第四章 圆与方程 章末检测(人教A版必修2) (1)

第四章 圆与方程 章末检测一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b ) 答案 D解析 由题意配方得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )． 2．点P (m,3)与圆(x －2)2＋(y －1)2＝2的位置关系为( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值有关答案 A解析 圆心坐标O (2,1)，|OP |＝(m －2)2＋(3－1)2＝(m －2)2＋4≥4＝2.圆的半径为2，由于|OP |＞2，所以点P 在圆外．3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－2答案 C解析 由距离公式得(x ＋3)2＋(－5)2＋62＝86，解得x ＝2或－8.4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－3] B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 利用直线和圆的位置关系求解． 由题意知，圆心为(a,0)，半径r ＝ 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， 即|a －0＋1|2≤2，∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1，故选C.5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝0答案 B解析 此题实际上是求过圆心(0，－2)且与直线3x ＋4y ＋2＝0垂直的直线方程，即y ＋2＝43x ， 整理，得4x －3y －6＝0.6．圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0 答案 D解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33， 则过(1，3)的切线方程为x －3y ＋2＝0.7．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 利用圆心到直线的距离与半径的大小比较求解． ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离 d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1，又∵r ＝2，∴0<d <r .∴直线与圆相交但直线不过圆心．8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.254答案 D解析 因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254.9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 由题意知：直线2x －y ＋λ＝0平移后方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，得λ＝－3或7.10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能答案 A解析 将点P 的坐标代入圆的方程，判断确定． 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P (3,0)在圆内．∴过点P 的直线l 定与圆C 相交．11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 C解析 圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125答案 A解析 ∵点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝43. ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0. 故两平行直线的距离为d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4.二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 答案 2x ＋3y ＋8＝0解析 ∵所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0，∴设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， 由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c ＝8，或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________. 答案 3解析 过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |2＝3，由切割线定理，|P A |·|PB |＝|PC |2＝3.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________． 答案 ±5解析 已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a 2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c＝±5，故ac ＝±5.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 可转化为圆C 的圆心到直线y ＝kx －2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.三、解答题17．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程． 解如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0. ∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.18．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.① 所以y 1y 2＝12＋m 5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2) ＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得 Δ＝202－4×5×15＝100>0， 可知m ＝3满足题意， 即3为所求m 的值．19．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )． (1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． (1)证明 配方得：(x －3m )2＋(y －m+1)2＝25， 设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝m －1，消去m 得 x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0， 则圆心到直线l 1的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交； 当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离． (3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0， 由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10，弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ， 且有|PQ |＝|P A |. (1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．解 (1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0. (2)方法一 由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|P A |min ，|P A |min 为A 到直线l 的距离， 所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.方法二 由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255. (3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.。