高中数学第一章解三角形1.2应用举例第3课时三角形中的几何计算课件新人教A版必修5

BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°

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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

AC
a sin( )
a sin( ) ；
sin 180o ( ) sin( )
BC
a sin
a sin .
sin 180o ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理 计算出AB两点间的距离为
AB AC2 BC2 2AC BC cos .
2
2
2
2
3
几个概念：
❖ 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;
❖ 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；
❖ 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线
的夹角。
N
方位角
视 线
60度
仰角
水平线
目标方向线
俯角
视 线
4
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在 古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了 两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘 的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存 在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全 等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的 真实背景下，某些方法会不能实施.如因为没有足 够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是 用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正 弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首 先研究如何测量距离.
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸 的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离.
解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得 CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦 定理得

之比叫做坡度,如图所示,α 为坡角,坡比 i=ℎ������=tan α.
3.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标 视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做 俯角(如图所示). 4.铅直平面 铅直平面是指与水平面垂直的平面.
5.做一做:
从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系是
()
A.α>β
B.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
解析如图,从 A 处望 B 处的仰角 α 与从 B 处望 A 处的俯角 β 是内错
角,由水平线平行,得 α=β.
答案 B
一二
二、解决实际测量问题的思路及步骤 【问题思考】 1.基本思路 2.一般步骤 (1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集 中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
2.如图所示,不可到达的 A,B 是地面上两点,要测量 A,B 两点之间的距 离,具体步骤是:(1)取基线 CD;(2)测量 CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠ BDA;(3)在△ACD 中,解三角形得 AC;在△BCD 中,解三角形得 BC;(4) 在△ABC 中,利用余弦定理得 AB= ������������2 + ������������2-2������������·������������·cos∠������������������.
解(1)在△ABC 中,因为 cos A=1123,cos C=35,