2014四种命题的关系及充要条件

1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、知识梳理：1、 四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式；（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。

2、 充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q”为真命题，记，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有，又有，记作，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

3、 判断充分性与必要性的方法：p q ⇒p q ⇒q p ⇒p q ⇔（一）、定义法（1）、且q ，则p是q的充分不必要条件；（2）、，则p是q的必要不充分条件；（3）、，则p是q的既不充分也不必要条件；（4）、且，则p是q的充要条件；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B；（1）、若A，则p是q的充分条件若，则p是q的必要条件;（2）、若A，则p是q的充要条件；（3）、若A，且A，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；（4）、若A，且，则p是q的既不充分也不必要条件；二、题型探究【探究一】：四种命题的关系与命题真假的判断例1:[2014·陕西卷] 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B)A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。

（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）若ab=0，则a=0或b=0。

解析：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。

真命题；否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 易得x ＝y ；由x 2＝1，得x ＝±1；若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 若x ＝－2，y ＝1，虽然x <y ，但x 2>y 2. 所以真命题为A.2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵x >1，∴x 3>1，又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围．的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是s 成立的必要不充分条件，即等价于SP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[破译玄机]解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C．3D．4解析：选B①正确；②不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－a i，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题D．“tan x＝1”是“x＝π4”的充分不必要条件解析：选C由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。

一、考点要求：内 容 要 求 A B C 常用逻辑用语命题的四种形式√ 必要条件、充分条件、充分必要条件 √ 简单的逻辑联结词 √ 全称量词与存在量词√二、知识要点：1、四种命题：①四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： 、否命题： 逆否命题： .②四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ．③反证法：欲证“若p 则q ”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法． 2、充要条件①充分条件：如果p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ②必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ③充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．注：①p 是q 的充分不必要条件等价于 ②p 的充分不必要条件是q 等价于 ③p 是q 的必要不充分条件等价于 ②p 的必要不充分条件是q 等价于 3、全称量词与存在量词①全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。

②存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。

③全称命题：含有全称量词的命题。

“对∀x ∈M ，有p （x ）成立”简记成“∀x ∈M ，p （x ）”。

否定形式是 ④存在性命题：含有存在量词的命题。

“∃x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成“∃x ∈M ，p （x ）”。

否定形式是 三、课前热身：1. 对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____ __．2. 命题“若b a >，则122->ba”的否命题为__ ___ 3. 命题“0x ∃<，有20x >”的否定是 ．4.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的_ _条件．5. 已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围 是6.若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为______________．四、例题选讲：例1：已知0c >且1c ≠，设:p 函数(21)xy c c =-⋅在R 上为减函数，:q 不等式2(2)1x x c +->的解集为R .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数c 的取值范围.例2：已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.例3：若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．例4：设,OA OB 是不共线的向量，若(,)OP aOA bOB a b R =+∈，求三点,,A B P 共线的充要条件。