第十七章勾股定理

c.解决与勾股定理相关的实际问题
3.勾股数及其性质
a.勾股数的定义
b.勾股数的特点
c.勾股数的应用
4.勾股定理在生活中的应用实例
a.建筑领域
b.艺术设计
c.自然科学等其他领域的应用
5.练习与拓展
a.勾股定理相关练习题
b.拓展勾股定理的相关知识，如勾股数在其他数学领域的应用等
c.创设实际情境，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的实际操作能力。
2.教学难点
a.勾股定理的数学证明：对于八年级学生来说，理解并掌握勾股定理的数学证明是难点。教师需要运用直观、生动的教学方法，如动画演示、实际操作等，帮助学生理解证明过程。
b.勾股定理在实际问题中的应用：学生在运用勾股定理解决实际问题时，往往会遇到难以确定直角三角形的情况，需要教师引导学生学会识别直角三角形，并正确应用勾股定理。
1.教学重点示例：
在讲解勾股定理的概念及其证明时，教师可以通过动画演示、实际操作等方式，引导学生观察直角三角形的特性，得出勾股定理的表述。并通过数学证明，让学生理解勾股定理的严谨性。
2.教学难点示例：
在解决实际问题中，教师可以给出以下例子：一根旗杆斜靠在墙上，旗杆与地面的夹角为30°，旗杆与墙面的距离为3米，求旗杆的长度。学生需要识别出这是一个直角三角形问题，并运用勾股定理求解。在这个过程中，教师需要引导学生正确识别直角三角形，并给出具体的解题步骤。
4.培养学生的数学建模素养，通过勾股定理在生活中的应用实例，引导学生发现生活中的数学规律，学会构建简单的数学模型。
5.培养学生的数学抽象与数学关联素养，使学生能够从具体问题中抽象出勾股定理的数学本质，理解数学知识之间的内在联系，提高数学知识的系统性和综合性。
三、教学难点与重点

勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2。

直角边：a、b斜边：c运算结果：写成最简二次根式的形式1能开方的必须开方2根号里不含分母，分母里不含根号勾股定理的证明：等面积法赵爽外弦图邹元治内弦图总统证法一副三角板勾股定理的应用1设未知数x2用x表示三角形中相关边3根据题意列方程直角边与斜边未定分类讨论1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）A．3B．25C．23D．25或23 x斜边x直角边美丽的勾股树1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为5、3，则最大正方形C的面积是（）A．15B．13C．11D．82．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．13．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．1694．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．两直角边的正多边形的面积和=斜边正多边形的面积5．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为．尺规画实数：1．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．5C．1+2D．62．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间注意起点和方向3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1−5B．1−5C．−5D．﹣1+5注意起点和方向4.尺规作图：在数轴上分别作出表示17，20，−41的点先把被开方数拆成两个完全平方数之和17=1+1620=4+1641=16+25确定两直角边连接斜边以o为圆心，斜边为半径画弧等面积法：求斜边高ch=ab斜边高：h=ab÷c2．已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC 的面积．等腰直角三角形：�：�：�含30°角的直角三角形�：�：�方程的思想：设未知数，根据等量关系列方程1．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．3．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．1.如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为，；（2）请你参考以上方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a ＝．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．2．阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且发现32+42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为a，b斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1，3，那么这个直角三角形的斜边长为．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为．（3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长OB为半径画圆交数轴于点A，则线段AC的长度是．勾股定理的证明：等面积法：整体求法=局部面积和1．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．D完全平方公式勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

学习目标
教学内容
学习目标
1．了解互逆命题、互逆定理之间的联系与区别， 并能写出一个命题的逆命题． 2．掌握勾股定理的逆定理，会运用勾股定理的 逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，能 17.2 勾股定理的逆定理 够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系． 3．了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数． 4．经历勾股定理的逆定理的探索过程，体验用 全等三角形证明勾股定理的逆定理的过程．
勾股定理
单元教材解读
课标解读
教学内容
课标要求
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决 一些简单的实际问题
学习目标
教学内容
学习目标
17.1 勾股定理
1.经历勾股定理的探索过程，了解关 于勾股定理的文化历史背景. 2.会运用勾股定理在数轴上确定无理 数对应的点. 3.能利用勾股定理解决一些简单问题.
教学建议
3.适当总结和定理、逆定理有关的内容 本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可
以在小结时结合已学过的一些结论来加深理解.如：“角的平分线上 的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上”.还可以举出其他的一些例子．这样就可以从定 理、逆定理的角度认识已学的一些结论.明确其中一些结论之间的关 系.对互逆命题、互逆定理的概念，学生理解它们通常困难不大．但 对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆 命题有时就会有困难，可以尝试先把命题变为“如果……那么……” 的形式.当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题.
互逆定理
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的， 那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.

第十七章—勾股定理一、勾股定理1. 概念：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a2+b 2=c 2.2. 公式变形： ①：a2=c 2-b 2,b 2=c 2-a 2②:c=22b a + ,a=22b c - ,b=22a c -勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题.b acbac cabcab a bccbaED CBA5.勾股定理的常见类型：（1）勾股定理在实际问题中的应用一般情况下，遇到高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造直角三角形、运用勾股定理求解。