分数拆分妙法

分数拆分（巧算）
一、分数拆分的初步
例1 填空：
解：
可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。

但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。

如：选用1和2，3和6，9和18；或选用2和3；6和9时，解就相同。

以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。

可以任意取其中三个约数，得到不同的解。

……答案不只一种。

能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。

例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

四、拆分方法在分数加法运算中的应用
例6 计算：
解：由公式（3）
例9计算：
解：由等差数列求和公式
由此，本题中的各个分数可以拆分为：
因此，本题解法如下：
例11 计算
解：根据公式（4）
解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。

例13 计算
解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列求和公式进行计算。

原式=1+2+3+……+1991
=（1+1991）×1991÷2=1983036
习题
1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1—3题）。

4.把下面各分数写成两个分数差的形式。

5.先观察，找出规律。

然后在（）内填上适当的整数
（要求分母都不同，且尽可能小）。

好学又好记：分数拆分法，一口诀搞定，既快且正确
大家好，这里是汪老师家教现场，今天为大家分享的是好学又好记：分数拆分法，一口诀搞定，既快且正确，喜欢的小伙伴就请点赞加关注。

只要看过五年级下册课本的朋友都知道，分数拆分是五年级数学难点之一，很多孩子看到就害怕，我想说的是分数拆分法，一口诀搞定，好学好记，既快又正确，下面用具体的例子来讲解一下我所总结的分数拆分的具体步骤，在文章的最后，我将用自编的口诀来解决类似不同的题目，下面请看题：
第一步：找出分母12的因数,（1,2,3,4,6,12）。

第二步：把因数进行分组，根据题目而定，有几个分数相加分成几组，本题是三个分数相加，分为三组，（1,2,3），（2,3,4）（3,4,6）等等，这里就不一一列举了。

第三步：这里我随便选一组（3,4,6），分子分母同时乘3+4+6得：
第四步：拆开分数。

第五步：约分，把该分数化成最简分数。

最后，我将以上步骤编成可以记忆的口诀：
一找因数二分组，
三扩四拆五约分。

下面我用自编口诀，来拆解下面一道题：
一找因数：18的因数有（1,2,3,6,9,18）
二分组：任选其一即可，这里选（1,2,3）
三扩：
四拆：
五约分：
你学会了没有？喜欢的小伙伴请点赞关注转发，数学有方法，关注汪老师家教现场，体验不一样的数学思维，让我们共同进步，加油！。

分数拆分的几个基本公式分数拆分是数学中一个很重要的概念，它指的是将一个分数拆成多个小分数的和的形式。

分数拆分在数学中有很多重要的应用，而分数拆分的公式也是非常重要的。

首先，我们来看一下分数拆分的基础公式：1. 分数拆分为两个基本分式的形式：若分式 f(x) 的分母可以拆分为两个一次式 ax + b 和 cx + d 的乘积，则 f(x) 可以拆分为两个基本分式，即f(x) = A/(ax+b) + B/(cx+d)其中 A 和 B 是待定系数，可通过高斯消元法求出。

2. 分数拆分为多个基本分式的形式：若分式 f(x) 的分母可以拆分为多个一次式的乘积，即f(x) = P(x)/[a1(x-b1)(x-c1)...(x-n1)+a2(x-b2)(x-c2) (x)n2)...+...+ak(x-bk)(x- ck)...(x-nk)]则 f(x) 可以拆分为多个基本分式的和，即f(x) = A1/(x-b1) + A2/(x-c1) + ... + An1/(x-n1) + B1/(x-b2) + B2/(x-c2) + ... + Bn2/(x-n2) + ... + K1/(x-bk) + K2/(x-ck) + ... + Knk/(x-nk)其中 A1、A2、...、An1、B1、B2、...、Bn2、...、K1、K2、...、Knk 是待定系数。

3. 分数拆分为一些特殊的基本分式的形式：一些特殊的基本分式包括线性分式 x/(ax+b)、二次分式x/(ax²+bx+c)、指数分式 x/(a^x-b^x) 等。

我们可以利用各种分式的分子和通分的方法，将一个分式拆分为这些特殊的基本分式的和。

4. 常见公式：分解因式：例如，x^2+2x+1=(x+1)^2，可以利用分解因式的方法将分母进行分解。

配方法：例如，1/(1-x)=1+[x/(1-x)]，可以将原式化为一个基本分式和一个线性分式的和的形式。

第一讲——分数拆分【知识要点】分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位（单位分数） 把一个分数分拆成几个分数单位之和或者差的形式叫做分数的拆分具体步骤如下：（以拆成2个位例子）1、 找分母的因数2、 扩分：把分数单位的分子、分母分别乘以分母的任意两个因数之和或差3、 拆分：把所得分数拆成两个分数之和或差，使两个因数恰好是两个分数的分子4、 约分：把所得两个分数约成最简分数【例题选讲】 一、yx n 111+=型 例题1、在等式1116x y =+中，求出所有整数解。

在这些解中，找出两个分数单位之差最小的，和两个分数单位中分母的和最大的分别四多少？例题2、已知两个不同的单位分数之和是201，则这两个单位分数之差（较大分数为被减数）的最小值是多少?例题3、已知等式B A 11181+=，其中A,B 是非0自然数，求A+B 的最大值。

二、111()()A =-型例题4、求出112的所有形如11a b -的表达式（其中a 、b 为自然数）。

三、11()()B A =+型 ；11()()B A =-型 例题5、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()1-1152= （2）()()112110+=四、111+()()B A =++……（）型 例题6、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()()1111211++= （2）()()()1112313++=（3）()()()()111194+++=五、应用例题7、四个连续的自然数的倒数之和等于1920，则这四个自然数两两乘积的和等于多少？例题8、已知：21111=+++育教人巨，其中不用的汉字代表不同的整数，问：巨×人×教×育=？例题9、在1到100这100个自然数中，找出10个不同的自然数，使得它们的倒数和为1.例题10、651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【练习巩固】1、 把21拆成两个不同的单位分数之和。

点击目标把单位“1”平均分成若干份，表示期中一份的数叫分数单位。

分数单位又叫埃及分数。

在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。

例：1133121122366663⨯===+=+⨯ 11441311334121212124⨯===+=+⨯ 11551411445202020205⨯===+=+⨯ 方法一：111(1)1n n n n =+⨯++ 或 111(1)1n n n n =-⨯++ 课堂练习：15= 17=例：在()()11114=+ 的括号里填上适当的自然数，使等式成立方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是⑴ 找分母的约数；⑵ 扩分 把分数单位1A的分子、分母分别乘A 的任意两个约数之和； ⑶ 拆分 把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子； ⑷ 约分 把所得两个分数约成最简分数。

练习：112= 121= 11997= 例：()()1116=+的括号里填入适当的自然数，使等数成立。

（填出全部结果）将17拆成3个单位分数之和。

把1拆分成5个单位分数之和。

将14拆成11A B-的形式。

将18拆成4个单位分数之和。

将110化为111a b c++的形式，其中,,a b c为自然数，且它们的最大公约数为1.总结：把一个分数1a拆成几个分数单位之差的方法如下：找分母的约数，扩分，拆分，约分。

练习：将下列各分数写成两个单位分数之差 16 19 17 11995课后练习1. 将下列个分数写成两个单位分数之和或差。

()()()111112=++ ()()11110=- ()()11190-= ()()11115=- ()()()()1111115=+++2.计算1111112612203042+++++。

分数的拆分与合并分数是数学中常见的数的表示形式之一，可以用于表示部分和整体之间的关系。

在数学运算中，我们常常需要对分数进行拆分与合并操作。

本文将介绍分数的拆分与合并方法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、分数的拆分1. 拆分真分数真分数是指分子小于分母的分数，这种分数可以被拆分成多个部分。

以1/2为例，可以拆分成1/4+1/4，或者1/3+1/6，还可以是1/6+1/6+1/6等。

拆分真分数的方法可以根据需要选择不同的形式，但要注意拆分后的部分仍需满足分母相同、分子之和等于原分数分子的条件。

2. 拆分假分数假分数是指分子大于等于分母的分数。

拆分假分数的方法类似于拆分真分数，只是需要先将假分数转化为带分数形式，再进行拆分。

例如，将5/2转化为2+1/2，然后可以拆分成2+1/4+1/4，或者2+1/3+1/6等。

同样地，拆分假分数的部分仍需满足分母相同、分子之和等于原分数分子的条件。

二、分数的合并1. 合并同分母的分数当两个或多个分数的分母相同时，我们可以将它们合并为一个分数，分子为各个分数分子的和，分母保持不变。

例如，合并1/4和3/4，它们的分母都是4，所以可以合并为4/4，即1。

2. 合并异分母的分数当两个或多个分数的分母不同，但可以通过通分使其分母相同时，我们可以先进行通分操作，然后再进行合并。

例如，合并1/3和1/6，我们可以先将1/3乘以2/2，得到2/6，然后再与1/6合并，得到3/6，即1/2。

三、分数拆分与合并的实际应用分数的拆分与合并在日常生活和实际问题中有广泛的应用。

例如，在烹饪过程中，需要按照食谱上的比例将食材拆分成合适的份量；在工程设计中，需要将整体任务拆分成多个子任务，并逐步合并完成；在金融投资中，需要将资金拆分成不同的投资组合，并根据市场情况合并调整。

总结：分数的拆分与合并是数学运算中常见的操作，通过拆分和合并可以更好地理解和处理分数的运算，解决实际问题。

拆分时需要满足分母相同、分子之和等于原分数分子的条件；合并时需要分母相同、分子之和等于合并后的分数的条件。

分数拆分法在很多数学问题中，我们需要将一个数拆分成若干个较小的数的和，这时候就可以使用分数拆分法。

分数拆分法的基本思路分数拆分法的基本思路是将一个数拆分成若干个较小的数的和，通常这些数都是分数或整数。

我们可以将一个分数拆分成若干个分数的和，或者将一个整数拆分成若干个整数的和，这样的拆分称为“分数拆分”或“整数拆分”。

比如，将数字4拆分成两个整数的和的方案有：1. 1 + 32. 2 + 23. 3 + 1我们可以用分数拆分法来解决很多问题。

比如，我们可以将一个正整数表示成若干个平方和的和，或表示成若干个数字的乘积。

分数拆分法的应用实例将一个正整数表示成若干个平方和的和基本思路将一个正整数表示成若干个平方和的和，通常采用递归的方法。

我们先从最简单的情形开始考虑。

如果一个正整数n是平方数，那么n本身就可以表示成一个平方数的和。

否则，我们可以将n拆分成两个较小的正整数m和k的平方和的和，即：n = m^2 + k^2这个式子是勾股定理的一个变形。

对于m和k，我们可以递归地重复上述过程，直到拆分成一些平方数的和。

例子比如，将数字5表示成平方和的和的方案可以是：5 = 1^2 + 2^2= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2这里的第一行中，我们将5拆分成1和2的平方和的和。

这里的第二行中，我们将5拆分成5个1的平方和的和。

更一般地，我们可以将任何一个正整数表示成若干个平方数的和。

比如，将数字7表示成平方和的和的方案可以是：7 = 1^2 + 2^2 + 2^2= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2将一个正整数表示成若干个数字的乘积基本思路将一个正整数表示成若干个数字的乘积，通常采用因式分解的方法。

我们可以先找出正整数n的最小质因子p，然后将n用p除，得到一个较小的正整数。

接着，我们递归地找出这个较小的正整数的因子，直到无法分解为止。

这样，我们就可以得到一个正整数的因子序列。

分数拆分法
分数拆分法是一种数学求解方法，通过将一个分数拆分为更简单的分数或整数的和来进行计算。

这种方法常用于求解分数的运算和简化。

对于一个分数，分数拆分法的思想是将其分解为分子和分母的和或差的形式，使得计算更加简便。

具体步骤如下：
1. 首先，观察分数的分子和分母是否存在可以公约的因子。

如果存在公约因子，可以先进行约分操作，将分子和分母分别除以最大公约数，使其变为最简分数。

2. 若分数的分子大于分母，可以先通过整除法将其拆分为整数部分和真分数。

整数部分即是分子与分母相除的商，而真分数部分即是余数与分母构成的分数。

3. 对于真分数，可以进一步拆分为分子和分母的和或差的形式。

常用的拆分方法有相差1的两个分数相加、分子可以被分母整除的两个分数相加、相差2的两个分数相加等。

通过反复应用上述拆分法，可以将复杂的分数拆分为简单的分数或整数的和，从而方便进行计算和简化。

需要注意的是，使用分数拆分法计算时，应注意保持等式两边的值相等，避免出现计算错误。

同时，应根据具体问题选择合适的拆分方法，以得到最简洁的结果。

分数拆分法是数学中常用的求解方法之一，通过灵活运用这种方法，可以简化复杂问题的求解过程，提高计算效率。

分数的拆分求和的技巧
1. 嘿，你知道吗？分数的拆分求和有个超棒的技巧就是先找最小公倍数呀！比如说咱算 1/3 和 1/4 的和，那 3 和 4 的最小公倍数是 12，把它们都变成分母 12 的分数，不就好算了嘛！哇塞，这多简单易懂呀！
2. 还有哦，有时候可以把一个分数拆分成两个分数的差呀！像 1/2 可以拆
分成 1/1 - 1/2 呀！这样计算有时候更容易呢，你说神奇不神奇？
3. 哎呀，别忘了可以把一个复杂的分数拆分成几个简单分数的组合呀！比如说 7/10 可以拆成 3/10 + 4/10 嘛，这能让求和变得超轻松的，不是吗？
4. 嘿，你试过把带分数变成假分数进行拆分求和吗？比如 2 又 1/3 变成
7/3，然后再去计算，哇，一下子就清楚多了呀！
5. 哇哦，要善于利用约分呀！比如计算 2/6 + 3/6，约分后就是 1/3 + 1/2，这样多简洁明了呀，你还不赶紧试试？
6. 你想呀，如果遇到分数相加但分母不一样，那就要赶紧找共同的“小伙伴”呀！就像给它们牵线搭桥一样，让求和顺利进行呀！
7. 哈哈，有时候可以把整数也拆分开呀！就像 3 可以变成 1+1+1，再和分数进行求和，这不是很有意思吗？
8. 哎哟喂，计算分数的拆分求和一定要细心哟！就像走钢丝一样，一个不小心就会出错呢！可不能马虎呀！
9. 总之呀，掌握了这些分数的拆分求和技巧，那计算起来可就游刃有余啦！能省好多力气呢！。

什么叫分数的拆分？把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分.例如：271541181+=; 301451181+=； 221991181+=; 312161-=； 4131121-=；等等。

下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。

当一个分数为)1(1n ＋n ⨯的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式(n 为自然数，且n 不为0) 即：111)1(1n ＋－n ＝n ＋n ⨯ 例如:5141541201-=⨯=；7161761421-=⨯=分数拆分的具体应用 例·计算：4213012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差.例如：9171972632-=⨯=；8131835245-=⨯=；7141743283-=⨯=用公式表示就是:当n 、n+d (n 不为0)都是自然数时，dn n d n n d +-=+⨯11)( 具体应用： 计算：20182181621614214122⨯+⨯+⨯+⨯12120120118118116116114114112120182181621614214122=+-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯dn n d n n d +-=+⨯11)( 这个公式同学们已经熟悉了.对这个公式可以进行变形：例如：)8131(5124551241-⨯=⨯= 因为8—3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6141(2124221241-⨯=⨯=，这得看计算时的需要了。

练习：计算21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 215212041)2111(41)211171171131131919151511(41)21174171341394954514(4121171171311391951511=⨯=-⨯=-+-+-+-+-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1/1＊5+1/5*9+1/9＊13+1/13*17+1/17＊21=1/4*（1-1/5）+1/4＊（1/5—1/9）+1/4*（1/9—1/13）+1/4*（1/13—1/17）+1/4* （1/17-1/21） =1/4＊（1—1/5+1/5—1/9+1/9—1/13+1/13—1/17+1/17—1/21）=1/4*20/21=5/211/18=1/？+1/?先求出分母18的所有约数：1、2、3、6、9、18要使两个分数单位的和等于1/18，我们可以分别取两个18的约数，用1/18的分子、分母乘这两个约数的和，再通过分拆的办法得到满足两个分数单位的和等于1/18这个条件的一组数.取1和21/18=（1+2)/18*（1+2）=1/18＊3+2/18＊3=1/54+1/27取1和31/18=（1+3）/18*（1+3)=1/18＊4+3/18*4=1/72+1/24取1和61/18=（1+6）/18*（1+6)=1/18＊7+6/18＊7=1/126+1/21等等注意:取1和2与取3和6；1和3，2和6,3和9与6和18结果一样,知道为什么吗？1/24=1/(）+1/（）=1/（）+1/（）=1/()+1/()24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24取1和21/24=（1+2)/24*（1+2）=1/24*3+2/24*3=1/72+1/36取1和31/24=（1+3)/24*4=1/96+1/32取1和41/24=（1+4）/24＊5=1/120+1/30分子是1的分数拆成两个分数单位之和的形式已经掌握了，如果分子不是1呢？现在就讨论一下这个问题。