(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运

向量运算 (1)加减法法则：
(2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)①A→B＋B→C＝____，A→B＋B→A＝_0_，A→B－A→C＝____， ②A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＋A→nA1＝_0__． ③||a|－|b||≤|a±b|≤__|a_|＋__|b_| _．
答案 (1)0 (2)0 (3)0 (4)0
3.如图所示，向量 a－b 等于( )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2 答案 C
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
解析 由三角形法则知 a－b 是 b 的终点指向 a 的终点的一个向
量，用基底 e1，e2 表示为 e1－3e2，故选 C.
4.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
A．0
→ B.BE
→ C.AD
→ D.CF
答案 D
解析 由于B→A＝D→E，故B→A＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E＋E→F＝C→F.
5．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的 是( )
A.A→B＝D→C
B.A→D＋A→B＝A→C
C.A→B－A→D＝B→D 答案 C
D.A→D＋C→B＝0
解析 由A→B－A→D＝D→B＝－B→D，故 C 错误．
6．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a) 共线，则 λ＝________．
答案 －13 解析 方法一：设 a＋λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb， ∴1＝3k，且 λ＝－k，∴λ＝－13. 方法二：设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，则 a＋λb＝(1，λ)，－(b－ 3a)＝3a－b＝(3，－1)，∴3λ－1×(－1)＝0，∴λ＝－13.

(方法一)在△ABD 中利用向量的加法：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＋ CD
＝
uuur AB
＋43
uuur BC
＝
uuur AB
＋43(
uuur AC
－
uuur AB
)
＝－13
uuur AB
＋34
uuur AC
.
(方法二)在△ACD 中利用向量的加法：
a＋b＝___b_＋__a___；(a＋b)＋c＝___a_＋__(_b_＋__c_)__.
(2)向量的减法
①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的__相__反__向___量____.
②法则：向量的减法符合三角形法则． ③几何意义如下图所示．
(3)向量的数乘运算 ①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘， 记作 λa，它的长度和方向规定如下：
uuur uuurຫໍສະໝຸດ 所以 AB 、 BD 共线，又它们有公共点，
所以 A、B、D 三点共线．
(2)因为 ka＋b 和 a＋kb 共线，
所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b，
又 a、b 是不共线的两个非零向量，
所以 k－λ＝λk－1＝0，所以 k＝±1.
所以
uuur AB
＝23(2d－c)，
uuur AD
＝23(2c－d)．
点评：本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的 思想方法．
【变式探究】
uuur uuur uuur
3．已知△ABC 和点 M 满足 MA ＋ MB ＋ MC ＝0.若存在实数 m

A．0
B.1
C．2
D．3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0 的模相同，但
方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a 0 平行，则 a 与 a 0
的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a ＝－|a |a 0， 故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
2．给出下列命题： (1)若|a |＝|b |，则 a ＝b ； (2)若 A，B，C，D 是不共线的四点，则―A→B ＝―D→C 是四边 形 ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)若 a ＝b ，b ＝c，则 a ＝c；
a ∥b
3．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa ＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零；
③λ，μ 为实数，若 λa ＝μb ，则 a 与 b 共线．
其中错误的命题的个数为 A．0 C．2
B.1 D．3
( D)
解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．② 错误，当 a ＝0 时，不论 λ 为何值，λa ＝0.③错误，当 λ＝μ＝ 0 时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与 b 可以是任意向量．故错误的 命题有 3 个，故选 D.
3．在四边形 ABCD 中，―A→B ＝―D→C ，且|―A→B |＝|―B→C |，那么
四边形 ABCD 为
(B )
A．平行四边形
B.菱形
C．长方形
D．正方形
解析：因为―A→B ＝―D→C ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．又
|―A→B |＝|―B→C |，所以四边形 ABCD 为菱形，故选 B.
向量运算
定义
法则(或几何意义) 运算律
求 a 与 b 的相反向 减法 量－b 的和的运算

→
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.


(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,


解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(