命题及充分条件必要条件 整理

考点02命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语：=、>(<)、是、都是、任意(所有)的、任两个、至多有1(n)个、至少有1个否定词：≠、≤（≥）、不是、不都是、某个、某两个、至少有2(n+1)个、1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件⇔非q是非p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件⇔非q是非p的必要不充分条件；③p是q的充要条件⇔非q是非p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件⇔非q是非p的既不充分也不必要条件.例2：设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选 A.。

充分条件必要条件命题一、充分条件假言命题1、充分条件假言命题的语言标志如果…那么…／只要…就…／若…必…／一…就…2、充分条件假言命题的性质如果A，那么B。

符号表达：A=> B。

有前件就必有后件（如果一个充分条件假言命题为真，则：如果肯定其前件，则必然可以得到后件。

简称：有前必有后。

）无前件未必有后件（否前未必否后）有后件未必有前件（肯后未必肯前）无后件则必无前件（否后必肯前）——逆否命题（原命题与逆否命题同真假）3、充分条件假言命题的矛盾命题如果A，那么B。

符号表达：A=> B。

并非（A=>B）＝ A且非B（A=>B）＝非A或B（一个充分条件假言命题如果我们知道前件为假，后件不管真假，整个充分条件假言命题一定是真的；当我们知道后件为真的的时候，前件不管真假，整个充分条件假言命题一定是真的）二、必要条件假言命题1、必要条件假言命题的语言标志：只有…才...2、必要条件假言命题的性质只有A，才B。

符号表达：B => A。

有条件未必有结果无条件则必无结果（逆否命题）有结果则必有条件无结果未必无条件3、必要条件假言命题的矛盾命题只有A，才B。

符号表达：B=> A。

并非（B=> A）＝B且非A（B=> A）＝非B或A（一个必要条件假言命题如果我们知道前件为真，后件不管真假，整个必要条件假言命题一定是真的；当我们知道后件为假的的时候，前件不管真假，整个必要条件假言命题一定是真的）等值命题：只有A，才B＝如果B，就A。

三、特殊语言标志1、不…不…如果不A，那么不B。

－A＝》－B B＝》A2、没有…没有…如果没有A，那么没有B。

－A＝》－B B＝》A3、除非…否则…等于必须…否则…例：除非调查，否则就没有发言权。

以下各项都符合题干的断定，除了A．如果调查，就一定有发言权。

B．只有调查，才有发言权。

C．没有调查，就没有发言权。

D．如果有发言权，则一定做过调查。

E．或者调查，或者没有发言权。

命题及其关系、充分条件与必要条件◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[知识感悟]1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B 的充要条件．[知识自测]1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题[解析] 对于A ，其逆命题是若x ＞|y |，则x ＞y ，则真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y .[答案] A2．(2017·天津)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以是充分不必要条件，选A.[答案] A3．在下列三个结论中，正确的是 ________ .(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，△＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析] 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． [答案] ①②题型一四种命题及相互关系(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·广东肇庆一模)原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[解析]原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．[答案]C(2)(2018·宿州模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④[解析]对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.[答案]A思维升华1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假方法感悟1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【针对补偿】1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．“若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数”B．“若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数”C．“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”D．“若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数”[解析]由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]C2．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数，是真命题”[解析]由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[答案]D题型二充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度： (1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件； (3)与命题的真假性相交汇命题． 考向一 与不等式有关的题型1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＜⎝⎛⎭⎫x 2＋12x －32min ， 令f (x )＝x 2＋12x －32，则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12，故m ≤－12”是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.[答案] B考向二 与三角有关的题型2．(2018·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案] A考向三 与向量有关的题型3．(2018·甘肃省兰州市二模)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵a ⊥b ，∴(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，化为：2x 2－3x －2＝0，解得x ＝－12或2.∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选：B. [答案] B考向四 与数列有关的题型4．(2018·北京市西城区一模)数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)．则“c ≤1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)，若“{a n }为递增数列”，则a n ＋1－a n ＝|n ＋1－c |－|n －c |＞0，即(n ＋1－c )2＞(n －c )2，解得c ＜n ＋12，∵n ＋12≥32，∴c ≤1是{a n }为递增数列充分不必要条件，故选A.[答案] A考向五 与几何问题有关的题型5．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若a ，b 相交则α，β一定相交．若α，β相交则不能得出a ，b 相交．故选A. [答案] A考向六 与函数有关的题型6．(2018·合肥一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1 D ．a ＜0[解析] 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞02x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.[答案] D方法感悟充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：常见题型求解策略与不等式相关的充分必要条件的判断可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断与平面向量相关的充分必要条件的判断该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理与三角相关的充分必要条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键与数列相关的充分必要条件的判断熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、a n与S n的关系与立体几何相关的充分必要条件的判断可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断与解析几何相关的充分必要条件的判断首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断【针对补偿】3．(2018·东北三省四市联考)“x＜2”是“x2－3x＋2＜0”成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由x2－3x＋2＜0，解得1<x<2，因为{x|1<x<2}{x|x<2}，所以“x<2”是“x2－3x ＋2<0”成立的必要不充分条件，故选A.[答案]A4．(2018·广西名校联考)在△ABC中，命题p：“B≠60°”，命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]命题p：“B≠60°”则(A＋C)－2B＝π－B－2B≠0，⇔命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，故选C.[答案]C5．(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，最小值为－b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24，t ≥－b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为－b24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A.[答案] A题型三 充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018·皖北第一次联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析] ∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.[答案] B(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ________ .[解析] 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜12，綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.故答案为⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 方法感悟根据充要条件求解参数范围的注意点1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【针对补偿】6．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ＞4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3＋m ＜－1，3－m ＞4，解得m ≤－4或m ≥4，选C.[答案] C7．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是______．[解析] 由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1， 若13<x <12是|x －m |<1成立的充分不必要条件， 则⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13m ＋1≥12得－12≤m ≤43.[答案] ⎣⎡⎦⎤－12，43 ◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二)[A 基础巩固练]1．(2018·山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定[解析] 命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．[答案] B2．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若x >|y |，则x >y 或x >－y ，若x >y ，当y >0时，x >|y |，当y <0时，不能确定x >|y |.故选C.[答案] C3．(2018·河北保定二模)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1[解析] 由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m <0，即m >14.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m >0，故选C.[答案] C4．(2018·北京市朝阳区二模)“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] “x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy ≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy≥2”的充分而不必要条件．故选：A.[答案] A5．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D．“若b2≠ac”，则a，b，c不成等比数列[解析]根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．[答案]D6．(2018·安徽合肥一模) 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]如果A，B在等高处的截面积恒相等，则A，B的体积相等，因此有p⇒q，但q⇒p不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p是q的充分不必要条件．故选A.[答案]A7．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：______.[解析]原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．[答案]“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”8．(2018·湖南常德一中月考)若“x2－2x－3＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a 的最小值为________.[解析]由x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.因为“x2－2x－3>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－1或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.[答案]39．有三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．其中真命题的序号为________.[解析]命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a＞b，则a 2＞b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x ＞－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．[答案] ①10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. [B 能力提升练]1．(2018·湖南衡阳第三次联考)已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 由函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数可得：f (－x )＝f (x )⇒g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，充分条件成立，当函数g (x )是奇函数时，有g (－x )＝－g (x )，又g (x )＝11－2x －12f (x )，可得函数f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，即必要条件也成立，所以p 是q 的充要条件．[答案] C2．(2018·长春市质监二)已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由p 成立，则a ≤1，由q 成立，则a >1，所以綈p 成立时a >1是q 的充要条件．故选C.[答案] C3．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确的是________.[解析]由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；由|AB|2＋|AC|2＝|BC|2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．[答案]①④4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数，此时x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要5．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．[解]A＝{x|x2－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a } 则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }， 则a ≤2或a ≥43，即a ＜0.当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)． [C 尖子生专练](2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件[解析] 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.[答案] B。

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2. 四种命题及其关系⑴四种命题(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有__________ 的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________________ .3. 充分条件与必要条件(1) 如果p? q,贝y p是q的_______________ , q是p的________________ ;(2) 如果p? q, q? p，贝U p 是q 的______________ .［难点正本疑点清源］1. 用集合的观点，看充要条件设集合A= {x|x满足条件p} , B={xX满足条件q}，则有：(1) 若A? B,则p是q的充分条件，若A B,则p是q的充分不必要条件；(2) 若B? A,则p是q的必要条件，若B A,则p是q的必要不充分条件；⑶若A= B,则p是q的充要条件；⑷若A B,且B A,则p是q的既不充分也不必要条件.2. 从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假•这就是常说的“正难则反”.基础自测1. (课本改编题)给出命题：“若x2+ y2= 0，贝V x= y= 0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是___________ .2. ________________________________________________ (课本改编题)下列命题中所有真命题的序号是______________________________________________ .① “ a>b ”是“ a 1 2 3 4 5>b 2”的充分条件； ② “ |a|>|b|”是“ a 2>b 2”的必要条件；③ “ a>b ”是“ a + c>b + c ”的充要条件.1 13. ______________________________________ (课本改编题)“x>2”是“ ”的 条件. 4 . (2011 天津)设集合 A = {x € R X — 2>0} , B = {x € R X<0} , C = {x € R |x(x — 2)>0}，则题型分类•深度剖析题型一 四种命题的关系及真假判断【例1】以下关于命题的说法正确的有 __________ (填写所有正确命题的序号 ).① “若Iog 2a>0,则函数f(x)= log a x (a>0, a 丰1)在其定义域内是减函数”是真命题； ② 命题“若a = 0,贝U ab = 0”的否命题是“若 a 丰0，则ab ^ 0”； ③ 命题“若x , y 都是偶数，则x + y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④ 命题“若a € M ，则b?M ”与命题“若 b € M ，则a?M ”等价. 探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键； (2 )根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断 不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假； (3)认真仔细读题，必要时举特例.盐式即红1有下列四个命题：① “若x + y = 0，则x , y 互为相反数”的逆命题； ② “全等三角形的面积相等”的否命题；③ “若qw 1，则x 2 + 2x + q = 0有实根”的逆否命题； ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为 __________ .题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断【例2】指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).2 在厶 ABC 中，p :/ A =Z B , q : sin A = sin B ；3 对于实数 x 、y , p ： x + y z 8, q : X M 2 或 y M 6；4 非空集合 A 、B 中，p : x € A U B , q : x € B ；225 已知 X 、y € R , p : (x — 1) + (y — 2) = 0, q : (x — 1)(y — 2) = 0.A .充分而不必要条件B C .充分必要条件D 5.已知a B 的终边在第一象限，则“a B A .充分不必要条件B C .充要条件D( ) 必要而不充分条件 既不充分也不必要条件 是“ sin o>sin 的()必要不充分条件x € A U B ” 是“ x € C ” 的玄式腐疥？给出下列命题：①“数列｛a n｝为等比数列”是“数列｛a n a n+ 1｝为等比数列”的充分不必要条件；②“ a = 2”是“函数f(x)=|x—a|在区间［2 ,+^ )上为增函数”的充要条件；③“m = 3 ”是“直线(m + 3)x+ my —2= 0与直线mx—6y+ 5= 0互相垂直”的充要条件；④设a, b, c分别是△ ABC三个内角A, B, C所对的边，若a= 1, b = 3，贝U A = 30° 是B = 60°的必要不充分条件.其中真命题的序号是__________ .中的应用x —1 O O _ ,试题：(12分)已知p： 1 ——— < 2, q: x2—2x+ 1 —m2<0 (m>0)，且綈p是綈q的必要而3不充分条件，求实数m的取值范围.思想方法二感悟提高方法与技巧1. 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提.2. 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的.3. 命题的充要关系的判断方法(1) 定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2) 等价法：利用A? B与綈B?綈A, B? A与綈A?綈B, A? B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断：若A? B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A= B,贝U A是B的充要条件.失误与防范1. 否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论. 要注意区别.2. 判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.课时规范训练一、选择题1. (2011陕西)设a, b是向量，命题“若 a =- b,则|a |= |b|”的逆命题是()A .若a丰—b,则|a|工|b|B .若a == —b,则|a|工|b|C .若|a|工|b|,则a M —bD .若|a|= |b|,贝U a=—b2. 已知集合M = {x|0<x<1}，集合N = {x| —2<x<1}，那么“ a€ N” 是“ a€ M”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列命题中为真命题的是()A. 命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B. 命题“ x>1，则x2>1 ”的否命题C. 命题“若x= 1,则x2+ x—2= 0”的否命题D. 命题“若x2>0,则x>1 ”的逆否命题二、填空题4. ____________________________________________________________ “ m<+”是“一元二次方程x2+ x+ m= 0有实数解”的 __________________________________ 条件.45. 下列命题：①若ac2>bc2，则a>b;②若sin a= sin 则a= B;③“实数a= 0”是“直线x —2ay= 1和直线2x—2ay= 1平行”的充要条件；④若f(x)= log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是__________ .6. 已知p(x): x2+ 2x—m>0,如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为三、解答题7. 已知p：|x—3|w 2, q：(x—m+ 1)(x—m —1)<0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.& 设p :实数x 满足x2—4ax+ 3a2<0 ,其中a<0; q :实数x 满足x2—x—6< 0，或x2+ 2x —8>0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围.B组专项能力提升题组一、选择题1 . (2011 福建)若a € R，则“ a = 2” 是“ (a —1)(a —2)= 0”的()A .充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2•已知p:——> 1,q ：|x—a|<1,若p是q的充分不必要条件，贝U实数a的取值范围为() x —2A • (— 3 3]B • [2,3]C • (2,3]D • (2,3)3. 集合A= {x|XS 4, x€ R}, B= {x|x<a}，则“ A? B” 是“ a>5” 的()A .充分不必要条件B•必要不充分条件C・充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题4. 设有两个命题p、q.其中p:对于任意的x€ R,不等式ax + 2x+ 1>0恒成立；命题q：f(x)=(4a —3)x在R上为减函数•如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是______________ •5. _________________________________________________________________ 若“ x€ [2,5]或x€ {x|x<1或x>4} ”是假命题，则x的取值范围是__________________________ •6・在“ a, b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2+ ax+ b< 0的解集是非空数集，则a2—4b>0”，给出下列命题：①若a2—4b> 0,则不等式x2+ ax+ b< 0的解集是非空数集；②若a2—4b<0,则不等式x2+ ax+ b< 0的解集是空集；③若不等式x2+ ax+ b w 0的解集是空集，则a2—4b<0;④若不等式x2+ ax+ b< 0的解集是非空数集，则a2—4b<0;⑤若a2—4b<0,则不等式x2+ ax+ b< 0的解集是非空数集；⑥若不等式x2+ ax+ b< 0的解集是空集，则a2—4b > 0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是_______ (按要求的顺序填写)•7. (2011陕西)设n € N + , —元二次方程x2—4x+ n= 0有整数根的充要条件是n = _____________ .三、解答题f x—2 1 J ― a2—2 1&已知全集U = R，非空集合A=凶x—(3a+〔<0 '，B=凶x—a <°：1(1)当a= 2时，求(?u B)n A ；⑵命题p：x€ A，命题q：x€ B,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.。