我们看到,当n较大时,直接计算Pn(k) Cnk pkqnk 是颇为麻烦的。实际上,当n很大时,p很小时,
可利用下列泊松近似公式计算:
Pn (k)
Cnk
pk qnk
(np)k k!
enp
当n 20, p 0.1时,就可用上述公式近似运算,而
当n 100, p 0.01时,近似效果则非常好。
定理 : 在n重贝努里试验中事件A恰好发 生k次的概率为
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,, n
例:据报道,有10%的人对某药有 胃肠道反应。为考察某厂的产品质量, 现选5名患者服用此药, 试求下列事件的概率。
(1)有人有反应; (2)不超过2人有反应; (3)至少有3人有反应。
n
P(B) P( Ai )P(B|Ai )
i 1
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现,适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
运用乘法公式得
将此例中所用的方法推广到一般的情形,就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
全概率公式:
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 , 且 P(Ai)>0, i =1,2,…,n, 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, … ,An之一同时发生,则
n
P(B) P( Ai )P(B|Ai )
12 3
B发生总是伴随着A1,A2运,用A加3 之法公一式同得时发生,