《数学分析》第五章 导数和微分 2

[整理]《数学分析》第五章导数与微分第五章导数与微分 (计划课时:1 2时)§1 导数的概念 ( 2 时)一．导数的背景与定义：1．背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2.导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.有限增量公式: .0 ),( )(0→?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2x x f = 求). 1 (f '例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .)3()(lim000hh x f x f h --→3.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.例4 设??<≥-=.0,,0,cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数.二. 导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.三. 可导与连续的关系:Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续.例6 证明函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.四导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法..)()(lim )(0xx f x x f x f x ?-?+='→?(注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(nx x f = ⑵x x f sin )(=，⑶x x f a log )(=.五导函数的介值性:1 极值的定义例8 证明: 若,0)(0>'+x f 则),(,000δδ+∈??>?x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件: Th2 (Fermat 定理)3 导函数的介值性:引理 (导函数的介值性)若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-+b f a f 则.0)( ),,( ='?∈?ξξf b a ( 证 )Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若k 为介于)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='?∈?ξξ(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex [1]P 94—95 1—9§2 求导法则( 4时)一导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“?”和“÷”)例1 .95)(23π+-+=x x x x f 求).(x f '例2 .ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1π-例3 .122x x y +-=求.dx dy例4 证明: . ,) (1+---∈-='Z n nx xn n( 用商的求导公式证明 ).例5 证明: .csc ) ( ,sec ) (22x ctgx x tgx -='=' 例6 证明:.sec sec xtgx x dxd=. 二反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex [1]P 102 1，2.三复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.例9 设,sin 2x y =求y '.例10 设α为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α的导数. 解 ().1ln ln -=?=?='='αααααααx xx xeey xx例11 ,1)(2+=x x f 求 )0(f '和). 1 (f ' 例12 ),1ln(2++=x x y 求 .y '例13 ,12xtgy = 求 .y ' 四取对数求导法:例14 设215312)4()2()4()5(++-+=x x x x y , 求 .y '例15 ().s i n ln xx y = 求 .y '例16 设)()(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求 .y '五基本求导法则与公式:1 基本求导法则.2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.Ex [1]P 102 3，4.§3 参变量函数的导数1 设曲线C 的参变量方程为??≤≤==)().(),(βαψ?t t y t x ,设函数)( ),(t y t x ψ?==可导且,0)(?≠'t ?.)()(t t dx dy ?ψ''=证:(证法一) 用定义证明.（证法二）由,0)(?≠'t ?恒有0)(>'t ?或.0)(<'t ?)( t ??严格单调.( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t ?有反函数, 设反函数为x t (1-=?), 有(),)()(1x t y -==?ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有.)()(t t dtdx dt dydx dt dt dy dx dy ?ψ''==?=例1 .sin ,cos t b y t a x == 求.dxdy2 若曲线C 由极坐标)(θρρ=表示,则可转化为以极角θ为参数的参数方程:====.sin )(sin ,cos )(cos θθρθρθθρθρy x 则.tan )()()(tan )(θθρθρθρθθρ-'+'=dx dy 例2 证明:对数螺线2θρe =上所有点的切线与向径的夹角?为常量. Ex [1]P 105 1，2，3.§4 高阶导数一高阶导数:定义: .)()(lim)(0000xx f x x f x f x ?'-?+'=''→?()().)()( ,)()()1()('=''=''-x f x f x f x f n n 注意区分符号)(0x f ''和().)(0''x f高阶导数的记法.二几个特殊函数的高阶导数:1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求幂函数nx y =(n 为正整数)的各阶导数. 例2. 正弦和余弦函数: 计算()) (sin n x 、())(cos n x 、())(sin n kx 、())(cos n kx 的公式.例3． x e 和kxe 的高阶导数：例4．x1的高阶导数：例5))((1b x a x ++的高阶导数：例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数<-≥=.0 ,,0 ,)(22x x x x x f 求)(x f ''为例.三高阶导数的运算性质: 设函数)(x u 和)(x v 均n 阶可导. 则1． ()).()()()(x ku x ku n n =2．()).()()()()()()(x v x u x v x u n n n ±=±3．乘积高阶导数的Leibniz 公式：约定 ).()()0(x u x u =()∑=-=nk k k n k n n x v x u C x v x u 0)()()().()()()( （介绍证法.）例7 ,cos x e y x= 求 .)5(y解 ?====== .10 ,5 ,1352545155505C C C C C C).cos (sin 4)sin cos 5sin 10cos 10sin 5(cos )5(x x e x x x x x x e yx x -=-++--=例8 ),(arctgx f y = 其中)(x f 二阶可导. 求.22dx yd 例9 验证函数x y arcsin =满足微分方程 ) 3 ( .0)12()1()(2)1() 2(2≥=-+--++n y n xy n y x n n n并依此求 ).0()(n y解 .11 ,1122='--='y x xy 两端求导,011 22=-'-''-?xy x y x 即.0)1(2='-''-y x y x 对此式两端求n 阶导数, 利用Leibniz 公式, 有=---+-+-+++)(1)1()(2)1(1)2(2)2()2()1(n n n n n n n n y C xy y C y x C yx .0)12()1()(2)1()2(2=-+--=++n n n y n xy n yx可见函数x y arcsin =满足所指方程. 在上式中令,0=x 得递推公式).(2)2( n n y n y=+注意到 0)0(=''y 和 1)0(='y , 就有k n 2=时, ;0)0()(=n y12+=k n 时, )0(13)32()12()0(2222)(f k k y n '??--= [].!)!12(2 -=k四. 参数方程所确定函数的高阶导数:=''???? ??''=???=)()()(22t t t dtdx dx dy dt d dx y d ??ψ().)()()()()(3t t t t t ??ψ?ψ''''-''' 例6 .sin ,cos t b y t a x == 求.22dx yd 解 .c t g t abdx dy -= .s i n 3222t a b dx y d -== Ex [1]P 109 1—6.§5 微分一微分概念:1. 微分问题的提出: 从求正方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.2. 微分的定义:Th1 ( 可微与可导的关系 ).3. 微分的几何意义:二微分运算法则:一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商. 例1 已知,cos ln 22x x x y += 求dy 和 .y '例2 已知,)sin(b ax ey += 求dy 和 .y '三高阶微分：高阶微分的定义： ()()=?'='==dx x f d dx x f d dy d y d )()()(2.)())(()(22dx x f dx x f dx dx x f ''=''=?''=n 阶微分定义为1-n 阶微分的微分，即().)()(1n n n ndx x f y dd y d ===-（注意区分符号 )( ),0( ,)(2222x dx d dx dx ==的意义.）例3 已知.)( ,sin )(2 x x u u u f y ====? 求 .2y d以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以u y sin =求二阶微分, 然后代入2x u =, 就有;s i n 4)2(s i n )(s i n )()(s i n22222222dx x x xdx x du u du u y d -=-=-=''= 倘若先把2x u =代入u y sin =, 再求二阶微分, 得到.sin 4cos 2)sin 4cos 2(sin 222222222222dx x x dx x dx x x x x d y d -=-==可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性.四微分的应用:1. 建立近似公式: 原理: ,dy y ≈? 即 ).)(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 特别当00=x 时, 有近似公式.)0()0()(x f f x f '+≈ 具体的近似公式如: x e x nx x x x n +≈+≈+≈1 ,111 ,s i n等. 2. 作近似计算: 原理: .)()()(00.0x x f x f x x f ?'+=?+ 例4 求 97.0 和 3127的近似值.例5 求29sin 的近似值. ( 参阅[1]P 138 E4 ) 3．估计误差：绝对误差估计：,)(0x x f y ?'≈?相对误差估计： ),(ln ln ),0( )(?=>=x f y x f y.)(ln x f d ydyy y =≈?例6（ [1]P 138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为cm 43，并知在测量中绝对误差不超过cm 2.0. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.4. 求速度: 原理: .)(,)( ),(dtdx x f dt dy dx x f dy x f y '='== 例7 球半径R 以sec 2.0cm 的速度匀速增大.求cm R 4=时,球体积增大的速度. [4]P 124 E53 ⅰ) Ex [1]P 116 1—5.。

第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。

定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。

若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。

因此导数也常称为微商。

二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。

第五章 导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。

导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。

导数的概念在于刻划瞬时变化率。

微分的概念在于刻划瞬时改变量。

求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。

本章主要内容如下：1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义；2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。

4． 可导与连续，可导与微分的关系。

导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非凡。

总起来讲： 1） 什么是导数？2） 导数有何用？3） 怎么算导数？4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？§1 导数的概念[学习目的] 使学生准备掌握导数的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。

[学习要求] 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

[学习重点] 导数的概念。

[学习难点] 导数的概念。

[教学方法]“系统讲授”结合“问题教学”。

[学习程序]一 导数的定义1． 引言（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。

具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的。

后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz ）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。

在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。

问题1. 已知曲线求它的切线：曲线方程)(x f y =，),(00y x p =是其上一点，求)(x f y =通过点p 的切线方程。

意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有