创新设计 数学一轮文科 人教B 课时作业 第6章 第2讲 含答案

第一篇教材复习讲义篇第1节集合◆考纲·了然于胸◆1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．[要点梳理]1．集合的概念与表示(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈或∉.(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图．(4)常见集合的符号表示2．集合间的基本关系或∅⊆A，∅∅) 3．集合的基本运算提示：因为A∪B⊆A∩B，从而有A∩B＝A∪B，所以必有A＝B.4．集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.[小题查验]1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}[解析]∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴∁U M＝{3,5,6}．[答案] C2．(2016·宁德质检)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为()A．－2 B．－1C．0 D．1[解析]∵A⊆B，∴a＋2＝1，∴a＝－1.故选B.[答案] B3．(2015·新课标卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B 中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2[解析]A＝{2,5,8,11,14,17，…}，A∩B＝{8,14}，故选D.[答案] D4．给出下列命题：①空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．②a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.③N⊆N*⊆Z④(A∩B)⊆(A∪B)，(∁U A)∪A＝U.其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)[解析]对于①，两元素集合不一定是三元素集合的子集，所以①不正确；对于②，元素与集合的关系是属于和不属于的关系，a在集合A中，应表示为a∈A，所以②不正确；对于③，由正整数集、自然数集、整数集的关系知，N*⊆N⊆Z，所以③不正确；对于④，由交集、并集、补集的意义知④正确．[答案]④5．(2016·中原名校联盟一模)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.[解析]由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0，或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x＝－2或x＝0.[答案]0或－2考点一集合的基本概念(基础型考点——自主练透)[方法链接]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．[题组集训]1．(2016·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．[答案] D2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝______________.[解析] 因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.[答案] 23．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为________．[解析] 因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1. 当m ＝3时，M ＝{1,5,13}； 当m ＝1时，M ＝{1,3,5}；当m ＝－1时，M ＝{1,1,5}不满足互异性． 所以m 的值为3或1. [答案] 3或1考点二 集合间的基本关系(重点型考点——师生共研)【例】 (1)(2016·临沂模拟)已知集合A ＝{x|ax ＝1}，B ＝{x|x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)由题意，得B ＝{－1,1}， 因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0； 当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1.又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D. (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m≤2. 当B≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1＜2m，解得2＜m≤4. 综上，m 的取值范围为m≤4. [答案] (1)D (2){m|m≤4}互动探究 本例(1)中若A ＝{x|ax ＞1(a≠0)}，B ＝{x|x 2－1＞0}，其它条件不变，则a 的取值范围是________________________________________________________________________．[解析] 由题意，得B ＝{x|x ＞1，或x ＜－1}， 对于集合A ，①当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞1a .因为A ⊆B ，所以1a ≥1.又a ＞0，所以0＜a≤1.②当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a .因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a ＜0，所以－1≤a ＜0，综上所述，0＜a≤1，或－1≤a ＜0. [答案] [－1,0)∪(0,1] 【名师说“法”】(1)由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．(2)解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 跟踪训练(1)若集合A ＝{0,1,2，x}，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] ∵A ＝{0,1,2，x}，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．[答案] B(2)已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[解析] 由log 2x≤2，得0＜x≤4，即A ＝{x|0＜x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，如图所示，则a ＞4，即c ＝4. [答案] 4考点三 集合的基本运算(高频型考点——全面发掘)[考情聚焦]角度一 求交集1．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x|(x －1)(x ＋2)＜0}，则A∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[解析] 由已知得B ＝{x|－2＜x ＜1}，所以A∩B ＝{－1,0}，故选A. [答案] A 角度二 求并集2．(2016·南昌模拟)集合M ＝{x|x 2＋px ＋2＝0}，N ＝{x|x 2＋x －q ＝0}，M∩N ＝{2}，则M ∪N ＝( )A ．{1,2，－3}B ．{1,2,3}C ．{1，－2,3}D ．{－1,2,3}[解析] 选A.因为M∩N ＝{2}，所以2∈M 且.2∈N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2p ＋2＝0，4＋2－q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝6，所以M ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，N ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}，故M ∪N ＝{1,2，－3}．[答案] A角度三 集合的交、并、补的综合运算3．(2016·湖州模拟)已知全集为R ，集合A ＝{x|e x ≥1}，B ＝{x|x 2－4x ＋3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x＜1或x＞3} D．{x|0＜x≤1或x≥3}[解析]选C.由A中不等式变形得：e x≥1＝e0，得到x≥0，即A＝{x|x≥0}，由B中不等式变形得：(x－1)(x－3)≤0，解得1≤x≤3，即B＝{x|1≤x≤3}，∴∁R B＝{x|x＜1或x＞3}，则A∩(∁B)＝{x|0≤x＜1或x＞3}．R[答案] C角度四利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4．(2016·宁波模拟)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪∁R B＝R，则实数a的取值范围是________．[解析]∁R B＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁R B)＝R，则a≥2.[答案][2，＋∞)[通关锦囊]集合基本运算的常见题型与破解策略：[题组集训]1．(2016·广东七校联考)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝() A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2][解析]选D.由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得1＜x＜4，即A＝(1,4)，∵B＝(－∞，2]，∴A∩B＝(1,2]．故选D.[答案] D2．(2016·济南模拟)已知集合P＝{log2x4,3}，Q＝{x，y}，若P∩Q＝{2}，则P∪Q等于()A．{2,3} B．{1,2,3}C．{1，－1,2,3} D．{2,3，x，y}[解析]选B.∵P＝{log2x4,3}，Q＝{x，y}，∴若P∩Q＝{2}，则log2x4＝2，即2x＝2，解得x＝1，则P＝{2,3}，Q＝{1，y}，则y＝2，即Q＝{1,2}，则P∪Q＝{1,2,3}，故选B.[答案] B3．(2016·宜宾模拟)已知集合M＝{y|y＝x2－2}，集合N＝{x|y＝x2－2}，则有() A．M＝N B．M∩(∁R N)＝∅C．N∩(∁R M)＝∅D．N⊆M[解析]选B.由集合N中的函数y＝x2－2，得到x∈R，所以集合N＝(－∞，＋∞)，由集合M中的函数y＝x2－2≥－2，得到集合M＝[－2，＋∞)，∴M≠N，M⊆N，M∩(∁R N)＝∅，故选B.[答案] B创新探究1以集合为载体的创新型问题以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．典例(2016·揭阳校级三模)对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：(Ⅰ)∀a，b∈A，都有a⊕b∈A(Ⅱ)∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a；(Ⅲ)∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′＝a′⊕a＝e；(Ⅳ)∀a，b，c∈A，都有(a⊕b)⊕c＝a⊕(b⊕c)，则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”；①A＝{整数}，运算“⊕”为普通加法；②A＝{复数}，运算“⊕”为普通减法；③A＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有()A．①②B．①③C．②③D．①②③审题视角根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论．[解析]①A＝{整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e ＝0，a、a′互为相反数；②A＝{复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件；③A＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e＝1，a、a′互为倒数．故选B.[答案] B方法点睛解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．即时突破(2016·潍坊模拟)设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a#b)#c＝a#(b#c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a#b∈M.则称M对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为______________．①{－2，－1,1,2}，②{1，－1,0}，③Z，④Q.[解析]①中，当a＝－1，b＝1时，a＋b＝0∉{－2，－1,1,2}，当a＝－2，b＝2时，a×b ＝－4∉{－2，－1,1,2}，故①中集合加法和乘法都不封闭．②中集合M＝{1，－1,0}满足：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a×b∈M.故②中集合对加法运算和乘法运算都封闭．③中集合M＝Z满足：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a×b∈M.故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭．④中集合M＝Q满足：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a×b∈M.故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭．[答案]②③④[课堂小结]【方法与技巧】1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．【失误与防范】1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．课时活页作业(一)[基础训练组]1．(2016·赤峰模拟)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}[解析]∵A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，∴A∩B＝{2}．故选B.[答案] B2．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩∁U B＝()A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}[解析]∵A＝{2,3,5}，∁U B＝{2,5}，∴A∩∁U B＝{2,5}．[答案] B3．设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于() A．R B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．∅[解析] 由|x|≤2得－2≤x≤2，所以集合A ＝{x|－2≤x≤2}；由－1≤x≤2得－4≤－x 2≤0，所以集合B ＝{y|－4≤y≤0}，所以A∩B ＝{x|－2≤x≤0}，故∁R (A∩B)＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)，选B.[答案] B4．(2016·西安一模)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y)|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A∩B)的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 选C ，由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x－y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A∩B ＝{(2，－1)}，M 为A∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A∩B)的集合M 的个数是2，故选C.[答案] C5．(2016·济南模拟)已知集合A ＝{x||x －1|＜2}，B ＝{x|y ＝lg(x 2＋x)}，设U ＝R ，则A∩(∁U B)等于()A ．[3，＋∞)B ．(－1,0]C ．(3，＋∞)D ．[－1,0][解析] 化简集合后利用集合的运算法则求解．解不等式|x －1|＜2得－1＜x ＜3，所以A ＝{x|－1＜x ＜3}．要使函数y ＝lg(x 2＋x)有意义，则x 2＋x ＞0，解得x ＜－1或x ＞0，所以B ＝{x|x ＜－1或x ＞0}，∁U B ＝{x|－1≤x≤0}，所以A∩(∁U B)＝(－1,0]，故选B.[答案] B6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A∩B ＝________.[解析] A 、B 都表示点集，A∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．[答案] {(0,1)，(－1,2)}7．已知集合A ＝{x|x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵1∉{x|x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x|x 2－2x ＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1. [答案] (－∞，1]8．(2016·南充调研)已知集合A ＝{x|4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是______________．[解析] 集合A ＝{x|4≤2x ≤16}＝{x|22≤2x ≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a≤2，b≥4，所以a －b≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]9．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A∩B)； (2){9}＝A∩B.[解] (1)∵9∈(A∩B)， ∴9∈A 且9∈B. ∴2a －1＝9或a 2＝9. ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3. 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3. 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 此时A∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3.10．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．[解] 由已知得A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)∵A∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x|x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3. 因此实数m 的取值范围是{m|m ＞5或m ＜－3}．[能力提升组]11．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x|x 2＝x}，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}[解析] 由题意得集合A ＝{0,1}，图中阴影部分所表示的集合是不在集合A 中，但在集合B 中的元素的集合，即(∁U A)∩B ，易知(∁U A)∩B ＝{－1,2}，故图中阴影部分所表示的集合为{－1,2}．正确选项为A.[答案] A12．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P*Q ＝{z|z ＝a÷b ，a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P*Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P*Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．[答案] B13．(2016·广东二模)已知非空集合M 和N ，规定M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉N}，那么M －(M －N)等于( )A ．M ∪NB ．M∩NC ．MD ．N[解析] 如图(1)为M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉N}，则图(2)为M －(M －N)，特别的，当N ⊆M 时，图(3)为M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉N}，则图(4)为M －(M －N)，∴M －(M －N)＝M∩N.[答案] B14．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m)(x －2)＜0}，且A∩B ＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________.[解析] A ＝{x ∈R||x ＋2|＜3}＝{x ∈R|－5＜x ＜1}， 由A∩B ＝(－1，n)，可知m ＜2，则B ＝{x|m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.[答案] －1 115．(2016·福州月考)已知集合A ＝{x|1＜x ＜3}，集合B ＝{x|2m ＜x ＜1－m}． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝－1时，B ＝{x|－2＜x ＜2}， 则A ∪B ＝{x|－2＜x ＜3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，解得m≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A∩B ＝∅，得①若2m≥1－m ，即m≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第2节命题与命题的四种形式、充分条件与必要条件◆考纲·了然于胸◆1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．[要点梳理]1．命题的概念能够判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．质疑探究：一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．3．充分条件、必要条件与充要条件[小题查验]1．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x≥y ，则x 2≥y 2”[解析] 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y”的逆否命题是“若x≤y ，则x 2≤y 2”．[答案] C2．(2015·高考浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 利用特值法；当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故不是充分条件；当a ＝－3，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，故不是必要条件，所以“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件，故选D.[答案] D3．给出命题：“若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] 原命题显然正确，其逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题．故选D.[答案] D4．“x ＞2”是“1x ＜12”的________条件．[解析] ①x ＞2⇒2x ＞0⇒x 2x ＞22x ⇒1x ＜12， ∴“x ＞2”是“1x ＜12”的充分条件．②1x ＜12⇒x ＜0或x ＞2/⇒x ＞2. ∴“x ＞2”是“1x ＜12”的不必要条件．[答案]充分不必要5．下列命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．[解析]对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°/⇒30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．[答案]①③④考点一命题的四种形式及其关系(基础型考点——自主练透)[方法链接]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[题组集训]1．命题“若a＜0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．2C．4 D．不确定[解析]当a＜0时，Δ＝1－4a＞0，所以方程x2＋x＋a＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a ＜0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤14，显然a ＜0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．[答案] B2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确的命题的序号)． ①“若log 2a ＞0，则函数f(x)＝log 2x(a ＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M”与命题“若b ∈M ，则a ∉M”等价．[解析] 对于①，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1，所以函数f(x)＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M”与命题“若b ∈M ，则a ∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.[答案] ②④考点二 充分条件、必要条件与充要条件的判断(高频型考点——全面发掘)[考情聚焦]充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点．常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面，如函数、不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等.角度一 与不等式相关的充分必要条件的判断1．(2015·高考天津卷)若x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由|x －2|<1得－1＜x －2＜1，∴1＜x ＜3 由x 2＋x －2>0，得(x ＋2)(x －1)>0，∴x<－2或x>1∴由|x －2|＜1⇒x 2＋x －2＞0，由x 2＋x －2＞0/⇒|x －2|＜1，∴“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件．[答案] A角度二 与平面向量相关的充分必要条件的判断2．(2016·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b”的充分而不必要条件．[答案] A角度三 与三角相关的充分必要条件的判断3．(2016·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，命题q ：f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当φ＝π2＋kπ，k ∈Z 时，f(x)＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案] A角度四 与立体几何相关的充分必要条件的判断4．已知a ，b ，c 是实数，则b 2≠ac 是a ，b ，c 不成等比数列的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为命题“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”的逆否命题为“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac”是真命题，所以b 2≠ac 是a ，b ，c 不成等比数列的充分条件；因为“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”是假命题，所以“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac”是假命题，即b 2≠ac 不是a ，b ，c 不成等比数列的必要条件．故选A.[答案] A角度五 与立体几何相关的充分必要条件的判断5．(2014·浙江高考)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD.当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的充分不必要条件．[答案] A[通关锦囊]充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：[题组集训]1．(2016·济南模拟)设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若“N⊆M”，则有a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±2，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A.[答案] A2．给出下列命题：①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．[解析] 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x －a|在区间[－2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案] ①④考点三 利用充要条件求参数的取值(范围)(重点型考点——师生共研)【例】 (1)(2016·临沂模拟)已知p ：－2≤x≤10，q ：(x －a)(x －a －1)＞0，若p 是q 成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(2)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B.⎣⎡⎦⎤12，2C ．[－1,2]D.⎝⎛⎦⎤2，12∪[2，＋∞) 思路点拨 (1)把问题转化为集合之间的关系，列关于a 的不等式求解．(2)¬q 的充分不必要条件是¬p ，等价于p 是q 的必要不充分条件，化简p 和q 后，借集合间的包含关系即可求得a 的范围．[解析] (1)由(x －a)(x －a －1)＞0，得x ＞a ＋1或x ＜a ，由题意，得{x|－＞a ＋1或x ＜a}．所以a ＋1＜－2或a ＞10，即a ＜－3或a ＞10. (2)由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f(x)＝x 2＋x －a 2＋a ，如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧－＝－a 2＋a ＋6＞0＝－a 2＋a ＋2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3－1≤a≤2， ∴－1≤a≤2，故选C.[答案] (1)(－∞，－3)∪(10，＋∞) (2)C互动探究 本例(1)中，若p ：－2＜x ＜10，q ：(x －a)(x －a －1)≥0，其他条件不变，则a 的取值范围是________．[解析] 由(x －a)(x －a －1)≥0， 得x≥a ＋1或x≤a ，由题意得{x|－2＜x ＜＋1或x≤a}．所以a ＋1≤－2或a≥10，即a≤－3或a≥10. [答案] (－∞，－3]∪[10，＋∞) 【名师说“法”】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若¬p 是¬q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜6B ．－1≤a≤6C ．a ＜－1或a ＞6D ．a≤－1或a≥6[解析] 设q ，p 表示的范围分别为集合A 、B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3所以－1≤a≤6.故选B. [答案] B思想方法1 等价转化思想在充要条件关系中的应用典例 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且¬p 是¬q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． [解析] 法一：由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m≤x≤1＋m ，∴¬q ：A ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}， 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，∴¬p ：B ＝{x|x ＞10或x ＜－2}． ∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件． ∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜21＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m≤－2，1＋m ＞10，即m≥9或m ＞9. ∴m≥9.法二：∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m≤x≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，∴p ：P ＝{x|－2≤x≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜21＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m≤－21＋m ＞10即m≥9或m ＞9.∴m≥9. [答案] [9，＋∞)方法点睛 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．即时突破 已知不等式|x －m|＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则m 的取值范围是________．[解析] 由题意知：“13＜x ＜12”是“不等式|x －m|＜1”成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12是{x||x －m|＜1}的真子集． 而{x||x －m|＜1}＝{x|－1＋m ＜x ＜1＋m}，所以有⎩⎨⎧－1＋m≤13，1＋m≥12，解得－12≤m≤43.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. [答案] ⎣⎡⎦⎤－12，43[课堂小结]【方法与技巧】1．当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性．(2)等价法：p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件．(3)利用集合间的包含关系判断：建立命题p ，q 相应的集合：A ＝{x|p(x)成立}，q ：B ＝{x|q(x)成立}，转化为判定A 与B 间的关系．【失误与防范】(1)判断命题的真假及写命题的四种形式时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q”的形式．(2)判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q”等语言．课时活页作业(二)[基础训练组]1．(2015·高考山东卷)若m ∈R ，命题若“m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由逆否命题定义可得答案为D. [答案] D2．(2016·温州调研)已知a ，b ∈R ，则“a ＝b”是“a ＋b 2＝ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 已知a ，b ∈R ，若a ＝b ＝－1，则a ＋b 2＝－1，ab ＝1，∴a ＋b2≠ab ；反过来，若a ＋b 2＝ab ，则⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝ab ，(a ＋b)2＝4ab ，∴(a －b)2＝0，∴a ＝b ，因此，“a ＝b”是“a ＋b 2＝ab ”的必要不充分条件．故选B.[答案] B3．(2014·新课标高考全国卷Ⅱ)函数f(x)在x ＝x 0处导数存在．若p ：f′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f(x)的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件[解析] 函数在x ＝x 0处有导数且导数为0，x ＝x 0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] C4．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a≥4 B ．a≤4 C ．a≥5D ．a≤5[解析] 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.[答案] C5．(2016·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a≠1且a≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a≠1或a≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a≠1或a≠－1，则直线l 1与l 2平行[解析] 命题“若A ，则B”的否命题为“若¬A ，则¬B”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．[答案] A6．若“x 2＞1”是“x ＜a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．[解析] 由x 2＞1，得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a”的必要不充分条件，知由“x ＜a”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1.[答案] －17．若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________． [解析] x ∉[2,5]且x ∉{x|x ＜1或x ＞4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞51≤x≤4，得1≤x ＜2. [答案] [1,2)8．(2016·保定模拟)设命题p ：2x －1x －1＜0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[解析]2x －1x －1＜0⇒(2x －1)(x －1)＜0⇒12＜x ＜1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a≤x≤a ＋1. 由题意，得⎝⎛⎭⎫12，1，a ＋1]．。

第4讲 三角函数的图象与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是 ( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B ． 答案 B2．(2014·新课标全国Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A ．答案 A3．(2014·云南统一检测)已知函数f (x )＝cos 23x －12，则f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( )A ．2π3B ．π3C ．π6D ．π12解析 因为f (x )＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π6，故选C ． 答案 C4．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0B ．π6C ．π4D ．π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B5．(2015·金华十校模拟)关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是 ( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π解析 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心，故选C ． 答案 C二、填空题6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________.解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )7．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________.解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z )8．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________.解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则有y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1， 可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1三、解答题9．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解 由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－2x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数， 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2 x －4cos 2x ＝6cos 4 x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)2cos 2x －1＝3cos 2x －1. 所以f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y ＜12，或12＜y ≤2.10．(2014·北京西城区模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝cos x sin x －cos 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1，∴f (x )的最大值和最小值分别为1，1－22.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A ．23 B ．32 C ．2D ．3解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32. 答案 B12．(2014·成都诊断)若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则 sin(a －φ)＝±1，所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，故选D ． 答案 D13．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0； ⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________.解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤14．(2015·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

第2讲平面的基本性质与推论基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c() A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．答案 D2．(2014·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF 的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案 A4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面或平行，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．答案 B5．(2014·沈阳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是() A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点解析如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.答案 C二、填空题6．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．答案1或47．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×4＝24(对)．2答案248.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．答案③④三、解答题9.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC綉12AD，BE綉12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解由BE綉12AF，G为F A中点知，BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10．如图，空间四边形ABCD中，AB≠AC，AE是△ABC的BC边上的高，DF是△BCD的BC边上的中线，求证：AE与DF是异面直线．证明法一(定理法)由题设条件知点E，F不重合，设△BCD所在平面为α.∴DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF.∴AE和DF是异面直线．法二(反证法)若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面．设过AE，DF的平面为β.(1)若E，F重合，则E是BC中点，这与题设AB≠AC相矛盾；(2)若E，F不重合，∵B∈EF，C∈EF，EF⊂β，∴BC⊂β.又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四点共面．这与题设四边形ABCD是空间四边形相矛盾．综上，AE和DF不是异面直线不成立．故AE和DF是异面直线．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是() A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析由图易知，平面BB1D1D和平面AMC1均与AB，B1C1相交，故③是假命题．故选C.答案 C12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH 与MN成60°角，DE⊥MN.答案 B13．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．答案②④14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA. ∴CE，D1F，DA三线共点.。

第4讲 数列求和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为 ( )A ．120B ．70C ．75D ．100解析 因为S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75. 答案 C2．已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B ． 答案 B3．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为 ( )A ．31B ．120C ．130D ．185解析 a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130. 答案 C4．(2015·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( )A ．22 016－1B ．3·21 008－3C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2(1－21 008)1－2＝3·21 008－3.故选B ． 答案 B5．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为 ( )A ．n n ＋1B ．4nn ＋1 C ．3n n ＋1D ．5n n ＋1解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4n n ＋1.答案 B 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________. 解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案 607．(2015·武汉测试)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503× (－2)＋1＝－1 005. 答案 －1 0058．(2014·武汉模拟)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1， 又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1.∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 答案 13(4n－1) 三、解答题9．(2014·济南模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2S 2＋4，a 5＝36. (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝S n －1(n ∈N *)，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n，求T n .解 (1)因为S 3＝2S 2＋4，所以a 1－d ＝－4， 又因为a 5＝36，所以a 1＋4d ＝36. 解得d ＝8，a 1＝4，所以a n ＝4＋8(n －1)＝8n －4， S n ＝n (4＋8n －4)2＝4n 2.(2)b n ＝4n 2－1＝(2n －1)(2n ＋1)，所以1b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 10．(2015·石家庄模拟)已知{a n } 是各项均为正数的等比数列，且a 1·a 2＝2，a 3·a 4＝32.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ＝n 2(n ∈N *)，求数列{a n ·b n }的前n 项和．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎨⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32，又∵a 1＞0，q ＞0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)由S n ＝n 2得S n －1＝(n －1)2(n ≥2)， ∴当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1符合上式，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)，∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1. T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，2T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减得－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3， ∴T n ＝(2n －3)2n ＋3.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2015·西安模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝ ( )A ．212B ．6C ．10D ．11解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，故选B ．答案 B12．(2015·长沙模拟)已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝ ( )A ．－100B ．0C ．100D ．10 200解析 若n 为偶数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，为首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，为首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100. 答案 A13．设f (x )＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________.解析 当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝4x 14x 1＋2＋4x 24x 2＋2＝2×4x 1＋x 2＋2×(4x 1＋4x 2)4x 1＋x 2＋(4x 1＋4x 2)×2＋4＝1.设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝10，即S ＝5.答案 514．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列， ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎨⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时，S n ＝n (5＋8－3n )2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.。