学案模板8
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§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义
1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；
2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.
一、课前准备
复习：如右图，如果一个物体
在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功
W= ，
其中θ是F 与s 的夹角.
二、新课导学 ※ 探索新知
探究：平面向量数量积的含义
问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？ 1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积。
（或________）记作_________即a b ⋅ ＝___________________其中θ是a b 与的夹角。
__________叫做向量a b 在方向上的______。
我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？
2、平面向量数量积的性质：设a b 与均为非零向量： ①a b ⊥⇔ ___________ ②当a b 与同向时，a b ⋅ ＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅ ＝_______，
特别地，a ⋅ a =______或a = ___________。
③a b ⋅ ≤___________ _
④cos =θ_______ ____ ⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？
3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅ ＝___________；
②()
a b λ⋅ ＝___________； ③()
a+b c ⋅ ＝___________。
问题4：我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2
222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=-
对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2 ；
⑵()()=-⋅+ .
※ 典型例题 例1、已知6a = ，8b = ，且a 与b 的夹角 120=θ，求a b ⋅ .
变式1：若6a = ，8b = ，且//a b ，则a b ⋅ 是多少？
变式2：若6a = ，8b = ，且a b ⊥ ，则a b ⋅ 是多少？
变式3：若6a = ，8b = ，且a 与b 的夹角 60=θ，求()()b a b a 32-⋅+。
变式4：若6a = 4=，且()()7232-=-⋅+，求与的夹角。
2、在平行四边形ABCD 中，4AB =，2BC =，120BAD ∠= ，求A B A D ⋅ .
变式：判断下列命题的真假，并说明理由
.
（1）ABC ∆中，若0AB BC ⋅<
，则ABC ∆是锐角三角形；
（2）ABC ∆中，若0AB BC ⋅> ，则
ABC ∆是钝角三角形；
（3）ABC ∆为直角三角形，则0AB BC ⋅= .
三、小结反思
1、平面向量数量积的含义与物理意义，
2、性质与运算律及其应用。
3、平面向量数量积的概念
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
1、已知2a = ，3b = ，a 与b 的夹角为60 ，求：
⑴a b ⋅ ； ⑵22a b - ； ⑶()()23a b a b +⋅+ ；
(4)a b + .
2. 已知6,a = a 与b 的夹角为60 ，且()()2372a b a b +⋅-=- ，则b 为（ ）
A.16
B.6
C.5
D.4
3 已知1,a b == 且()a b - 与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）
A.60
B.30
C.135
D.45 4. 已知2,5,3a b a b ==⋅=- ，则a b + = ， a b - = .
5、54==，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb + 与a kb
- 互相垂直？
6. 设,m n 是两个单位向量，其夹角为60 ，求向量2a m n =+ 与23b n m =- 的夹角.。
