解析函数的孤立奇点及留数

内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则

( 2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线 , 函数f ( z )在c内有
有限个孤立奇点 z1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z ) 在c内及c上解析, 则
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
c k 1
n
k
]
( 3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)将c内孤立奇点 zk围绕,
( z)在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点.
z 例 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e ) 如果是极点指出它的阶。
解 显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e 1 0, 即 e
z
z
1 k 0, 1, 2,
z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 负 项幂 次 项 l i m f ( z )不 存 在 ， 也 不 为
n
4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
~~~~~~~~~
例如
----z=0为孤立奇点 f ( z) e 1 f ( z) ----z=1为孤立奇点 z 1
1 z
1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
f ( z)
1
1 但 li m 0, 在z 0不 论 多 么 小 的 去 心 n n y 邻域内 , 总 有f ( z )的 奇 点 存 在 ，

2.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数f (z)如果能表示成：
f (z) (z z0 )m(z) 其中(z)在z0处解析，且(z0 ) 0, m为一正整数，那么z0称为f (z)的m级零点。
例如：z 0和z 1分别是函数 f (z) z(z 1)3的一级和三级零点。
结论：如果f (z)在z0处解析，那么z0为f (z)的m级零点的充分必要条件是： f (n) (z0 ) 0, (n 0,1,2....m 1) , f (m) (z0 ) 0
如果函数：
f (z) cn z n c0 cn z n
n1
n1
(t) cnt n c0 cnt n
n1
n1
则：t 0是(t)的
(1)：不含负幂项(可去奇点)
(2)：含有限多个负幂项，t m为最高负幂项(m级奇点)
(3)：含无限多个负幂项(本性奇点)
对应：z 是f (z)的 (1)：不含正幂项(可去奇点) (2)：含有限多个正幂项，z m为最高正幂项(m级奇点) (3)：含无限多个正幂项(本性奇点)
那么我们说 z0 是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在 z0 有可去奇点。
这是因为令 f (z0 ) 0 ，就得到在整个圆盘
| z z0 | R 内的解析函数f(z)。
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：z 0是 sin z 的可去奇点 z
孤立奇点的分类-极点：
（2）如果只有有限个（至少一个）负整数n，
使得 n 0,
(sinz)3
§5.2 留数定理
1.留数的定义及留数定理
1. 留数定理
设 C 为分段光滑的简单闭合曲线，f (z) 在 C 内除有限孤立
奇点b1,b2 ,L L ,bN 外处处解析，则

n n C z n
则有Res[f (z),∞]=-C-1
注意
z=∞既便是f (z)的可去奇点，f (z)
在z=∞的留数也未必是0，这是同有限点的留
数不一致的地方。
方法2
1 1 Res f ( z ), Res f ( ) 2 ,0 z z
1 f ( z)
3.如果z0是f (z)的m级零点，则z0是 的m级零点。
的m
1 f ( z)
级极点。如果z0是f (z)的m级极点，则z0是
4.如果z0是f (z)的m级极点，则f (z)是可表示为
1 1 ( z) m f ( z ) ( z z0 )
※
Ψ(z)在z0解析，且Ψ(z0)≠0；反之，若f (z)可用(※)表 示，则z0是f (z)的m级极点。 5.设 f ( z ) P(z)的n级极点。
目录
第五章 留数
§1 孤立奇点
§2 留
数
§3 留数在定积分计算上的应用
第五章 留数
§1 孤立奇点
定义5.1.1 若函数f (z)在点z0处不解析，
但在点z0的某个空心邻域0 z z0 R(0 R )
内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。 注意 f (z)在其孤立奇点的空心邻域内
那么dz=ieiθdθ,
2 1 i z 1 sin (e e i ) 2i 2iz 2 1 i z 1 cos (e e i ) 2 2z
从而，所设积分化为沿正向单化周围的积
分：
z 2 1 z 2 1 dz R , 2z 2iz iz z 1
(2)f (z)在z0点的某空心邻域 0 z z0 R 内能 表成

C
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型

1)
[ 1

1 (z
1)

1 3

1
1 z

1]

1 4(z
[ (z 1) n0

1)n

1 3

(1)n
n0

z
3
1
n
]
3
故 Re s[ f (z), 1] 1 1 1
由留数定理得
4 12 3
原式 2 i{Re s[ f (z), 0] Re s[ f (z), 1]}
两边对z求m-1阶 导c1数(z， 得z0 )m1 c0(z z0 )m
d m1 dz m 1
{( z

Байду номын сангаас
z0 )m
f
(z)}
(m
由此可见，n当 0, 1, 2, , m 1时，f (n)(z0 ) 0 ，
要而性f ，(mm)充(!z0分) 性c请0 读0者．自这己就证证明明．了上述结论的必
例５ 问z 0为f (z) z sin z的几级零点？
解： 因为 f (z) 1 cos z，f (z) sin z，f (0) 0 ，
f
(z)

(z

z0 )m
1 g(z)
(z
z0 )m h(z)
，
其中h( z ) 义3可知z
0是g(1zf)(也z)在的zm0级解零析点且．h(
z0
)

0
，由定
定理2为判断函数的极点及其类型提供了一 个较为简便的方法．
1 例指出６它们函为数几s级in极z 点有．哪些奇点？如果是极点，

高考数学冲刺留数定理在定积分计算中的应用高考数学冲刺：留数定理在定积分计算中的应用在高考数学的冲刺阶段，掌握一些高级的数学方法和定理对于提高解题能力和应对复杂问题至关重要。

留数定理作为复变函数中的重要定理，在定积分计算中有着独特的应用，能够帮助我们巧妙地解决一些看似棘手的定积分问题。

首先，让我们来了解一下什么是留数定理。

留数定理是指在复平面上，对于某个解析函数在孤立奇点处的留数与沿着闭合曲线的积分之间存在着一种特定的关系。

简单来说，如果我们能找到函数的奇点，并计算出这些奇点处的留数，就可以通过留数定理来计算相关的积分。

那么，留数定理为什么能用于定积分的计算呢？这是因为一些在实轴上的定积分，可以通过巧妙的变量代换，将其转化为复平面上沿着某个闭合曲线的积分。

然后，利用留数定理，计算出这个复积分的值，从而得到原实轴上定积分的值。

接下来，我们通过一个具体的例子来看看留数定理是如何应用的。

考虑定积分，这个积分在常规的微积分方法中计算起来会比较困难。

我们令，则，。

当从变化到时，正好沿着单位圆的上半部分逆时针转了一圈。

此时，原积分就可以转化为复积分。

然后，我们需要找到被积函数在复平面上的奇点。

对于，分母为零的点就是奇点，即，解得。

因为我们只考虑单位圆的上半部分，所以只有是在我们所考虑的区域内的奇点。

接下来计算奇点处的留数。

留数的计算公式为：，其中是函数在奇点处的洛朗级数展开式中的系数。

对进行洛朗级数展开：。

所以，从而。

最后，根据留数定理，。

通过这个例子，我们可以看到留数定理在计算定积分时的强大作用。

但在实际应用中，还需要注意一些问题。

比如，在进行变量代换时，要确保代换的合理性和正确性，保证积分路径的连续性和封闭性。

同时，对于奇点的判断和留数的计算要准确无误，否则会导致整个计算结果的错误。

另外，留数定理并不是适用于所有的定积分计算，它通常适用于一些具有特定形式的积分，比如含有三角函数、指数函数等的积分。

在遇到具体问题时，需要先观察积分的形式，判断是否可以使用留数定理来求解。

f (z) (z 1)3 (z i )1(z i )1(z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
例4
求
1 f (z) ez 1
的孤立奇点,
并指出奇点的类型.
解 zk (2k 1) i (k 0, 1, 2, ) 是 ez 1 的零点，
有无穷多个奇点. 1
1
k
o
x
z 0 不是函数 sin 的孤立奇点.
z
数学学院
一. 可去奇点 定义1 如果 f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1, 2, 3, 时, cn 0, 则称 z0 是 f (z) 的可去奇点.
f (z) c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n .
内解析，则称 z0 是 f (z) 的孤立奇点.
z0
例如 z 0
是函数
1
ez
和
sin z z
的孤立奇点.
o
x
数学学院
1
例1 证明:z 0不是函数 sin 的孤立奇点.
z
证明
令sin 0，得 k , z 1 , k 1, 2,
z
z
k
lim 1 0, k k
y (z)
所以, 0,在0 | z | 内,
数学学院
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 主讲人:魏平 教授 数学与统计学院
数学学院
回顾 若 z0 是 f (z) 的孤立奇点，此时 f (z)在圆环域
0 z z0 内解析, 展开为Laurent级数
f (z)
cn (z z0 )n ,

0 z z0
其中 c m 0.m 1
则称孤立奇点 z 0 为 f ( z ) 的 m 级极点.
1 极点判别定理: z 0 是 f ( z ) 的 m 级极点 f ( z ) g ( z) m ( z z0 )
其中 g ( z ) 在 z z0 内解析,且 g ( z0 ) 0
如函数 f ( z )
1 f ( z) z ( z 1)
1 z0 0 便是其孤立奇点. z z0 0 z1 1是 f ( z ) 的两个孤立奇
点.但函数奇点不只孤立奇点这一类 .不能认为函数 的奇点都是孤立的.
例如: f ( z )
1 cos 1 z
z0 0 是其一个奇点.但
z z 0 的负幂项,则孤立奇点 z 0 称为 f ( z ) 的本性奇点
例 如 ： 函 数 f ( z) e
1 z
z 0 为它的本性奇点,因为... z n ... 中 含 有 无 穷 多 个 2! n
( z 0) 的负幂项
1 由于 lim lim ( z z0 ) m h( z ) 0 z z0 f ( z ) z z0
1 1 如令 在 z z0 内解析 ,且不恒为零 , 0则 f ( z) f ( z0 )
1 1 m 于是由 的 m 级零点. ( z z 0 ) h( z ) 知 z 0 是 f ( z) f ( z)
1 cos 1 z
的孤立奇点.
下面我们对孤立奇点进行分类 .依据是把 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域展开成洛朗级数 , 根据展开式的不同情 况进行分类 . 此处应强调去心邻域 0 z z0 内 展开,而不是其他环域. 1.可去奇点:如果 f ( z ) 的洛朗展开式中不含 z z 0 的 负幂项,则称孤立奇点 z 0 为 f ( z ) 的可 去奇点.此时

L
那么
( 0 z a ),
(z a)m f (z) cm cm1(z a) L c1(z a)m1 c0(z a)m
L cn(z a)mn L
d m1 dzm1
[(
z
a)m
f (z)]
c1(m 1)! c0m(m 1)L
2(z a)
L cn(m n)L (n 2)(z a)n1 L
记作
Re
s[
f
(z), ]或
Re s z
f
(z), 即
1
1
Re s[ f (z), ]
f (z)dz
f (z)dz.
2 i C
2 i C
无穷远点留数计算：
义：
Re
s[
f
(z),
]
1
2
i
C
n定0 c义nzn：dz
n0
2c定ni C义 zn：dz
C1 .
定义1 ：
1
作变换 z
,则
z3 3和 点,利用外部区域的留数定理,有
dz
C (z i)10(z 1)(z 3)
2i{Re s[ f (z), 3] Re s[ f (z), ]}
例12 设C为 | z | 2正向，计算积分
I
C
(
ez z(1
z
)2
sin
z
1) 4
dz.
解
I
C
ez z(1
z)2
dz
C
sin
z
1
4
dz
C
ez z(1
z)2
dz 0
由留数定理得
I
2 i
Re

§5.2 留 数
一、留数的引入 二、留数定理及留数的求法
三、无穷远点的留数
一、有限远处孤立奇点的留数
1、引入
设 z 0 为 f (z ) 的一个孤立奇点，f (z )
在z0的某去心邻域 z z0 R内解析，C 0
.z
0
C为该邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线．
f (z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数为:

c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
( z z0 )m f ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z0 ) n dz c1 ( z z0 )1 dz
三、无穷远点的留数
1.定义 如果函数f ( z )在无穷远点z 的去心邻域
R z 内解析, 则可将f ( z )在R z 内展成洛朗级数，令f ( z )= cn z
n n
则定义 f ( z ) 在 z 的留数为： 1 Res[f ( z ), ]= f ( z)dz = c1 2 i C
2、定义
f ( z) 在 z0 处的留数为：
1 Res[f ( z ), z0 ]= f ( z)dz =c1 2 i C
C为 z0 的去心邻域 0 z z0 内包围z0的 任意一条正向简单闭曲线.

sin z 的可去奇点. z
lim sin z 1 z0 z
2 极点
如果洛朗级数中只含有限多个 z z0 的负幂项，
且其中关于 z z0 1的最高幂为 z z0 m , 则称
孤立奇点 z0 为 f (z) 的 m 级极点.
在 0 z 内，有
ez 1
z3
1 z3
n0
zn n!
1 孤立奇点的分类
以洛朗级数为工具对解析函数的孤立奇点分类
2 留数定理
以留数定理为工具对解析函数的复积分计算
沈阳 理工
留数 大学
孤立奇点
1 孤立奇点的定义 2 孤立奇点的分类
一、孤立奇点的定义
如果函数 f (z) 在 z0 点不解析，但在 z0 点的某个
去心邻域 0 z z0 内处处解析，则称点 z0 为 f (z)
1
1 z2
1 2!z
1 3!
1z 4!
由于展开式中关于 z1 的最高幂为 z2 , 因此 z = 0
为函数 ez 1 的二级极点. z3
3 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项， 则称孤立奇点 z0 为 f (z)的本性奇点.
在 0 z 内，有
sin 1 z1 z3 z5 (1)n1 z(2n1)
根据展开式中负幂项的不同情况将孤立奇点进行分类.
1 可去奇点
如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项， 则称孤立 奇点 z0为 f (z) 的可去奇点.
在 0 z 内，有
sin z 1 (z 1 z3 1 z5 ) 1 1 z2 1 z4
z z 3! 5!
3! 5!
由于展开式中不含 z 的负幂项，因此 z = 0为函数

第五章 留数§1 孤立奇点一、零点：Def ：设)(z f 在解析区域内点0z 处的值为零，则称0z 为解析函数)(z f 的零点。

如果)()()(0z z z z f m ϕ-=（其中)(z ϕ在0z 解析，且0)(0≠z ϕ，m 为某一正整数），则称0z 为)(z f 的m 级零点（特别1=m 时，0z 为)(z f 的简单零点）显然，3)1()(-=z z z f 有一级零点0=z 和三级零点1=z 。

Th1、0z 为)(z f 的m 级零点⇔0)()()(0)1(00==='=-z fz f z f m ，0)(0)(≠z f m证明：必要性：0z 为)(z f 的m 级零点，)()()(0z z z z f m ϕ-=，)(z ϕ在0z 解析，且0)(0≠z ϕ，)(z ϕ可以在0z 展成Taylor 级数， +-+-+=202010)()()(z z C z z C C Z ϕ（0)(00≠=z C ϕ）故 +-+-+-=++20210100)()()()(m m m z z C z z C z z C z f ，即是说)(z f 在0z 的Taylor 展式前m 项系数为零，即0)(0)(=z fn （1,,1,0-=m n ）而0!)(0)(0≠=m z f C m ，即0)(0)(≠z f m 充分性：)(z f 在0z 的展式： +--+-+=--100)1(0010)()!1()()(!1)()()(m m z z m z f z z z f z f z f)()()()!1()(!)()()()!1()()(!)(000)1(0)(0100)1(00)(z z z z z m z f m z f z z z z m z f z z m z f m m m m m m m ϕ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-=+-++-=+++ 令 +-++=+)()!1()(!)()(00)1(0)(z z m z f m z f z m m ϕ，有)(z ϕ在0z 解析，且0)(0≠z ϕ例、考察函数z z z f sin )(-=在原点0=z 的性质解：显然)(z f 在0=z 解析，且0)0(=f ，由)!5!31()!5!3()(2353 +-=++--=z z z z z z z f 或由 z z f cos 1)(-='，z z f sin )(=''，z z f cos )(='''得0)0(='f ，0)0(=''f ，01)0(≠='''f知0=z 为z z z f sin )(-=的三级零点 二、孤立奇点：称0z 为)(z f 的孤立奇点，是指函数)(z f 在0z 不解析，但在0z 的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析。

定义： 所以
f( g(
z z
) )
(
z
z0
)mn
( (
z z
) )
,
：
其中
( (
z z
) )
在 z0
(
解析，且 (
z0 z0
) )
0,
f(z)
若 m n ，由定理 2 知，当对 g( z ) 在z0 补充定义后z0
f(z)
可看作 g( z ) 的 m n 级零点；
，
若m
n
，
lim
zz0
f(z) g( z )
展 开 式 有 无 限 多 个 z z0 的 负 幂 项 ， 即 ：
f ( z ) cn( z z0
n
)n
L
cm ( z z0
)m
L
c0 c1( z z0
)L
其中当 n 0时有无穷多个 cn 0，则称 z0 是 f ( z ) 的本
性奇点。
例3：
1
f ( z ) z3ez 在 z 0 的去心邻域的 Laurent 展开式为：
f(z)
cm ( z z0
)m
L
c1 z z0
c0
c1( z z0
)L
（1.3）
其中 cm 0( m 1 ),则称 z0 是 f ( z ) 的 m 级极点。
例2：
ez 1 z
z5 在 z 0 的去心邻域的 Laurent 展开式为：
ez
1 z z5
1 2!
1 z3
1 3!
1 z2
1
z3e z
z3 [1
1 z
1 2!
1 z2
L

留数定理的证明留数定理是复变函数论中的重要定理之一，它建立了复数函数与复积分之间的联系。

留数定理为我们解决复积分问题提供了有力的工具，被广泛应用于数学和物理等领域。

本文将对留数定理进行详细的证明。

我们先来了解一下留数的概念。

在复变函数中，如果函数在某点处解析（即在该点的领域内可导），则该点称为函数的一个孤立奇点。

留数就是在奇点处计算复函数的积分时所需要的系数。

具体来说，对于一个函数f(z)，如果它在点z0处有一个孤立奇点，那么f(z)在z0处的留数记作Res(f, z0)，它可以通过以下公式计算得出：Res(f, z0) = 1/(2πi) ∮(f(z)dz)其中∮表示沿着一个简单闭合曲线C的积分。

接下来，我们来证明留数定理。

假设f(z)是一个在区域D上解析的函数，除了有限个孤立奇点外，它在D上处处解析。

如果C是D内一条简单闭合曲线，它的内部包含所有的孤立奇点，那么对于任意一个孤立奇点z0，有以下留数定理成立：∮(f(z)dz) = 2πi ∑(Res(f, zk))其中zk表示C内的孤立奇点。

要证明留数定理，我们需要使用柯西定理。

柯西定理表明，如果f(z)是一个在区域D上解析的函数，C是D内一条简单闭合曲线，那么对于任意一个在C内的点z0，有以下公式成立：f(z0) = 1/(2πi) ∮(f(z)/(z-z0)dz)这个公式可以通过柯西积分公式推导得出。

现在，我们开始证明留数定理。

首先，我们可以将f(z)展开成幂级数的形式，即：f(z) = ∑(an(z-z0)^n)其中an为函数f(z)的系数，n为非负整数。

将这个幂级数代入柯西定理的公式中，可以得到：∮(f(z)dz) = ∮(∑(an(z-z0)^n)dz)= ∑(an∮((z-z0)^ndz))这里的∮((z-z0)^ndz)可以根据幂级数的展开式进行计算。

当n=-1时，∮((z-z0)^ndz)等于2πi。

当n≠-1时，∮((z-z0)^ndz)等于0。

任何一条简单正向闭曲线，则积分
1
f (z)dz
2i C1
称为f (z)在的留数. 记作
Res[ f (z), ] 1 f (z)dz
2i C1
1
2 i
f (z)dz
C
也就是说 Re sf ()等于 f (z)在
的去心邻域的罗朗展开式中 1 项系数的负值．
z
-2-
2). 留数定理
设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点z1, z2,, zn
o
x
-16-
设上半圆盘边界为Cr. 取 r>1，那么 z=i 包含在Cr的 区域内. 沿 Cr 取 f (z)的积分，得
dz
Cr (1 z 2 )2
r r
dx (1 x2 )2
dz r (1 z2 )2
y
2iRes[
(1
1 z
2
)2
,i]
r
2i 1 .
4i 2
r o
rx
r dx
2
,
2i
iz
,
f (z)d z
|z|1
其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零,
根据留数定理有
n
f (z) d z 2π i Res[ f (z), zk ]
| z| 1
k 1
•其中 zk (k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.
-12-
dz
dz
r (1 x2 )2 Cr (1 z2 )2 r (1 z2 )2
-17-
现在估计积分
dz
r (1 z2 )2
我们有
dz
r (1 z2 )2