充要条件与四种命题

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一 四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1， 当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1， 则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1. 可知非q ⇒非p ，非p非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， 所以{ 1－m ＝－2，＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)． 答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(非p )∧(非q)假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(非p )∧(非q)真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(非p )∨(非q)假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(非p )∨(非q)真． 考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧非qC ．非p ∧qD ．非p ∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(非q )B ．(非p )∧qC ．p ∧qD ．(非p )∨q[解析] (1)当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．(2)对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2. 所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2， 所以m 的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，x x －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴x x －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”．2．下列命题中，假命题的是( )A ．∀x ∈R,21－x >0 B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a 的图象经过第四象限D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切 解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立． 3．(2019·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R,2x >0，则非p ：∃x 0∈R,2x0<0C ．命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题 解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)解析：选C 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4.8．下列命题为假命题的是( )A ．存在x >y >0，使得ln x ＋ln y <0B ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件 C ．∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立D ．已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，则α∥β解析：选C 对于A 选项，令x ＝1，y ＝1e，则ln x ＋ln y ＝－1<0成立，故排除A.对于B 选项，“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C 选项，根据幂函数y ＝x α，当α<0时，函数单调递减，故不存在x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立，故C 错误．对于D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，可过n 作一个平面与平面α相交于直线n ′.由线面平行的性质定理可得n ′∥n ，再由线面平行的判定定理可得n ′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D ，选C.9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是非p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“非q ”同时为假命题，则 x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“非q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3＜x ＜－1，由题意，得x ＝－2.答案：－211．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则非p 是非q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p ：a ≥0，非q ：a 2≤a ，即0≤a ≤1.因为{a |0≤a ≤1}{a |a ≥0}，所以非p 是非q 的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(非p )∧(非q)；④(非p )∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题，非p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增．∴命题q 为假命题，非q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(非p )∧(非q)为假命题，(非p )∨q 为假命题． 答案：②③④13．设t ∈R ，已知命题p ：函数f (x )＝x 2－2tx ＋1有零点；命题q ：∀x ∈[1，＋∞)， 1x－x ≤4t 2－1.(1)当t ＝1时，判断命题q 的真假；(2)若p ∨q 为假命题，求t 的取值范围．解：(1)当t ＝1时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ＝0，1x－x ≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q 为真命题． (2)若p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题．当p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1；当q 为真命题时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ≤4t 2－1，即4t 2－1≥0， 解得t ≤－12或t ≥12， ∴当q 为假命题时，－12<t <12， ∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12.。

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题．(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题组二教材改编2．[P8T3]下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题答案 A3．[P12T2(2)]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．5．“sin α>0”是“α是第一象限角”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y 轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件． 故选B.6．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.题型一 命题及其关系1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2 答案 A2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福 答案 D3．(2018·青岛调研)下列命题： ①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题；②“全等三角形的面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④答案 A解析对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分必要条件的判定典例(1)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析方法一∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．故选C.方法二∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．故选C.(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练(1)(2017·赣中南五校联考)已知α，β均为第一象限角，那么“α＞β”是“sin α＞sin β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析 取α＝7π3，β＝π3，α＞β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α＞sin β，但α＜β，必要性不成立．故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．(2)设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的_____条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 a ∥b ⇔sin 2θ＝cos 2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tanθ＝12成立”的必要不充分条件． 题型三 充分必要条件的应用典例 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练 (1)设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ， ∴－m ＋12<x <m －12.由x －12x －1>0，得x <12或x >1.∵p 是q 的充分不必要条件，又m >0， ∴m －12≤12，∴0<m ≤2. (2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4.当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4.等价转化思想在充要条件中的应用典例 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．思想方法指导 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．解析 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 答案 [9，＋∞)1．命题“若函数f (x )＝e x －mx 在[0，＋∞)上是减函数，则m >1”的否命题是( ) A ．若函数f (x )＝e x －mx 在[0，＋∞)上不是减函数，则m ≤1 B ．若函数f (x )＝e x －mx 在[0，＋∞)上是减函数，则m ≤1 C ．若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在[0，＋∞)上是减函数 D ．若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在[0，＋∞)上不是减函数 答案 A解析 “若p ，则q ”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题． 3．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B4．已知命题p ：若a <1，则a 2<1，则下列说法正确的是( ) A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”D ．命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1” 答案 B解析 若a ＝－2，则(－2)2>1，∴命题p 为假命题， ∴A 不正确；命题p 的逆命题是“若a 2<1，则a <1”，为真命题， ∴B 正确；命题p 的否命题是“若a ≥1，则a 2≥1”，∴C 不正确； 命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ≥1”，∴D 不正确． 故选B.5．“x ＞1”是“12log (2)0x +<”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x ＞1，得x ＋2＞3，即12log (2)0x +<，12log (2)0x +<，即x ＋2＞1，得x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (2)0x +<”成立的充分不必要条件．故选B.6．(2017·北京海淀区一模)若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设f (x )＝x ＋ln x ，显然f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵a >b ，∴f (a )>f (b )，∴a ＋ln a >b ＋ln b ，故充分性成立； ∵a ＋ln a >b ＋ln b ，∴f (a )>f (b )，∴a >b ，故必要性成立，故“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的充要条件，故选C.7．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.8．(2017·江西红色七校二模)在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为cos A >sin B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， 因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角，又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， 所以A <π2－B ，所以A ＋B <π2，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C >π2， 所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角，则C >π2，所以A ＋B <π2， 所以A <π2－B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， 即cos A >sin B .故“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件．9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 当x >1，y >1时，x ＋y >2一定成立，即p ⇒q ，当x ＋y >2时，可令x ＝－1，y ＝4，即q ⇏p ，故p 是q 的充分不必要条件．11．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案 (0,3)解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3. 12．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．13．已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a ＞1，所以綈p 成立⇔a ＞1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.14．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12，∴0≤a ≤12. 方法二 命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12，∴0≤a ≤12.15．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是______．答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 16．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立；反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．。

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互专题三：充分条件、必要条件与命题的四种形式一、目标：1．了解“若p ，则q ”形式的命题，并能判断命题的真假；2．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的判定方法； 4．充要条件关系的证明； 5．会分析四种命题的关系，能区分否命题与命题的否定； 二、难点：充分条件、必要条件、充要条件的意义及判断。

三、主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假； 3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）． 四、难点突破：1．要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件（sufficient condition ），同时称q 是p 的必要条件（necessary condition ），因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假。

2．要理解“充要条件”的概念，一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔.此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）.对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.3．数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.4．从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.“q p ⇒”即：Q x P x ∈⇒∈，则Q P ⊆“q p ⇔”即Q x P x ∈⇒∈且P x Q x ∈⇒∈，则Q P =.5．证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)(即条件的必要性).6．四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题)①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件1. 主要内容：命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。

2. 重点：判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。

3. 难点：逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。

【例题选讲】例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。

（1）小李是老师，小赵也是老师。

（2）1是合数或质数。

（3）他是运动员兼教练员。

（4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。

解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。

（2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。

（3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。

（4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。

小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。

应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。

例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。

若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。

解：若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，解得：1<m<3。

即q ：1<m<3。

因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。

∴或或m m m m m >≤≥⎧⎨⎩≤<<⎧⎨⎩213213解得：或。

m m ≥<≤312小结：由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假。

反过来，由复合命题的真假也应能准确断定构成此复合命 题的简单命题的真假情况，简单命题的真假也应由真值表来判断。

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2<x <－1时不等式成立， 所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)， 所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 －4或0解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件． 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。

四种命题与充要条件【教学目标】了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解必要条件、充分条件与冲要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

【重点难点】1．注重四种命题之间的相互关系，命题间关系的互相转化。

2．充要条件的判断方法： ⑴定义法： ⑵等价法： ⑶集合法； 一、知识梳理 1．（1）四种命题原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p . （2）四种命题之间的相互关系这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.2．充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件。

必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件。

充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的。

二.基础自测：1．22bc ac >是b a >成立的 .2．已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则甲是乙的 条件．3．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 条件． 4．若条件p ：a ＞4，q ：5＜a ＜6，则p 是q 的_____________5．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的6．给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_________． 7．“若15≤ab ，则a ≤3或b ≤5”是_______命题．(填“真”或“假”)8．已知a 、b 是两个命题,如果a 是b 的充分条件,那么⌝a 是⌝b 的_____条件．三、典型例题[例1 ] 求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一根为1的充分必要条件是0=++c b a变式训练：求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件．方法提炼： [例2 ]已知325:>-x p ； 0541:2>-+x x q ，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？[例3 ] 已知{}44|:+<<-=a x a x A p ，=B q :21|0.43x x x ⎧⎫≥⎨⎬-+⎩⎭若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围．[例4] 若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D 是A 的什么条件？变式训练：已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是方法提炼：四、课堂反馈1．命题“若函数()()1,0log ≠>=a a x x f a 在其定义域内是减函数，则02log <a 的逆否命题是_______．2．已知d c b a ,,,为实数，且d c >,则“b a >”是“d b c a ->-”的__________条件．3．若命题p 的逆命题是q ,命题p 的逆否命题是x ,则q 与x 的关系是________．4．已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的_______条件．5． “22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的________条件．6．在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 条件．7． 条件1:>x p ，条件2:-<x q ，则p ⌝是q ⌝的 条件。

第2讲四种命题的关系及其充要条件考纲展示命题探究考点一四种命题及其真假判断1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2四种命题间的相互关系图3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．注意点否命题与命题的否定的区别如果原命题是“若p则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”即只否定结论.1．思维辨析(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( )(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( )(4)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( )(5)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系．( )(6)命题“如果p 不成立，则q 不成立”等价于“如果q 成立，则p 成立”．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√2．已知下列命题：①已知集合A ，B ，若a ∈A ，则a ∈(A ∩B )；②若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ；③若a >|b |，则a 2>b 2；④3≥2.其中是真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①是假命题，因为a ∈A ⇒/ a ∈(A ∩B )；②是真命题，因为A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；③是真命题，因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2成立；④是真命题，因为“3≥2”的意思是3>2或3＝2，只要有一个成立就行，故选C.3．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.[考法综述] 四种命题关系及其真假判断是高考的热点之一，一是对“若p ，则q ”形式命题的改写要熟练掌握，二是弄清命题的四种形式之间的真假关系，属容易题．命题法 四种命题及其关系典例 (1)下列四个命题中：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“正多边形相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；④“若x 3＝2，则x 是无理数”的逆否命题．其中是真命题的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假[解析] (1)①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，显然是真命题；②原命题的逆命题为“若多边形相似，则这些多边形为正多边形”，显然是假命题；③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m＝0没有实根，则m≤0”，由条件可得m<－14，∴结论m≤0成立，是真命题；④原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题．故选B.(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故选B.[答案](1)B(2)B【解题法】四种命题关系及真假的判断方法(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断．要判断一个命题是假命题，只需举出反例．1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面答案 D解析 A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D 正确．3．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设原球的半径和体积分别为r ，V ，变化后的球的半径和体积分别为r ′，V ′，则r ′＝12r ，由球的体积公式可知V ′＝43πr ′3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 3＝18×43πr 3＝18V ，所以命题①为真命题；命题②显然为假命题，如两组数据：1,2,3和2,2,2，它们的平均数都是2，但前者的标准差为63，而后者的标准差为0；对于命题③，易知圆心到直线的距离d ＝|0＋0＋1|12＋12＝12＝r ，所以直线与圆相切，命题③为真命题．故选C.4．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 D解析 对于p 1，数列{a n }的公差d >0，∴数列是递增数列；对于p 4，∵[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝4d >0，是递增数列；对于p 2，∵(n ＋1)a n ＋1－na n ＝(n ＋1)a n ＋(n ＋1)d －na n ＝a 1＋2nd ，不能确定a 1的正负，上式不一定大于零，该数列不一定是递增数列；同理，对于p 3，也不一定是递增数列．故选D.5.下列命题中，真命题是( )A ．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题答案 D解析命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题，如a>b且c＝0时，ac2＝bc2；命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”，是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．考点二充分条件与必要条件充分与必要条件的判断(1)确定条件是什么，结论是什么．(2)由条件尝试推导结论，由结论尝试推导条件．(3)“以小推大”即小范围推得大范围.1．思维辨析(1)“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件．( )(2)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的充分条件．( )(3)若α∈(0,2π)则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝32π”．( )(4)“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是q ”表达的意义相同．( )(5)x >1是x >2的必要不充分条件．( )(6)若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( )A ．x >1B ．x <1C ．x >3D ．x <3答案 A解析 x >2⇒x >1，但x >1⇒/ x >2.3．“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ln (x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0⇒x <0；而x <0⇒/ －1<x <0.故选B.[考法综述] 充分条件、必要条件是每年高考的常考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性综合命题.命题法 判断充分条件与必要条件典例 (1)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件(2)设U 为全集．A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件[解析] (1)当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0，1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立．(2)由韦恩图可知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅，可以取C ＝∁U B ，此时A ⊆C 必要性成立．故选C.[答案] (1)A (2)C【解题法】 充分、必要条件的判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．1．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 结合韦恩图可知，A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，反之，若A ⊆B ，即集合A 为集合B 的子集，故A ∩B ＝A ，故“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件，选C.2．“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵sin α＝cos α⇒tan α＝1⇒α＝k π＋π4，k ∈Z ，又cos2α＝0⇒2α＝2k π＋π2或2k π＋3π2(k ∈Z )⇒α＝k π＋π4或k π＋3π4(k ∈Z )，∴sin α＝cos α成立能保证cos2α＝0成立，但cos2α＝0成立不一定能保证sin α＝cos α成立，∴“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．3．设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案 A解析 对命题p ，a 1，a 2，…，a n 成等比数列，则公比q ＝a n a n －1(n ≥2)且a n ≠0；对命题q ，①当a n ＝0时，(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1·a n )2成立；②当a n ≠0时，根据柯西不等式，要使(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n－1a n )2成立，则a 1a 2＝a 2a 3＝…＝a n －1a n，所以a 1，a 2，…，a n 成等比数列．所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．4.设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由指数函数的性质知，若3a >3b >3，则a >b >1，由对数函数的性质，得log a 3<log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3<log b 3，此时0<b <a <1，于是3>3a >3b ，所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件，选B.5．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．6.设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析|x－2|<1⇔－1<x－2<1⇔1<x<3；x2＋x－2>0⇔x<－2或x>1.由于(1,3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．(x＋2)<0”的()7．“x>1”是“log12A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 B(x＋2)<0，得x＋2>1，解得x>－1，所以“x>1”是解析由log12“log1(x＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.28．已知条件p：x2＋x－2>0，条件q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是()A．a≥1 B．a>1C．a≥－1 D．a≤－2答案 A解析由x2＋x－2>0，得x>1或x<－2.设p对应集合M，q对应集合N，由题意知，N M，所以a≥1.判断下列说法是否正确．如果不正确，分析错误的原因．(1)x2＝x＋2是x x＋2＝x2的充分条件；(2)x2＝x＋2是x x＋2＝x2的必要条件．[错解][错因分析]导致判断错误的原因是忽略了题目中的隐含条件，从而扩大了x的范围．[正解](1)x2＝x＋2⇔x＝±x＋2，故x2＝x＋2⇒/x2＝x x＋2.反例：x＝－1.故说法错误．(2)x x＋2＝x2⇔x＝0或x＋2＝x(其中x为正实数)，故x x＋2＝x2⇒/x2＝x＋2.故说法错误．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟 基础组1.[2016·冀州中学一轮检测]下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，e x ≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D解析 ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2有交点，如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式的性质可知ab >1，∴D 正确，故选D.2．[2016·武邑中学一轮检测]设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠bB ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析 若p 则q 的逆命题是若q 则p ，故选D.3．[2016·武邑中学月考]有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④答案 D解析 ①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真．②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎨⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．4．[2016·衡水中学热身]“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．5．[2016·冀州中学期末]已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析ab＝0⇒/a＝0，但a＝0⇒ab＝0，即ab≠0⇒a≠0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.6. [2016·衡水中学预测]已知命题p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，命题q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由p成立，得a≤1，由q成立，得a>1，所以綈p成立时a>1，则綈p是q的充要条件．故选C.7．[2016·枣强中学热身]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析先证“α⊥β⇒a⊥b”，∵α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a，再证a⊥b⇒/α⊥β，举反例，当a∥m时，由b⊥m满足a⊥b，此时二面角α－m－β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β，故选A.8．[2016·衡水中学猜题]设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0，必要性成立；但b ＝0时，a －b i 为实数，充分性不成立，故选B.9．[2016·衡水中学一轮检测]设等比数列{a n }的公比为q ，则“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，而a 1的正负性未定，故无法判断数列{a n }的单调性，因此“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．10．[2016·冀州中学模拟]有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________． 答案 1解析 (1)真，(2)原命题假，所以其逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．11．[2016·衡水二中周测]若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．答案 －1解析 由x 2>1，得x <－1或x >1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立， 所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.12．[2016·枣强中学仿真]给出下面三个命题： ①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数； ②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 答案 ③解析 ①是假命题，举反例：x ＝2π＋π6和π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33，tan π4＝1,2π＋π6>π4，但tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tan π4.②是假命题，反例：y ＝1x 是奇函数，但不过原点．③的逆命题是“若a >b >1，则0<log a b <1”，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．能力组13.[2016·衡水二中月考]给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32；②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件；③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79. 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．14．[2016·武邑中学热身]已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分不必要条件； ③r 是q 的必要不充分条件； ④綈p 是綈s 的必要不充分条件； ⑤r 是s 的充分不必要条件．则正确命题的序号是()A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤答案 B解析∵q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．∴q，r，s互为充要条件．又p是r的充分不必要条件，∴①s是q 的充要条件正确；②p是q的充分不必要条件正确；③r是q的必要不充分条件错误；④綈p是綈s的必要不充分条件正确；⑤r是s的充分不必要条件错误，故选B.15．[2016·衡水二中期中]下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A解析对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y, 是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．16．[2016·枣强中学模拟]若A：log2a<1，B：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B 的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析解法一：由log2a<1，解得0<a<2；而方程x2＋(a＋1)x＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a－2<0，解得a<2.因为命题“若0<a<2，则a<2”是真命题，而命题“若a<2，则0<a<2”是假命题，所以“0<a<2”是“a<2”的充分不必要条件，所以A是B的充分不必要条件，选A.解法二：由解法一可知，满足条件A的参数a的取值集合为M ＝{a|0<a<2}，满足条件B的参数a的取值集合为N＝{a|a<2}，显然M N，所以A是B的充分不必要条件，选A.。

四种命题与充要条件 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p；否命题为若┐p则┐q；逆否命题为若┐q则┐p.(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．命题真假判断的方法：(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．3．充分条件与必要条件的定义(1)若pq且q p，则p是q的充分非必要条件．(2)若qp且p q，则p是q的必要非充分条件．(3)若pq且qp，则p是q的充要条件．(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若AB，则p是q的充分条件，若A⊇B，则p是q的充分不必要条件；(2)若BA，则p是q的必要条件，若B⊇A，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分、必要条件的判定方法(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)传递法．(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若AB，则p是q的充分条件；②若BA，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．(4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：2.(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.注：1．逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且xB；xA且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．2．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系． 3．含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析 依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B.2．(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B 。

数学高考总复习：四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【知识网络】【考点梳理】一、命题：可以判断真假的语句。

二、四种命题原命题：若p 则q ； 原命题的逆命题：若q 则p ；原命题的否命题：若p ⌝，则q ⌝； 原命题的逆否命题：若q ⌝，则p ⌝ 三、四种命题的相互关系及其等价性 1、四种命题的相互关系2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。

所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。

四、充分条件、必要条件和充要条件1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。

如：命题p 是命题q 成立的××条件，则命题p 是条件，命题q 是结论。

又如：命题p 成立的××条件是命题q ，则命题q 是条件，命题p 是结论。

又如：记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ⊂,则p 是q 的充分不必要条件；A B ⊃,则p 是q 的必要不充分条件。

2、“⇒”读作“推出”、“等价于”。

p q ⇒，即p 成立，则q 一定成立。

3、充要条件已知命题p 是条件，命题q 是结论（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。

如：3x <是4x <的充分条件。

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。

如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。

大白高中高三数学学练稿 主备: 王永爱 审核: 数学组 类型:一轮复习课 日期：140826 编号：002【知识要点】 四种命题及充要条件1． 命题的概念:在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题． 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2.命题的四种形式及关系：原命题：若p 则 q 逆命题：若 则否命题：若 则 逆否命题：若 则原命题与逆否命题总是具有 的真假性，逆命题与否命题也总是具有 的真假性．2. 充分条件、必要条件：(1)如果p q ⇒，则p 是q 的 条件；q 是p 的 条件 （2）若p ⇒q ，且q p ⇒，p 是q 的 条件；若p ⇒q ,但q≠> p ， p 是q 的 条件；若p ≠>q ，但q ⇒ p ， p 是q 的 件；若p ≠>q ，且q ≠> p ， p 是q 的 条件． (3)集合与充要条件: 【课前热身】1． 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________ 2． “x >2”是“1x <12”的________条件．3． 已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的____________条件．【典型应用】例1:已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的( ) A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题 B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题练1:命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 例2:已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是 ( ) A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f －xf x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数 C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A练2:给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________． 例3:已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．练3:已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若┐p 是┐q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．例4:已知p ：⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．【自我反馈】1．(2011·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}， 则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的 条件2．(2012·天津) 设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的 条件。

第3讲 充要条件与四种命题(时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题． ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④ D ．①②③2．已知命题p ：若x >0，y >0，则xy >0，则p 的否命题是( ) A ．若x >0，y >0，则xy ≤0 B ．若x ≤0，y ≤0，则xy ≤0C ．若x ，y 至少有一个不大于0，则xy <0D ．若x ，y 至少有一个小于或等于0，则xy ≤03．设命题p ：sin αtan α＝cos α，命题q ：sin α＝cos α，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2012·唐山模拟] 设a ，b ∈R ，则“a >1且0<b <1”是“a －b >0且a b>1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件能力提升5．[2012·商丘模拟] 直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <16．[2012·山东卷] 设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a，b，c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4 B．2 C．1 D．08．下列有关命题的说法中，正确的是( )A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”B．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题C．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件9．[2012·沈阳二模] 设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的________条件．10．设p：xx－2<0，q：0<x<m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是________．11．[2013·吉林一中期中] 已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|x<a}，若p：“x∈A”是q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________．12．(13分)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．难点突破13．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．【基础热身】1．D [解析] ①的逆命题为：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；命题③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题．命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．2．D [解析] 否命题应在否定条件的同时否定结论，而原命题中的条件是“且”的关系，所以条件的否定形式是“x ≤0或y ≤0”．3．B [解析] 命题p 成立时sin 2α＝cos 2α，得sin α＝±cos α，由此可得p 是q 的必要不充分条件．4．A [解析] 显然a >b >0，故a >1且0<b <1⇒a －b >0且a b >1；反之，a －b >0且a b>1⇒a >b 且a －b b >0⇒a >b 且b >0，推不出a >1且0<b <1.故“a >1且0<b <1”是“a －b >0且ab>1”的充分不必要条件． 【能力提升】5．C [解析] 圆心坐标为(1，0)，半径为2，直线x －y ＋m ＝0与圆有两个不同交点的充要条件是|1＋m |2<2，即－3<m <1，充分不必要条件的m 的范围是这个范围的真子集，故只能是选项C 中的范围．6．A [解析] 因为函数f (x )＝a x 在R 上是减函数，所以0<a <1，由函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数可得2－a >0，即a <2.所以若0<a <1，则a <2，而若a <2推不出0<a <1.所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．7．B [解析] 原命题是一个假命题，因为当c ＝0时，不等式的两边同乘上一个0得到的是一个等式；原命题的逆命题是一个真命题，因为当ac 2>bc 2时，一定有c 2≠0，所以必有c 2>0，两端同除一个正数，不等式方向不变，即若ac 2>bc 2，则a >b 成立．根据命题的等价关系，四个命题中有2个真命题．8．D [解析] 命题“若x 2>1，则x >1”的否命题是“若x 2≤1，则x ≤1”，选项A 中的说法不正确；命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题是“若tan α>tan β，则α>β”，根据正切函数的的性质，这个说法不正确；命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0”，选项C 中的说法不正确；不等式x 2＋x －2>0的解是x <－2或x >1，故x >1时不等式x 2＋x －2>0一定成立，反之不真，所以“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件，选项D 中的说法正确．9．必要不充分 [解析] 因为若一条直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于该平面，因此答案为必要不充分条件．10．(2，＋∞) [解析] 命题p 成立时，0<x <2，命题p 是q 成立的充分不必要条件，说明(0，2)是(0，m )的真子集，故m >2，即m 的取值范围是(2，＋∞)．11．a >4 [解析] ∵A ＝{x |x ＜4}，p ：“x ∈A ”是q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，∴集合A 是集合B 的真子集，易得a ＞4.12．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0，即k <－2.所以使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件为k <－2.【难点突破】13．解：假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝（4a ）2－4（－4a ＋3）<0，Δ2＝（a －1）2－4a 2<0，Δ3＝（2a ）2－4（－2a ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，得－32<a <－1，∴根据题意知a ≤－32或a ≥－1.。