四种命题及充要条件

充要条件与四种命题【考纲要求】（1）了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题（2）理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系【基础回顾】1、四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：____________；否命题：_________；逆否命题__________(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．2、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题)①、原命题为真，它的逆命题是否为真？__________②、原命题为真，它的否命题是否为真？_________③、原命题为真，它的逆否命题是否为真？____________3、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的_______条件，q 是p 的________条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的_____________________，记为p ⇔q.【基础自测】1、（2010上海文）16.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件.2、（2010山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3、（2010广东理）5. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件4、（2010四川文）（5）函数2()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m =5、命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【典例剖析】例1、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. （1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.例2、指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；（4）已知x、y∈R，p：(x-1)2 +(y-2)2=0，q：（x-1）（y-2）=0.例3、证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0例4、已知p：1123x--≤，q：222(1)0x x m-+-≤．若“⌝p”是“⌝q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【巩固练习】1、（2007重庆）命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A.若21x ≥，则1x ≥，或1x ≤-B.若11x -<<，则21x <C.若1x >，或1x <-，则21x >D.若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥2、平面//αβ的一个充分条件是（ ）A.存在一条直线a ,//a α,//a βB. 存在一条直线a , a α⊂，//a βC.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂3、“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件4、已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：（ ）（1）s 是q 的充要条件（2）p 是q 的充分不必要条件（3）r 是q 的必要不充分条件（4）p ⌝是s ⌝的必要不充分条件（5）r 是s 的充分不必要条件A.（1）（4）（5）B.（1）（2）（4）C.（2）（3）（5）D.（2）（4）（5）5、“|x |＜2”是“260x x --<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、甲：A 1 ，A 2是互斥事件；乙：A 1 ，A 2是对立事件，那么 （ ）A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件7、（2009潍坊一模）集合|x |||4,,||,a A x x R B x x a =≤∈=<⊆则“A B（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8、命题p:不等式11x x x x ∣∣>--的解集为{}1x x |0<<，命题q:“A=B ”是“sinA=sinB ”成立的必要非充分条件，则（ ）A ．p 真q 假 B.“p 且q ”为真C. “p 或q ”为假D.p 假q 真9、已知条件p: A=}{221x a x a ∣≤≤+条件，}{2:3(1)2(31)0q B x x a x a =-+++≤ 若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围10、(思考)已知抛物线C: 21y x mx =-+-和点A （3，0），B(0,3).求证：抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点的充要条件是1033m <≤.。

1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、知识梳理：1、 四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式；（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。

2、 充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q”为真命题，记，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有，又有，记作，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

3、 判断充分性与必要性的方法：p q ⇒p q ⇒q p ⇒p q ⇔（一）、定义法（1）、且q ，则p是q的充分不必要条件；（2）、，则p是q的必要不充分条件；（3）、，则p是q的既不充分也不必要条件；（4）、且，则p是q的充要条件；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B；（1）、若A，则p是q的充分条件若，则p是q的必要条件;（2）、若A，则p是q的充要条件；（3）、若A，且A，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；（4）、若A，且，则p是q的既不充分也不必要条件；二、题型探究【探究一】：四种命题的关系与命题真假的判断例1:[2014·陕西卷] 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B)A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。

（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）若ab=0，则a=0或b=0。

解析：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。

真命题；否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。

命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 易得x ＝y ；由x 2＝1，得x ＝±1；若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 若x ＝－2，y ＝1，虽然x <y ，但x 2>y 2. 所以真命题为A.2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵x >1，∴x 3>1，又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围．的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是s 成立的必要不充分条件，即等价于SP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[破译玄机]解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C．3D．4解析：选B①正确；②不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－a i，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题D．“tan x＝1”是“x＝π4”的充分不必要条件解析：选C由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。

命题和充要条件知识梳理 一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。

相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。

4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。

二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。

如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。

3、命题、的否定分别记作α、β。

4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。

叫做的必要条件。

2、充要条件：如果既有，又有，即有βα⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。

例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例4】下列判断中正确的是 ( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有②B A A B ⇔⋂=∅不包含于③B A A ⇔不包含于不包含B ④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在，其中真命题的序号是4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =I ，则A B ⊆”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。

四种命题与充要条件【教学目标】了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解必要条件、充分条件与冲要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

【重点难点】1．注重四种命题之间的相互关系，命题间关系的互相转化。

2．充要条件的判断方法： ⑴定义法： ⑵等价法： ⑶集合法； 一、知识梳理 1．（1）四种命题原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p . （2）四种命题之间的相互关系这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.2．充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件。

必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件。

充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的。

二.基础自测：1．22bc ac >是b a >成立的 .2．已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则甲是乙的 条件．3．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 条件． 4．若条件p ：a ＞4，q ：5＜a ＜6，则p 是q 的_____________5．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的6．给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_________． 7．“若15≤ab ，则a ≤3或b ≤5”是_______命题．(填“真”或“假”)8．已知a 、b 是两个命题,如果a 是b 的充分条件,那么⌝a 是⌝b 的_____条件．三、典型例题[例1 ] 求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一根为1的充分必要条件是0=++c b a变式训练：求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件．方法提炼： [例2 ]已知325:>-x p ； 0541:2>-+x x q ，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？[例3 ] 已知{}44|:+<<-=a x a x A p ，=B q :21|0.43x x x ⎧⎫≥⎨⎬-+⎩⎭若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围．[例4] 若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D 是A 的什么条件？变式训练：已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是方法提炼：四、课堂反馈1．命题“若函数()()1,0log ≠>=a a x x f a 在其定义域内是减函数，则02log <a 的逆否命题是_______．2．已知d c b a ,,,为实数，且d c >,则“b a >”是“d b c a ->-”的__________条件．3．若命题p 的逆命题是q ,命题p 的逆否命题是x ,则q 与x 的关系是________．4．已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的_______条件．5． “22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的________条件．6．在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 条件．7． 条件1:>x p ，条件2:-<x q ，则p ⌝是q ⌝的 条件。

命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系.提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题.(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(√)题组二教材改编2.下列命题是真命题的是()A.矩形的对角线相等B.若a>b，c>d，则ac>bdC.若整数a是素数，则a是奇数D.命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A3.命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________.答案两直线不平行，同位角不相等4.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠5.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析x>y⇏x>|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x>|y|时，能有x>y.∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.6.已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.题型一命题及其关系1.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切. 其中真命题的序号是________.答案 ①③2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福答案 D3.有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题为________.(填写所有真命题的序号)答案 ①②③解析 ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误.4.设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________________. 答案 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.题型二 充分、必要条件的判定 例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 D 解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立. ∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立. 故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件.(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3.所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以綈p ⇒綈q ，綈q ⇏綈p ，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A.充要条件B.既不充分又不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件 答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.(2)设p ：⎝⎛⎭⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的集合为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件.题型三 充分、必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.跟踪训练2 (1)设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________.答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，∴－m ＋12<x <m －12. 由x －12x －1>0，得x <12或x >1. ∵p 是q 的充分不必要条件，又m >0，∴m －12≤12，∴0<m ≤2.(2)设n ∈N ＋，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N ＋，则n ＝1,2,3,4.当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4.利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质. 例 已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 方法二 命题p 为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>1，a ≤12，∴0≤a ≤12. 素养提升 例题中得到实数a 的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰.1.已知命题p ：若a <1，则a 2<1，则下列说法正确的是( )A.命题p 是真命题B.命题p 的逆命题是真命题C.命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”D.命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1”答案 B解析 若a ＝－2，则(－2)2>1，∴命题p 为假命题，∴A 不正确；命题p 的逆命题是“若a 2<1，则a <1”，为真命题，∴B 正确；命题p 的否命题是“若a ≥1，则a 2≥1”，∴C 不正确；命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ≥1”，∴D 不正确.故选B.2.已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题.3.(2018·天津)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”； 由x 3<1，得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇏“⎪⎪⎪⎪x －12<12”. 所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件. 故选A.4.(2018·西安模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A.5.有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题.其中正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③④D.①④ 答案 C解析 ①的逆命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m >1”.因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.所以③是真命题； ④原命题为真，逆否命题也为真.6.若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∵a>b，∴f(a)>f(b)，∴a＋ln a>b＋ln b，故充分性成立；∵a＋ln a>b＋ln b，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选C.7.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析方法一∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件.故选C.方法二∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件.故选C.8.已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，－1]答案 B解析由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.9.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确.10.已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.11.在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 因为cos A >sin B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角， 又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上是减少的，所以A <π2－B ，所以A ＋B <π2， 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C >π2， 所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角，则C >π2，所以A ＋B <π2， 所以A <π2－B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， 即cos A >sin B .故“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件.12.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________.答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13.已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立.所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件.14.已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，解得1<m <32， 即q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32， 解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.16.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－54∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎡⎦⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。

四种命题及充要条件第一部分考点精要1．四种命题及相互之间的关系：一个命题与它的逆否命题是等价的．2．充分、必要条件的判定：(1)若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．第二部分学法指导1．正确写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键在于：(1)将命题改写成“若p则q”的形式；(2)依据概念要求写出其他三种命题．2．判断命题的真假性，若能用“互为逆否的两个命题等价”的性质进行转化，通常能事半功倍．3．注意“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念．“否命题”同时否定条件与结论．4．判断××条件要注意以下两点：(1)在判断的时候，一定要从p能否推出q，q能否推出p两方面去判断(即正推与反推)．对于p⇒q，要能够证明，而对于p⇒/q，只需举一例即可．因此有时判断命题p⇒q困难，应转化为举反例判断其逆否命题⌝q⇒/⌝p是否成立．(2)“p是q的××条件”与“q的××条件是p”表述不同，但意思相同．在解题时，务必将后者转化为前者，以免出错．5．反证法与常见否定．(1)用反证法证明命题的一般步骤为：①假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立。

②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．(2)反证法的第一步是否定结论，在解决实际问题中，需掌握以下词语的否定.题型一：四种命题例1、设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．评析：对于命题，要注意大前提以及命题的条件和结论，在写命题的其他形式时，大前提一般不动，只是对条件和结论作相应的处理．可以利用等价关系来判断命题的真假题型二：条件的判定与关系例2：若函数f(x)是R上的增函数，则“a＋b>0”是“f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件B． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12答案：C解析：由a ＋b >0，有a >－b ，b >－a ，∵f (x )是R 上的增函数，∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )，正推成立．要判断逆推是否成立比较困难，可转化为判断其逆否命题：“a ＋b ≤0⇒f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )”，可依上推知该命题成立，∴逆推成立．选C.评析：判断充要条件问题时，要考虑p ⇒q 与q ⇒p 两个方面是否都成立；另外对于原命题不好判断时，可以考虑它的逆否命题，利用互为逆否的命题为等价命题来解决．题型三：充要条件的综合运用例4、证明一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 分析：此题应从判别式和根与系数的关系入手解题．证明：充分性：若ac <0，则b 2－4ac >0，且ca<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．必要性：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．则Δ＝b 2－4ac >0，且x 1x 2＝ca<0，∴ac <0.评析：该例的叙述格式是“B 成立的充要条件是A ”，因此由A ⇒B 是充分性，由B ⇒A 是必要性，这种问题还有另一种叙述格式：p 是q 成立的充要条件，这时由p ⇒q 是充分性，由q ⇒p 是必要性，在解决这类问题时，要弄清属于哪种叙述格式，避免在论证中将充分性与必要性搞混．同类演练：“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”的充要条件是( ) A ．“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立” B ．“(x 2＋2x )max ≥(ax )min 在x ∈[1,2]上恒成立” C ．“[x 2＋(2－a )x ]max ≥0在x ∈[1,2]上恒成立” D ．“[x 2＋(2－a )x ]min ≥0在x ∈[1,2]上恒成立”答案：D解析：不等式两边的x 取值具有同时性，不能分开求解，应选D. 例1、不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．0≤x ≤4 C ．－1<x ≤3 D ．x ＝5 答案：C解：不等式等价于－1≤x ≤3，∵由－1<x ≤3可推得－1≤x ≤3，而逆推不成立，∴－1<x ≤3是不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件． 即不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件是－1<x ≤3.应选C.第四部分 随 堂 检 测1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B解析：原命题：条件——一个数是负数．结论——这个数的平方是正数． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2、(2017·高考山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧q D.¬p ∧¬q答案：B解析：因为方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y ＝x 2－x ＋1，其图象开口向上，所以x 2－x ＋1>0恒成立，所以p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，所以q 为假命题，¬q 为真命题．因此p ∧¬q 为真命题．选B.33．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件 答案：A解析：P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，∴P ⊆Q ，但Q P∴x ∈P ⇒x ∈Q 但x ∈Q /⇒x ∈P ，∴“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件． 4、下列命题：①“若x ＝2，则x 2＝4”的否命题；②“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 全为零”的逆否命题； ③“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题． 其中真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C解析：x ≠2但x ＝－2，也有x 2＝4，①是假命题； ∵x ，y ∈R ，由x 2＋y 2＝0必有x ＝y ＝0，∴其逆否命题也为真，②是真命题；由a ＝0或b ＝0，必有ab ＝0，∴③是真命题，选C.5、“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件 答案：A解析：由方程有实数解，有Δ＝1－4m ≥0∴m ≤14.由“m <14”可推出“m ≤14”，但反之不成立，所以“m <14”是“m ≤14”的充分不必要条件．选A.6．(2018·湖北新联考调研)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.[－1，1] 答案：D解析：“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1，4)⊆(2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.7．设A ，B ，C 是三个集合，则“A ∩B ＝A ∩C ”是“B ＝C ”的__________条件． 答案：必要不充分8．命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为__________． 答案：若a ≤b ，则2a≤2b －1 9.以下判断：①⎩⎪⎨⎪⎧ a >0b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >0ab >0 ②⎩⎪⎨⎪⎧ a <0b <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b <0ab >0③⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >2ab >1 ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >2a －1b －1>0其中正确的判断序号是________． 答案：①②④解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0b －1>0，又∵两数同为正数，它们的和与积必为正数，反之也成立． ∴①、④正确；②中正推成立，逆推也成立，∴②也正确．③中正推成立，但a ＝5，b ＝13时逆推不成立，∴③错．410、已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？ 解：已知r 、p 、q 、s 的关系如下图由图知：(1)∵q ⇒s ⇒r ⇒q ，∴s 是q 的充要条件． (2)∵r ⇒q ⇒s ⇒r ，∴r 是q 的充要条件． (3)∵q ⇒s ⇒r ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．评析：“⇒”可直观显示各条件之间的关系，在解决较多个条件的问题时经常用到，要细心体会．11．(2017∙山东模拟)已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0．若﹁p 是﹁q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0且a ＜0得3a ＜x ＜a ，所以p ：3a ＜x ＜a ，即集合A ＝{x |3a ＜x ＜a }．由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为﹁q ⇒﹁p ，所以p ⇒q ． 所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a ＜0⇒－23≤a ＜0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－23，0． 12、已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1.给定p ：x <π4或x >π2，x ∈R .q ：－2<f (x )－m <2.若¬p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：由q 可得⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2.因为¬p 是q 的充分条件，所以在π4≤x ≤π2的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2恒成立．又f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 由π4≤x ≤π2，知π6≤2x －π3≤2π3，所以当x ＝5π12时，f (x )max ＝5， 当x ＝π4时，f (x )min ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >5－2m <3＋2，即3<m <5.所以m 的取值范围是(3，5)．。

大白高中高三数学学练稿 主备: 王永爱 审核: 数学组 类型:一轮复习课 日期：140826 编号：002【知识要点】 四种命题及充要条件1． 命题的概念:在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题． 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2.命题的四种形式及关系：原命题：若p 则 q 逆命题：若 则否命题：若 则 逆否命题：若 则原命题与逆否命题总是具有 的真假性，逆命题与否命题也总是具有 的真假性．2. 充分条件、必要条件：(1)如果p q ⇒，则p 是q 的 条件；q 是p 的 条件 （2）若p ⇒q ，且q p ⇒，p 是q 的 条件；若p ⇒q ,但q≠> p ， p 是q 的 条件；若p ≠>q ，但q ⇒ p ， p 是q 的 件；若p ≠>q ，且q ≠> p ， p 是q 的 条件． (3)集合与充要条件: 【课前热身】1． 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________ 2． “x >2”是“1x <12”的________条件．3． 已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的____________条件．【典型应用】例1:已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的( ) A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题 B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题练1:命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 例2:已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是 ( ) A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f －xf x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数 C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A练2:给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________． 例3:已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．练3:已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若┐p 是┐q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．例4:已知p ：⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．【自我反馈】1．(2011·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}， 则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的 条件2．(2012·天津) 设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的 条件。

数学高考总复习：四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【知识网络】四种命题、充要条件充要条件四种命题及其关系互为逆否关系的命题等价充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点梳理】一、命题：可以判断真假的语句。

二、四种命题原命题：若p 则q ；原命题的逆命题：若q 则p ；原命题的否命题：若p ⌝，则q ⌝；原命题的逆否命题：若q ⌝，则p⌝三、四种命题的相互关系及其等价性1、四种命题的相互关系互逆⌝⌝否命题若p则q 原命题若p则q逆命题若q则p ⌝⌝逆否命题若q则p互逆互逆否为互逆否为否否互互2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。

所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。

四、充分条件、必要条件和充要条件1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。

如：命题p 是命题q 成立的××条件，则命题p 是条件，命题q 是结论。

又如：命题p 成立的××条件是命题q ，则命题q 是条件，命题p 是结论。

又如：记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ⊂,则p 是q 的充分不必要条件；A B ⊃,则p 是q 的必要不充分条件。

2、“⇒”读作“推出”、“等价于”。

p q ⇒，即p 成立，则q 一定成立。

3、充要条件已知命题p 是条件，命题q 是结论（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。

如：3x <是4x <的充分条件。

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。