2018年苏教版数学选修2-2章末综合测评1

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上．) 1．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝__________.【导学号：95902166】【解析】 a 2＝1，b 2＝m ，∴c 2＝1＋m ，e ＝ca ＝1＋m1＝3，求得m ＝2. 【答案】 23．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围为________．【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.【答案】 (3,4)∪(4,5)4．以y ＝3为准线的抛物线的标准方程为________．【解析】 设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，则－p2＝3，p ＝－6，则抛物线方程为x 2＝－12y .【答案】 x 2＝－12y5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【导学号：95902167】【解析】 依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，即p ＝2.【答案】 26．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______．【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝2×3＝6，因为PF 1＝4，所以PF 2＝2.在△PF 1F 2中，cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.【答案】 2 120°7．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 ∵2c ＝AB ＝2，∴c ＝1，∴CA ＋CB ＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．【答案】y 24＋x 23＝1(y ≠±2) 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________．【解析】 由双曲线的渐近线bx －ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切得2ba 2＋b 2＝3，由c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. 【答案】 x 2－y 23＝19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1的右焦点，则双曲线的离心率为__________.【导学号：95902168】【解析】 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，则双曲线x 2a 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)，即有c ＝a 2＋3＝2，则a ＝1，故双曲线的离心率为e ＝ca＝2.【答案】 210．已知抛物线C ：x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是________．【解析】 显然t ≠0，直线AB 的方程为y ＝4tx －1，代入抛物线方程得2tx 2－4x ＋t ＝0.由题意Δ＝16－8t 2<0，解得t <－2或t > 2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．【解析】 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 【答案】 612．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.【导学号：95902169】【解析】 x 2＋y 2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则⎭⎪⎬⎪⎫PO ＝r ＋1PA ＝r ＋2⇒PA －PO ＝1＜AO ＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． 【答案】 双曲线的一支13.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.【导学号：95902170】图1【解析】 将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．【答案】6314．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝2FB ，则k ＝________.【解析】 过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2FB ＝FA ，∴AA 1＝2BB 1，即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋，y 2＝8x ，⇒消去x 得y 2－8ky ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，，消去y B 得k ＝223.【答案】223二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，若抛物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.(1)求抛物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及离心率e .【导学号：95902171】【解】 设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，则有⎝⎛⎭⎪⎫2632＝2p ×23，所以p ＝2，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，焦点F 的坐标为(1,0)．(2)由双曲线C 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23，所以a ＝13，b 2＝89 ，所以双曲线C 2的方程为9x 2－98y 2＝1，离心率e ＝3.16．(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．【解】 ①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2 ＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.17．(本小题满分14分)如图2所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.【导学号：95902172】图2【解】 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0.所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k2|x 1－x 2| ＝1＋k2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×32－4×5×85＝85.18．(本小题满分16分)如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .图3(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2＝1. 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知，c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2.故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m2＝1(m ＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上， 所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.19．(本小题满分16分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【导学号：95902173】【解】 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .20．(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB ＝32F 1F 2. (1)求椭圆的离心率．(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2＝2 2.求椭圆的方程．【解】 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由AB ＝32F 1F 2，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )， 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4c 3，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ －4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－4c 3＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c2＝53c .由已知，有TF 22＝MF 22＋r 2，又MF 2＝22，故有⎝⎛⎭⎫c ＋2c 32＋⎝⎛⎭⎫0－2c 32＝8＋59c 2.解得c 2＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．答案：12.a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的______条件．解析：由Δ＝22－4a >0，得a <1时方程有根；a <0时，x 1x 2＝1a<0，方程有负根，又a ＝1时，方程根为x ＝－1.答案：充分不必要3.命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是______．解析：命题的条件为“x 2≥1”，结论为“x ≥1或x ≤－1”，否定结果作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．答案：若－1<x <1，则x 2<14.下列命题：①G ＝ab (G ≠0)是a ，G ，b 成等比数列的充分不必要条件；②若角α，β满足cos αcos β＝1，则sin(α＋β)＝0；③若不等式|x －4|<a 的解集非空，则必有a >0；④函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[－2，2]． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：当G ＝ab (G ≠0)时，有G 2＝ab ，所以a ，G ，b 成等比数列，但当a ，G ，b 成等比数列时，还可以有G ＝－ab ，所以G ＝ab (G ≠0)是a ，G ，b 成等比数列的充分不必要条件，故①正确；当cos αcos β＝1时，有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1，即α＝2k 1π＋π(k 1∈Z )，β＝2k 2π＋π(k 2∈Z )或α＝2k 3π(k 3∈Z )，β＝2k 4π(k 4∈Z )，这时α＋β＝2(k 1＋k 2)π＋2π(k 1，k 2∈Z )或α＋β＝2(k 3＋k 4)π(k 3，k 4∈Z )，必有sin(α＋β)＝0，故②正确；由于|x －4|的最小值等于0，所以当a ≤0时，不等式|x －4|<a 的解集是空集，如果不等式|x －4|<a 的解集非空，必有a >0，故③正确；函数y ＝sin x ＋sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ≥00，x <0，所以该函数的值域为[－2，2]，故④正确． 答案：①②③④5.给出命题：①∀x ∈(－∞，1)，使x 3<1；②∃x ∈Q ，使x 2＝2；③∀x ∈N ，有x 3>x 2；④∀x ∈R ，有x 2＋4>0.其中的真命题是________(填序号)．解析：方程x 2＝2的解只有无理数x ＝±2，所以不存在有理数x 使得方程x 2＝2成立，故②为假命题；比如存在x ＝0，使得03＝02，故③为假命题，①④显然正确．答案：①④6.若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则“x ∈C ”是“x ∈A ”的________条件．解析：x ∈A ⇒x ∈C ，但是x ∈C 不能推出x ∈A .答案：必要不充分7.“a ＝18”是“对任意的正数x ，2x ＋a x≥1”的________条件． 解析：a ＝182x ＋a x ＝2x ＋18x ≥22x ×18x ＝1，另一方面对任意正数x ，2x ＋a x≥1只要2x ＋a x ≥22x ×a x ＝22a ≥1⇒a ≥18. 答案：充分不必要8.已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对∀x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(4－2a )x 是R 上的减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：先简化命题p 、q ，构建关于a 的关系式．由x 2＋2ax ＋4>0对∀x ∈R 恒成立，得Δ＝(2a )2－4×4<0，解得－2<a <2.所以p ：－2<a <2.由y ＝－(4－2a )x 是R 上的减函数，得4－2a >1，解得a <32. 所以q ：a <32. 由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假知，p 与q 中必有一真一假，即p 真q 假或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <32，从而得32≤a <2或a ≤－2. 答案：[322)∪(－∞，－2] 9.已知函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，则“f (x )、g (x )均为奇函数”是“h (x )为偶函数”的________条件．解析：由f (x )、g (x )均为奇函数可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2是偶函数，而f (x )＝x 2x －1g (x )＝x －1都不是奇函数． 答案：充分不必要10.已知命题p ：不等式x (x －1)<0的解集是{x |0<x <1}，命题q ：“A ＝B ”是“cos A ＝cos B ”成立的必要不充分条件，则下列正确的是________．①p 真q 假；②p ∧q 为真；③p ∨q 为假；④p 假q 真．解析：对于命题p ，由x (x －1)<0，解得0<x <1，故解集是{x |0<x <1}，因此命题p 为真命题；对于命题q ，由A ＝B ，一定有cos A ＝cos B ，但当cos A ＝cos B 时，不一定有A ＝B ，所以“A ＝B ”是“cos A ＝cos B ”成立的充分不必要条件，因此命题q 为假命题．答案：①11.已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.答案：3≤m <812.给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；③∵b ≤－1，∴Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥4>0，∴“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；④∵当α＝7π3时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题． 答案：①③13.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e ，4]．答案：[e ，4]14.已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2x 2－x ＋1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________．解析：∵x 2－x ＋1>0，∴原不等式化为x 2－ax ＋2<3x 2－3x ＋3，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0.∵∀x ∈R 时，2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立，∴Δ＝(a －3)2－8<0.∴3－22<a <3＋22，∴a 1＋a 2＝6.答案：6二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)将命题“ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0”改写为“若p 则q ”的形式，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．解：原命题：若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0.是真命题；逆命题：若a ，b 中至少有一个为0，则ab ＝0.是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ，b 中都不为0.是真命题；逆否命题：若a ，b 中都不为0，则ab ≠0.是真命题．16.(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，使4x －3>x ；(3)∀x ∈R ，有x ＋1＝2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题．17.(本小题满分14分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， ∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2；当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2<m <2，即－2≤m <2.综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2.18.(本小题满分16分)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，求实数m 的取值范围． 解：由不等式|x －m |<1得m －1<x <m ＋1； 因为不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，所以⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1≥12⇒－12≤m ≤43；经检验知，等号可以取得；所以－12≤m ≤4319.(本小题满分16分)已知x ，y ∈R ，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |的成立的充要条件是xy ≥0. 证明：充分性：如果xy ＝0，那么x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0或x ＝0，y ＝0，于是|x ＋y |＝|x |＋|y |； 如果xy >0，即x >0，y >0或x <0，y <0，当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ＝|x |＋|y |，当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－x －y ＝(－x )＋(－y )＝|x |＋|y |，总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |.必要性：由|x ＋y |＝|x |＋|y |及x ，y ∈R 得(x ＋y )2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋2|xy |＋y 2，得|xy |＝xy ，所以xy ≥0，故必要性成立；综上，原命题成立．20.(本小题满分16分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．解：(1)x ∈M 或x ∈P ⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2，3)，因为x ∈M 或x ∈P ⇒/ x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m <0，Δ＝4m 2＋16m <0，⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.。

章末综合测评(一)　常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.【解析】　“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】　且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】　原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．【答案】　13．(2015·浙江高考改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】　取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】　既不充分也不必要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】　据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.【答案】　1，＋∞)5．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．【解析】　∀改为∃，否定结论，即∃x∈R，|x|＋x2<0.【答案】　∃x∈R，|x|＋x2<06．(2016·湛江高二检测)设命题p 和命题q ，“p 或q ”的否定是真命题，则必有________．①p 真q 真；②p 假q 假；③p 真q 假；④p 假q 真．【解析】　因为“p 或q ”的否定是真命题，所以“p 或q ”是假命题，则p 假q 假．【答案】　②7．给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin 3α＝3sin α；③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a <0.其中真命题为________(填序号)．【解析】　①错，如x ＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y ＝x 2＋2x ＋a 开口向上．【答案】　②8．(2016·邯郸高二检测)“0＜a ＜b ”是“a ＞b ”的________条件(填(14)(14)“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】　当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx (0＜α＜1)是减函数，可得a ＞b ；反之，当a ＞b 时，可得a ＜b .所以“0＜a ＜b ”是“a ＞b ”(14)(14)(14)(14)(14)(14)的充分不必要条件．【答案】　充分不必要条件9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】　因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是2，＋∞)．【答案】　2，＋∞)10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①且q ；②p 或q ；③且(非q )；④(非p )或q 中，其中真命题是________．【解析】　p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．【答案】　②③11．(2016·江苏扬州高三模拟)已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.【导学号：09390017】【解析】　p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条件，所以Error!解得－1≤a ≤6.【答案】　－1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________．①p 是真命题；②q 是真命题；③命题p 或q 是假命题；④命题且q 是真命题；⑤命题且(非q )是真命题；⑥命题p 或(非q )是假命题．【解析】　对于命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，例如当x ＝10时成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，当x ＝0时命题不成立，故命题q 是假命题．所以命题且(非q )是真命题，即①⑤正确．【答案】　①⑤13．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为”的________条件．12【解析】　将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝.又弦长为1k 2＋1＝，所以S △OAB ＝··＝＝，解得k ＝±1.因1－1k 2＋12|k |k 2＋1121k 2＋12|k |k 2＋1|k |k 2＋112此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为”的充分不必要条件．12【答案】　充分不必要14．下列叙述中错误的是________．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为假命题；②“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③若“p 或q ”为假命题，则“(非p )且(非q )”也为假命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x ＋x 0＋1＝0.20【解析】　对于①，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于②，由x >2可得x 2－3x ＋2＝(x －1)·(x －2)>0，反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，因此“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，所以“(非p )且(非q )”是真命题；对于④，命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x ＋x 0＋1＝0.综上所述，应填③.20【答案】　③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】　逆命题：若△ABC 为直角三角形，则△ABC 的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC 没有一个内角为直角，则△ABC 不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC 不是直角三角形，则△ABC 没有一个内角为直角，是真命题．16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x |x ＞0}，x ＋≥2；1x (4)∃x ∈Z ，log 2x ＞2.【解】　(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是存在性命题，且为真命题．17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p ：所有的平行四边形的对角线相等，q ：所有的平行四边形的对角线互相平分；(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同，q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】　(1)p 或q ：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分．且q ：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：有些平行四边形的对角线不相等．因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真．(2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．且q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．因为p 真q 真，所以“p 或q ”、“p 且q ”均为真，“非p ”为假．18．(本小题满分16分)(2016·大庆高二检测)已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【解】　非p ：|4－x |＞6，解得x ＞10或x ＜－2，记A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．而非p ⇒q ，∴A B ，即Error!∴0＜a ≤3.19．(本小题满分16分)(2016·湖北荆门调研)已知条件p ：函数f (x )＝(2a －5)x 在R 上是减函数；条件q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p 或q 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】　若p 真，则0<2a －5<1，故<a <3.52若q 真，由x 2－ax ＋2<0，得ax >x 2＋2.∵1<x <2，∴a >＝x ＋在x ∈(1,2)上恒成立．x 2＋2x 2x 又当x ∈(1,2)时，x ＋∈2，3)，∴a ≥3.2x 2∵p 或q 是真命题，故p 真或q 真，∴有<a <3或a ≥3.52综上，a 的取值范围为Error!.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx .(1)若“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得：对任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】　(1)因为“存在实数x0，使得f(x0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x，使得f(x)>0”是真命题，即对于任意实数x，f(x)>0恒成立．①当m＝0时，不成立；②当m>0时，Δ＝4(4－m)2－8m<0，∴2<m<8.(2)当m≤0时，依题意显然不符合；当m>0时，则只要f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，Error!⇒0<m<4.或Error!⇒4≤m<8.综上可知，0<m<8.。

阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.2．函数y ＝11－cos x的导数是________．3．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )ex ＞2的解集为________．7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.8．函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率是________．9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.10．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.11．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：____________________________________.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC ＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．18．(本小题满分16分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n(2n －1)2·(2n ＋1)2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．19.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图像相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x 有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a 的大小，并说明理由．答 案1．解析：2－2i 1＋i ＝2(1－i )2(1＋i )(1－i )＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i2．解析：y ′＝1′(1－cos x )－1·(1－cos x )′(1－cos x )2＝－sin x(1－cos x )2.答案：y ′＝－sin x(1－cos x )23．解析：∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，1e 4．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了(2k ＋1)·2(k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)6．解析：令g (x )＝f (x )e x ，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x ＞0，∴g (x )为增函数．由f (x )e x ＞2得f (x )e x ＞f (0)e0，所以g (x )＞g (0)，∴x ＞0. 答案：(0，＋∞)7．解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32.答案：329．解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.答案：1－i 或－1＋i11．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t t t －1s＝112．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0，即2p ＋q ＝3. ① 因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.②由①②，得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3－2x 2＋x .f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝13时，f (x )取得极大值427；当x ＝1时，f (x )取得极小值0.答案：42713．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－1(1－x 2)d x 22＝834＝23. 答案：2315．解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a－4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i. 16．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2.∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18，∴f (x )1,3]上的最大值是18，最小值是－8.17.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a .当a >1时，列表：比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.当a <－1时，列表：得g (a )＝3a －1.综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.18．解：推测S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝(2＋1)2－1(2＋1)2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，S k＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[(2k ＋1)2－1](2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋3)2－1(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．20．解：(1)f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x .则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122－34x 2＜0，∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln a b －a ＝ln bab －a ，要比较ln b ab －a 与2a ＋b 的大小．∵b －a ＞0，∴只要比较lnb a 与2(b －a )a ＋b 的大小．∵ln b a －2(b －a )b ＋a ＝ln ba －2⎝⎛⎭⎫b a －1b a ＋1，构造函数φ(x )＝ln x －2(x －1)x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x －4(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴当x ＞1时，φ(x )＞0，即ln x －2(x －1)x ＋1＞0.则有ln b a ＞2(b －a )b ＋a 成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b 成立．即得f (b )－f (a )b －a ＞2a ＋b .∴f (b )－f (a )2＞b －a b ＋a.。