贵州师大附中2010届高三第四次月数学试题(理科)试题

贵州师大附中2009——2010学年第一学期第三次月考高三数学文科参考答案1317、（1）f (x)的最小正周期22Tππ==，f (x)的最小值为2+1=3；（2）f (x)的单调递增区间是,36k kππππ-+（），单调递减区间是2,63k kππππ++（）．18、（1）21151(1)39P=--=；（2）2221131(1)(1)344P=---=19、证明（Ⅰ）∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BC. 又AB⊥BC，P A∩AB=A，∴BC⊥平面P AB. ……2分又BC⊂平面PCB，∴平面P AB⊥平面PCB. ………………………………………4分（Ⅱ）∵P A⊥底面ABCD ，∴AC为PC在平面ABCD内的射影. 又∵PC⊥AD.∴AC⊥AD. ……5分在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=4π,∴∠DCA=∠BAC=4π.又AC⊥AD，故△DAC 为等腰直角三角形.∴DC AC AB)=2AB. 连接BD，交AC于点M，则2.D M D CM B AB==……………………………7分在△BPD中，2,PE D MEB M B==∴PD∥EM又PD 平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC. ……………………………8分（Ⅲ）在等腰直角△P AB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB.∵平面P AB⊥平面PCB，且平面P AB∩平面PCB=PB，∴AN⊥平面PBC.在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE.∴∠AHN就是二面角A—CE—P的平面角，……12分在Rt△PBC中，设CB=a,则PB a,BE=1,33P B=NE=166P B a=，CE=,3a由NH ⊥CE ，EB ⊥CB 可知：△NEH ∽△CEB . ∴.NH CB NECE=代入解得：NH.在Rt △AHN 中，AN=,2a ∴tan AHN=AN NH=即二面角A —CE —P 的为.…12分解法二：（Ⅱ）建立空间直角坐标系A —xyz ，如图. 设P A =AB =BC =a ,则A (0, 0, 0), B (0, a , 0)， C (a , a , 0), P (0, 0, a )， E 20,,.33a a ⎛⎫⎪⎝⎭……5分 设D (a , y , 0)，则=(-a , -a , a), =(a , y , 0), ∵CP ⊥AD ， ∴·=-a 2 - ay =0,解得：y =-a .∴DC =2AB .连接BD ，交AC 于点M ， 则 2.D M D C M BAB==……………………………6分 在△BPD 中，2,PE D M EBM B==∴PD ∥EM .又PD 平面EAC ，EM 平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC .………………………………………8分 （Ⅲ）设n 1=(x ,y ,1)为平面EAC 的一个法向量, 则n 1⊥, n 1⊥∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：x =12，y =-12,∴n 1=(12, -12,1). ………………………………………10分设n 2=（x′, y′, 1）为平面EBC 的一个法向量，则n 2⊥, n 2⊥,又=（a ,0,0）,=(0,-,33a a ),∴''0,0,33ax ay a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得：x ′=0,y ′=1, ∴n 2=(0,1,1).cos<n 1, n 2>==6.∴二面角A —CE —P 的大小为arccos6.……………………12分20、解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时,要耗油()(5.175.28408034012800013升）=⨯+⨯-⨯.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为h(x)升，依题意得：h(x)=(880312800013+-x x )·2100180015(0120)12804x x x x =+-≤＜, h '(x)=233264080800640xx xx -=-(0＜x≤120)令h ' (x)=0，得x=80.当x ∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数;当x ∈(80,120)时，h ' (x)＞0,h(x)是增函数.∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 21、解：(Ⅰ) ∵切点为（1，3），∴k +1=3，得k =2.∵f ′(x )=3x 2+a ，∴f ′(1)=3+a =2，得a =-1. ………2分 则f (x ) =x 3-x +b.由f (1)=3得b =3.∴f (x )=x 3-x+3. …………………………………………………………4分 (Ⅱ)由f (x )=x 3-x +3得f ′(x )=3x 2-1,令f ′(x )= 3x 2-1＞0，解得x ＜-3或x＞3.………………………6分∴函数f (x )的增区间为(-∞，-3)，(3，+∞). …………………8分(Ⅲ)F (x )=x 3-3x ，F ′(x )=3x 2-3 令F ′(x )=3x 2-3=0，得x 1=-1,x 2=1. ……………………………………10分∴当x 分22. （Ⅰ）依题意，得2a m+2 = a m+1 + a m ∴2a 1q m+1 = a 1q m + a 1q m – 1 ，在等比数列{a n }中，a 1≠0，q≠0， ∴2q 2 = q +1，解得q = 1或21-. …………………………………………………………………… 4分（Ⅱ）若q=1，S m + S m+1 = ma 1 + (m+1) a 1=(2m+1) a 1，S m + 2 = (m+2) a 1 ,∵a 1≠0，∴2S m+2≠S m + S m+1 若q =21-，S m + 1 =m2m )21(6132)21(1)21(1-⋅-=----+S m + S m+1 =)21(1)21(1)21(1)21(11m m----+----+])21()21[(32341m m+-+--==m)21(3134--∴2 S m+2 = S m + S m+1故当q = 1时，S m , S m+2 , S m+1不成等差数列；当q =21-时，S m , S m+2 , S m+1成等差数列.……… 12分。

第4题图贵州师大附中2009—2010学年第一学期第一次月考试题高 三 数 学 (理科) 2009-8-26考生注意：1．请将答案填(涂)在答题卡的相应位置上,在试卷上作答一律无效； 2．考试时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题（每小题5分，共60分） 1．已知集合}20{<<=x x M ,}023{2<+-=x x x N ，则M N =( )A ．}0{<x xB ．}2{>x xC ．}21{<<x xD ． }20{<<x x2．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是( )A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =- 3．已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是( )A ．()f x 在1x =处连续B ．()5f x =C ．()1lim 2x f x -→= D ．()1lim 5x f x +→=4．如果f (n ) =11n ++21+n +31+n +…+n21（n ∈N *），那么f (n +1)－f (n )等于( )A ．121n + B ．122n + C ．121n ++122n + D ．121n +－122n +5．若f (x ) = s i n α－co s x (α是常数)，则/()f α等于( )A ．s i n αB ． co s αC ．s i n α+co s αD ．2s i n α 6．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100),[100，102)，[102，104)，[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．1087．在标准正态总体N(0，1)中，已知Φ(1.98) = 0.9762，则标准正态总体在区间(－1.98，1.98)内取值的概率为( ) A ．0.9672B ．0.9706C ． 0.9412D ．0.95248．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 时有极值10，则a 、b 的值为( )A ．3,4311a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或B ．4,4111a a -b b =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 C ．⎩⎨⎧=-=51b aD ．⎩⎨⎧=-=114b a9．已知函数()yx f x '=的图象如右图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是( )10．数列}{n a 中，11=a ，S n 是前n 项和，当n ≥2时，n n S a 3=，则∞→n lim 311-++n n S S 的值是( )A ．13- B ．－2 C ．1D ．45-11．同时抛掷4枚均匀的硬币3次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是( ) A ．83B ．89C ．813D ．112．已知两点O （0,0），Q （a ,b ），点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，P 4是线段P 2P 3的中点，… …，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是( )A ．（2a ,2b ） B ．(3,3b a ) C ．(32,32b a ) D ． (43,43ba )BC二、填空题：（每小题5分，共20分）13．平面上有三个点，(2,02y A y B C x y -），（，），（，），若AB BC ⊥ ，则动点C 的轨迹方程是 ． 14．若2lim→x 434222=--+x ax x ，则a 的值为______________．15．设常数0a >，42ax ⎛+ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2l i m()nn a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____．16．已知函数321()22f x x x m =-+（m 为常数）图象上A 处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则点A 的横坐标为 ．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分10分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===-r r r．（1）求向量b c +r r的长度的最大值；（2）设α4π=，且()a b c ⊥+r rr ，求cos β的值．18．（本小题满分12分）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：（1）随机变量ξ的概率分布列； （2）随机变量ξ的数学期望与方差.19．（本小题满分12分）如图，在AOB Rt ∆中，30OAB ∠= ，斜边AB=4．AOB Rt ∆以直线AO 为轴旋转得到AOC Rt ∆，且二面角 C AO B --是直二面角，动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知c bx ax x x f +++=23)(有极大值)(αf 和极小值)(βf . （1）求)(αf +)(βf 的值（用含有a 、b 、c 的式子表示）；（2）设曲线)(x f y =的极值点为A 、B ，求证：线段AB 的中点在)(x f y =上． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)(1)f x x x a x =+-+，其中a 为常数． （1）当[1,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，求a 的取值范围； （2）求()()1ax g x f x x '=-+的单调区间．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，1122,) n n a n n N a +-=-≥∈（．（1）若135a =，数列{}nb 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若211<<a ，证明：211<<<+n n a a ．。

3cos 05B =>20tan 3a B =3cos 5B =4sin 5B =4tan 3B =1sin 2S acB =贵州师大附中2009——2010学年第一学期期末考试高三数学 理科参考答案13、3 14、6 15、32316、a17、【解】（I ）由sin 4b A =得4sin =B a ，由320tan =B a 与4sin =B a 两式相除，有： ， 又通过 知：0tan >B ，………………….3分则由 ， ，得 则5a =．……………………….5分 （II ）由 ，得到5c =．C A =∴…………………………….7分 由2571)53(21cos 21)(cos 212cos 24cos 2222-=-⨯=-=-+=-=B C A C C …0分18、【解】（I ）证明：在PBC V 中，1,BC PC PB ===222BC PC PB \+=90PCB\?o，即PC BC^， ---------------------------1分,AB PC AB BC B^=Q I ，PC \^平面ABCD . ---------------------------4分（II ）解：设点B 到平面P AD 的距离为h ，A B B C^Q ，AC \=PC ^Q 平面ABCD ，PC AC\^，PA \=在直角梯形ABCD 中，1,1,2AB BC CD ===， AD \=在PAD V 中，AD =QPA PD ==\222A D P A P D+=， 90PAD\?o，PAD \V 的面积122P A D S A D P A=?V ----------------8分Q 三棱锥B -P AD 的体积B PADP ABDV V --=，13PAD S h \鬃V 13ABD S PC=鬃V ，-------------10分即1(11)122h创 ，解得6h =， \点B 到平面P AD 的距离为6.---------12分19、【解】（I ）)2(2,2)1(11≥=-+=--++n a a n a a n na n n n n nn a a a a s a a n n 2}{,2,2,212121==-∴+==等差所以………………………6分 （II ）121223221,2222--++++===n n n nnn n T n n a112224,21)2(221221222121--+-=+-=+-+++=n n nn nn n n T n T n n T …………………………………12分20、【解】（I ）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为1819110C C C ，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为131416C C C 1116431111098110C C C P C C C ∴==…………………………………………………………………（4分）（II ）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2则157)0(1819110161718===CC C C C C P ξ157)1(181911017181213===C C C C C C C P ξ 151)2(1819110121318===C C C C C C P ξ…………………（8分）所以ξ的分布列为：…………………………………………………………（10分）从而有53151215711570=⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………………（12分）21、【解】（I ）()02≥-='x a x x f 在(]2,1∈x 恒成立，所以22x a ≤，2≤∴a ．又()021≤-='xa x g 在()1,0∈x 恒成立，所以 x a 2≥,2≥∴a .……………4分从而有2=a ．故()x x x f ln 22-=，()x x x g 2-=． …………………………6分 （II ）令2)()()(--=x g x f x F ，则xx x x F 1122)('+--=xx x x x x )222)(1(+++-=所以()x F 在()1,0上是减函数，在()+∞,1上是增函数，……………………………9分 从而当0>x 时,()()01min ==F x F ，所以方程2)()(+=x g x f 在()+∞,0只有一个解1=x ． ……………………12分22、【解】（I ）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，ca ＝22，∴a ＝1，b ＝c ＝22，故C 的方程为：y 2＋x 212＝1 …………………………4分（II ）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ， ∴λ＋1＝4，λ＝3 ………………………………………………6分 设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ⎩⎨⎧y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*）x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2 ………………………………………………8分∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 ………………………………………………10分 m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1） ………………………12分．。

贵州师大附中2009——2010学年第一学期第四次月考高三数学 理科参考答案17、解：∵f(x)＝3sinxcosx －sin 2x ＋12＝sin(2x ＋π6)（I ）∴T ＝π，f(x)max ＝1，此时x ∈{x|x ＝kπ＋π6,k ∈Z}；（II ）g(x)＝cos2x ，在R 上是偶函数．18、解：（I ）依题意⎩⎨⎧=+=+08)4(09)3(f f ∴⎩⎨⎧-=+-=+2413b a b a 解得⎩⎨⎧=-=2,1b a ……………5分∴)2(2)(2≠+-=x x xx f ……………………6分（II ）由（I ）得xkx k x x--+<+-2)1(22∴02)1(2>-++-x kx k x∴2))(1(>---x k x x ………………8分因为k ＞2，所以21<<x 或k x >，即不等式的解集为}2|{k x x x x ><<或………12分19、解：（I ）从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为410C 种，………1分其中次品数不超过1件有431882C C C +种， ………………………2分 被检验认为是合格的概率为431882410C C C C+1315=． …………………………………6分（II ）两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，………………………………7分 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为1315， 所以“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为121313C (1)1515⋅⋅-52225=．…………………………11分答：该产品被认为是合格的概率为1315；两次检验结果不一致的概率为52225．……12分20、解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=因为142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② 由②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=- ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为2等比数列． （II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n na a ++∴-=∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列．∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅21、方法一：（I ）依题设知，AC 是∆ACM 外接圆的直径，则AM ⊥MC 。