微积分中的极限方法数列极限的定义共26页

性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛

单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。

华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
8
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
引例②截丈问题
战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭. 1 第一天截下后的杖长为 X1 ; 2 1 第二天截下后的杖长为 X2 2 ; 2
1 第n天 截 下 后 的 杖 长 为 Xn n ; 2 1 0 Xn n
2
……
9
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是 极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的 精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极 限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系 列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的 大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的 剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积 ，还是杖棰的剩余长 度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数 列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是 人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型.
16
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
(4) 对 0, 2 , , 2 , M ( M正常数 )等, 虽与 在 形式上有差异 ， 但在本质上都与 起着同样的作用 .
lim a n a 0, N N , 当n N时, 有 a n a M .
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
下面给出数列极限严格的数学定义. ( N定义)

2,4,8,16,,2n ,;
（3）
1,1,1,1,, (1)n1,. （4）
一、数列极限的定义
1.描述性定义：当n无限增大时，如果数列
yn无限接近一个确定的常数A，则称数列yn 的极限为A，记为：
lim
n
yn

A
或: yn A（n ）
此时也说数列yn收敛于A。
如： lim 1 0 n n
例：证明 (1) lim n (1)n1 1 (2) lim 4n 3 4
n
n
n 5n 4 5
注：N不是唯一的，我们只要说明它的存在，
没必要去求最小的 N.
N 论证法步骤： 1.对于任意给定的正数 ；
2.由| yn A | 开始分析倒推，推出n ( ) ；
n n 1
lim (1
n

1 2n
)

1
极限是微积分学的一个重要基本概念， 是研究微分学和积分学的基本方法。
§1 数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列叫数列。
可以看成是以正整数为自变量的函数——整
标函数yn f (n) . 如：
1, 1 , 1 , 1 ,, 1 ,; 234 n
（1）
0, 1 , 2 , 3 , 4 , n 1,; （2） 2345 n
3.取 N [( )] ，再用 N 语言顺述结论。
注：并不是所有数列都有极限
例：数列 1，1，－1，1，，（－1）n ， 数列 1,4,9,16,, n 2 ,
发散
2.定理：数列yn收敛数列yn 有界。
但反之不成立。
（数列单调有界，则必有极限）
练习：证明 lim n 1

注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+
三、数列的极限
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
一、概念的引入
一尺之椎，日取其半，永世不竭 .
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。
பைடு நூலகம்
当
n
时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1
.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
要
xn 1
1, 100
由1 1 , n 100
只要 n 100,
2 N1, N 2 使得 当n N1 时恒有| xn a | ;
当n N2 时恒有| xn b | ; 取N maxN1, N2,
则当n N时有 | a b | | ( xn b) ( xn a) |

几何解释：
a
2 a
a2 a1 aN 1 a aN 2 aN x
当n N时, 所有的点an都落在(a , a )内, 至多只有有限个( N个) 落在其外.
12
极限定义的辨析：
lim
n
an
a：
0, N 0, 使n N时, 恒有 | an a | 2 .
N 0, 对 0，使n N时, 恒有 | an a | .
an
a,
或
an a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式| an a | 刻画了an 与a 的无限接近;
2. N一般与任意给定的正数 有关.
11
“ N”定义:
lim
n
an
a：
0 , 正整数N ，使当n N 时 , 恒有 | an a | .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
定理2 收敛的数列必定有界.
注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件. 有界数列不一定收敛. 例如：xn (1)n .
注2 无界数列必定发散. 例如：xn 2n.
19
性质3 收敛数列的保号性
定理3
设
lim
n
an
a, 且a
0
(a
0), 那 么 存 在
正 整 数N 0, 当n N时, 都 有an 0 (an 0).
,
只要 n N 时,
恒有 | an 1 | 成立.
10
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于 n N 时的一切 an ,不等式
| an a | 都成立, 那么就称常数 a 是数列{an } 的极限,

"" 表示"至少有一个" 或"存在".
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a

18 返回
微积分
第一章 极限与连续
注意： (1) 是任意给定(不论多么小), xn a 才能表达 xn无限接近于a (2) N依赖于 ,但不唯一
(3) 几何意义 : 在给出几何意义前, 先了解一下邻域 的概念:
点a的邻域:U (a, ) { x x a } (a ,a )
点a的去心邻域:U (a, ) { x 0 x a }
lim
n
xn
a
或
xn a(n )
如：
1 xn n ,
1 lim 0 ; n n
xn (1)n ,
lim(1)n 不存在 .
n
15 返回
微积分
第一章 极限与连续
描述性定义精确化：
xn无限接近于a, 即 xn a 可以任意小 .
如xn
n (1)n , n
实际上
lim
n
xn
1,
xn 1
微积分
第一章 极限与连续
第一节 微积分中的极限方法
典型问题１：面积问题
2
求由y x , x 1, x轴所围成的曲边三角形的面积S . 步骤：
分割: 将区间 [0,1] n 等分并作矩形; 近似: 第i个小曲边图形的面积为 ( i 1)2 1 ;
nn
7 返回
微积分
第一章 极限与连续
求和:
Sn
(2)由 xn a 求N;
(3)用定义.
22 返回
微积分
第一章 极限与连续
例2 当{ x2k1 } a, { x2k } a, k ,
证明 :
lim
n
xn
a.
注意：
对具体的xn , 由 xn a 解出n N ( );

微积分中的极限方法1-2数列 极限的定义
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的运算性质 • 极限存在准则 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义与性质
定义
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值。即对于任意小 的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，数列的项$a_n$与固 定值$lim a_n$的距离小于$epsilon$。
级数与无穷级数
级数
级数是微积分中研究无穷序列的数学工具。 通过数列极限的定义，我们可以更好地理解 级数的收敛性和发散性，从而更好地研究无 穷序列的性质。
无穷级数
无穷级数是包含无穷多个项的级数，它可以 用来研究函数的性质和行为。通过数列极限 的定义，我们可以更好地理解无穷级数的概 念和性质，从而更好地应用无穷级数解决实
$n$和$n+1$，都有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，那么这个数列就是收敛的。
致密性定理
总结词
致密性定理指出，如果一个数列的任意 子序列都收敛于同一个极限，则该数列 本身也收敛于该极限。
VS
详细描述
致密性定理是极限存在的一个重要的准则 。它表明，如果一个数列的任意子序列都 收敛于同一个极限，那么这个数列本身也 必定收敛于这个极限。这个定理在证明极 限定理和解决极限问题时非常有用。
04
数列极限的应用
无穷小量与连续性
无穷小量
在微积分中，无穷小量指的是一个接近于零 但不等于零的量。在数列极限的定义中，无 穷小量用来描述当项数趋于无穷大时，数列 项的变化趋势。
连续性
连续性是微积分中的一个基本概念，它描述 了一个函数在某一点或某一区间内不间断的 特征。通过数列极限的定义，我们可以更好 地理解函数在某一点处的连续性，即当自变 量趋于这一点时，函数值的变化趋势。

分析已知条件：只有两个不等式，即数列所在的两个区间,
因此，任给的ε 要取同一个， 由极限为a,得数列所在的区间是以a为中心,ε 为半径的邻域； 由极限为b,得数列所在的区间是以b为中心,ε 为半径的邻域.
若数列所在的两个区间没有交集，则能得到矛盾.
由图知,只要半径ε
, ba 2
两邻域没有交集,即得矛盾,证明完成.
数列极限
收敛数列 性质
有界性 唯一性 保号性 任一子数列收敛于同一极限
第六节 极限存在准则
一、准则1 (夹逼准则 The Squeeze Theorem )
1、如果数列xn,yn,zn 满足
(1) 从某项起, 即 n0 N ,当 n n0时，有
yn xn zn ;
(2)
lim
n
yn
lim
n
(
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
二、准则Ⅱ(单调有界准则)
1、单调有界数列必有极限.
如果数列 xn满足
单调增加只有两种可能:无限 增大或无限接近于一个定点
x1 x2 xn xn1 M (单调增加有上界)
lim xn a ( M ) 有等号，是广义单调
n
x1 x2
xn xn1 a
问题: 无限增大,无限接近,如何用数学语言刻划？
数例分析：
当
n
无限增大时,
xn
n 1 n
无限接近于 1.
当n变得足够大时，|
xn
1
|
1 n
变得任意小.
足够大与任意小相关, 无限接近由n刻画
给定 1 0.01,
具体数
要使