七年级数学培优新帮手专题3与角相关的问题试题新版新人教版

6.3角的培优练习人教版2024—2025学年七年级上册一、夯实基础1.把40°10'12″化为用度表示，下列正确的是（）A．40.11°B．40.16°C．40.17°D．40.26°2.将12.28°转化为度分秒的形式为（）A．12°20′8″B．12°16′48″C．12°12′48″D．12.28°3.18°+24°32′＝（）A．42°32′B．42.32°C．24°50′D．24.5°4．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG为折痕，则∠FEG的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．110°5．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE ＝60°，则∠BOD的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°6.如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）A．20°B．40°C．60°D．80°第4题第5题第6题7．小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（）A．南偏东60°方向B．北偏西60°方向C．南偏东50°方向D．北偏西50°方向8.已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．112°C．28°或112°D．68°9.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，则∠AOC等于（）A．40°B．60°或120°C．120°D．120°或40°10．34.37°＝34°′″．11.如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为°．12．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB＝度．13．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠AOD＝145°，则∠BOC＝度．二、能力提升类型一：动手操作解决折叠问题的方法例1.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，求∠EMF的度数变式1.如图所示，把正方形ABCD 中的∠A 折叠，折痕为EF ，则∠1+∠2的度数为 ．变式2.点O ，E 分别是长方形纸片ABCD 边AB ，AD 上的点，沿OE ，OC 翻折，点A 落在点A ′处，点B 落在点B ′处．（1）如图1，当点B ′恰好落在线段OA ′上时，求∠COE 的度数；（2）如图2，当点B ′落在∠EOA ′的内部时，若∠AOE ＝36°，∠BOC ＝64°，求∠A ′OB ′的度数；（3）当点A ′，B ′落在∠COE 的内部时，若∠COE ＝α，求∠A ′OB ′的度数（用含α的代数式表示）．类型二：关于钟表的时针与分针的夹角问题解题方法时钟认识：如图3，钟表的表面被均分为12大格，60小格，中表面可看成是以圆心为顶点的周角，则每一大格为30°（含5个小格），每个小格为6°，即：时针：每小时转过30°，每分钟转过0.5°；时针转过的角度为：小时数×30°+分钟数×0.5°分针：每分钟转过6°分针转过的角度为：分钟数×6°时针与分针的初始位置定位12点整，m 时n 分时针与分针的夹角为A∠（ 1800≤∠≤A ）, 图3则nmnnmA2113065.030-=-+=∠，（或nmA21130360--=∠）例2.求4:30时，钟面上时针与分针的夹角是多少度?变式1.1:50时，钟面上时针与分针的夹角是度。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.3角及其比较运算专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题,选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•天山区校级期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）A．∠1与∠AOB是同一个角B．∠α与∠COB是同一个角C．∠AOC可以用∠O来表示D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【分析】由角的概念，角的表示方法，即可判断．【解析】A、∠1与∠AOB是同一个角，正确，故A不符合题意；B、∠α与∠COB是同一个角，正确，故B不符合题意；C、在角的顶点处只有一个角时，才能用一个大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合题意；D、图中共有三个角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正确，故D不符合题意．故选：C．2．（2021秋•新乐市期末）若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）A．5°12'B．5°7'12''C．5°7'2''D．5°10'2''【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．【解析】∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．故选：B．3．（2022春•冠县期中）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）A．118°B．108°C．62°D．152°【分析】利用∠AOC＝90°，∠1＝28°，进而求出∠BOC的度数，利用平角的定义可知∠BOD＝180°，即可求出∠2的度数．【解析】∵∠AOC＝90°，∠1＝28°，∴∠BOC＝90°﹣28°＝62°，∵点B，O，D在同一直线上，∴∠BOD＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣62°＝118°．故选：A．4．（2021秋•乌当区期末）如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（ ）A．20°B．45°C．60°D．70°【分析】由∠COB与∠AOC互补得到∠COB，由OD是∠AOC的平分线得到∠DOC的度数．【解析】由题意可知，∠COB与∠AOC互补，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵射线OD是∠AOC的平分线，∴∠DOC＝∠AOC＝70°．故选：D．5．（2022春•东营期末）如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（ ）A．B．C．∠BOC＝∠AOD D．【分析】根据角平分线的定义逐一进行判断即可．【解析】∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∴∠COD＝∠AOB，故A选项不符合题意；∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3∠BOD，∴∠BOD＝∠AOD，故B选项不符合题意；∴∠BOC＝∠AOD，故C选项符合题意；∵∠AOB＝4∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，故D选项不符合题意；故选：C．6．（2022春•红河州期末）在同一平面内，若∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，则∠BOC的度数是（ ）A．15°B．105°C．25°或105°D．15°或105°【分析】根据题意画出图形，分两种情况考虑：当OC在∠AOB内部时；当OC在∠AOB 外部时，分别求出∠BOC的度数即可．【解析】当OC在∠AOB内时，如图所示：∵∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝15°；当OC在∠AOB外时，如图2所示：∵∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝105°．故选：D．7．（2022•南昌模拟）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则下列结论中正确的个数有（ ）①∠AOE＝∠EOC②∠EOC＝∠COB③∠AOD＝∠AOE④∠DOB＝2∠AODA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的定义得出∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC＝60°，再根据对顶角相等求出答案即可．【解析】∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC＝60°，∴∠AOD＝∠BOC＝60°，∴∠BOD＝120°，∴①②③④都正确．故选：D．8．（2022春•乳山市期末）如图，∠AOB与∠COB的度数分别记为m，n（m＞n），OM，ON分别是∠COB，∠AOC的平分线，则∠MON的度数为（ ）A．B．C．D．【分析】根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论．【解析】∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝m+n，∵射线ON平分∠AOC，∴∠CON＝∠AOC＝（m+n），∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOC＝n，∴∠MON＝∠CON﹣∠COM＝（m+n）﹣n＝m；故选：A．9．（2021秋•惠安县期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ）A．α+β+γ＝90°B．α+β﹣γ＝90°C．α﹣β+γ＝90°D．α+2β﹣γ＝90°【分析】根据β＝∠BOD﹣∠BOC，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOF 的度数从而求解．【解析】如图：∵∠DOE＝90°﹣α，∴∠BOD＝90°﹣∠DOE＝α，∵∠BOC＝90°﹣γ，又∵β＝∠BOD﹣∠BOC，∴β＝α﹣（90°﹣γ）＝α﹣90°+γ，∴α﹣β+γ＝90°，故选：C．10．（2022春•忠县期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为（ ）A．60°B．67°C．77°D．87°【分析】根据前三个图形可知图①中OC1为2等分线，图②中OC1为3等分线，图③中OC1为4等分线，依次类推，可得第④个图中OC1为5等分线，计算即可得出答案．【解析】根据题意可得，图①中，∠AOC1＝＝，图②中，∠AOC1＝＝，图③中，∠AOC1＝＝＝15，依次类推，第④个图中，∠AOC1＝＝，∴前④个图形中的∠AOC1之和为30°+20°+15°+12°＝77°．故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2022春•牟平区期中）从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度是　138°　．【分析】根据钟面角的特征得出分钟每转动“1分钟”所转过的角度，再计算从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度即可．【解析】由钟面角的特征可知，分针每转动“1分钟”，转过的角度为360°÷60＝6°，所以从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度是6°×（35﹣12）＝138°，故答案为：138°．12．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于　57°42′　．【分析】先将0.3°化成18′，即∠β＝15.3°＝15°18′，然后计算两个角的和即可．【解析】∵∠β＝15.3°＝15°+0.3×60′＝15°18′，∴∠α+∠β＝42°24′+15°18′＝57°42′．故答案为：57°42′．13．（2021秋•藁城区期末）在同一平面内，若∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，则∠BOC＝　102°或48°　．【分析】分情况计算∠BOC的可能取值，当∠AOC在∠AOB外部时和在∠AOC内部时两种情况，利用角的加减计算即可．【解析】当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝27°+75°＝102°；在∠AOB内部时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣27°＝48°．故答案为：102°或48°．14．（2022春•宁阳县期末）如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与A′，B 与B′，C与C′重合，若∠AED＝26°38'，则∠BEF的度数为　63°22′　．【分析】根据折叠的性质和平角的定义即可得到结论．【解析】根据翻折的性质可知，∠AED＝∠A′ED，∠BEF＝∠FEB′，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′＝180°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∵∠AED＝26°38′，∴∠BEF＝63°22′．故答案为：63°22′．15．（2022春•上虞区期末）如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝　2或8或32　秒时，射线OA，OC与OD中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．【分析】分三种情况进行解答，即①射线OA是∠COD的平分线，②射线OC是∠AOD 的平分线，③射线OD是∠COA的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可．【解析】当射线OA是∠COD的平分线时，∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分线，∴∠AOD＝∠COD＝20°，∴t＝＝2；当射线OC是∠AOD的平分线时，∠AOD＝2∠COD＝80°，∴t＝＝8；当射线OD是∠COA的平分线时，360﹣10t＝40，∴t＝32，故答案为：2或8或32．16．（2021秋•巴彦县期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是　45°或25°　．【分析】分两种情况，当∠AOB在∠AOC的内部时，当∠AOB在∠AOC的外部时，分别求出∠AOM和∠AOD的度数，即可求出答案．【解析】分为两种情况：如图①，当∠AOB在∠AOC的内部时，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD＝，∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝35°﹣10°＝25°；如图②，当∠AOB在∠AOC的外部时，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴，∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+10°＝45°，故答案为：25°或45°．17．（2021秋•庐阳区校级期末）在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角∠AOB 分成∠AOE、∠BOE两部分，已知∠BOE＝α，OC为∠AOE的平分线，∠DOE＝90°，则∠COD＝　或180°﹣　．（用含有α的代数式表示）【分析】分两种情况：射线OD，OE在直线AB的同侧；射线OD，OE在直线AB的异侧；利用角平分线的定义，互补，角的和差关系即可求得结果．【解析】①当射线OD，OE在直线AB的同侧时，如图所示：∵OC为∠AOE的平分线，∴∠1＝∠2，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，∴∠AOE＝180°﹣α，∴∠1＝∠2＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠COD＝∠DOE+∠1＝90°+90°﹣＝180°﹣；②当射线OD、OE在直线AB的异侧时，如图所示：∵OC为∠AOE的平分线，∴∠l＝∠2，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，∴∠AOE＝180°﹣α，∴∠1＝∠2＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠COD＝∠DOE﹣∠1＝90°﹣（90°﹣）＝．综上所述，∠COD＝或180°﹣．故答案为：或180°﹣．18．（2021秋•仓山区期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE＝　360°﹣4α　．（用含α的式子表示）【分析】设∠DOE＝x，则∠BOE＝2x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．【解析】设∠DOE＝x，则∠BOE＝2x，∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，∴∠BOD＝3x，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣3x．∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣3x）＝90°﹣x．∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣32x+x＝a，解得x＝180°﹣2α，∴∠BOE＝2x＝360°﹣4α，故答案为：360°﹣4α．三．解答题（共6小题）19．（2022春•让胡路区校级期末）计算题．（1）34°27′36″÷2；（2）58°32′21″﹣20°42′44″．【分析】根据度、分、秒的计算方法进行计算即可．【解析】（1）34°27′36″÷2＝17°13.5′18″＝17°13′48″；（2）58°32′21″﹣20°42′44″＝57°91′81″﹣20°42′44″＝37°49′37″．20．（2021秋•云岩区期末）已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）利用平角减∠AOC求出∠BOC，再利用角平分线定义求出∠COE的度数；（2）利用平角减∠AOC求出∠BOC，再利用角平分线定义求出∠COE的度数，再由∠COD减去∠COE就是∠DOE的度数．【解析】（1）∵OE平分∠BOC，∠AOC＝30°，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，∴∠COE＝150°×＝75°．（2））∵OE平分∠BOC，若∠AOC＝α，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∴∠COE＝（180°﹣α）×＝90°﹣α，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．21．（2021秋•绵阳期末）如图，点O是直线AB上一点，OM，ON在直线AB的异侧，且∠MON＝90°，OE平分∠MOB，OF平分∠AON．（1）若∠BOM＝150°，求∠BOE和∠NOF的度数；（2）设∠AOF＝θ，用含θ的式子表示∠MOE．【分析】解：（1）由OE平分∠BOM，可以求出∠BOE的度数，根据平角求出∠AOM30°，由∠MON＝90°，求出∠AON＝90°﹣30°＝60°，再根据OF平分∠AON，即可求出∠NOF的度数．（2由OF平分∠AON，得到∠AON＝2θ，所以∠MOA＝90°﹣2θ，由平角得到∠BOM＝180°﹣（90°﹣θ）＝90°+θ，再根据OE平分∠MOB，即可求出∠MOE．【解析】（1）∵OE平分∠BOM，∠BOM＝150°，∴∠BOE＝，∵∠BOM＝150°，∴∠AOM＝180°﹣150°＝30°，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°﹣30°＝60°，∵OF平分∠AON，∴∠NOF＝．（2）∵∠AOF＝θ，OF平分∠AON，∴∠AON＝2θ，∵∠MON＝90°，∴∠MOA＝90°﹣2θ，∴∠BOM＝180°﹣（90°﹣2θ）＝90°+2θ，∵OE平分∠MOB，∴∠MOE＝∠BOM＝45°+θ．22．（2021秋•长安区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠DOE＝15°．（1）若∠AOB＝48°，求∠BOE的度数；（2）若∠AOD与∠BOD的和是180°，求∠AOC的度数．【分析】（1）可以根据角平分线的定义求得∠COD，∠BOC的度数，即可求∠BOD；（2）设∠AOB＝α，则∠AOD＝2α+15°，∠BOD＝α+15°，由题意列出方程，解方程即可．【解析】（1）因为OB是∠AOC的平分线，所以∠AOB＝∠BOC＝48°，因为OD是∠COE的平分线，所以∠COD＝∠DOE＝15°，所以∠BOE＝∠BOC+∠COD+∠DOE＝48°+15°+15°＝78°；（2）设∠AOB＝α，所以∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝2α+15°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝α+15°，因为∠AOD+∠BOD＝180°，所以2α+15°+α+15°＝180°，所以α＝50°，所以∠AOC＝2α＝2×50°＝100°．23．（2021秋•方城县期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝　155°　；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝　50°　．②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．【分析】（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；②根据∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（2）根据∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（3）根据∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【解析】（1）①∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，∵∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，故答案为：155°，50°；②∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠DCB+∠DCE＝∠ACD+∠BCE＝180°；（2）∠DAB与∠CAE的数量关系是：∠DAB+∠CAE＝120°．理由：∵∠DAB+∠CAE＝（∠DAC+∠BAC）+∠CAE＝∠DAC+∠BAC+∠CAE＝∠DAC+（∠BAC+∠CAE）＝∠DAC+∠BAE又∠DAC＝∠BAE＝60°，∴∠DAB+∠CAE＝60°+60°＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β．24．（2021秋•松滋市期末）（问题）（1）如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26cm，则线段DE的长为　13　cm．（拓展）（2）在（问题）中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长．（应用）（3）如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为　α　（用含字母α的式子表示）；（4）如图④，在（3）中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则（3）中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的中点定义解题即可；（2）当C点在AB的延长线上时，利用DE＝DC﹣CE求出即可；（3）根据角平分线的定义解题即可；（4）在（3）的基础上，利用角平分线的定义解题即可【解析】（1）∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，∴CD＝AC，CE＝BC，∵AB＝26cm，∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝13cm，故答案为：13；（2）如图，当C点在AB的延长线上时，∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，∴CD＝AC，CE＝BC，∵DE＝DC﹣CE＝AC﹣BC＝AB＝13cm；答：DE的长度等于13cm；（3）∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α，故答案为：α；（4）（3）结论成立，理由如下：∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，∴∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α，∴（3）中的结论成立．。

6.3角的培优训练人教版2024—2025学年七年级上册一、知识梳理1.时钟上每格30°，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具．2.用一副三角板可以画0°~180°中15°的倍数的角，即15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°．共12个角.3.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.4.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.度分秒加法与减法：度与度相加减，分和分相加减，秒和秒相加减，加法计算结束后，满60进一；减法如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60′，借1′就相当于60″.二、典型例题专题一、钟面上的角度问题例1.9点20分时，时针与分针所成的角是多少度？（小于平角）变式1.4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．55° B．65° C．70° D．以上结论都不对变式2.由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是________度．变式3.钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为．变式 4.钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在4：00时，分针的位置为OB，时针的位置为OA，运动后的分针为OP，时针为OQ（本题中的角均指小于180°的角）．（1）求4：00开始几分钟后分针第一次追上时针；（2）若在4：00至5：00之间，OM在∠AOP内，ON在∠AOQ内，∠POM ＝∠AOP，∠NOQ＝∠AOQ．∠当OP在∠AOB内时，求∠POM和∠AON之间的数量关系；∠从4：00开始几分钟后，∠MON＝111°．专题二、角的折叠与拼接例2. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接既不重叠又不留空隙）（）A．75° B．105° C．120° D．125°变式1.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，其中中∠α＝∠β的图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式2.如图,将长方形纸片的一角斜折，使顶点A落在A'处，EF为折痕，再将另一角斜折，使顶点B落在EA’上的B‘处，折痕为EG，观察并估计∠FEG的度数，再测量经行验证，你能说出理由么？若折角∠AEF=30°，则∠AEG等于多少度？变式 3.把一张长方形纸条按图那样折叠后若得到∠AOB′=70°，则∠B′OG=_________变式4.将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC等于多少变式5.将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板ADE 始终摆放在直线MN下方，三角板ABC可绕点A任意旋转．已知∠CAB＝∠AED ＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°．设∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150）．（1）当m+n＝0时，求∠CAE的度数；（2）当n＝2m（m≠0）时，求∠CAM与∠MAE的数量关系；（3）当点C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系．专题三、角的和、差、倍、分例3.如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OB是∠COE的平分线，∠COB＝5∠BOD．（1）∠BOD的度数；（2）∠AOE的度数．变式1.如图，已知点O为直线AB上一点∠COE＝62°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠AOF＝3∠BOE，求∠FOD的度数．变式2.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数.变式3.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，O N平分∠BOC，求∠MON 的度数.变式4.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．变式5.如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数．变式6.如图，已知∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若，求∠BOE的度数；（2）若∠AOE﹣∠BOE＝52°，求∠AOE的度数．变式7.已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？变式8.如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．变式9.已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB的下方且互不重合，OD在OE的右侧，∠BOC＝120°，∠DOE＝α．（1）如图1，α＝80°，当OD平分∠BOC时，求∠AOE的度数；（2）如图2，若∠DOC＝2∠BOD，且α＜80°，求∠BOE的度数；（用含α的代数式表示）（3）如图3，点M在射线OA上，把射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线ON是∠MOC 的四等分线，且3∠CON＝∠MON，请求出在运动过程中4∠AON+∠BOM的值．变式10.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度数．（2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒．∠在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值．∠当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常数），求m+n的值．。

（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．1︒等于（）A．10'B．12'C．60'D．100' 2．“V”字手势表达胜利，必胜的意义.它源自于英国，“V”为英文Victory(胜利)的首字母.现在“V"字手势早已成为世界用语了.如图的“V”字手势中，食指和中指所夹锐角a的度数为（）A．25B．35C．45D．553．下列说法中正确的是（）A．射线AB与射线BA是同一条射线B．两条射线组成的图形叫做角C．各边都相等的多边形是正多边形D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离4．下列角中，能用1∠，ACB∠三种方法表示同一个角的是（）∠，CA．B．C．D ．5．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，12740'∠=︒，则2∠的余角是（ ）A ．1720'︒B ．3220︒'C ．3320'︒D ．5820︒'6．如图，下列说法中错误的是（ ）．A ．OA 方向是北偏东20︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西30︒D ．OD 方向是东南方向二、填空题7．如图所示，120AOD ∠=︒，50AOB ∠=︒，OC 平分BOD ∠，那么BOC ∠=__________．8．计算：45396541︒'︒'+=________.（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）9．计算：（1）1003441'︒-︒=_________；（2）23252455''︒+︒=_________；（3）1366435428''''︒-︒=_________．10．如图，写出图中以A 为顶点的角______.三、解答题11．读句画图如图，点,,A B C 是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）：（1）画图：①画射线AB ；①画直线BC ；①连接AC 并延长到点D ，使得CD CA =．（2）测量：ABC ∠约为_________°（精确到1︒）．12．【观察思考】如图，五边形ABCDE 内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE 的顶点ABCDE 把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．【规律总结】(1)填写下表：(2)【问题解决】原五边形能否被分割成2022个三角形？若能，求此时五边形ABCDE 内部有多少个点；若不能，请说明理由．（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）1．C【分析】根据1°=60′即可得到答案．【详解】解：1°=60′，故选：C．【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：1°=60′．2．B【分析】根据图形和各个角度的大小得出即可．【详解】解：根据图形可以估计①α约等于35°，故选：B．【点睛】本题考查了估算角的度数的大小的应用，主要考查学生观察图形的能力．3．D【分析】直接利用角的定义以及正多边形的定义、两点之间距离定义分别分析得出答案．【详解】解：A、射线AB与射线BA不是同一条射线，故此选项错误；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；C、各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故此选项错误；D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了角的定义以及正多边形的定义、两点之间距离定义，正确掌握相关定义是解题关键．4．C【分析】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，据此分析即可【详解】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，A、B、D选项中，点C为顶点的角存在多个，故不符合题意故选C【点睛】本题考查了角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“①”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解．5．B【分析】根据余角的定义可得①2的余角即①EAC ，然后利用角的运算列式计算求解，注意1°=60′．【详解】解：由题意可得：①2+①EAC =90°①①2的余角是①EAC①①EAC =601602740'3220'︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查余角的概念及角的和差运算，掌握概念及角度制的运算是解题关键． 6．A【分析】由方位角的含义逐一判断各选项即可得出答案．【详解】解：OA 方向是北偏东70︒，故A 错误；OB 方向是北偏西15︒，故B 正确；OC 方向是南偏西30︒，故C 正确；OD 方向是东南方向，故D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查的是方位角，掌握方位角的含义是解题的关键．7．35°【分析】由已知可求BOD ∠的大小，根据角平分线的概念可求BOC ∠的大小．【详解】①120AOD ︒∠=，50AOB ︒∠=，①70BOD AOD AOB ︒∠=∠-∠=，①OC 平分BOD ∠， ①1352BOC BOD ︒∠=∠=， 故答案为：35︒．【点睛】本题主要考查了角的认识，角平分线的概念，熟练掌握角的相关概念是解题的关键． 8．111°20´.【分析】两个度数相交，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．【详解】45°39´+65°41´=111°20´，故答案为111°20´.【点睛】本题考查度角分的换算，学生们要知道角度之间的运算是60进制.（人教版）初中七年级数学上册《角》同步练习试题（含答案解析）9． 6519'︒ 4820'︒ 921132'''︒【分析】（1）根据角的各单位之间的是60进位，可以把100︒写成9060'︒，然后再用度减度，分减分，进行计算即可；（2）按照度加度，分加分计算即可；（3）根据角的各单位之间的是60进位，可以把1366'︒写成13565'60''︒，然后再用度减度，分减分，秒减秒进行计算即可【详解】（1）1003441'9960'3441'6519'︒-︒=︒-︒=︒；（2）2325'2455'4780'4820'︒+︒=︒=︒；（3）1366'4354'28''︒-︒=13565'60''4354'28''︒-︒9211'32''=︒．故答案为：①6519'︒，①4820'︒，①921132'''︒.【点睛】本题考查的度、分、秒的计算，掌握度、分、秒的换算方法是解题关键.10．①DAC ①DAB ①CAB【分析】根据角的表示方法即可求解.【详解】写出图中以A 为顶点的角①DAC 、①DAB 、①CAB.故答案为①DAC ，①DAB ，①CAB.【点睛】此题考查的是角的表示方法，角可用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，每边上的点写在两旁；也可以用一个大写字母表示，在角的顶点处有多个角时，不可以用一个字母表示这个角.11．（1）①见解析；①见解析；①见解析；（2）50【分析】（1）根据题目要求结合概念作图可得；（2）利用量角器测量可得．【详解】解：（1）如图所示： ①射线AB 即为所求；①直线BC 即为所求；①线段CD=CA 即为所求（2）ABC ∠约为50°故答案为：50【点睛】本题主要考查作图，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念及角的定义和测量．12．(1)11，2n+3；(2)不能，理由见解析．（1）根据图形特点找出五边形ABCDE内点的个数与分割成的三角形的个数的关系，【分析】总结规律即可；（2）根据规律列出方程，解方程得到答案．(1)有1个点时，内部分割成5个三角形；有2个点时，内部分割成5+2＝7个三角形；有3个点时，内部分割成5+2×2＝9个三角形；有4个点时，内部分割成5+2×3＝11个三角形；…以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n−1)＝(2n+3)个三角形；故答案为11，2n+3；(2)令2n+3=2022，即2n=2019，显然这个方程没有整数解，①原五边形不能被分割成2022个三角形．【点睛】本题考查图形类规律探索，熟练掌握不完全归纳的方法及求一元一次方程整数解的方法是解题关键．。

新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。

1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。

解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。

又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。

2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。

1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。

2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。

解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。

所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。

因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。

2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。

角【知识纵横】角，既可以用静止的眼光来观察，也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形，称为角．角也是几何学的基本图形之一，与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题，类似于解与线段相关的问题，常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．【例题求解】例1.如图1 是一个3×3 的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9 的度数是．思路点拨除∠3＝∠5＝∠7＝45°外，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律，关键是对图形进行恰当的处理．图1 图2例2.如图2．A、O、B 在一条直线上，∠1 是锐角，则∠1 的余角是( )．1 1 A．∠2 一∠l B．2 23∠2 一21∠1 C．21（∠2 一∠l）D．3（∠2+∠1）思路点拨∠1 的余角表示为90°一∠1，化简这个代数式，直至与选择项相符为止．1例 3.已知∠1 和∠2 互补，∠3 和∠2 互余，求证∠3=2(∠l 一∠2)．思路点拨依据互补、互余的概念得到含∠l、∠2、∠3 的两个等式，盯住所要达到的目的，恰当处理两个等式．1 例4.如图3，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE= ∠2 EOC，∠DOE= 72°，求∠EOC 的度数．图3思路点拨设∠AOB=x 度，∠BOC= y 度，建立x、y 的方程组，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．例 5.(1)如图4，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC，ON 平分之∠BOC，求∠MON 的度数．(2)如果(1)中∠AOB=α，其他条件不求，求∠MON 的度数．(3)如果(1)中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不求，求∠MON的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．图 4例 6.钟面上从2 点到4 点有几次时针与分针的夹角为60°?分别是几点几分?思路点拨：时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来．时针转动的速度为 0.5°／分，分针为 6°／分，秒针为 360°／分．※巩固训练※1．一个角的补角与这个角的余角的度数比为3：l，则这个角是度．2．钟表时间是2 时15 分时，时针与分针的夹角是．3．由O 点引出的7 条射线如图，若OA⊥OE，OC⊥OC，∠BOC>∠FOC，则图中以O 为顶角的锐角共有个．4．如图，O 是直线AB 上一点，∠AOD＝120°，∠AOC=90°，OE 平分∠BOD，则图中彼此互补的角有对．5．如图，∠AOB=180°，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设∠BOD=α，则与α的余角相等的角是( )．A．∠OOD B．∠ODE C．∠DOA D．∠COA6．如图，在一个正方体的2 个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于( )．A．60°B．75°C．90°D．135°注：解钟表上的问题，常用到以下知识：(1)钟表上相邻两个数宇之间有 5 个小格，每个小格表示 1 分钟，如与角度联系起来，每小格对应 6°．(2)秒钟每分钟转运 360°，分针每分钟转过 6°，时钟每分钟转过 0.5°．(3)画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决．7．将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．A．60°B．75°C．90°D．95°18．如图，∠1>∠2，那么∠2 与(∠1 一∠2)之间的关系是( )．2A．互补B．互余C．和为45°D．和为22．5°9．如图，已知A、O、E 三点在一条直线上，OB 平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°，试问：∠COD 与∠DOE 之间有怎样的关系?说明理由．10．(1)一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成．利用这副三角板构成15°角的方法很多，请你画出其中三种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法．(2)一个长方形和一个正方形摆放如图，试找出除直角外的互余的角和互补的角．111．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算(α+β+γ) 的值时，有三15位同学分别算出了23 °、24 °、25 °这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则α+β+γ．12．如图，O 是直线AB 上一点，∠AOE=∠FOD＝90°，OB 平分∠COD，图中与∠DOE 互余的是，与∠DOE 互补的角是．13．以∠AOB 的顶点O 为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=15°，则∠AOC 的度数是．14．光线以图所示的角度α照射到平面镜I 上，然后在乎面镜I、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，则∠γ＝．4 15．若∠β与∠α互补，∠γ与∠α互余，且∠β与∠γ的和是3 1 个平角，则∠β是∠α的( )．A．25倍B．5 倍C．11 倍D．无法确定倍数16．4 点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过( )分钟(答案四舍五入到整数) ．A．60 B．30 C．40 D．3317．如图，从点 O 引出6 条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝100°，OF 平分∠BOC，∠AOE ＝∠DOE，∠EOF=140°，求∠COD 的度数．18．过点 O 任作 7 条直线，求证：以 O 为顶点的角中必有一个小于 26°．19．(1)现有一个 19°的“模板”(如图)，请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出 1°的角来．(2)现有一个 17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1°的角来?(3)用一个 21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1°的角来?对于(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．参考答案。

人教版七年级上培优训练《角》提高练习知识目标1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算．2．认识角均分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．经典例题例 1：如图 AOE 是直线，图中小于平角的角共有（）A．7个B．9个C．8个D．10 个【变式题组】01．在以下图中一共有几个角？它们应怎样表示．02．以下语句正确的选项是（）A．从同一点引出的两条射线构成的图形叫做角B．两条直线订交构成的图形叫做角C．从同一点引出的两条线段构成的图形叫做角 D ．两条线段订交构成的图形叫做角03．对于平角和周角的说法正确的选项是（）A．平角是一条直线B．周角是一条射线C．反向延伸射线 OA，就是成一个平角D．两个锐角的和不必定小于平角例 2： 38.33 °可化为（）〃C． 38 〃〃A． 38° 30′3 B． 38° 33＇° 30′ 30″D ．38 ° 19′ 48″【解法指导】注意度、分、秒是 60 进制的，把度转变成分要乘 60，把分转变成秒要乘60；反之把秒化成分要除以 60，把分化成度要除以 60，把秒化成度要除以 3600，应选择 D．【变式题组】01．把以下各角化成用度表示的角：〃〃〃⑴ 15°24′36″⑵ 36°59′96″⑶50°65′60″02．⑴ 3.76 °＝度分秒.⑵3.76 °＝分秒⑶钟表在 8： 30 时，分针与时针的夹角为度．03．计算：〃⑴ 23°45′＋3666°14′24；″⑵ 180°－ 98°24′30；″⑶ 15°50′42×″3；⑷88°14′48÷″4例 3：若∠α的余角与∠ α的补角的和是平角则∠α＝．【变式题组】01．如下图，那么∠ 2 与1（∠ 1－∠ 2）之间的关系是（）2A．互补B．互余C．和为 45°D．和为 22.5 °02． 55°角的余角是（）A． 55°B． 45°C． 35°D． 125 °03．假如∠ α和∠ β互补，且∠ α＞∠ β，则以下表示的式子中：①90°－∠ β；②∠ α－ 90°；③1（∠α＋∠ β）④1（∠α－∠ β）,有（）个是∠ β的余角。

人教版七年级上册第四章几何图形初步4.3.2角的比较与运算培优训练卷一．选择题（共10小题，3*10=30）1．在∠AOB内部任取一点C，作射线OC，下列关系一定成立的是( )A．∠AOB＞∠AOCB．∠AOB＜∠BOCC．∠BOC＞∠AOCD．∠AOC＞∠BOC2．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于( )A．70°B．90°C．105°D．120°3．如图，若∠AOB＝∠COD，那么( )A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1与∠2的大小不能确定4．在15°，65°，75°，135°的角中，能用一副三角尺画出来的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝40°，则∠AOD等于( ) A．120°B．100°C．130°D．140°6．如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是( )A. 12∠BAC＝∠BAMB．∠BAM＝∠CAMC．∠BAM＝2∠CAMD．2∠CAM＝∠BAC7．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝50°，∠BOD＝60°，OM平分∠BOD，ON平分∠AOC，则∠MON的度数是( )A．135°B．155°C．125°D．145°8．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是() A．20°B．25°C．30°D．70°9．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，若∠COD＝25°，则∠AOB的度数为( ) A．100°B．80°C．70°D．60°10. 如果∠AOB＝34°，∠BOC＝18°，那么∠AOC的度数是( )A．52°B．16°C．52°或16°D．52°或18°二．填空题（共8小题，3*8=24）11．用“<”“＝”“>”填空：(1)若∠α＝∠β，∠β＝∠γ，则∠α________∠γ；(2)若∠1＋∠2＝70°，∠3＋∠2＝100°，则∠1_______∠3.12. 按图填空：(1)∠AOC＝∠AOB＋________；(2)∠BOD＝∠COD＋________；(3)∠AOC ＝∠AOD－________；13．如图，∠AOB是一个平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON的度数为_______.14. 将一个长方形按照图中的方法折叠一角，折痕是EF，如果∠AFE＝40°，则∠DFA′＝________．15. 如图，点M在直线AB上，∠AMC＝52°48′，∠BMD＝74°30′，则∠CMD＝________．16. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有________．(填序号)①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC；⑥AD平分∠BAF.17．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB＝________．18．把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝_________三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图，∠AOD＝120°，∠2＝2∠1＝60°.(1)求∠DOC的度数；(2)求∠BOD的度数．20. (6分) 如图，已知直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，若∠AOE=80°，求∠AOD 的度数.21. (6分) 如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，求∠MON 的度数．22. (6分) 已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC=2：3，画出图形，并求∠BOC的度数．23. (6分)如图，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠EOD＝80°，求∠BOC 的度数24. (8分) 如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠BOC的度数．25．(8分) 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；(2)若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．参考答案1-5ADBCD 6-10 CCDAC 11. ＝，<12. ∠BOC ，∠BOC ，∠COD 13. 135° 14. 100° 15. 52°42′ 16. ③⑤ 17. 100° 18. 55°19. 解：(1)∠DOC ＝∠AOD －∠2＝120°－60°＝60°(2)因为2∠1＝60°，所以∠1＝30°，所以∠BOD ＝∠AOD ＋∠1＝120°＋30°＝150° 20. 解：∵∠AOE=80°， ∴∠BOE=180°﹣∠AOE=180°﹣80°=100°， ∵OC 平分∠BOE ，∴∠BOC= 12∠BOE= 12×100°=50°，∴∠AOD=∠BOC=50°．21. 解：因为OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线， 所以∠COM ＝12∠AOC ，∠CON ＝12∠BOC ，所以∠MON ＝∠COM ＋∠CON ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝12(∠AOC ＋∠BOC) ＝12∠AOB ＝12×90° ＝45°，即∠MON 的度数为45°22. 解：∵OA ⊥OC ， ∴∠AOC=90°， ∵∠AOB ：∠AOC=2：3， ∴∠AOB=60°．因为∠AOB 的位置有两种：一种是在∠AOC 内，一种是在∠AOC 外． ①当在∠AOC 内时，∠BOC=90°﹣60°=30°； ②当在∠AOC 外时，∠BOC=90°+60°=150°． 综上所述，∠BOC 的度数为30°或150°．23. 解：因为OE 平分∠AOB ，所以∠BOE ＝12∠AOB ＝12×90°＝45°，所以∠BOD ＝∠EOD －∠BOE ＝80°－45°＝35°.因为OD 平分∠BOC ，所以∠BOC ＝2∠BOD ＝2×35°＝70° 24. 解：因为OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，所以∠BOE ＝12∠AOB ＝12×90°＝45°，∠COF ＝∠BOF ＝12∠BOC.因为∠BOF ＝∠EOF －∠BOE ＝60°－45°＝15°， 所以∠BOC ＝2∠BOF ＝30°，∠AOC ＝∠BOC ＋∠AOB ＝30°＋90°＝120° 25. 解：(1)∠AOE ＝12∠COE ＝35°，∠DOE ＝180°－∠COE ＝180°－70°＝110°， ∠BOD ＝180°－∠AOE －∠DOE ＝180°－35°－110° ＝35°(2)∠COE ＝180°×25＝72°，∠DOE ＝180°×35＝108°，所以∠BOD ＝180°－∠AOE －∠DOE ＝180°－12×72°－108°＝36°。

七年级下册数学第5章培优训练：求角的度数一．利用方程思想求角的度数1．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD＝4：5，求∠BOD的度数．2．如图，已知直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE ＝4：1，求∠AOF的度数．3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD；若∠AOD：∠BOE＝8：1，求∠AOC 的度数．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：∠2＝1：4，求∠AOC和∠AOF的度数．5．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．（1）求∠AOE的度数；（2）若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝90°，∠DON＝90°．（1）若∠COM＝∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD．二．利用平行线的性质求角的度数7．如果AB∥CF，DE∥CF，∠DCB＝40°，∠D＝30°，求∠B的度数．8．如图，已知∠1＝68°，∠2＝50°，∠D＝68°，AE∥BC．求：∠C的度数．9．如图，AB∥CD，点E在AB上，EF平分∠BED，∠FEG＝102°，∠D＝62°，求∠AEG 的度数．10．如图，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，DG∥BA，若∠2＝40°，则∠BDG是多少度？11．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．（1）试说明∠1＝∠2；（2）已知∠2＝40°，求∠BEF的度数．12．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；（2）求证：CG平分∠OCD；（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．参考答案一．利用方程思想求角的度数1．【解答】解：（1）∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，∴∠AOC＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝4x，则∠EOD＝5x，∴5x+4x＝180°，解得x＝20°，则∠EOC＝80°，又∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°．2．【解答】解：设∠BOE＝x°，则∠AOD＝4x°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝x°，∴∠AOC＝∠BOD＝2x°，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴4x+2x＝180，解得：x＝30，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠COE＝75°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．3．【解答】解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，又∵∠AOD：∠BOE＝8：1，∴∠AOD：∠BOE：∠DOE＝8：1：1，又∵点A，O，B在同一条直线上，∴∠AOB＝180°，∴∠AOD+∠DOE+BOE＝180°，∵∠AOC＝∠BOD＝∠DOE+∠BOE，∴∠AOC＝2×18o＝36o．4．【解答】解：∵OE平分∠BOD，∴∠1＝∠BOE，∵∠1：∠2＝1：4，∴设∠1＝x°，则∠EOB＝x°，∠AOD＝4x°，∴x+x+4x＝180，解得：x＝30，∴∠1＝30°，∠DOB＝60°，∴∠COE＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝75°，∴∠BOF＝75°﹣30°＝45°，∴∠AOF＝180°﹣45°＝135°．则∠AOC＝180°﹣∠2＝180°﹣4x°＝60°．5．【解答】解：（1）∵∠AOE：∠EOC＝2：3．∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，∴∠AOC＝5x，∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∴5x＝75°，解得：x＝15°，则2x＝30°，∴∠AOE＝30°；（2）OB是∠DOF的平分线；理由如下：∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，∵OF平分∠BOE，∴∠BOF＝75°，∵∠BOD＝75°，∴∠BOD＝∠BOF，∴OB是∠COF的角平分线．6．【解答】解：（1）∵∠COM＝∠AOC，∴∠AOC＝∠AOM，∵∠BOM＝90°，∴∠AOM＝90°，∴∠AOC＝45°，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°；（2）设∠COM＝x°，则∠BOC＝4x°，∴∠BOM＝3x°，∵∠BOM＝90°，∴3x＝90，即x＝30，∴∠AOC＝60°，∠MOD＝90°+60°＝150°．二．利用平行线的性质求角的度数（共6小题）7．【解答】解：∵DE∥CF，∠D＝30°，∴∠DCF＝∠D＝30°，∴∠BCF＝∠DCF+∠BCD＝30°+40°＝70°，又∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∴∠B＝180°﹣70°＝110°．8．【解答】解：∵∠1＝∠D＝68°，∴AB∥CD，∵∠2＝50°，∴∠AED＝∠2＝50°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠AED＝50°．9．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠D＝62°，∵EF平分∠BED，∴∠DEF＝BED＝31°，∴∠GED＝∠FEG﹣∠DEF＝102°﹣31°＝71°，∴∠AEG＝180°﹣∠GED﹣∠BED＝180°﹣71°﹣62°＝47°．∴∠AEG的度数为：47°．10．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴EF∥AD，∵EF⊥BC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，又∵DG∥BA，∠2＝40°，∴∠ADG＝∠2＝40°，∴∠BDG＝∠ADG+∠ADB＝130°．11．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD，∵A′E∥C′F，∴∠MEA′＝∠MFC′，∴∠MEA′﹣∠MEB＝∠MFC′﹣∠MFD，即∠1＝∠2；（2）由折叠知，∠C′FN＝＝70°，∵A′E∥C′F，∴∠A′EN＝∠C′FN＝70°，∵∠1＝∠2，∴∠BEF＝70°+40°＝110°．12．【解答】解：（1）∵DE∥OB，∴∠O＝∠ACE，（两直线平行，同位角相等）∵∠O＝40°，∴∠ACE＝40°，∵∠ACD+∠ACE＝180°，（平角定义）∴∠ACD＝140°，又∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝70°，（角平分线定义）∴∠ECF＝70°+40°＝110°；（2）证明：∵CG⊥CF，∴∠FCG＝90°，∴∠DCG+∠DCF＝90°，又∵∠AOC＝180°，（平角定义）∴∠GCO+∠FCA＝90°，∵∠ACF＝∠DCF，∴∠GCO＝∠GCD，（等角的余角相等）即CG平分∠OCD．（3）结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF．当∠O＝60°时，∵DE∥OB，∴∠DCO＝∠O＝60°．∴∠ACD＝120°．又∵CF平分∠ACD，∴∠DCF＝60°，∴∠DCO＝∠DCF，即CD平分∠OCF．。

第14天：角一、单选题1．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据图象，利用排除法求解．【解答】A ．∠1与∠2是对顶角，相等，故本选项错误；B ．根据图象，∠1＜∠2，故本选项错误；C ．∠1是锐角，∠2是直角，∠1＜∠2，故本选项错误；D ．∠1是三角形的一个外角，所以∠1＞∠2，故本选项正确．故选D ．【点评】本题考查了学生识图能力和三角形的外角性质．2．α∠和β∠的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且αβ∠>∠,那么α∠的另一半落在β∠的( )A ．另一边上B ．内部;C ．外部D ．以上结论都不对【答案】C【分析】根据题意画出图形，利用数形结合即可得出结论.【解答】解：如图所示： ．故选C.【点评】本题考查的是角的大小比较，能根据题意画出图形是解答此题的关键.3．如图．∠AOB ＝∠COD ，则( )A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1与∠2的大小无法比较【答案】B【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD，∴∠1=∠2；故选B．【点睛】考查了角的大小比较，培养了学生的推理能力．4．如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，∠BOE＝13∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（）①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据题意首先计算出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．【解答】解：由题意设∠BOE=x，∠EOC=3x，∵∠DOE＝60°，OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD =60°-x，根据题意得：2（60°-x）+4x=180°，解得x=30°，∴∠EOC=∠AOE＝90°，∠BOE＝30°，∴∠BOD=∠AOD＝30°，故①正确；∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∴射线OE平分∠AOC，故②正确；∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；∵∠AOE＝∠EOC＝90°，∴∠AOE+∠EOC＝180°，∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，∴图中互补的角有6对，故④正确，正确的有4个，故选：D．【点评】本题主要考查角平分线以及补角和余角，解答的关键是正确计算出图中各角的度数．5．如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA=36°则∠DOB的大小为（）A．36°B．54°C．64°D．72°【答案】B【解析】∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，又∵∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，∴∠DOB=180°-36°-90°=54°．故选B．二、填空题6．如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE=________.【答案】53°【解析】由∠BOE 与∠AOF 是对顶角，可得∠BOE=∠AOF ，又因为∠COD 是平角，可得∠1+∠2+∠AOF=180°，将∠1=95°，∠2=32°代入，即可求得∠AOF 的度数，即∠BOE 的度数．7．若∠B 的余角为57.12°，则∠B=_____°_____’_____”【答案】32 52 48【分析】根据互为余角列式，再进行度分秒换算，求出结果.【解答】57.12°='''57712︒ 根据题意得：∠B=90°-'''57712︒ ='''895960︒-'''57712︒=()8957︒-()'597-''（60-12） ='''325248︒故答案为'''325248︒.【点评】本题考查余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键.8．在9点至10点之间的某时刻，钟表的时针与分针构成的夹角是110°，则这时刻是9点__________分． 【答案】4011或32011【分析】设分针转的度数为x ，则时针转的度数为12x ,根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：设分针转的度数为x ，则时针转的度数为12x , 当9011012x x ︒︒+-=时，24011x ︒=， ∴2404061111︒︒÷=当()9018011012x x ︒︒︒+--=时，192011x ︒⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴192032061111÷= 故答案为：4011或32011 【点评】本题考查了一元一次方程的应用----钟面角，正确的理解题意是解题的关键．9．若1∠与2∠互补，2∠的余角是36︒，则1∠的度数是________．【答案】126︒【分析】首先根据∠1与∠2互补可得∠1+∠2=180°，再表示出∠1的余角90°-（180°-∠2），即可得到结论．【解答】∵2∠的余角是36︒，∴2903654︒︒︒∠=-=．∵1∠与2∠互补，∴118054126︒︒︒∠=-=．故答案为126°．【点评】本题考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的定义．10．如图，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠，124EOF ︒∠=，则AOB ∠的度数为________．【答案】112︒【分析】根据角平分线的性质计算出2AOC COE ∠=∠，2BOC COF ∠=∠，再根据角的关系，即可求解．【解答】∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠，∴2AOC COE ∠=∠，2BOC COF ∠=∠，∴2()2248AOC BOC COE COF EOF ︒∠+∠=∠+∠=∠=，∴360248112AOB ︒︒︒∠=-=．【点评】本题考查了角的平分线定义及性质，熟练掌握角平分线的意义是解本题的关键．三、解答题11．已知：点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，100BOC ∠=︒．（1）如图1，求AOC ∠的度数；（2）如图2，过点O 作射线OD ，使90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ，求MOD ∠的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，请画出图形，并求COP ∠的度数．【答案】（1）80°；（2）50°；（3）50︒或150︒，图见解析【分析】（1）直接根据邻补角的概念即可求解；（2）直接根据角平分线的性质即可求解；（3）根据P BO ∠与M AO ∠互余，可得50BOP ∠=︒，分①当射线P O 在C BO ∠内部时；②当射线P O 在C BO ∠外部时，两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AOC BOC ；（2）由（1）得80AOC ∠=︒，90COD ∠=︒，10AOD COD AOC ∴∠=∠-∠=︒， OM 是AOC ∠的平分线，11804022AOM AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 401050MOD AOM AOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）由（2）得40AOM ∠=︒，BOP ∠与AOM ∠互余，90BOP AOM ∴∠+∠=︒，90904050BOP AOM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时（如图3-1)，1005050COP BOC BOP∠=∠-∠=︒-︒=︒；②当射线OP在BOC∠外部时（如图3-2)，10050150COP BOC BOP∠=∠+∠=︒+︒=︒．综上所述，COP∠的度数为50︒或150︒．【点评】此题主要考查邻补角的概念、角平分线的性质、余角的概念，熟练进行逻辑推理是解题关键．12．已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE＝50°，求：∠BHF的度数．【答案】∠BHF=115° .【分析】由AB∥CD得到∠AGE=∠CFG，由此根据邻补角定义可得∠GFD的度数，又FH平分∠EFD，由此可以先后求出∠GFD，∠HFD，继而可求得∠BHF的度数．【解答】∵AB∥CD，∴∠CFG=∠AGE=50°，∴∠GFD=130°；又FH平分∠EFD，∴∠HFD=12∠EFD=65°；∵AB∥CD，∴∠BHF=180°-∠HFD=115°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角等知识，两直线平行时，应该想到它们的性质；由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．13．如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE＝62°，求∠AOB的度数．【答案】28°. 【分析】根据余角的关系，可得∠EOD ，根据对顶角，可得答案．【解答】由余角的定义，得：∠EOD =90°﹣∠EOC =90°﹣62°=28°，由对顶角的性质，得：∠AOB =∠EOD =28°．【点评】本题考查了对顶角与余角，利用余角的定义、对顶角的性质是解题的关键．14．如图，O ，D ，E 三点在同一直线上，∠AOB=90°．（1）图中∠AOD 的补角是_____，∠AOC 的余角是_____；（2）如果OB 平分∠COE ，∠AOC=35°，请计算出∠BOD 的度数．【答案】∠AOE ∠BOC【解析】【分析】（1）结合图形，根据补角和余角的定义即可求得；（2）由∠AOC=35°，∠AOB=90°可求得∠BOC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠BOE 的度数，再根据邻补角的定义即可求得∠BOD 的度数.【详解】（1）图中∠AOD 的补角是∠AOE ，∠AOC 的余角是∠BOC ，故答案为 ∠AOE ， ∠BOC ；（2）∵∠AOC=35°，∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35°=55°，∵OB 平分∠COE ，∴∠BOE=∠BOC=55°，∴∠BOD=180°-∠BOE=180°﹣55°=125°. 【点睛】本题考查了余角和补角的定义、角平分线的定义等，熟练掌握相关的内容是解题的关键. 15．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.【答案】（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°；（2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可；（3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【解答】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠， 70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠ ∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点评】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．。

2020-2021学年人教版七年级数学下册培优训练平行线与三角板以及折叠类问题的综合一．选择题1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（）A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′2．如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b 上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，已知m∥n，将含30°的直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．30°C．20°D．10°4．如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（）A．115°B．125°C．135°D．145°5．如图，长方形ABCD（四个角都是90°）沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝50°，则∠DAE等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°6．如图，将长方形纸片ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E 处，若∠GHC＝110°，则∠AGE等于（）A．55°B．45°C．40°D．25°7．如图，将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则下列结论正确的有（）个．①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝30°，则有BC∥AD．A．4B．3C．2D．18．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE ＝60°时，BC∥DE．则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（）A．75°和105°B．90°和135°C．90°，105°和150°D．90°，120°和150°二．填空题9．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线11，l2上，已知∠C是直角，则∠1+∠2的度数等于．10．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于．11．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为．12．如图，把一把直尺放在含30度角的直角三角板上，量得∠1＝56°，则∠2的度数是．13．如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③若AB平分∠DAE，则有BC∥AE；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4；其中结论正确的选项有．三．解答题14．如图1是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3．（1）若∠DEF＝20°，请你求出图3中∠CFE度数；（2）若∠DEF＝a，请你直接用含a的式子表示图3中∠CFE的度数．15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．16．在一副三角板ABC和DEF中，点C与F重合，∠ACB＝∠D＝90°，∠A＝30°，∠E ＝45°．（1）如图①，若AB∥CD，求∠DCB的度数，并说明理由；（2）如图②，若点B在CD上时，判断DE与AC的位置关系，并说明理由；（3）如图③，若AB∥EC，求∠DCB的度数，并说明理由．17．综合与实践．问题情境：如图1，是一副三角尺，三角尺ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，三角尺DEF中，∠F＝90°，∠D＝30°，∠E＝60°．数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系．如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数．智慧小组的解法如下：解：过点G作GH∥DF∵GH∥DF∴∠D＝∠HGD（依据1）∵∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°∴BC∥DF又∵GH∥DF∴GH∥BC（依据2）∴∠B＝∠BGH∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠B+∠D＝45°+30°＝75°反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：；（2）如图3，将两个三角尺如图摆放，使点C与点F重合，点A在DF上，点E在BC 上，AB与DE相交于点G，请用平行线的知识求∠AGD的度数．（3）如图4，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E也在直线MN上，DF与AB相交于P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？说明理由．参考答案一．选择题1．解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．2．解：∵a∥b，∠1＝70°∴∠3＝70°，∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∴∠2＝90°﹣∠3＝20°，故选：B．3．解：∵∠C＝90°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠C﹣∠1＝50°，∵m∥n，∴∠4＝∠3＝50°，∵∠A＝30°，∴∠2＝20°，故选：C．4．解：如图所示，∵a∥b，∴∠3＝∠1＝35°，又∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝55°，∴∠5＝180°﹣∠4＝125°，又∵b∥c，∴∠2＝∠5＝125°，故选：B．5．解：根据翻折不变性设∠DAE＝∠F AE＝x度，又∵∠BAF＝50°，∠BAD＝90°，∴x+x+50°＝90°，解得x＝20∴∠EAD＝20°．故选：A．6．解：∵AD∥BC∴∠DGH+∠GHC＝180°，且∠GHC＝110°∴∠DGH＝70°∵将长方形纸片ABCD沿GH折叠，∴∠DGH＝∠EGH＝70°∴∠AGE＝180°﹣∠DGH﹣∠EGH＝40°故选：C．7．解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，故①正确；∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°，故②正确；∵∠2＝30°，∴∠1＝60°＝∠E，∴AC∥DE，故③正确；∵∠2＝30°，∴∠3＝60°≠∠B，∴BC与AD不平行，故④不正确；故选：B．8．解：当AC∥DE时，∠CAE＝∠E＝90°；当BC∥AD时，∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；故选：C．二．填空题9．解：如图，∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE＝180°，又∵∠C是直角，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，故答案为：90°．10．解：给各角标上序号．∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠1＝30°，∠3＝90°，∴∠4＝60°．∵a∥b，∴∠2＝∠4＝60°．故答案为：60°．11．解：由图可知，∠1＝45°，∠2＝30°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠1＝45°，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15°．12．解：∵把一把直尺放在含30度角的直角三角板上，∴a∥b，∴∠1＝∠3＝56°，∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣56°＝124°，∴∠5＝360°﹣∠4﹣90°﹣30°＝360°﹣124°﹣90°﹣30°＝116°，∴∠2＝∠5＝116°，故答案为：116°．13．解：①如图，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，即∠1+∠2＝∠3+∠2+90°；∴∠1＝∠3≠45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB∴∠1＝∠2＝45°，∵∠1＝∠3∴∠3＝45°，又∵∠C＝∠B＝45°，∴∠3＝∠B∴BC∥AE；故②正确；③∵AB平分∠DAE，∴∠2＝∠3＝45°∴∠3＝∠B，∴BC∥AE；故③正确；④∵∠3＝2∠2，∠1＝∠3，∴∠1＝2∠2，∠1+∠2＝90°，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，∴∠3＝60°，又∠E＝30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∴∠C＝∠4．故④正确．故答案为②③④．三．解答题14．解：（1）∵长方形对边AD∥BC，∴CF∥DE，∴图1中，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°，∵长方形对边AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝20°，∴图2中，∠BFC＝160°﹣20°＝140°，由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE＝∠BFC，∴图3中，∠CFE+20°＝140°，∴图3中，∠CFE＝120°．（2）∵长方形对边AD∥BC，∴CF∥DE，∴图1中，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣a，∵长方形对边AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝a，∴图2中，∠BFC＝180°﹣2a，由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE＝∠BFC，∴图3中，∠CFE+a＝180°﹣2a，∴图3中，∠CFE＝180°﹣3a．15．解：当AC∥DE时，如图所示：则∠CAE＝∠E＝90°；当BC∥AD时，如图所示：则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；综上所述：∠CAE的度数为90°或105°或150°．16．解：（1）∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABC＝60°．（2）DE∥AC．理由如下：∵∠CDE＝∠ACB＝90°，∴DE⊥CD，AC⊥BC，∵CD与CB重合，∴DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC；（3）∵AB∥EC，∴∠ABC＝∠BCE＝60°，又∵∠DCE＝45°，∴∠DCB＝∠BCE﹣∠DCE＝15°．17．解：（1）依据1：两直线平行，内错角相等；依据2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；（2）过点G作GH∥DF，如图2所示，∴∠HGA＝∠CAG＝45°，∠HGD＝∠D＝30°，∴∠AGD＝∠HGA﹣∠HGD＝45°﹣30°＝15°；（3）∠DEM﹣∠DPB＝30°，理由如下：过点D作DH∥MN，如图3所示，则∠HDE＝∠DEM，∵AB∥MN，∴DH∥AB，∴∠HDP＝∠DPB，∵∠HDE﹣∠HDP＝∠EDF，且∠EDF＝30°，∴∠DEM﹣∠DPB＝30°．。

七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)类型1利用角度的和、差关系找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．1．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.又因为∠BOD＝75°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．解：(1)因为∠BAD＋∠DA C＝90°，∠DAC＝4∠B AD，所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.所以∠DAC＝4×18°＝72°.因为∠DAE＝90°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.解得∠BCD＝15°.所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.类型2利用角平分线的性质角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．3．如图所示，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB 的度数．解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′. 又因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．(1)如图1所示，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数；(2)如图2所示，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，所以∠AOB＋∠BOC ＝180°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝25°.类型3 利用方程思想求解在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．5．一个角的余角比它的补角的23还少40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x °，根据题意，得90－x ＝23(180－x)－40. 解得x ＝30.所以这个角的度数是30°.6．如图所示，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC 的度数．解：设∠COD＝2x °，则∠BOC＝3x °.因为OB 平分∠AOC，所以∠AOB＝3x °.所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.解得x ＝20.所以∠BOC＝3×20°＝60°.7．如图所示，已知∠AOB＝12∠BOC，∠COD ＝∠AOD＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．解：设∠AOB＝x °，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x °.因为∠AOB＝12∠BOC， 所以∠BOC＝2x °.所以3x ＋3x ＋2x ＋x ＝360.解得x ＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°.类型4 利用分类讨论思想求解在角度计算中，如题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．8．已知∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小． 解：因为∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB， 所以∠AOC＝23×75°＝50°.因为O D 平分∠AOC，所以∠AOD＝∠COD＝25°.如图1，∠BOD ＝75°＋25°＝100°；如图2，∠BOD ＝75°－25°＝50°.9．已知：如图所示，OC 是∠AOB 的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC＝12∠AOB. 因为∠AOB＝60°，所以∠AOC＝30°.(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE ＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.(3)90°＋α2 或90°－α2.专题训练 整式的加减运算计算：(1)(钦南期末)a 2b ＋3ab 2－a 2b ；解：原式＝3ab 2.(2)2(a －1)－(2a －3)＋3；解：原式＝4.(3)2(2a 2＋9b)＋3(－5a 2－4b)；解：原式＝－11a 2＋6b.(4)3(x 3＋2x 2－1)－(3x 3＋4x 2－2)；解：原式＝2x 2－1.(5)(钦南期末)(2x 2－12＋3x)－4(x －x 2＋12)； 解：原式＝2x 2－12＋3x －4x ＋4x 2－2 ＝6x 2－x －52.(6)3(x2－x2y－2x2y2)－2(－x2＋2x2y－3)；解：原式＝3x2－3x2y－6x2y2＋2x2－4x2y＋6＝5x2－7x2y－6x2y2＋6.(7)－(2x2＋3xy－1)＋(3x2－3xy＋x－3)；解：原式＝－2x2－3xy＋1＋3x2－3xy＋x－3＝x2－6xy＋x－2.(8)(4ab－b2)－2(a2＋2ab－b2)；解：原式＝4ab－b2－2a2－4ab＋2b2＝－2a2＋b2.(9)－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)；解：原式＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24＝－2x2＋7xy－24.(10)(钦州期中)2a2－[－5ab＋(ab－a2)]－2ab. 解：原式＝2a2＋5ab－ab＋a2－2ab＝3a2＋2ab.。

初一数学人教版(下册)与三角形的角练习题三(含答案)
初一数学人教版(下册)与三角形有关的角练习题三(含答案)
与三角形有关的角练习题三
一、选择题
1.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（） A.∠B+∠A=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
B.∠A：∠B：∠C=2：3：5
D.一个外角等于和它相邻的一个内角
2．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）
A．锐角三角形
B．钝角三角形 C．直角三角形
D．无法确定
3.在△ABC中，∠B=40__176;，∠C=80__176;，则∠A的度数是（）
A.30__176;
B.40__176;
C.50__176;
D.60__176;
4.如图7-2-1，AB∥DE, ∠E=65__176;，则∠B+∠C=（） A.135__176;
B115__176; C.36__176; D.65__176;错误！
5.一个三角形三个内角的度数之比是
6.已知△ABC中，角平分线BE
,CF相交于D，则∠BDC等于（）
A.90__176;+∠A
B.90__176;-∠A
C.180__176;-∠A
D.180__176;-∠A
7.锐角三角形中，任意两个锐角的和至少大于（） A90__176; B.100__176; C120__176; D.60__176;
8.如图7-2-2所示，AD是∠CAE的平分线，∠B=35__176;，∠DAE=60__176;，
那么∠ACD=（） A25__176; B.85__176; C95__176; D.60__176;。

23 与角相关的问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1. 角的分类； 2. 角平分线的概念；3. 互余、互补等数量关系角；4. 用方程的观点来进行角的计算.例题与求解【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12∠+∠= .21（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12∠+∠的值.【例2】如果α∠与β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠. 其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例3】已知80AOB ∠=︒，OC 是不在直线OA ，OB 上的任一条射线. OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOC . 求∠MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角）B'A'O BA（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x 的值.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x 的代数式表示，通过解方程求出x 的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.19°（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.【例6】如图所示，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC . （1）如图①，若30AOC ∠=︒，求∠DOE 的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出∠DOE 的度数 （用含α的代数式表示）； （3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；② 在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由ABODCEECDOBA图 ① 图 ②（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE 的度数；（2）先根据∠DOE 与∠COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC 表示出∠COE ，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；（3）①可设∠BOC 为一个未知数，分别表示出∠AOC 与∠DOE ，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可. 能力训练A 级1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）2. 如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 .EC DOBA（“希望杯”邀请赛试题）3. 如图，150AOC BOD ∠=∠=︒，若3AOD BOC ∠=∠，则BOC ∠等于 .AB ODC4. 如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分∠BOD ，则图中彼此互补的角有 对.ECDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）5. 一个角的补角的117是6°，则这个角是（ ） A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°（“希望杯”邀请赛试题）6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）种 A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如图，若180AOB ∠=︒，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）2ABO1A.1212∠-∠ B.132122∠-∠ C. 1(21)2∠-∠ D.1(21)3∠+∠（甘肃省兰州市竞赛试题）8. 如图，180AOB ∠=︒，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设BOD α∠=，则与α的余角相等的角是（ ）αABODCEA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9. 如图，已知2COB AOC ∠=∠，OD 平分∠AOB ，且19COD ∠=︒，求∠AOB 的度数.CDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）10. 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，12BOE EOC ∠=∠，72DOE ∠=︒. 求∠EOC 的度数.ECDO BA11. 已知80AOB ∠=︒，OC 平分∠AOB ，60COD ∠=︒，OE 平分∠COD . 求∠AOE 的大小.EC DOB A12. 如图，已知OB ，OC ，OD 为∠AOE 内三条射线. （1）图中共有多少个角？（2）若OB ，OC ，OD 为∠AOE 四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE 的度数. （3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和.EC DOBAB 级1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是 .（浙江省杭州市竞赛试题）2. α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则αβγ++= .（江苏省竞赛试题）3. 如图，点O 在直线AB 上，OC ，OD ，OE ，OF 是位于AB 同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.F ABOD C E（五城市联赛试题）4. 如图，射线OC ，OD ，OE ，OF 分别平分∠AOB ，∠COB ，∠AOC ，∠EOC ，若24FOD ∠=︒，则AOB ∠= .F EC DOBA（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33（“五羊杯”竞赛试题）6. 如图是一个3×3的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠的和等于（ ）987654321A. 270°B. 315°C. 360°D. 405°（广西省竞赛试题）7. 已知，OM ，ON ，OP 分别是∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（ ）OCB APMNA.AOP MON ∠>∠B.AOP MON ∠=∠C.AOP MON ∠<∠D.以上情况都有可能8. 如图，∠AOC 是直角，21.5COD ∠=︒，且OB ，OD 分别是∠AOC ，∠BOE 的平分线，则∠AOE 等于（ ）ABODCEA. 111.5°B. 138°C. 134.5°D. 178°（五城市联赛试题）9. 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF ，使∠COE 和∠BOE 互余，射线OF 和OD 分别平分∠COE 和∠BOE . 求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠.FA BO DC E10. 如图，∠A 1OA 11是一个平角，322143A OA A O A A O A A O A A∠-∠=∠-∠=∠-∠ 11101092A OA A OA ∠-∠=︒. 求1110A OA ∠的度数....A 5A 4A 3A 2A 10A 11A 1O（山东省竞赛试题）11. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB 的面积第一次达到最大？（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）专题23 与角相关的问题例1 45° 提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°.例2．B提示：①（90°－∠β）+∠β=90°符合；②（∠α－90°）+∠β=∠α+∠β－90°=180°－90°=90°符合；③11(1809090 22αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒）；④111()18090222αββαβ∠-∠∠=∠+∠=⨯︒=︒()+符合.故①②④能表示β∠的余角. 13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=12AOC∠，∠CON=∠BON=12BOC∠（1）如图①，若OC 在∠AOB 内，设∠BOC =x ，则图图 图 例6 （1）20m n -?，2(6)0n ->，且2m n -与2(6)n -互为相反数。

第18讲角学习目标掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换。

掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算典例分析知识点一角的基础角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图。

角的分类：∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示法（四种）：(1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间.(2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个.(3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字.(4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母.题型一、角的概念例1、下列关于角的说法正确的是（）①角是由两条射线组成的图形②角的边长越长，角越大；③在角一边延长线上取一点E ④角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形A．1个B．2个C．3个D．4个【趁热打铁】01．用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（）A．角的度数扩大了B．角的度数缩小了C．角的度数没有变化D．以上都不对02．下列说法正确的是（）A．角的边越长，角度就越大B．周角就是一条射线C．一条直线可以看成平角D．平角的两边可以构成一条直线03．如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示知识点二角的比较与运算角的大小的比较：（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；（2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。

角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

类似的，平均分成三个角的射线，叫做三等分线。

时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）角的度量：1°=60′；1′=60″；1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°题型二、角度换算例2、计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【趁热打铁】1、计算(1)23°45′36″+66°14′24″； (2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．题型三、角度计算例3、如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( ) A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒1、已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（）A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°2、已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )A．22°B．46°C．68°D．78°03．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，其中AB⊥CD，∠1：∠2=3:6，则∠EOD=（）A．120°B．130°C．60°D．150°知识点三余角和补角余角概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角；补角概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角；性质：等角的余角相等，等角的补角相等。