ，当u >G 时，总有.)(ε<⎰+∞adx x f ．事实上，这可由⎰⎰⎰+∞+∞+=uaudx x f dx x f dx x f )()()(结合无穷积分的收敛定义而得．三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰uadx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2 (比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足 则当⎰+∞adx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性． 解：由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx xx ⎰+∞+021sin 为绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)． 推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f xpx ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时, dx x f a⎰+∞)(收敛; (ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞adx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞adx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理11.4 (阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例5 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当p >1时dx x xp ⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1p xdx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x x p ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2co s 1co s si n 1≤-=⎰u x d x u ，而p x 1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x x x x x x x p ，其中dt ttdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证：前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。
第十一章 反常积分 2 无穷积分的性质与收敛判别定理：无穷积分⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件是：任给ε>0，存在 G ≥a ，只要u 1,u 2>G ，便有|⎰2u a f(x )dx-⎰1u a f(x )dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：若⎰+∞a 1(x )f dx 与⎰+∞a 2(x )f dx 都收敛，则⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛(k 1,k 2为任意常数)，且 ⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰+∞a1(x )f dx+k 2⎰+∞a2(x )f dx.性质2：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，a<b ，则⎰+∞a f(x )dx 与⎰+∞b f(x )dx 同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞a f(x )dx=⎰b a f(x )dx+⎰+∞b f(x )dx.注：性质2相当于定积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞a f(x )dx 收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在G ≥a ，只要u>G ，总有|⎰+∞a f(x )dx|<ε. 又可由⎰+∞a f(x )dx=⎰ua f(x )dx+⎰+∞u f(x )dx 结合无穷积分的收敛定义而得.性质3：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，且有⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，则⎰+∞af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰+∞af(x )dx |≤⎰+∞a|f(x )|dx.证：由⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，根据柯西准则的必要性，任给ε>0， 存在G ≥a ，当u 2>u 1>G 时，总有|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx <ε.利用定积分的绝对值不等式，又有|⎰21u u f(x)dx |≤⎰21u u |f(x)|dx<ε.又根据柯西准则的充分性，证得⎰+∞a f(x )dx 收敛.对|⎰u a f(x )dx |≤⎰ua |f(x )|dx(u>a)两边令u →+∞取极限，可得 |⎰+∞a f(x )dx |≤⎰+∞a |f(x )|dx.注：当⎰+∞a |f(x )|dx 收敛时，称⎰+∞a f(x )dx 为绝对收敛. 性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛. 但逆命题一般不成立. 收敛而不绝对收敛的反常积分又称为条件收敛.二、比较判别法定理：(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，则当⎰+∞ag(x )dx 收敛时⎰+∞a|f(x )|dx 必收敛(或者当⎰+∞a|f(x )|dx 发散时，⎰+∞ag(x )dx 必发散).证：若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰+∞a |f(x )|dx 收敛.若⎰+∞a |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰+∞a g(x )dx 发散.例1：讨论⎰++∞2x1sinxdx 的收敛性.解：∵2x 1sinx +≤2x11+, x ∈[0,+∞)；又⎰++∞02x 11dx=∞u lim +→arctanu=2π, 收敛.根据比较法则知：⎰++∞02x1sinxdx 绝对收敛.推论1：若f 和g 都在[a,u]上可积，g(x)>0，且)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，则有： (1)当0<c<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)当c=0时，由⎰+∞a g(x )dx 收敛可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰+∞a g(x )dx 发散可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，∴任给ε>0，存在N ，当x>N 时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε， 即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当x=+∞时，)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，任给M>0，存在G ，当x>G 时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰+∞a g(x )dx 发散，⎰+∞a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于[a,+∞)(a>0)，且在任何有限区间[a,u]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤p x1, x ∈[a,+∞), 且p>1时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛；(2)当|f(x)|≥p x1, x ∈[a,+∞), 且p ≤1时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于[a,+∞)，在任何[a,u]上可积，且∞x lim +→x p |f(x)|=λ.则有：(1)当p>1, 0≤λ<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≤1, 0<λ≤+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.注：推论2、3又称为柯西判别法.例2：讨论下列无穷限积分的收敛性： (1)⎰+∞1x-ae x dx ；(2)⎰++∞521x x dx.解：(1)∵对任意实数a ，有-xa 2∞x e x x lim⋅+→=x 2a ∞x e x lim ++→=0， 由推论3(p=2, λ=0)可知， 对任何实数a, ⎰+∞1x -a e x dx 收敛.(2)∵有1x x x lim5221∞x ++→=1，由推论3(p=21, λ=1)可知，⎰++∞0521x x dx 发散.三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理：(狄利克雷判别法)若F(u)=⎰ua f(x )dx 在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上当x →+∞时单调趋于0，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：由条件设|⎰ua f(x )dx |≤M, u ∈[a,+∞), 任给ε>0，∵∞x lim +→g(x)=0,∴存在G ≥a, 当x>G 时，有|g(x)|<M4ε. 又g 为单调函数， 利用积分第二中值定理，对任何u 2>u 1>G, 存在ξ∈[u 1,u 2], 使得⎰21u u f(x)g(x)dx=g(u 1)⎰ξu 1f(x)dx+g(u 2)⎰2u ξf(x)dx. 于是有|⎰21u u f(x)g(x)dx |≤|g(u 1)|·|⎰ξu 1f(x)dx|+|g(u 2)|·|⎰2u ξf(x)dx|=|g(u 1)|·|⎰ξa f(x )dx-⎰1u af(x )dx|+|g(u 2)|·|⎰2u af(x )dx -⎰ξaf(x )dx|=M 4ε·2M+M4ε·2M=ε. 由柯西准则可知：⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.定理：(阿贝尔(Abel)判别法)若⎰+∞a f(x )dx 收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：记F(u)=⎰ua f(x )dx, ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴⎰+→ua∞u f(x )lim dx 存在，记为J ， 取ε=1，存在A ，当n>A 时，有|F(u)-J|<1，∴|F(u)|<|J|+1. 又F(u)在[a,+∞)上连续，从而有界.又g(x)在[a,+∞)上单调有界，∴∞x lim +→g(x)存在，记为B ，令g 1(x)=g(x)-B ，则有∞x lim +→g 1(x)= ∞x lim +→g(x)-B=0，∴g 1(x)单调趋于0，由狄利克雷判别法知：⎰+∞a 1(x )f(x )g dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx 收敛. ∴⎰+∞a f(x )g(x )dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx+B ⎰+∞a f(x )dx 收敛.例3：讨论⎰+∞1p x sinxdx 与⎰+∞1p xcosx dx (p>0)的收敛性. 解：当p>1时，p x sinx ≤p x 1, x ∈[1,+∞)，而⎰+∞1p xdx 当p>1时收敛，由比较法则推知：⎰+∞1p x sinxdx 收敛，即⎰+∞1p xsinx dx 绝对收敛. 同理，可证当p>1时，⎰+∞1p xcosxdx 绝对收敛. 当0<p ≤1时，对任意u ≥1, 有|⎰u1px sinxdx|=|cos1-cosu|<2, 当p>0时，p ∞x x 1lim+→=0，且p x1在[1,+∞)单调减， 根据狄利克雷判别法知：⎰+∞1p xsinxdx (p>0)收敛. 又由p x sinx≥x x sin 2=2x 1-2xcos2x , x ∈[1,+∞)，其中⎰+∞12x cos2x dx =⎰+∞1tcost 21dt 满足狄利克雷判别条件而收敛， 而⎰+∞12x dx发散，∴当0<p ≤1时，⎰+∞1px cosx dx 条件收敛. 同理，可证当0<p ≤1时，⎰+∞1p xcosxdx 条件收敛.例4：证明下列无穷积分都是条件收敛的：⎰+∞12x sin dx; ⎰+∞12cosx dx; ⎰+∞14x cosx dx.证：⎰+∞12x sin dx=⎰+∞1t2t sin dt; ⎰+∞12cosx dx=⎰+∞1t2cost dt;由例3可知⎰+∞12x sin dx 和⎰+∞12cosx dx 都是条件收敛.又⎰+∞14x cosx dx=⎰+∞12cost 21dt ，∴⎰+∞14x cosx dx 条件收敛.习题1、设f 与g 是定义在[a,+∞)上的函数，对任何u>a ，它们在[a,u]上都可积. 证明：若⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，则⎰+∞a )x (f(x )g dx与⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx 也都收敛证：∵⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，∴)]x (g )x ([f 2∞a 2+⎰+dx 也收敛. 又|2f(x)g(x)|≤f 2(x)+g 2(x)，由比较法则知2⎰+∞a |)x (f(x )g |dx 也收敛. ∴⎰+∞a )x (f(x )g dx 收敛.∴⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx=⎰+∞a 2)x (f dx+2⎰+∞a )x (f(x )g dx+⎰+∞a 2)x (g dx ，也收敛.2、设f,g,h 是定义在[a,+∞)上的三个连续函数，且有h(x)≤f(x)≤g(x).证明：(1)若⎰+∞a )x (h dx 与⎰+∞a )x (g dx 都收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛； (2)又若⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A ，则⎰+∞a f(x )dx=A. 证：(1)若0≤f(x)≤g(x)，∵⎰+∞a )x (g dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a f(x )dx 也收敛.若h(x)≤f(x)≤0，则|f(x)|≤-h(x)，∵⎰+∞a )x (h -dx=-⎰+∞a )x (h dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛，∴⎰+∞a f(x )dx 也收敛.(2)由⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A 得，⎰+→u a ∞u )x (h limdx=⎰+→ua ∞u )x (g lim dx=A. 又h(x)≤f(x)≤g(x)，由极限的夹逼定理得：⎰+→ua ∞u )x (f limdx=A ， ∴⎰+∞a f(x )dx=A.3、讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞+0341x dx ；(2)⎰∞+1x e -1xdx ；(3)⎰+∞+0x1dx ；(4)⎰+∞+13x 1xarctanxdx ；(5)⎰+∞+1nxx)ln(1dx ；(6)⎰+∞+0n mx 1x dx (n,m ≥0). 解：(1)∵3434∞x 1x 1x lim +⋅+→=1，p>1，0<λ<+∞，∴⎰+∞+0341x dx 收敛.(2)∵x 2∞x e-1xx lim ⋅+→=0，p=2，λ=0，∴⎰∞+1x e -1x dx 收敛.(3)∵x11x lim∞x +⋅+→=1，p=21，λ=1，∴⎰+∞+0x 1dx dx 发散.(4)∵arctanx x 1xarctanxlim 3∞x ++→=0，且⎰∞+1arctanx dx=2π-arctan1收敛，∴⎰+∞+13x1xarctanxdx 收敛. (5)当n>1时，取p ∈(1,n)，∵n p ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=0，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 收敛.当n ≤1时，∵n n ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=+∞，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 发散. (6)∵n mm-n ∞x x1x x lim +⋅+→=1， ∴当n-m>1时，⎰+∞+0n mx 1x dx 收敛; 当n-m ≤1时，⎰+∞+0nmx 1x dx 发散.4、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛： (1)⎰∞+1x xsin dx ；(2)⎰+∞+02x 1sgn(sinx)dx ；(3)⎰+∞+0x 100cosx x dx ；(4)x sin nx1ln(lnx)∞+e⎰dx. 解：(1)⎰∞+1x x sin dx=2⎰∞+1t sint dt ，∵t1单调趋于0(t →+∞)，|⎰u 1sint dt|<2 (u>1); 由狄利克雷判别法知：⎰∞+1xxsin dx 收敛. 又t sint≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t t ∈[1,+∞)，其中⎰∞+12t cos2tdt 收敛，而⎰∞+12tdt 发散，∴⎰∞+1x x sin dx ，即原积分条件收敛.(2)∵⎰+∞+02x 1sgn(sinx )dx =⎰+∞+02x11dx=2π，∴原积分绝对收敛. (3)∵x100x+在[0,+∞)上单调且调趋于0(x →+∞)，|⎰u 0cosx dx|≤1， 由狄利克雷判别法知：⎰+∞+0x100cosxx dx 收敛. 又x100cosxx +≥x 100x cos x 2+=x 2200x ++x 2200x 2cos x +，其中⎰+∞+0x 2200x 2cos x dx 收敛，⎰+∞+0x2200x dx 发散，∴⎰+∞+0x100cosxx dx 发散，即原积分条件收敛.(4)x sin nx 1ln(lnx)∞+e ⎰dx=x sin nx1ln(lnx)e e 0⎰dx +x sin nx 1ln(lnx)∞+e e ⎰dx ， ∵|⎰∞+e ex sin dx|<2 (u>e e)，且在[e e,+∞)上，'⎪⎭⎫ ⎝⎛nx 1ln(lnx)=2nx )1(x ln(lnx )-1+<0， ∴nx1ln(lnx)在[e e ,+∞)上单调减，且nx 1ln(lnx)lim ∞x +→=nx 11lim ∞x +→=0， 由狄利克雷判别法知，x sin nx1ln(lnx)∞+e e⎰dx 收敛，∴原积分收敛. 又x sin nx 1ln(lnx )≥x sin nx 1ln(lnx)2=nx 21ln(lnx)-x 2cos nx21ln(lnx)， 其中⎰∞+eenx 21ln(lnx)dx 发散，⎰∞+e ex 2cos nx21ln(lnx)dx 收敛，∴⎰∞+e ex sin nx1ln(lnx )dx 发散，即原积分条件收敛.5、举例说明：⎰+∞a f(x )dx 收敛时，⎰+∞a 2)x (f dx 不一定收敛；⎰+∞af(x )dx 绝对收敛时，⎰+∞a2)x (f dx 也不一定收敛.解：令f(x) =xsinx，由狄利克雷判别法知⎰+∞1f(x )dx 收敛，但⎰+∞12)x (f dx=⎰+∞12x xsin dx=⎰+∞1dx 2x 1+⎰+∞1dx 2xcos2x ，发散. 又令f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+<≤++<≤1n x n 1n 0 n 1n x n n 33，，，则⎰+∞1|f(x )|dx=∑∞=1i 2n 1收敛， 但⎰+∞12)x (f dx=∑∞=1i n1发散.6、证明：若⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，且f(x)lim ∞x +→=0，则⎰+∞a 2)x (f dx 必收敛.证法1：∵f(x)lim ∞x +→=0，∴对ε=1，有M ，当x>M 时，|f(x)|<1.⎰+∞af(x )dx=⎰+1M af(x )dx+⎰++∞1M f(x )dx ，∵⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，∴⎰++∞1M f(x )dx 绝对收敛.又当x ∈[M+1,+∞)时，|f(x)|<1，∴|f 2(x)|<|f(x)|，∴⎰++∞1M 2(x )f dx 收敛.∴⎰+∞a 2)x (f dx=⎰+1M a 2(x )f dx+⎰++∞1M 2(x )f dx ，收敛.证法2：∵f(x )(x )f lim 2∞x +→=f(x)lim ∞x +→=0，又⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛所以收敛， ∴⎰+∞a 2)x (f dx 收敛.7、证明：若f 是[a,+∞)上的单调函数，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0，且f(x)=o (x1), x →+∞.证：不妨设f(x)单调减，若存在x 1∈[a,+∞)，使f(x 1)<0， 则当x>x 1时，有f(x)<f(x 1) <0，即-f(x)>|f(x 1)|. 又⎰+∞a 1|)f(x |dx 发散，∴⎰+∞a f(x )dx 发散，矛盾. ∴f(x 1)≤0. ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴任给ε>0，存在M ≥a ，只要x>M ，就有 |⎰2xx f(t)dt |<ε, 即⎰2xx f(t)dt<ε. 当x>2M 时，0≤xf(x)=2⎰x2x f(x)dt ≤2⎰x2x f(t)dt<2ε. ∴xf(x)lim ∞x +→=0, 即有f(x)=o (x1), x →+∞，从而f(x)lim ∞x +→=0.若f(x)单调增，则取g(x)=-f(x)单调减，同理有g(x)=-f(x)= o (x1), x →+∞，从而g(x)lim ∞x +→=-f(x)lim ∞x +→=0. 结论仍成立.8、证明：若f 在[a,+∞)上一致连续，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0.证：∵f 在[a,+∞)上一致连续，∴任给ε>0，存在δ>0， 当x 1,x 2∈[a,+∞)，|x 1-x 2|<δ时，有|f(x 1)-f(x 2)|< ε. 又⎰+∞af(x )dx 收敛，∴对ε1=εδ，存在M>a ，当x>M 时，有|⎰+δx xf(t)dt|<εδ.对⎰+δx x f(t)dt ，∵x<t<x+δ，即|x-t|<δ，∴|f(x)-f(t)|< ε，即f(t)- ε<f(x)<f(t)+ε.从而⎰+δx x f(t)dt -εδ<⎰+δx x f(x )dt<⎰+δx x f(t)dt +εδ，即|⎰+δx x f(x )dt -⎰+δx x f(t)dt |<εδ. ∴当x>M 时，|f(x)|= δ1|⎰+δx x f(x )dt |≤δ1(|⎰+δx x f(x )dt-⎰+δx x f(t)dt|+|⎰+δx x f(t)dt|)<2ε. ∴f(x)lim ∞x +→=0.。
判断无穷积分收敛的柯西准则虽然很好地刻画了无穷积分的敛散性，但是在实际的运用中并不是很方便。
本文总结了判断无穷积分敛散性的一些常用方法，并给出了相应的例子加以说明。
一、非负无穷积分假设f （x ）是［a ，+∞）上的非负函数，且在任何有限区间［a ，u ］上可积，则根据定积分的性质可知，ua∫f （x ）dx 是关于单调u 递增的，如果它在［a ，+∞）上存在上界，那么+∞a∫f （x ）dx 一定是收敛的。
因此，如果存在定义在［a ，+∞）上的非负函数，使得f （x ）≤g （x ）在［a ，+∞）上恒成立，而且+∞a∫g （x ）dx 是收敛的，那么+∞a∫f（x ）dx 一定也是收敛的。
我们首先讨论一个特殊的非负无穷积分+∞a∫1x pdx （a >0），不难判断，p >1时，+∞a∫1x p dx 收敛；p ≤1时，+∞a ∫1x pdx 发散。
在判断非负无穷积分的收敛性时，经常需要拿被积函数f （x ）与1xp 比较，根据前面的讨论，不难得出下面的结论：如果∀x ∈［a ，+∞）都有0≤f （x ）≤1x p （p >1）成立，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）收敛；如果∀x ∈［a ，+∞）都有f （x ）≥1x p （p ≤1）成立，则+∞a∫f （x ）dx（a >0）发散。
在某些情况下，不容易直接比较出被积函数与1x p 的大小，因此还可以对上面的结论加以推广，即如果x →+∞时，f （x ）是1x p（p >1）的同阶、高阶或者是等价无穷小，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）收敛；如果x →+∞时，f （x ）是1x p （0<p ≤1）的同阶、低阶或者是等价无穷小，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）发散。
例1：判断无穷积分+∞1∫ln （1+x ）xndx （n >1）的敛散性。
解：n >1时，lim x →+∞x 1+1/n ln （1+x ）x n =lim x →+∞ln （1+x ）xn-（1+1/n ）=0，所以x →+∞时，ln （1+x ）xn是x 1+1/n 的高阶无穷小，因此+∞1∫ln （1+x ）xn dx 收敛。
反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。
在处理反常积分时，有一些特殊的方法可以帮助我们进行判敛，本文将介绍一些常用的反常积分判敛方法。
一、无穷积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷积分，我们可以通过比较判别法来确定其是否收敛。
比较判别法主要包括以下几种情况： 1. 若存在常数$M>0$和$a$，使得对充分大的$x$有$|f(x)|\leqM\cdot g(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛。
2. 若存在常数$a$，使得对充分大的$x$有$0\leq f(x)\leqg(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。
通过比较判别法，我们可以对无穷积分的收敛性进行初步的判断。
二、无界函数积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，如果被积函数在区间$(a,b)$上无界，我们可以通过以下方法进行判敛：1. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以将积分区间分割成多个小区间，分别处理每个小区间上的积分。
2. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以通过换元积分的方法将无界函数转化为有界函数，然后再进行积分计算。
通过以上方法，我们可以处理一些在有界区间上无界的函数积分，从而判断其收敛性。
三、奇异点附近积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，在奇异点附近积分时，我们可以通过留数定理来判断其收敛性。
留数定理是一种处理奇异点的有效方法，可以帮助我们求解一些复杂的积分。
在处理奇异点附近积分时，我们需要注意以下几点：1. 确定奇异点的类型，包括可去奇点、极点和本性奇点。
§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质:⑴ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , k — Const , 则函数k )(x f 在区间) , [∞+a 上可积, 且⎰+∞=ak dx x kf )(⎰+∞adx x f )(.⑵ )(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f ±)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , 且⎰+∞=±ag f )(⎰+∞±af ⎰+∞ag .⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )定理： 无穷 积分⎰+∞adx x f )(收敛 εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'''A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛 ⇒ 收敛, ( 证 ) 但反之不真. 绝对型积分与非绝对型积分 .二 无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判别法: 设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积 . 则⎰+∞ag < ∞+, ⇒ ⎰+∞af < ∞+； ⎰+∞af=∞+, ⇒ ⎰+∞ag =∞+. ( 证 )例4 判断积分 ⎰+∞++0225)1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c gfx =+∞→lim . 则ⅰ> 0< c < ∞+, ⇒⎰+∞af 与 ⎰+∞ag 共敛散 :ⅱ> c =0, ⇒⎰+∞ag < ∞+时, ⎰+∞af < ∞+；ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞ag = ∞+时, ⎰+∞af=∞+. ( 证 )⑵ Cauchy 判敛法:( 以⎰+∞1p xdx为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 ) 设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤p x1且p 1>, ⇒⎰+∞af < ∞+；若)(x f ≥p x1且p 1≤, ⇒⎰+∞af=∞+.Cauchy 判敛法的极限形式 : 设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数，且λ=+∞→)(lim x f x p x . 则ⅰ>,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞a f < ∞+；ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp⎰+∞af=∞+. ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ>⎰+∞->0);0( ,ααdx e xxⅱ>⎰+∞+052.1dx x x⑶ 其他判敛法:Abel 判敛法: 若)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , )(x g 单调有界 , 则积分 ⎰+∞adx x g x f )()(收敛.Dirichlet 判敛法: 设⎰=Aaf A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界 ，)(xg 在) , [∞+a 上单调，且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.例6 讨论无穷积分⎰+∞1sin dx xxp 与⎰+∞1cos dx x x p ) 0 (>p 的敛散性.例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :⎰+∞12sin dx x , ⎰+∞12cos dx x , ⎰+∞14sin dx x x .例8 ( 乘积不可积的例 ) 设)(x f xx sin =, ∈x ) , 1 [∞+. 由例6的结果, 积分⎰+∞1)(dx x f 收敛 .但积分⎰+∞1)()(dx x f x f ⎰+∞=12sin dx x x却发散.( 参阅例6 )作业：P275 2， 3， 4(3)(4)(5)(6), 5(1)(4)。
无穷积分的敛散判别法摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结．关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散The convergence and divergence method of infinite integralAbstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence前言我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法．1 无穷积分的定义定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限lim ()uu af x dx J →∞=⎰则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作()af x dx J +∞=⎰并称()af x dx +∞⎰收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()af x dx +∞⎰发散．类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分：()()lim bubu f x dx f x dx →∞-∞=⎰⎰对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义：()()()baf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．2无穷积分的性质性质1 若1()af x dx +∞⎰与2()af x dx +∞⎰都收敛，12,k k 为任意常数，则1122[()()]ak f x k f x dx +∞+⎰也收敛，且11212212[()()]()()aaak f k k x k f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞=++⎰⎰⎰性质2 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，a b <，则()af x dx +∞⎰与()bf x dx +∞⎰同敛态，且有()()()b aabf x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰其中右边第一项是定积分．性质3 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且|()|af x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰亦必收敛，并有|()||()|aaf x dx f x dx +∞+∞≤⎰⎰当|()|af x dx +∞⎰收敛时，称()af x dx +∞⎰为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分他自身也一定收敛．但是它的逆命题一般不成立，并称收敛而不绝对收敛者为条件收敛．3无穷积分的敛散判别法3.1 定义法根据定义我们可以得到判断无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的一个方法，这是证无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的一个最基础的方法．例1[1]讨论无穷积分1p dxx+∞⎰的敛散性． 解 由于当1p ≠时，()11111up p dx u x p-=--⎰， 当1p =时，1ln up dxu x=⎰， 所以当1p >时，11lim 1up u dx x p →∞=-⎰，而当1p <时，1lim u p u dx x →∞=+∞⎰．所以当1p >时收敛，其值为11p -；当1p <时发散于+∞． 3. 2 柯西准则由定义知道，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛与否，取决于函数()()uaF u f x dx =⎰在u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西收敛准则导出无穷积分收敛的柯西准则．定理1[２]无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要1u 、2u G >便有2121||||()()()u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰因此我们可以利用柯西准则的充分性来证无穷积分()af x dx +∞⎰是否收敛．在下面证明狄利克雷判别法时就用到了柯西准则来判别无穷积分的收敛与发散． 3. 3 比较判别法这是无穷积分的绝对收敛判别方法．由于|()|uaf x dx ⎰关于上限u 是单调递增的，因此|()|af x dx +∞⎰收敛的充要条件是|()|ua f x dx ⎰存在上界．根据这一分析，我们得到下述比较判别法：定理2（比较法则） 设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 都在任何有限区间上[,]a u 可积，且满足|()|()f x g x ≤，[,)x a ∈+∞则当()ag x dx +∞⎰收敛时|()|af x dx +∞⎰必收敛（或者，当|()|af x dx +∞⎰发散时，()ag x dx+∞⎰必发散）．例2 讨论2sin 1xxdx +∞+⎰的收敛性解 由于22sin 1||11x x x ≤++，[0,)x ∈+∞，且20112x π+∞=+⎰收敛，根据比较法则，2sin 1xx dx +∞+⎰为绝对收敛． 我们又可得到比较法则的极限形式：若f 和g 都在任何有限区间上[,]a u 可积，()0g x >，且()lim()x f x c g x →∞=，则有： ()i 当0c <<+∞时，|()|af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰同敛态；()ii 当0c =时，由()a g x dx +∞⎰收敛可推知|()|af x dx +∞⎰也收敛；()iii 当c =+∞时,由()ag x dx +∞⎰发散可推知|()|af x dx +∞⎰也发散.当选用作为比较对象时，比较判别法及其极限形式就是柯西判别法：设f 定义于[,)a +∞，在任何有限区间上[,]a u 可积，且lim |()|p x x f x λ→∞=则有：()i 当1,0p λ>≤<+∞时，|()|af x dx +∞⎰收敛； ()ii 当1,0p λ≤<≤+∞时，|()|af x dx +∞⎰发散．例3 讨论无穷积分1ln(1)nx dx x+∞+⎰的敛散性 解 当1n >时，取α，1n α<<，则ln(1)ln(1)lim lim 0n n x x x x x x x αα-→+∞→+∞++==．由柯西判别法知1ln(1)nx dx x+∞+⎰收敛． 当1n ≤时，则ln(1)lim lim ln(1)nn x x x xx x →+∞→+∞+=+=+∞．由柯西判别法知1ln(1)nx dx x +∞+⎰收敛．3. 4 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理3（狄利克雷判别法） 若()()ua F u f x dx =⎰在[,)a +∞有界，()g x 在[,)a +∞上当x →+∞时单调趋于零，则()()af xg x dx +∞⎰收敛．证 由条件设|,[,)()|u aM u a f x dx ∈+∞≤⎰．任给0ε>，由于lim ()0x g x →∞=，因此存在G a ≥，当x G >时，有4|()|Mg x ε<．又因为()g x 为单调函数，利用积分第二积分中值定理，对于任何21u u G >>，存在12[,]u u ξ∈，使得221112()()()()()()u u uu g u g u f x g x dx f x dx f x dx ξξ=+⎰⎰⎰．于是有221112||()|||()||()()|()|()|u u u u g u g u f x g x dx f x dx f x dx ξξ≤⋅+⋅⎰⎰⎰1212|()||()|()||()|()()|au u a aag u f x dx g u f x dx f x dx f x dx ξξ=⋅-+⋅-⎰⎰⎰⎰2244M M MMεεε<⋅+⋅=根据柯西准则，证得()()af xg x dx +∞⎰收敛．定理4（阿贝尔判别法） 若()af x dx +∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则收()()af xg x dx +∞⎰收敛．例4 讨论无穷积分1sin pxdx x +∞⎰的敛散性． 解 当1p >时，因为sin 1||p p x x x ≤，[1,)x ∈+∞，而1p dx x+∞⎰当1p >时收敛，则由比较法知1sin pxdx x +∞⎰收敛且绝对收敛． 当01p <≤时，因为对任意1u ≥的，有1|sin ||cos1cos |2u xdx u =-≤⎰，而1p x当0p >时单调趋于零（x →+∞），故由狄利克雷判别法知1sin pxdx x +∞⎰当0p >时总是收敛的． 但另一方面，由于2sin sin 1cos 2||22p x x xx x x x≥=-，[1,)x ∈+∞， 其中12cos 21cos 22x tdx dx x t +∞+∞=⎰⎰满足狄利克雷条件，是收敛的，而112dx x+∞⎰是发散的，因此当01p <≤时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．当0p ≤时，有定义可知该积分发散． 所以由以上讨论可知，1sin p xdx x+∞⎰在1p >时绝对收敛，01p <≤时条件收敛，0p ≤时发散．3. 5 根值判别法定理5 设()f x 为[,)a +∞上的非负函数，若x ρ=则当1ρ<时，反常积分()af x dx +∞⎰收敛；当1ρ>时，反常积分()af x dx +∞⎰发散．证 ()i 取1,(01)2ρερ-=<<， 存在0A >，任给x A >时，1122ρρρρ---<<+，0011,(01)22ρρρρρ---<<<<=， 0,()x A f x ρ><而00000000111lim|lim ()ln ln ln xx a a a x x x adx ρρρρρρρρ→∞→∞+∞=-=-=⎰收敛．从而()af x dx +∞⎰收敛．()ii 由1ρ>，取102ρε-=>，存在0A >，任给x A >时，有1122ρρρρ---<+111,12ρρρ+<=>，1,()x x A f x ρ>>．而11111111lim|lim ()ln ln xx a a x x x adx ρρρρρρ→∞→∞+∞=-=∞=⎰发散，故()af x dx +∞⎰发散．例5 讨论无穷积分121x xa x dx +∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的敛散性(0)a >．解 记201()x xa x f x >⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，则21a x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2x a=．因此当2a >时，无穷积分121xxa x dx +∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰收敛；当(02)a <<时，无穷积分121x xa x dx +∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰发散．注 对于形如1()f x dx +∞⎰的无穷积分常用的判别法是用lim ()x x f x λ→∞进行判别，但此题求极限2lim ()lim1x xx x x x f x a x λλ→∞→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭非常困难！ 3. 6 对数判别法定理6 若()f x 函数在[1,)+∞上连续，对任意[1,)x ∈+∞有()0f x >，又ln |()|()limln ln x xf x f x xλ→∞==-，有()i 若1λ>，则无穷积分1()f x dx +∞⎰收敛； ()ii 若1λ<，则无穷积分1()f x dx +∞⎰发散；()iii 若1λ=，则无穷积分1()f x dx +∞⎰可能收敛也可能发散．证 因为ln |()|limln ln x xf x xλ→∞=-所以对任意的0ε>存在1X >，当x X >时ln |()|ln ln xf x xλελε--<<-+，即ln(ln )ln |()|ln(ln )x xf x x λελε---+<<，故11()(ln )(ln )f x x x x x λελε+-<<，利用比较判别法知当1λ>时，取1ελ<-，即1λε->，由1()(ln )f x x x λε-<，知1()f x dx +∞⎰收敛； 当1λ<时，取1λε+<，即，由1()(ln )f x x x λε+<，知1()f x dx +∞⎰发散； 当1λ=时，考察无穷积分2,(0)ln (ln ln )pdxp x x x +∞>⎰,易知当(1)p >时收敛，当(1)p ≤时发散，但对任意0p >都有1ln()ln(())ln ln ln ln ln ln ln ln ln (ln ln )1ln ln ln ln pxxf x x p x p x x x x x xx x x x x x--==--注意到ln ln ln limlim 0ln ln ln x x p x px xx →∞→∞== 所以ln(())lim1ln x xf x x x→∞=-，即当1λ=时，无穷积分可能收敛，也可能发散． 同理可证：当λ=+∞为时，即ln(())limln x xf x x x→∞=-∞无穷积分1()f x dx +∞⎰必收敛．此定理为我们提供了一个判别无穷积分的新方法．利用洛必达法则我们可以得到如下的推论．推论 若()f x 在[1,)+∞上连续，对任意[1,)x ∈+∞的有()0f x >，lim ()0x f x →∞=又'()lim ln 1()x xf x x f x λ→∞⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦，则当λ为定理的各种情况，都有相同的结论成立． 证 由洛必达法则和已知条件知[]''1()()ln ()()()lim lim lim ln 111ln ln ()ln x x x f x xf x xf x xf x xf x x x f x x xλ→∞→∞→∞⎡⎤+⎣⎦⎡⎤==+=-⎢⎥⎣⎦⋅． 故推论的结论成立．例6[６]讨论无穷积分211sin ln x dx x+∞⎰的敛散性． 解 这里21sin()ln x f x x=在[1,)+∞上连续，对任意[1,)x ∈+∞的有()0f x >，又[]1ln(sin )ln ()lim lim 22ln ln ln ln x x x xf x x x x →∞→∞⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这里2λ=，由定理6知，则无穷积分211sin ln x dx x+∞⎰收敛． 参考文献：[1] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 华东师范大学数学系．数学分析习题解析[M]．上海：华东师范大学出版社，2003． [3] 徐利治．大学数学解题诠释[M]．安徽：安徽教育出版社，1987． [4] [美]G .A .科恩T.M 科恩．数学手册[M]．北京：工人出版社，1990． [5] 郝涌等．数学分析考研精编[M]．信阳师范学院，2003．[6] 裴东林．关于正值函数无穷积分收敛性判别法的讨论[J]．甘肃教育学院学报：自然科学版，2002.。
