基于matlab的Lorenz系统仿真研究

matlab lorenz模型的状态方程Lorenz模型是一种混沌系统模型，是由Edward Lorenz在1963年提出的。

该模型可以描述一个物理系统中的非线性动力学过程，常常被用来研究气象学和流体力学等领域的相关问题。

在matlab中，Lorenz模型的状态方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z分别表示三个物理量的状态变量，例如温度、速度等。

σ、ρ和β则是三个控制参数，用来调节系统的演化过程。

这些参数的选择可以决定系统的稳定性、周期性或混沌性质。

这个状态方程的含义是，三个状态量的变化是由它们之间的相互作用和所受力的影响所决定的。

其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y的变化率，dz/dt则表示z的变化率。

在Lorenz模型中，随着时间的演化，x、y和z的值会不断发生变化，难以预测，从而呈现出混沌的特征。

matlab作为一种强大的数学软件，可以用来求解Lorenz模型的状态方程。

通常情况下，我们可以通过matlab的ODE求解器来求解这个系统，具体步骤如下：1. 定义状态方程和初始条件：我们需要在matlab中利用函数句柄来定义状态方程，同时确定初始条件。

2. 设置ODE求解器：用户需要根据系统的特性来选择最适合的ODE求解器，例如ode45、ode23s等。

3. 求解ODE：利用所选求解器来求解ODE。

通常情况下，matlab还提供了许多其他的函数和工具箱，可以用来展示和分析所得到的结果。

总之，Lorenz模型的状态方程是一种常见的非线性动力学模型，它可以用来描述许多物理系统中的复杂行为。

利用matlab求解Lorenz模型的状态方程，可以帮助我们更好地理解这个系统的演化过程，并且研究它的混沌特性。

MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223 宋沛儒基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究21130223 宋沛儒1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过电脑模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。

Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。

Lorenz 系统方程如下：(),,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩〔1〕其中，a ，b ，c 为正的实常数。

本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。

2.matlab 求解Lorenz 系统首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end然后利用ode45〔Runge-Kutta 算法〕命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2))>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中,〔a〕为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，〔b〕为其在y-z平面上的投影，〔c〕为其在x-y平面上的投影，〔d〕为Lorenz 混沌吸引子的三维图。

Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法摘要：lorenz方程是描述混沌现象的第一例有名的方程。

本文从气象学和解的稳定性两方面对lorenz模型进行概述，然后对此模型作了数值分析，基于稳定性讨论了程序设计并用matlab语言编写程序进行了求解，对数值解在图形上进行了描绘，最后对数值解的收敛性及稳定性进行了分析。

关键词：lorenz模型数值解收敛性稳定性第一章 lorenz模型概述本文要研究的lorenz方程形式如下：其中参数a=10,b=,c=28，初值条件为。

当时，原点是lorenz方程的唯一平衡点。

取李雅普诺夫函数，容易验证，因定正、定负，原点是渐进稳定的。

lorenz方程的所有轨迹均趋于原点。

当时，原点仍是lorenz方程的唯一平衡点。

但，，，出现叉式分支，原点不稳定。

而当时，原点不稳定。

且此时除原点外还出现两个异于原点的平衡点（，，），（,,），对称于轴。

对此两平衡点，考虑在平衡点处线性化lorenz方程，可求得特征方程为。

因，特征方程系数均大于0，实特征根必为负根。

知平衡点，渐近稳定的条件是，或，，其中。

当时，，特征方程有一对共轭纯虚根，出现分支；当时，特征方程除一负根外有一对共轭复特征根，其实部为正，对空间线性微分方程，这种空间平衡点为鞍焦点，空间轨迹投映于平面上为焦点和鞍点状。

固定a=10,b=进行讨论，易知此时=24.7368。

当时，lorenz方程的所有轨线趋于原点；当时，存在原点和平面上三个平衡点。

当时，平衡点是稳定的；当时，平衡点不稳定，属鞍焦点。

因为此时=28，所以平衡点不稳定，属鞍焦点。

取参数的不同值，我们可以通过数值解画出lorenz方程在相空间的轨迹图貌。

当时，由原点出发的两条轨迹各自分别趋于两平衡点，；在处，出现同宿轨；当时，出现由原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡点，并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线；当时，由于两平衡点，属鞍焦点，相空间中的轨线更为复杂。

基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真
赖宏慧;陈澜祯
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2010(002)017
【摘要】非线性系统的研究难度一直较大,借助数学工具matlab进行模拟实验是目前研究的趋势.本文选取Lorenz系统为实验模型,探讨了采用matlab对Lorenz 系统实验的方法,快速求解能够获得实验结果以及模拟实验仿真图,最后使用matlab的动态建模环境simulik模拟仿真出的系统相图与前面实验比较.实验证明了模拟实验的可行性和通用性.
【总页数】2页(P850,1242)
【作者】赖宏慧;陈澜祯
【作者单位】赣南医学院,江西,赣州,341000;赣南医学院,江西,赣州,341000
【正文语种】中文
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Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法摘要：lorenz方程是描述混沌现象的第一例有名的方程。

本文从气象学和解的稳定性两方面对lorenz模型进行概述，然后对此模型作了数值分析，基于稳定性讨论了程序设计并用matlab语言编写程序进行了求解，对数值解在图形上进行了描绘，最后对数值解的收敛性及稳定性进行了分析。

关键词：lorenz模型数值解收敛性稳定性第一章 lorenz模型概述本文要研究的lorenz方程形式如下：其中参数a=10,b=,c=28，初值条件为。

当时，原点是lorenz方程的唯一平衡点。

取李雅普诺夫函数，容易验证，因定正、定负，原点是渐进稳定的。

lorenz方程的所有轨迹均趋于原点。

当时，原点仍是lorenz方程的唯一平衡点。

但，，，出现叉式分支，原点不稳定。

而当时，原点不稳定。

且此时除原点外还出现两个异于原点的平衡点（，，），（,,），对称于轴。

对此两平衡点，考虑在平衡点处线性化lorenz方程，可求得特征方程为。

因，特征方程系数均大于0，实特征根必为负根。

知平衡点，渐近稳定的条件是，或，，其中。

当时，，特征方程有一对共轭纯虚根，出现分支；当时，特征方程除一负根外有一对共轭复特征根，其实部为正，对空间线性微分方程，这种空间平衡点为鞍焦点，空间轨迹投映于平面上为焦点和鞍点状。

固定a=10,b=进行讨论，易知此时=24.7368。

当时，lorenz方程的所有轨线趋于原点；当时，存在原点和平面上三个平衡点。

当时，平衡点是稳定的；当时，平衡点不稳定，属鞍焦点。

因为此时=28，所以平衡点不稳定，属鞍焦点。

取参数的不同值，我们可以通过数值解画出lorenz方程在相空间的轨迹图貌。

当时，由原点出发的两条轨迹各自分别趋于两平衡点，；在处，出现同宿轨；当时，出现由原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡点，并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线；当时，由于两平衡点，属鞍焦点，相空间中的轨线更为复杂。

MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223 宋沛儒基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究21130223 宋沛儒1.引言1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。

Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。

Lorenz 系统方程如下：(),,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩（1）其中，a ，b ，c 为正的实常数。

本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。

2.matlab 求解Lorenz 系统首先创建文件“Lorenz.m ”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，b=2.6667，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end然后利用ode45（Runge-Kutta 算法）命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2))>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中,（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，（b）为其在y-z平面上的投影，（c）为其在x-y平面上的投影，（d）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。

基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告物电05级1A班张丹伟20050003101摘要：本文利用数学软件MATLAB对Lorenz系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。

通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。

关键词：混沌；微分方程；MA TLAB；引言．混沌探秘混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。

为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。

混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。

一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。

一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。

可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。

一．混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。

2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。

基于Matlab的Lorenz系统仿真研究摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。

首先使用matlab 分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz 混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。

关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。

这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。

Lorenz方程的表达式如下：{dxdt=σ(y−x) dydt=(μ−z)x−y dzdt=−bz+xy其中，σ、μ、b为正实常数。

本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。

2.matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。

程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)') >> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2)) >> title('(c)') >> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) >> title('(d)')运行上述程序，可得到如下波形：其中，图（a ）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，图（b ）为Lorenz 混沌吸引子在y-z 平面上的投影，图（c ）为Lorenz 混沌吸引子在x-y 平面上的投影，图（d ）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。