世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十八) 8.6

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课时提升作业(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·重庆模拟)计算sin20°cos70°-cos160°sin70°= ( )A.0B.-sin50°C.1D.-1【解析】选C.原式=sin20°cos70°-cos(180°-20°)sin70°=sin20°cos70°+cos20°sin70°=sin(20°+70°)=sin90°=1.【加固训练】(2015·成都模拟)cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°的值为.【解析】cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°=cos 38°cos 8°+sin 38°sin 8°=cos 30°答案:22.计算1-2cos2= ( )A. B.- C. D.-【解析】选D.原式=-=-cos=-.3.(2015·张家口模拟)计算:tan 15°+1=( )tan 15B.2C.4【解析】选C.tan 15°+1tan 15︒22sin 15cos 15cos 15sin 15sin 15cos 152 4.sin 15cos 15sin 30︒︒=+︒︒︒+︒===︒︒︒4.(2015·成都模拟)已知锐角α满足cos 2α=cos(4π-α),则sin 2α等于()【解析】选A.由cos 2α=cos(4π-α), 得(cos α-sin α)(cos α+sin α)=2(cos α+sin α), 由α为锐角知cos α+sin α≠0. 所以cos α-sin α=22,平方得1-sin 2α=12.所以sin 2α=12.【一题多解】本题还可如下解答:因为α是锐角,所以0<2α<π,-4π<4π-α<4π. 又因为cos 2α=cos(4π-α), 所以2α=4π-α,即α=12π. 故sin 2α=sin 162π=.5.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+2π)的值为( ) A.725B.-725C.-1D.1【解题提示】根据题意求得sin θ和cos θ的值,进而利用诱导公式和二倍角公式求得答案.【解析】选B.依题意知sin θ=-45,cos θ=35, 所以sin(2θ+2π)=cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=9167252525-=-,故选B. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2015·南宁模拟)已知α为钝角,且cos =-,则sin2α= .【解析】因为cos =-sin α=-,所以sin α=,又因为α为钝角,所以cos α=-=-, 所以sin2α=2sin αcos α=2××=-.答案:-7.(2015·兰州模拟)计算:= . 【解题提示】拆角,50°=30°+20°,利用两角和的正弦公式展开合并计算. 【解析】原式= ===1.答案:1【加固训练】(2014·武汉模拟)计算:= .【解析】原式= ===sin30°=.答案:8.(2015·汉中模拟)设θ为第二象限角,若tan θ+=,则sin θ+cos θ= .【解题提示】先由tan=,求tanθ的值,再利用同角的三角函数关系式及θ的范围分别求sinθ,cosθ的值.【解析】因为tan=,所以tanθ=tan===-,即sinθ=-cosθ,又因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ+cos2θ=1,cos2θ=,因为θ为第二象限角,所以cosθ=,sinθ=-cosθ=,sinθ+cosθ=-+=-.答案:-【加固训练】已知tan=2,则sin2α+tan2α= .【解析】因为tan=2,所以tanα=tan===.所以sin2α====,tan2α===,故sin2α+tan2α=+=.答案:三、解答题9.(10分)若sin=,cos=,且0<α<<β<π,求cos(α+β)的值.【解析】因为0<α<<β<π,所以π<π+α<π,-<-β<0.又sin=,cos=,所以cos=-,sin=-,所以cos(α+β)=sin=sin=sin cos-cos sin-β=-.【方法技巧】1.给值求值问题的关键解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.2.拼角、凑角的技巧用已知角表示未知角:2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β); α=(α+β)-β=(α-β)+β; α=+,β=-;=-等.【加固训练】已知cosx+cosy=,sinx+siny=. (1)求cos(x-y)的值. (2)求cos(2x-2y)的值.【解题提示】(1)把已知两式平方相加求cos(x-y)的值. (2)用二倍角的余弦公式求解.【解析】(1)因为cosx+cosy=,sinx+siny=, 所以(cosx+cosy)2+(sinx+siny)2=+, 即2+2cosxcosy+2sinxsiny=, 所以2cos(x-y)=-, 即cos(x-y)=-.(2)由(1)得cos(2x-2y)=2cos 2(x-y)-1 =2×-1=.(20分钟 40分)1.(5分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α=23,则cos 2(α+4π)=( )【解题提示】利用“降幂公式”将cos 2(α+4π)化简,建立与sin 2α的关系,可得结果.【解析】选A.因为2.(5分)(2015·宝鸡模拟)已知cos(4π+θ)cos(4π-θ)= 14,则sin 4θ+cos 4θ的值等于( )【解题提示】先化简已知条件,再把要求的式子变形,代入求值. 【解析】选C.因为cos(4π+θ)cos(4π-θ)θsin θ2cos θ2sin θ) =12(cos 2θ-sin 2θ)= 12cos 2θ=14. 所以cos 2θ=12, sin 4θ+cos 4θ=221cos 21cos 2195()().2216168-θ+θ+=+= 3.(5分)(2015·兰州模拟)设α为锐角,若cos(α+6π)=45,则sin(2α+12π)的值为 .【解题提示】解答本题的关键是角的变化,即把角2α+12π转化为(2α+3π)-4π. 【解析】因为cos(α+6π)=45,所以α+6π∈(0,2π),所以sin(α+6π)=35,所以sin (2α+3π)=2sin(α+6π)cos(α+6π)=2×35×45=2425,cos(2α+3π)=2cos 2(α+6π)-1=725, 所以sin(2α+12π)=sin[(2α+3π)-4π]=sin(2α+3π)cos 4π-cos(2α+3π)sin 4π=50.答案:504.(12分)(2014·江西高考改编)已知函数f(x)=-(-1+2cos 2x)sin 2x,若2f ()45α=-,α∈(2π,π),求sin(α+3π)的值.【解析】f(x)=-(-1+2cos 2x)sin 2x=-cos 2xsin 2x=-12sin 4x,因为2f ()45α=-, 所以f ()4α=-12sin α=-25,故sin α=45,又α∈(2π,π),所以cos α=-35,sin(α+3π)=45×12+(-35. 5.(13分)(能力挑战题)已知sin α-cos α=,α∈[0,π]. (1)求sin2α的值. (2)求cos2α的值.【解析】(1)因为sin α-cos α=,所以(sin α-cos α)2=,1-2sin αcos α=, 2sin αcos α=,即sin2α=. (2)因为α∈[0,π],由(1)知,sin2α=2sin αcos α=>0, 所以α∈,又因为sin α-cos α=>0, 所以α∈,故2α∈,所以cos2α=-=-.关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十七)三角函数的图象与性质(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-4sin x+1,x ∈[-π,π]的单调性是( ) A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数B.在,22ππ-[]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数D.在[2π,π]和[-π,-2π]上是增函数,在[-2π,2π]上是减函数【解析】选D.由正弦函数的图象知,函数y=4sin x,x ∈[-π,π]时,在[-2π,2π]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是减函数.所以函数y=-4sin x+1在[-2π,2π]上是减函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是增函数,故选D. 2.(2015·济南模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.y=sin =-cos2x 为偶函数,且周期是π,所以选A.3.(2015·郑州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=6π对称,则|φ|的最小值为( )A. 6πB.4π C.3π D.2π【解析】选A.由题意,得sin(2×6π+φ)=±1. 所以3π+φ=2π+k π,即φ=6π+k π(k ∈Z), 故|φ|min =6π.4.已知函数f(x)=cos x 在区间[a,b]上是减函数,且f(a)+f(b)=0,则a+b 的值可能是( )A.0B.πC.2πD.3π 【解题提示】结合余弦函数f(x)=cos x 的图象解答. 【解析】选B.因为f(a)+f(b)=0,所以f(a)=-f(b).由余弦函数f(x)=cos x 的图象知 区间[a,b]的中点是2π+2k π,(k ∈Z), 所以a+b=2(2π+2k π)=π+4k π(k ∈Z), 故a+b 的可能值是π.5.(2015·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=2π时,f(x)取得最大值,则( )A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可. 【解析】选A.因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=13, 因为当x=2π时,f(x)有最大值,所以13×2π+φ=2π+2k π(k ∈Z),φ=3π+2k π(k ∈Z),因为-π<φ≤π,所以φ=3π.所以f(x)=2sin(x3+3π),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数的定义域是 . 【解析】由tan x-1≥0,得tan ≥1.所以k π+4π≤x<k π+2π (k ∈Z).答案:[k π+4π,k π+2π)(k ∈Z)7.cos 23°,sin 68°,cos 97°从小到大的顺序是 . 【解析】sin 68°=sin(90°-22°)=cos 22°. 因为余弦函数y=cos x 在[0,π]上是单调递减的. 且22°<23°<97°,所以cos 97°<cos 23°<cos 22°. 答案:cos 97°<cos 23°<sin 68°8.(2015·天津模拟)函数f(x)=-sin(2x-4π),x ∈[0, 2π]的最大值是 .【解题提示】先由x 的取值范围确定2x-4π的范围,再根据正弦曲线求解.【解析】因为x ∈[0, 2π], 所以-4π≤2x-4π≤34π. 根据正弦曲线,得当2x-4π=-4π时.sin(2x-4π)取得最小值为-2.故f(x)=-sin(2x-4π)的最大值为2.答案:2【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1. 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.若x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,求函数的最大、最小值. 【解题提示】先求x 的取值范围,然后换元求解. 【解析】由x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,得 x ∈[2π,π].=令t=sin x,则t ∈[0,1],=所以y max =min =2. 10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+4π)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,2π]上的单调性. 【解析】(1)因为f(x)=2sin(2ωx+4π)的最小正周期为π,且ω>0.从而有22πω=π,故ω=1.(2)因为f(x)=2sin(2x+4π).若0≤x ≤2π,则4π≤2x+4π≤54π.当4π≤2x+4π≤2π,即0≤x ≤8π时, f(x)单调递增;当2π<2x+4π≤54π,即8π<x ≤2π时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在区间[0, 8π]上单调递增,在区间(8π,2π]上单调递减.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·哈师大附中模拟)若函数f(x)=Asin 2ωx(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,则函数f(x+1)为( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选A.因为f(x)=Asin 2ωx 在x=1处取得最大值,故f(1)=A,即 sin 2ω=1,所以2ω=2π+2k π,k ∈Z.因此,f(x+1)=Asin(2ωx+2ω) =Asin(2ωx+2π+2k π)=Acos 2ωx,故f(x+1)是偶函数.2.(5分)(2015·邯郸模拟)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[,]34ππ-上的最小值是-2,则ω的最小值为( )A.23B.32C.2D.3 【解题提示】结合正弦函数的图象解答.【解析】选B.因为ω>0,所以-3πω≤ωx ≤4πω,由题意,结合正弦曲线易知,- 3πω≤-2π,即ω≥32.故ω的最小值是32.3.(5分)(2015·浦东模拟)若Sn=sin 7π +sin 27π+…+sin n 7π(n ∈N *),则在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ) A.16 B.72 C.86 D.100【解析】选C.因为函数f(x)=sinx7π的最小正周期为 T=14,又sin 7π>0,sin 27π>0,…,sin 67π>0,sin 77π=0,sin 87π<0,…,sin 137π<0,sin 147π=0,所以在S 1,S 2,S 3,…,S 13,S 14中,只有S 13=S 14=0,其余均大于0.由周期性可知,在S 1,S 2,…,S 100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.【加固训练】若f(x)=sin(x+4π),x ∈[0,2π],关于x 的方程f(x)=m 有两个不相等实数根x 1,x 2,则x 1+x 2等于( )A. 2π或52πB.2π C. 52πD.不确定【解析】选A.对称轴x=4π+k π∈[0,2π], 得对称轴x=4π或x=54π, 所以x 1+x 2=2×4π=2π或x 1+x 2=2×54π=52π, 故选A.4.(12分)已知函数f(x)=2asin(2x-3π)+b 的定义域为[0, 2π],函数的最大值为1,最小值为-5,求a 和b 的值.【解题提示】先求出2x-3π的范围,再分a>0,a<0两类情况讨论,列出a,b 的方程组,可求解. 【解析】易知a ≠0.因为0≤x ≤2π,所以-3π≤2x-3π≤23π. 所以-2≤sin(2x-3π)≤1. 若a>0,则2a b 1,b 5,+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得a 12b 23⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩若a<0,则2a b 5,b 1,+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a 12b 19⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩综上可知或. 5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(34π,0)对称. (1)求φ,ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间. (3)x ∈3[,]42ππ-,求f(x)的最大值与最小值. 【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R 上的偶函数, 所以φ=2π +k π,k ∈Z,且0≤φ≤π,则φ=2π, 即f(x)=cos ωx.因为图象关于点M(34π,0)对称, 所以ω×34π=2π+k π,k ∈Z,且0<ω<1,所以ω=23.(2)由(1)得f(x)=cos 23x,由-π+2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得,3k π-32π≤x ≤ 3k π,k ∈Z,所以函数的递增区间是[3k π-32π,3k π],k ∈Z.(3)因为x ∈[-34π,2π],所以23x ∈[-2π,3π], 当23x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,当23x=-2π时,即x=-34π,函数f(x)的最小值为0. 【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ.(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【解析】(1)令2×8π+φ=k π+2π,k ∈Z,所以φ=k π+4π,又-π<φ<0,则-54<k<-14,所以k=-1,则φ=-34π.(2)由(1)得:f(x)=sin(2x-34π),令-2π+2k π≤2x-34π≤2π+2k π,k ∈Z,可解得8π+k π≤x ≤58π+k π,k ∈Z,因此y=f(x)的单调增区间为[8π+k π, 58π+k π],k ∈Z.关闭Word 文档返回原板块。

课时提升作业(五十四)抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·济南模拟)从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为( )A.5B.10C.20D.【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,±4),所以S△PMF=|y P||PM|=×4×5=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】1.(2015·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C. 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )A.2±B.2+C.±1D.-1【解析】选A.F,设P,Q(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=+=2,解得p=2±.3.(2015·淮北模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则抛物线y2=-x的焦点坐标为( )A. B.C. D.【解析】选 C.由两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b可得解得抛物线的方程为y2=-x,故焦点坐标为.4.(2015·吉安模拟)如图,抛物线C1:y2=2px和圆C2:+y2=,其中p>0,直线l 经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则·的值为( )A.p2B.C.D.【解析】选B.设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x1+-=x1,同理|CD|=x2,又·=|AB||CD|,所以·=x1·x2=.5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y 1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得:k AB====1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.(2)在椭圆+=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-.(3)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.【加固训练】(2015·孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B 两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(x A,y A),B(x B,y B),C是AB的中点,其坐标为(x C,y C),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=x A+1+x B+1=x A+x B+2=2x C+2=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是.【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,因为由题意知a>0,所以a≥1.答案:[1,+∞)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令A(,a),B(-,a),则=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因为⊥,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).答案:[1,+∞)8.如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于.【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,抛物线的焦点F(2,0),MP所在的直线方程为y=4,从而可求P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4),确定直线MN的方程,可求答案.【解析】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,F(2,0),M(x0,4),所以MP所在的直线方程为y=4.在抛物线方程y2=8x中,令y=4可得x=2,即P(2,4),从而可得Q(2,-4),N(6,-4).因为经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,所以直线MN的方程为x=6.所以x0=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·西安模拟)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以直线AM的斜率为k AM=x1,所以直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y 1,所以直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①.同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②.②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=,即A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).所以k MF==-,则直线MF的方程为y=-x+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),由消去y,得x2+x-4=0,显然Δ=+16>0,所以x3+x4=-,x3x4=-4.又|AB|====4(k2+1),|CD|====4.因为k MF·k AB=-1,所以AB⊥CD,所以S四边形ACBD=|AB|·|CD|=8(k2+1)=8≥32,当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.10.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程.(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得p值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x2=4y.(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;(ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,联立方程可得整理可得x2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点,所以Δ=16k2-32k+16=0,所以k=1.综上可得,直线l的方程为x-y-1=0或x=2.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k′(x-1),代入抛物线的标准方程x2=4y可得x2-4k′x+4k′-4=0,所以x1+x2=4k′=2,所以k′=,所以AB的方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·赤峰模拟)已知点A(0,2),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA 与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶,则a的值等于( )A. B. C.1 D.4【解析】选D.依题意F点的坐标为,设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,所以|KM|∶|MN|=1∶,则|KN|∶|KM|=2∶1,所以|OA|∶|OF|=2∶1,所以=2,求得a=4,故选D.2.(5分)(2015·武汉模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )A. B.2 C.+1 D.-1【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标,代入双曲线,把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以a4,得到关于离心率e的方程,进而可求得e.【解析】选C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点F,所以两条曲线的一个交点为,代入双曲线方程得-=1,又=c,所以-4×=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,所以e2=3+2=(1+)2,所以e=+1,故选C.【加固训练】(2014·成都模拟)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a>0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.3【解析】选B.如图所示,F(1,0).因为△FAB为直角三角形,所以|AM|=|FM|=2,所以A(-1,2),代入-y2=1,得a2=,所以c2=a2+1=+1=,所以e2==6,所以e=.3.(5分)过点P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线,分别与抛物线x2=4y交于A,B两点,若直线AB与圆C:x2+(y-1)2=1交于不同两点M,N,则|MN|的最大值是. 【解析】设直线PA的斜率为k,A(x A,y A),则直线PA的方程为y-1=k(x+2),由得x2-4kx-8k-4=0,所以x A-2=4k,则x A=4k+2,所以点A(4k+2,(2k+1)2),同理可得B(-4k+2,(-2k+1)2),所以直线AB为斜率k AB==1,设直线AB的方程为y=x+b,由得2x2+2(b-1)x+b2-2b=0,由于AB与圆C交于不同的两点,所以Δ>0,即1-<b<+1.则|MN|=·=·=·≤2,故|MN|的最大值是2.答案:24.(12分)已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程.(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等.所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y.(2)设E(a,-2),切点为,由x2=4y得y=,所以y′=,所以=,解得:x0=a±,所以A,B,化简直线AB方程得:y-2=x,所以直线AB恒过定点(0,2).【加固训练】已知抛物线C:x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x 与抛物线C相交于不同的两点O,N,且|ON|=4.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交x轴于点M,且=a,=b,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.【解析】(1)联立方程得x2-2px=0,故O(0,0),N(2p,2p),所以|ON|==2p,由2p=4,得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为M,设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0,所以x1+x2=4k,x1·x2=-4.由=a,得=a(-x1,1-y1),所以a==-,同理可得b=-.所以a+b=-=-=-1,所以对任意的直线l,a+b为定值-1.5.(13分)(能力挑战题)已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1,0),过F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线m:x=-2相交于M,N两点.(1)求抛物线C的方程.(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.【解析】(1)由焦点坐标为(1,0),可知=1,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)当直线垂直于x轴时,△ABO与△MNO相似,所以==,当直线与x轴不垂直时,设直线AB方程为y=k(x-1),设M(-2,y M),N(-2,y N),A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1·x2=1,所以==·综上=.。

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课时提升作业(四十三)直线的倾斜角与斜率、直线的方程(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线l 经过点P(-2,5),且斜率为-34,则直线l 的方程为( ) A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0【解析】选A.直线l 的方程为y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.2.(2015·枣庄模拟)将直线l 沿y 轴的负方向平移a(a>0)个单位,再沿x 轴正方向平移a+1个单位得直线l ′,此时直线l ′与l 重合,则直线l ′的斜率为( )A.a a 1+B.-a a 1+C.a 1a+D.-a 1a+ 【解析】选B.结合图形,若直线l 先沿y 轴的负方向平移,再沿x 轴正方向平移后,所得直线与l 重合,这说明直线l 和l ′的斜率均为负,倾斜角是钝角.设l ′的倾斜角为θ,则tan θ=-aa 1+. 3.(2015·成都模拟)若直线(a+1)x+2y=0与直线x-ay=1互相垂直,则实数a 的值等于( )A.-1B.0C.1D.2 【解析】选C.由(-a 12+)×1a=-1,得a+1=2a,故a=1.4.(2015·嘉兴模拟)如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选C.直线Ax+By+C=0的斜率k=-A B <0,在y 轴上的截距为-CB>0,所以,直线不通过第三象限.5.(2015·石家庄模拟)已知b>0,直线x-b 2y-1=0与直线(b 2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab 的最小值等于( ) A.1 B.2【解题提示】先由两直线垂直可得到关于a,b 的一个等式,再将ab 用一个字母来表示,进而求出最值.【解析】选B.因为直线x-b 2y-1=0与直线(b 2+1)x+ay+2=0互相垂直,所以(b 2+1)-b 2a=0,即a=22b 1,b+所以ab=(22b 1b +)b=2b 1b+=b+1b ≥2(当且仅当b=1时取等号),即ab 的最小值等于2.6.经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A.8x+5y+20=0或2x-5y-12=0 B.8x-5y-20=0或2x-5y+10=0 C.8x+5y+10=0或2x+5y-10=0 D.8x-5y+20=0或2x-5y-10=0【解析】选D.由题意设所求方程为y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0.由12·|5k-4|·|4k -5|=5得,k=85或k=25.故选D.7.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( )54A.(,][,)2345B.(,)3245C.(,][,)3254D.[,]23-∞-⋃+∞--∞-⋃+∞-【解析】选B.直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a, 因为k MA =()325,202--=---k MB =()224,303--=- 由图可知:-a>-52且-a<43, 所以a ∈(-43,52).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·郑州模拟)已知直线l 1的倾斜角α1=15°,直线l 1与l 2的交点为A,把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°,则直线l 2的斜率k 2的值为 .【解析】设直线l 2的倾斜角为α2,则由题意知:180°-α2+15°=60°,α2=135°,所以k2=tanα2=tan 135°=-1.答案:-19.(2015·哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为.【解析】设所求直线l的方程为x ya b+=1,由已知可得221,a b1a b1, 2⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a1,a2, b2b1.=-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0【误区警示】解答本题时易误以为直线在两坐标轴上的截距均为正而致误,根本原因是误将截距当成距离而造成的.10.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α不是钝角,则实数a的取值范围是.【解题提示】可先求出倾斜角α为钝角时,实数a的范围,其补集应为不是钝角时的范围.【解析】由题知过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的斜率k=1a 2a 1a a 1,1a 3a 2a 2+---==----+若直线的倾斜角α为钝角, 则k=a 1a 2-+<0,解得-2<a<1. 所以满足直线的倾斜角α不是钝角的a 的取值范围是a ≤-2或a ≥1. 答案:a ≤-2或a ≥1(20分钟 40分)1.(5分)直线x+a 2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a 的值为( ) A.3或-1 B.0或3 C.0或-1 D.-1或0或3【解析】选C.两直线无公共点,即两直线平行. 当a=0时,这两条直线分别为x+6=0和x=0,无公共点; 当a ≠0时,由21a 2,a 3a--=- 解得a=-1或a=3. 若a=3,这两条直线分别为x+9y+6=0,x+9y+6=0,两直线重合,有无数个公共点,不符合题意,舍去;若a=-1,这两条直线分别为x+y+6=0和3x+3y+2=0,两直线平行,无公共点. 综上,a=0或a=-1.【误区警示】本题易忽视对a=3时的验证.事实上,当两直线平行且斜率存在时,斜率相等;而当两直线的斜率相等时,两直线不一定平行,要注意两直线重合的情况.2.(5分)若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab 的最小值为 .【解析】根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xy a b+=1.又C(-2,-2)在该直线上,故221,a b--+= 所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0,根据基本不等式ab=-2(a+b)≥.又ab>0,4, 故ab ≥16,即ab 的最小值为16. 答案:16【一题多解】斜率法:因为A,B,C 三点共线,所以k AB = k AC , 即b 020111,,0a 2a a b 2---=+=----所以以下同题目解析.距离法:由题意得a<0,b<0,且|AC|+|CB|=|AB|,= 解得2a+2b+ab=0,以下同题目解析. 【方法技巧】研究三点共线的常用方法(1)方程法:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程. (2)斜率法:过其中一点与另外两点连线的斜率相等.(3)向量法:以其中一点为公共点,与另外两点连成的有向线段所表示的向量共线.(4)距离法:设B 点在A,C 点之间,如果|AB|+|BC|=|AC|,则A,B,C 三点共线. 3.(5分)设集合A={(x,y) |y 3x 1--=2},B={(x,y)|4x+ay-16=0},若A ∩B=∅,则a 的值为 .【解析】显然集合A 表示直线2x-y+1=0(除去点(1,3)),集合B 表示直线4x+ay-16=0,因为A ∩B =∅,所以两直线平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),因此a=-2或a=4. 答案:-2或4【误区警示】本题易出现漏解的错误,错误原因是对集合A 认识不正确,误认为是一条直线.4.(12分)已知两点A(-1,2),B(m,3). (1)求直线AB 的方程.(2)已知实数m ∈求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 【解析】(1)当m=-1时,直线AB 的方程为x=-1. 当m ≠-1时,直线AB 的方程为y-2=1m 1+(x+1). (2)①当m=-1时,α=2π;②当m ≠-1时,m+1∈∪(0,所以k=1m 1+∈(-≦,-3∪3≦), 所以α∈[,62ππ)∪(2,23ππ]. 综合①②知,直线AB 的倾斜角α的取值范围为[2,63ππ]. 5.(13分)(能力挑战题)已知直线l :kx-y+1+2k=0(k ∈R). (1)证明:直线l 过定点.(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围.(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A,交y 轴正半轴于点B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S,求S 的最小值及此时直线l 的方程.【解析】(1)方法一:直线l 的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k 取何值,直线l 总过定点(-2,1).方法二:设直线过定点(x 0,y 0),则kx 0-y 0+1+2k=0对任意k ∈R 恒成立,即(x 0+2)k-y 0+1=0恒成立,所以x 0+2=0,-y 0+1=0,解得x 0=-2,y 0=1,故直线l 总过定点(-2,1).(2)直线l 的方程可化为y=kx+2k+1, 则直线l 在y 轴上的截距为2k+1, 要使直线l 不经过第四象限,则k 0,12k 0,≥⎧⎨+≥⎩解得k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意,直线l 在x 轴上的截距为12k,k+-在y 轴上的截距为1+2k,且k>0, 所以A(12k,k +-0),B(0,1+2k), 故S=12|OA||OB|=12×12k k +(1+2k)=12(4k+1k +4)≥12(4+4)=4.当且仅当4k=1k ,即k=12时,取等号, 故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x-2y+4=0.【加固训练】已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴,y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.【解析】设直线l 的方程为x y ab+=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),△ABO 的面积S=12ab,因为直线l 过点P(3,2),所以321a b +=≥即ab ≥24. 当且仅当32,ab=即a=6,b=4时取等号.所以S=12ab ≥12,当且仅当a=6,b=4时有最小值12.此时直线l的方程为x y=1,即2x+3y-12=0.64关闭Word文档返回原板块。