2.3 确定圆的条件确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个看例题，涨知识教材知识总结小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内课后习题巩固一下接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）10．如图，ABC为锐角三角形，6BC=，45A∠=︒，点O为ABC的重心，D为BC中点，若固定边BC，使顶点A在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A∠的大小不变，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（）A521OD≤B531OD≤C．131OD≤<D．121OD<≤二、填空题11．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x的根，则该三角形外接圆的半径为______．13．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝______°．14．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．16．已知ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝1b+30，则ABC的外接圆半径的长为___．三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．18．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作2射线OC交⊙O于点D；②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点， ∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据） 设小O 半径长为r ∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90° ∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ． 20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ； ③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．2.3 确定圆的条件解析确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的教材知识总内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【答案】（1）见解析；（2）10π【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解析】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB223110+=∴外接圆⊙O的面积为：π×102＝10π．看例题，涨知识【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】作AB的垂直平分线，找到AB的中点，则以AB为直径作圆就是三角形的外接圆．【解析】解：如图所示：【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【答案】（1）见解析；（25【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可．（2）连接OA，利用勾股定理求出OA即可．【解析】解：（1）如图，点O即为所求．（2）半径OA22+1255【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为【答案】（1）图见详解；（2）三角形ABC的边长为103【分析】（1）以OA为半径，在圆上依次截取得到圆的6等分点，从而得到圆的三等分点，进而问题可求解；（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，则有AD⊥BC，然后根据等边三角形的性质及垂径定理可求解．【解析】接：（1）等边三角形ABC如图所示：（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，BC=2BD，∵⊙O半径为10，∴152OD OB==，∴2253 BD OB OD-∴103BC=∴三角形ABC的边长为103故答案为3一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆【答案】C【分析】根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）【答案】A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解析】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，课后习题巩固一∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．【解析】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．故选B4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点【答案】D【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．【解析】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．故选D．5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点【答案】B【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，据此可得出答案．【解析】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，而ABC外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选：B．6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧【答案】D【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．【解析】解：A. 直径是弦，故A正确；B. 经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；D. 两个半圆不一定是等弧，故D错误，故选：D．7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．【解析】解：如图，连接AO，∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴AO=BO=CO，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC；∵∠BOC=96°，∴∠BAC=48°，故选：C．A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【解析】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A ．（6，8）B ．（4，5）C ．（4，318） D ．（4，338） 【答案】C【分析】先由题意可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上，可确定P 的横坐标为4；设点P 的坐标为（4，y ），如图作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ，运用勾股定理求得y 即可． 【解析】解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴点P 的横坐标为4， 设点P 的坐标为（4，y ）， 作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ， 22224(4)1y y +-+ 解得，y 318=， 故选：C ．10．如图，ABC 为锐角三角形，6BC =，45A ∠=︒，点O 为ABC 的重心，D 为BC 中点，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A ∠的大小不变，设BC 的中点为D ，则线段OD 的长度的取值范围为（ ）A 521OD ≤B 531OD ≤C ．131OD ≤< D ．121OD <≤【答案】D【分析】如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥，由题意知1OD AD 3=且90BEC ∠=︒，3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+=，332AD DE AE =+=+当AD BC⊥时，AD 最长，可求此时OD 最大值；由于3AD BD >=，可得此时OD 最小值，进而可得OD 的取值范围． 【解析】解：如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥由题意知1OD AD 3=∵45A ∠=︒ ∴90BEC ∠=︒ ∴45EBD BED ∠=∠=︒∴3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+= ∴332AD DE AE =+=+∵AD BC ⊥时，AD 最长， ∴OD 最大值为12∵3AD BD >= ∴1OD > ∴112OD <≤故选D ． 二、填空题11．如图，点O 是△ABC 的外心，连接OB ，若∠OBA ＝17°，则∠C 的度数为_________°．【答案】73【分析】连接OA ，OC ，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：连接OA ，OC ，点O 是ABC ∆的外心，OA OB OC ∴==，OBA OAB ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠， 17OBA ∠=︒， 17OAB ∴∠=︒，1801801717146OBC OCB OCA ACO OBA OAB ∠+∠+∠+∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒即146OBC OCB OCA ACO ∠+∠+∠+∠=︒，22146OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73BCA ∴∠=︒．故答案为：73．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x 的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】52【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径． 【解析】解：2-12+35=0x x ，()()570x x --=，解得215,7x x ==，当7x =时，347+=不能构成三角形； 当5x =时，22234255+==，∴这个三角形是斜边为5的直角三角形， ∴该三角形外接圆的半径为52， 故答案为：52． 13．如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝______°．【答案】140【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA =∠BAE = 70°，求出∠ABE = 40°，连接AE ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF =∠FCB =20°，由三角形内角和定理可得出答案． 【解析】解:∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED ＝12（180°﹣40°）＝70°， ∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°， ∴∠ABE ＝40°， 连接AE ，EF ，∵点F 为△ADE 的外心， ∴AF ＝EF ，AF ＝DF ， ∴点F 在AE 的垂直平分线上， 同理点B 在AE 的垂直平分线上， ∴∠ABF ＝∠EBF ， ∴∠EBF ＝12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°． 故答案为：14014．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 连接,,AB AC 再作,AB AC 的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.【解析】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C连接,,AB AC 则,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O ，A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，点O 是ABC 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC 外把你认为外心也是O 的三角形都写出来__________________________．【答案】△ADC 、△BDC 、△ABD【分析】先求出△ABC 的外接圆半径r ，再找到距离O 点的长度同为r 的点，即可求解． 【解析】由网格图可知O 点到A 、B 、C 22125+ 则外接圆半径5r =图中D 点到O 22125r +=， 图中E 点到O 221310+=则可知除△ABC 外把你认为外心也是O 的三角形有：△ADC 、△ADB 、△BDC ， 故答案为：△ADC 、△ADB 、△BDC ．16．已知ABC 的三边a ，b ，c 满足|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，则ABC 的外接圆半径的长为___． 【答案】2.5【分析】先根据|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30变形可得22|4|(12)(5)0c b a -+++-=，再根据绝对值和完全平方公式的非负性即可求得a 、b 、c 的值，进而根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，由此可得ABC 外接圆半径的长为斜边的一半． 【解析】解：∵|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，2|4|(1414)(1025)0c b b a a ∴-++-++-+=， 22|4|(12)(5)0c b a ∴-+++-=，又∵22|4|0,(12)0,(5)0c b a -≥+≥-≥， ∴40c -=120b +=，50a -=，解得：4c =，3b =，5a =， ∴22225c b a +==，∴ABC 为直角三角形，且斜边长为5， ∴ABC 的外接圆的半径r ＝5×12＝2.5，故答案为：2.5． 三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC ）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC 上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．【答案】见解析【分析】作∠A 的角平分线AD 交BC 于点O ，以点O 为圆心，点O 到AC 的距离OD 为半径画半圆，此时半圆和AC ，AB 都相切，则该半圆面积最大． 【解析】如图所示：该半圆即为所求．18．如图，学校某处空地上有A 、B 、C 三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A 、B 、C 三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O ．【答案】见解析【分析】连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆即可． 【解析】如图所示．连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆，则O 即为所求，19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆； ③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD 2r 即可得到S 大⊙O ＝π2r ）2＝2S 小⊙O ．【解析】(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝2S 小⊙O ．20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ；③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．【答案】(1)作图见解析；4217【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB 的垂直平分线，找出圆心O ，以O 为圆心，OA 为半径画圆即可，再分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于点D ，连接AD ，CD ，即可做出等边三角形ACD ；（2）证明∠BAD =90°，利用勾股定理求出2227BD AB AD =+=AE 的长．【解析】(1)解：作图如下：(2)解：∵AB =4，BC =2，△ACD 是等边三角形，∴∠BAD =∠BAC +∠CAD =30°+60°=90°， ∴323===AD AC AB ∴2227BD AB AD =+= ∴14221172=AB AD AE BD 故线段AE 的长为4217。
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
