线性变换及其矩阵

线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。

设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。

即T(V)={ β=T(α)|α∈V},显然T(V) ⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。

定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。

那么，就称T为从V n到U m的线性变换。

说明：○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。

○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下的象。

○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空V n中的线性变换。

下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。

二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。

(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。

记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。

设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。

线性代数之——线性变换及对应矩阵1. 线性变换的概念当⼀个矩阵A乘以⼀个向量\boldsymbol v时，它将\boldsymbol v变换到另⼀个向量A\boldsymbol v。

进来的是\boldsymbol v，出去的是T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v。

⼀个变换T就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字x，得到f(x)。

但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的\boldsymbol v，我们是将整个空间\boldsymbol V进⾏变换当我们⽤A乘以每⼀个向量\boldsymbol v时。

⼀个变换T，为空间\boldsymbol V中的每⼀个向量\boldsymbol v分配⼀个输出T( \boldsymbol v)。

这个变换是线性的，如果它满⾜：(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v)\space 对任意 \space c \space 成⽴我们可以将这两个条件结合成⼀个，T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)矩阵相乘满⾜线性变化，因为A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w始终成⽴。

线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。

在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓形。

这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。

变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。

但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合Av，零空间包含所有使得Av=0的输⼊。

线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。

线性变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。

本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。

1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射：(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。

(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。

2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而方便计算和分析线性变换的性质。

对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。

矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。

3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。

(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。

(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。

4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质：(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。

对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。

(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。

若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。

(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。

像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。

5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。

选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。

对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。

第三讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为y x T =)(称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。

若变化T 还满足)()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈∀,,称T 为线性变换。

[例1] 二维实向量空间122i R R ξξξ⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，将其绕原点反时针方向旋转θ角的操作即⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121cos sin sin cos ξξθθθθηη就是一个线性变换。

[例2] 次数不超过n 的全体实多项式nP 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}21,,,,n x xx ，微分算子dD dx=是n P 上的一个线性变换。

[例3] 取定矩阵nn K C B A ⨯∈,,，定义nn K ⨯的变换C XB AX X T ++=)( n n K X ⨯∈,是否是线性变换 2. 性质（1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素（3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。

但（4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算（1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ∀∈=（2） 零变换0T ：0,0x V T x∀∈=（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ∀∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T（4） 线性变换的和1T +2T ：x V ∀∈，1212()TT x T x Tx +=+（5） 线性变换的数乘kT ：x V ∀∈，()()kT xk Tx =负变换：()()T xTx -=-（6） 线性变换的乘积12TT ：x V ∀∈，1212()()TT x T T x =（7） 逆变换：x V ∀∈，若存在线性变换S 使得eT TS ST ==，则称S 为T 的逆变换 （8） 线性变换的多项式：n n T T T T =个，并规定0e T T = 0()Nnn n f T a T==∑→()Nn n n f T x a T x ==∑需要说明的是：1）线性变换的乘积也是线性变换；2）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；满足结合律；3）不是所有的变换都具有逆变换，线性变换可逆的充要条件是线性变换是一一对应的 4）若线性变换T 可逆，则其逆变换唯一且1-T 也是线性变换；5）线性空间V 上的线性变换的全体对于定义的加法与数乘运算构成数域K 上的线性空间二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。

第二章 线性变换与矩阵代数学最基本的研究对象是代数系统本身的结构和不同代数系统之间的联系.上一章,对线性空间这种最重要和最基本的代数系统作了比较深入的研究.本章讨论线性空间之间的联系,即线性空间之间的映射,而很多时候这种映射被称为变换.一、教学目标与基本要求线性变换和矩阵 掌握线性变换的概念及性质，以及逆变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示方法，掌握矩阵线性空间的概念以及矩阵的乘法，了解矩阵的转置及分块，掌握方阵的逆的概念及其求法，了解矩阵的初等变换及初等方阵的概念（一）重要内容及定理1．线性变换概念及其性质设V ,W 是两个线性空间.一个V 至W 的线性映射T ,就被称为V 至W 的线性变换. 定义2.1.1集合})(|{θx x x =∈T V 且被称为线性变换T 的零空间(或称为T 的核),记为)(T N .定理2.1.1T 的值域W V T ⊂)(是W 的一个子空间.T 映V 的零元素为W 的零元素. 定理2.1.2若V 是有限维的,则)(V T 也是有限维的,且有dim N (T )+dim )(V T =dim V即一个线性变换的零维与秩之和等于其定义域的维数.定义2.1.2设S ,T 是任意的V 至W 的线性变换,c 是任意实数.按如下方式定义线性变换的加法和数乘:)()())((x x x T S T S +=+.)())((x x cT cT =.这里x 是V 中任意元素.容易验证,按此定义的线性变换的加法和数乘,使全体V 至W 的线性变换构成之集成为一个线性空间,将其记为)(W V L ,.定义2.1.3设U ,V ,W 是任意三个集合.T :U →V ,S :V →W 是两个映射,复合映射ST :U →W 按如下方式定义:)]([))((x T S x ST =,任意U ∈x .映射的复合显然不满足交换律.但满足结合律,即若T :U →V ,S :V →W ,R :W →X ,则有T RS ST R )()(=.定义2.1.4对映射T :V →V 按如下方式定义其幂:I T =0,1n-n TT T =(n ≥1取整数)这里I 是恒等映射.2．逆 变 换定义2.2.1给定集合V ,W 及映射T :V →W .映射S :)(V T →V 被称为T 的左逆,如果对任何x ∈V ,有x x T S =)]([.此时,若用V I 记V 中的恒等映射,则有=ST V I .映射R :)(V T →V 被称为T 的右逆,如果对任意y ∈)(V T ,有y y R T =)]([.此时,若用V)T (I 记)(V T 中的恒等映射,则有=TR V)T (I .定义2.2.2设T :V →W 是1-1映射,则T 有唯一左逆(它同时是T 的右逆),将其记为1-T .此时称T 是可逆映射,并称1-T 为的T 逆.定理2.2.1 一个映射T :V →W 最多有一个左逆.若T 有左逆S ,则S 也是T 的右逆. 定理2.2.2若映射T :V →W 是单射,则T 必有左逆.反之亦真.定理2.2.3设V ,W 是线性空间,)(W V L T ,∈,则下列命题等价:(1)T 是V 和)(V T 间的1-1映射.(2)T 是可逆映射,其逆1-T :)(V T →V 是线性变换.(3)θx =)(T 蕴涵θx =.换言之,零空间N (T )只含V 的零元素.定理2.2.4设V ,W 是线性空间,V 是有限维的(设dim V n =),)(W V L T ,∈.则下列命题等价:(1)T 是V 和)(V T 间的1-1映射.(2)若}{1k e e ,, 是V 中独立集,则)}()({1k T T e e ,,是)(V T 中独立集. (3) dim )(V T n =.(4)若}{1n e e ,, 是V 的一组基,则)}()({1n T T e e ,,是)(V T 的一组基.3 线性变换的矩阵表示定理2.3.1设}{1n e e ,, 是n 维空间V 的一组基,n u u ,, 1是线性空间W 中任意n 个元素.则唯一存在线性变换T :V →W , 使k k T u e =)(,n k ,,1=. (2.3.1) 而且,此变换对任意∑==n k k k x 1e x ∈V ,有∑==n k k k x T 1)(u x .定理2.3.2设V 是n 维线性空间, }{1n e e ,, 是V 的一组基；W 是m 维线性空间, }{1m w w ,, 是W 的一组基.T :V →W 是线性变换,][ik a 是T 在给定基下的矩阵表示.则对任意∑==n k k kx 1e x ∈V ,若设∑==mi i i y T 1)(w x ,则 ∑==n k k ik i x ay 1，m i ,,1=. 定理2.3.3设V 和W 是有限维线性空间,dim V n =,dim W m =,)(W V L T ,∈,)(dim V T r =是T 的秩.则存在V 中一组基}{1n e e ,, 及W 中一组基}{1m w w ,, ,使i i T w e =)(,r i ,,1=, θe =)(i T ,n r i ,,1+=.4 矩阵线性空间定义2.4.1设][ik a A =,][ik b B =是两个同型矩阵,c 是任意数.矩阵A 与B 的和(记为B A +)及数c 与矩阵A 的乘积(记为cA 或Ac )定义为][ik ik b a B A +=+,cA =][ik ca Ac =.重要结论：设V 和W 是两个线性空间,dim V n =,dim W m =,V 和W 的基已经取定.则线性空间)(W V L ,与线性空间n m M ,是同构的5 矩阵乘法定义2.5.1设p m ij a A ⨯=][及n p ij b B ⨯=][是任意两个p m ⨯及n p ⨯矩阵.则矩阵A 与矩阵B 的乘积AB 定义为n m ij c ⨯][,这里∑==pk kj ik ij b a c 1,m i ,,1=；n k ,, 1=. 6 矩阵的转置及分块定义2.6.1给定矩阵n m ij a A ⨯=][.称第i 行第j 列元素为ji a 的m n ⨯矩阵为A 的转置矩阵,记为TA .定义2.6.2设][ij a A =为n 阶方阵.若有A A =T ,即A 的元素满足ji ij a a = )1(n j i ,,, =,则称A 为对称阵.7 方阵的逆矩阵的初等变换和初等方阵定义2.7.1设A 是一个n 阶方阵.若另有n 阶方阵B 使得n E BA =,则称A 是非奇异方阵,并称B 是A 的左逆.(1)对调两行(对调i ,j 两行,记着ij R ).(2)以数0≠k 乘某一行中所有元素(第i 行乘k ,记着i kR ).(3)把某一行所有元素的k 倍加到另一行相应元素上去(第j 行的k 倍加到第i 行上,记着j i kR R +).定理2.7.2设A 是一个n m ⨯矩阵,对A 施行一次行初等变换,相当于以相应的m 阶初等方阵左乘A ；对A 施行一次列初等变换, 相当于以相应的n 阶初等方阵右乘A .定理2.7.3设A 是可逆方阵,则存在有限个初等方阵1F ,2F ,…, l F ,使 l F F F A 21=.（二）领会1． 领会线性变换的定义；2． 领会线性变换与矩阵的关系；3． 领会线性变换空间与同型矩阵空间的同构；。

矩阵与线性变换矩阵是线性代数中一个重要的概念，而线性变换则是与矩阵紧密相关的一个概念。

本文将介绍矩阵和线性变换的基本概念及其相关性质。

一、矩阵的定义与性质矩阵是由各种数按照一定的排列方式组成的矩形阵列。

通常用大写字母表示矩阵，如A、B等。

一个m×n的矩阵表示有m行n列的矩阵，其中每个元素可以是实数或者复数。

矩阵加法：对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的和A + B也是一个同样维数的矩阵，其中每个元素等于对应位置的两个矩阵元素的和。

矩阵乘法：矩阵乘法是按照一定的规则，将一个m×n的矩阵A乘以一个n×p的矩阵B得到一个m×p的矩阵C。

矩阵乘法具有结合律但不满足交换律。

单位矩阵：单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其余元素全为0。

用I表示，即I = [1 0 0 ... 0; 0 1 0 ... 0; ...; 0 0 0 ...1]。

二、线性变换的定义与性质线性变换是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数。

线性变换可以用矩阵来表示，而变换前后的向量可以用矩阵乘法的形式表示。

线性变换的定义：对于向量空间V和W，若存在一个映射T：V → W，满足以下两个条件，即可称T为线性变换：1. 对于任意的向量u、v∈V和标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。

2. T(0) = 0，即线性变换将零向量映射为零向量。

线性变换与矩阵的关系：我们可以通过一个m×n的矩阵A来表示一个线性变换T：R^n → R^m。

对于向量x∈R^n，线性变换T的值可以通过矩阵乘法的形式表示，即T(x) = Ax。

线性变换的性质：1. 线性变换保持向量空间的线性运算，即对于任意的向量u、v∈V和标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。

2. 线性变换将零向量映射为零向量，即T(0) = 0。