§2解析函数的孤立奇点解读

..解析函数的孤立奇点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第五章教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4、充分理解关于本性奇点的两大定理。

教学重点：孤立奇点的三种类型教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。

教学过程：1、解析函数的孤立奇点：设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析，那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。

在D 内，f (z )有洛朗展式,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+ρζζζπαC n n n d z f iρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。

,)(00∑+∞-=-n nn z z α为f(z)的正则部分， ,)(10∑+∞=---n n nz z α为f(z)的主要部分。

例如，0是z e zz z z 12,sin ,sin 的孤立奇点。

一般地，对于上述函数f (z )，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：2、可去奇点 如果当时n =-1,-2,-3,…，0=n α，那么我们说0z 是f (z )的可去奇点，或者说f (z )在0z 有可去奇点。

这是因为令0)(α=z f ，就得到在整个圆盘R z z <-||0内的解析函数f (z )。

例如，0分别是z e zz z z 12,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。

§2 解析函数的孤立奇点 一、教学目标或要求：掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明 重点：解析函数的孤立奇点的分类 难点: 许瓦兹引理的叙述和证明 三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 4－7§2 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的三种类型若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域内可以展开成Laurent 展式 。

定义5.3 设点a 为函数)(z f 的孤立奇点：(1)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent 展式不含负幂项），则称点a 为)(z f 的可去奇点；(2)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为0,)()(11)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称点a 为)(z f 的m 级（阶）极点；(3)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a 为)(z f 的本性奇点．依定义，点0=z 为z z sin 的可去奇点，点0=z 为2e zz的二级极点，点1=z 为z z -1sin的本性奇点． 2. 可去奇点定理5.3 若点a 为)(z f 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： (1) 在点 的主要部分为0；(2)(3) 在点 的某去心邻域内有界。

证由于且在内解析，从而连续，故 。

由于,故取 ，则,即得。

设，考虑在 的主要部分则对 成立，故当 时， 即得。

3.Schwarz 引理如果函数)(z f 在单位圆1||<z 内解析，并且满足条件),1|(|1|)(|,0)0(<<=z z f f则在单位圆1||<z 内恒有|,||)(|z z f ≤ 且有1|)0('|≤f 。

如果上式等号成立，或在圆1||<z 内一点00≠z 处前一式等号成立，则)1|(|)(<=z z e z f ia ，其中a 为一实常数。

浅析复变函数中的孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一种特殊情况，指的是某个点处的函数不连续且无法进行泰勒展开的点。

在实际应用中，孤立奇点经常出现在复函数的分母中，导致分母为零从而使得函数的值无法计算。

因此，了解孤立奇点及其性质对于理解复变函数的研究和应用至关重要。

首先，我们来看一个简单的例子：设$f(z)$为复变函数$\frac{1}{z}$。

此时，我们可以发现，当$z=0$时，函数$f$的值为无穷大，即$f$在$z=0$处有一个孤立奇点。

这是因为当$z$无限地接近于0时，分母会无限地接近于零，从而使得$f$的值趋向于无穷大或负无穷大。

因此，我们可以将孤立奇点定义为“使得函数无法在该点处连续的点”。

在复平面上，孤立奇点通常具有以下几个性质：1. 孤立奇点必须是函数的“独立点”。

也就是说，如果一个点是函数的“可去奇点”、“极限奇点”或“本性奇点”，那么它就不可能是孤立奇点。

2. 孤立奇点是函数的“聚点”。

也就是说，无论以任何方式接近孤立奇点，都必然会进入到“不可解析”的区域内。

3. 孤立奇点有限。

也就是说，一个复变函数的孤立奇点不能无限多。

有了这些性质，我们可以更好地理解孤立奇点的特性和行为。

例如，对于一个孤立奇点，我们可以通过求解$f$的洛朗级数来近似描述它附近的函数行为。

洛朗级数可以看做是泰勒级数在孤立奇点处的推广形式，是一种形如$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为常数，$z_0$为孤立奇点。

通过求解这个级数，我们可以得到$f$的近似值，并进一步研究其性质。

此外，我们还可以通过研究孤立奇点的类型来判断复变函数在该点附近的行为。

根据孤立奇点的定义，我们可以将其分为三类：可去奇点、极限奇点和本性奇点。

可去奇点指的是在该点附近可以重新定义函数使其连续的点；极限奇点指的是在该点附近函数的绝对值无限地增大或减小的点；本性奇点则是既非可去奇点也非极限奇点的孤立奇点，我们通常将这类点称为“真正的”孤立奇点。

解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。

解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。

本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。

并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。

关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。

目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。

但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。

本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。

此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。

在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。

在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。

通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。

孤立奇点1.1 孤立奇点我们把不解析的点称做奇点. 下面我们讨论孤立奇点的定义: 若函数()f z 点0z 不解析，但在0z 的某个去心领域 00||z z r <-<内处处解析，则称0z 为()f z 的孤立奇点.例如,0z =是函数 1()f z z =的孤立奇点.0z =和1z =-都是21()(1)f z z z =+ 的孤立奇点.但并不是所有的奇点都是孤立奇点.如0z =和负实轴上的点都是函数()ln f z z =的奇点.但它们不是孤立奇点. 下面我们看一下函数()f z 在00||z z r <-<内的洛朗展式0()()n n f z C z z +∞-∞=-∑ , (1.1) 101()(0,1,2,)2()p n n C f C d n i z ζζπζ+==±±-⎰ . (1.2) 1.2 孤立奇点的分类根据(1.1)式，可将孤立奇点分为如下几类.1.2.1 可去奇点当(1.1)中0n <时，0n C =，则称孤立奇点0z 为()f z 的可去奇点，即 2010200()()()n n C C z z C z z C z z +-+-++-+ . (1.3) 此时，式(1.2)的和函数()S z 在0z 点解析.当0z z ≠时，()()f z S z =；当0z z =时0()S z C =.但由于0000lim ()lim ()z z z z f z S z C →→===，所以不论()f z 在0z 有无定义.若令00()f z C =，则在0||z z r -< 内有2010200()()()()n n f z C C z z C z z C z z =+-+-++-+ . (1.4) 于是()f z 在0z 点解析.这就是孤立奇点0z 被称可去奇点的原因.例如，sin ()z f z z =，0z =为可去奇点. 这是由于()f z 在0z =的洛朗级数 35111z ()3!5!f z z z z -+（）=24613!5!7!z z z =-+-+ . 中不含负幂项，若约定函数sin ()z f z z =在0z =处的值为0.则函数sin ()z f z z = 在0z =处解析.1.2.2 极点如果只有有限个（至少一个）整数0n <，使得0n C ≠，那么我们说0z 是函数()f z 的极点.如果式(1.1)只含有有限多个0z z -的负幂项，且关于0z z -的最高次幂项为0()m z z --，即1201001020()()()()()m m f z C z z C z z C C z z C z z ----=-++-++-+-+ (1.5) 其中1m ≥，0m C -≠.称孤立奇点0z 为()f z 的m 阶极点. 令21020()+m m m g z C C C --+-+=++ （z-z ）（z-z ）.则(1.4)式可表示为01()=()z-m f z g z （z ），其中()g z 在0||z z r -<内解析，且0()0g z ≠.反之，若(1.4)式成立，则称0z 是()f z 的m 阶极点. 按照1m =或1m >，我们也说0z 是()f z 的单极点或m 重极点. 例如，2()(1)(2)z f z z z =-+，1z =，2z =分别是()f z 的一阶极点和二阶极点. 1.2.3 本性奇点在(1.1)式中如果有无穷多个0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 为()f z 的本性奇点.例如,1()z f z e =,0z =是本性奇点，这是由于()f z 在0z =的去心领域的洛朗级数中含有无穷多个z 的负幂项.不难发现，当z 沿负实轴趋于0时，有10z e →.当z 沿正实轴趋于0时，有1z e →+∞.故01lim z z →不存在，也不为∞.。