线性变换的矩阵

第七章 线性变换 学习单元3： 线性变换的矩阵_________________________________________________________● 导学 学习目标：理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。

学习建议：线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。

建议大家多看书，认真理解概念与结论。

重点难点：重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。

难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。

_________________________________________________________● 学习内容 一、线性变换的确定设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ，()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。

即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。

命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。

命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。

定理 设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。

例 设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。

,,
n与1,

2
,,

是线性空间
n
V
中的两组基 ,并且由基 1,2 ,,n到基1, 2 ,, n
的过渡矩阵为 P,V中的线性变换在两组基 下的矩阵
分别为A, B,则有B P1AP.
证明
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P T 1,2,,n 1,2,,n A, T 1, 2,, n 1, 2,, n B
该基下的坐标(x1, x2 ,, xn )和该基的像T (1),T (2 )
,T (n )所确定 3.线性变换矩阵
由于T (1),T (2 ),T (n )是V中的向量,所以可由1,
2 ,n线性表示.所以有
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
a22

an2

a2n



(
,
1

ann
,,
2
),
n
a
i
2i

,
a ni
定义Rn中的变换 y T (x)为 T( x) Ax,( x Rn),
则T为线性变换.
总结:要证一个变换 T 是线性变换，必须证 T 保持 加法和数量乘法，即
证毕.
定理表明：A 与B 相似,且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵．
例４ 设V 2中的线性变换T在基 1 , 2下的矩阵为
A a11 a12 , a21 a22
求T在基 2 , 1下的矩阵.
解
(
2
,
1)

(
1 ,
2)

0 1
1 , 0

即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理１ 定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
α 1 ,α 2 ,L ,α n ; β 1 , β 2 , L , β n ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,

矩阵A称为线性变换 下的矩阵. 矩阵 称为线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵 称为
注： ① A的第 列是 σ (ε i ) 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标， 的第i列是 下的坐标， 的第
它是唯一的. 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 它是唯一的. 故 σ 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
高 等 代 数
命题4.2.1设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基， ,τ 是线性空间V的一组基 σ 的一组基， 命题
的线性变换， 为V的线性变换，若 σ (ε i ) = τ (ε i ), i = 1, 2,L , n . 的线性变换 则 σ =τ. 证：对 ∀ξ ∈ V , ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
σ (ε 1 ) = α11ε 1 + α 21ε 2 + L + α n1ε n σ (ε 2 ) = α12ε 1 + α 22ε 2 + L + α n 2ε n LLLLLLLLLLLLL σ (ε ) = α ε + α ε + L + α ε n nn n 1n 1 2n 2
从而， (ξ ) = x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n ). 从而， σ
σ 由此知， 完全确定. 由此知， (ξ ) 由 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 完全确定