7年级数学培优新帮手241页

16 不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）A 、2116-<<-tB 、2116-<≤-tC 、2116-≤<-tD 、2116-≤≤-t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式71005)2(<>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组⎩⎨⎧=+=-62y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.（天津市竞赛试题）解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，654543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值. 解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形. 解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b能力训练A 级1、已知关于x 的不等式4321432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组⎩⎨⎧<->+5242b x a x 的解集是20<<x ，那么a ＋b 的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是 （河南省中考试题）5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ）7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ） A 、31 B 、31- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012<-a ；③1112>+a ④1112<-a，其中，一定成立的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（江苏省竞赛试题）9、当k 为何整数值时，方程组 ⎩⎨⎧-=-=+ky x y x 3962有正整数解？（天津市竞赛试题）10、如果⎩⎨⎧==21y x 是关于x ，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax bx a x 的解集11、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B 级1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题）4、已知1121<-<-x 则12-x的取值范围为 . (“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112535232611，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、 b ＜c ＜aC 、c ＜a ＜bD 、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x xA 、10000B 、20000C 、9999D 、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ） A 、70 B 、72 C 、77 D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ） A 、25<x B 、25>x C 、25-<x D 、25->x （山东省竞赛试题）9、31,2351312++---≥--x x xx x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使137158<+<k n n 成立.12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且1111=++cb a ，试求a ，b ，c 的值.专题16 不等式（组）例1 C 提示：解不等式组得3220t x -<<，则5个整数解为x ＝19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足14≤3－2t ＜15，故－6＜t ≤1162t -<≤-. 例2 1345x < 提示：(2)5m n x m n ->+，20m n -<，51027m n m n +=-，0m <，1345m n =.例3 1m =或3m = 提示：解方程组得81621x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由,0x y ≥⎧⎨≥⎩得－1≤m ≤0 例4 提示：由已知条件得325213a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩ ,解得73711a c b c =-⎧⎨=-⎩,m=3c －2.由000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,解得37711c ≤≤,故m 的最大值为111-,最小值为57-例5先用x 1和x 2表示x 3,x 4，…，x 7,得312423125341264512756122233558x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =+⎧⎪=+=+⎪⎪=+=+⎨⎪=+=+⎪=+=+⎪⎩,因此x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7= 2 010.于是得121201013113100()20220x x x -==+-.因为x 2是自然数,所以1113()220x -是整数，所以x 1是10的奇数倍.又因为x 1＜x 2，故有三组解:x 1=10,x 2=94,或x 1=30,x 2=81,或x 1=50,x 2=68. 因此x 1+x 2的最大值为50+68=118,所以x 1+x 2 +x 3的最大值为2(x 1+x 2)=2×118=236. 例6解法一 ：∵0≤a －b ≤1①，1≤a +b ≤4 ②，由②知－4≤－a －b ≤－1③， ①+③得－4≤－2b ≤0，即－2≤－b ≤0④，①+④得－2≤a －2b ≤1要使a —2b 最大，只有a －b =1且－b =0. ∴a =1 且b =0，此时8a +2003b =8. 解法二 ：设a －2b=m(a+b)+n(a －b)=(m+n)a+ (m －n)b,知12m n m n +=⎧⎨-=-⎩,解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.而()11222a b -≤-+≤-,()33022a b ≤-≤,∴a －2b=()12a b -++()32a b -∴－2≤a －2b ≤1当a —2b 最大时，a +b=1，a －b=1∴b=0，a=1，此时8a +2003b =8. A 级 1.9102.11. 1提示:原不等式组变形为4252x a b x >-+<由解集是0＜x ＜2知40502a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=-⎩ 故a +b =2+(－1)=1 3.a ＜－b ＜b ＜－a 4.52＜m ＜7 5.B 提示：由ax +3a ＞3+x ,得(a －1)(x +3)＞0,.由不等式的解集为x ＜－3知x +3＜0, 所以a －1＜0,得a ＜1. 6.C 7.B 8.C 9.k =2或3.10. 提示：由非负数性质求得a =2,b =5,原不等式组的解集为x ＜－3.11.原不等式组等价于322a xb b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，所以其解不可能是22b b x -<<必有32a b x ≤<，由整数解的情况可知213a -<≤-,232b<≤得a =－5,－4,－3;b =5,6.故整数对(a ,b )共有2×3=6对. B 级1.314a -≤<- 提示:由题意可知:3x a ≤-.由正整数解为1,2,3知334a ≤-<-,解得314a -≤<-2.a ≥－1 提示:原不等式组变形为1x ax ≥-⎧⎨≤⎩由不等式组有解知－a ≤1,故a ≥－13. 9≤a ＜124.211x-> 5. B 提示:原不等式组变形为1736c a b c c ≤++<,5823a a b c a <++<,71524b a bc b <++<. 6. C 示：若x ≥2000，则(x －2000)+x ≤9999，即2000≤x ≤5999, 共有4 000个整数; 若0≤x ＜2000,则(x －2000)+x ≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合 若x ＜0，则2000－x +(－x ) ≤9999即－3999.5≤x ＜0，共有3999个整数适合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合. 7. D 8.C 提示:由原不等式得x 2＞(x +5)29.提示：解不等式，得711x ≤, 原式=()()()41223143x x x x -≥⎧⎪---≤<⎨⎪<-⎩,从而知最大值为4，最小值为3311-10.提示：s =x +2，2≤s ≤3 11.提示:由871513n n k <<+,得151387n k n +<<，即7687k n >> .又n 与k 是都是正整数，显然n ＞8，当n 取9,10,11,12,13,14时，k 都取不到整数. 当n =15时,9010578k <<,即61121378k << 此时是k =13故满足条件的最小正整数n =15,k =13. 12.由a b c ＜＜得111a bc ＞＞，故1113a b c a++＜，即31,3a a ＞＜，又因为1a ＞，故a=2，从而有1112b c +=，又11c b ＜，则212b ＞，即b ＜4，又b ＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.。

11 设元的技巧阅读与思考应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．应用题联系实际，反映现实生活中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力．列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有：1．直接设元题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数． 2．间接设元即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的数量关系，从而列出方程．3．辅助设元有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元． 4．整体设元有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元．例题与求解【例1】某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，则该书有____页.解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有636个数字，可设直接未知数，列方程求解．找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键．寻找相等关系常用方法有：①从关键词中寻找相等关系；②利用基本公式寻找相等关系；③利用不变量寻找相等关系；④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系．行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型，此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润等），尽管形式多变，但是解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程．【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润＝出厂价一成本）是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长()。

10 多变的行程问题阅读与思考行程问题的三要素是：距离（s ）、速度（v ）、时间（t ），基本关系是：s vt =，s v t =，st v=． 行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．其中相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的路程＝两地之间的距离．2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝两地之间的距离．例题与求解【例1】 在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80千米/时，70千米/时，50千米/时的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，同时，B 、C 从乙站开往甲站．A 在与B 相遇后两小时又与C 相遇，则甲、乙两站相距__________千米．（“希望杯”竞赛试题）解题思路：本例为直线上的相遇问题，可依据时间关系列方程．【例2】 如图，某人沿着边长为90来的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米/分的速度，乙从B 以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）．A ．AB 边上B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上乙甲BCAD（安徽省竞赛试题）⨯=（米）处．解题思路：本例是一个特殊的环形追及问题，注意甲实际在乙的前面390270【例3】亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行．比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点．下表是亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所用时间，其他类推，表内时间单位为秒）．（1）填空（精确到0.01）：第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；第194号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒；（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194号吗？如果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0.01）？如果不会，为什么？（3）如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗？为什么？（江苏省徐州市中考试题）解题思路：从表格中获取信息，注意速度、时间的比较是解本例的关键．【例4】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时．一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港时需多少小时？（2）救生圈是何时掉人水中的？（天津市中考试题）解题思路：要求小船按水流速度由A港漂流到B港时所需时间，需求两港间的距离及水流速度，考虑增设辅助未知数．【例5】某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校后，接参观的师生立即出发去县城，由于汽车在赴校的途中发生故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比预定到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，汽车在途中排除故障花了多少时间？（山东省中考试题）解题思路：从题中比原定时间晚到半小时入手，选好未知量，找出汽车所用时间与师生步赶所用时间之间的关系．依时间、速度和路程之间的关系列出方程．【例6】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，在距离B地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达B地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米处相遇，求A，B两地相距多少千米？（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：本例有多种解法，可借助图形辅助分析．能力训练A级1．某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是__________千米/小时．2．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是__________米．（江苏省竞赛试题）3．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米．当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了__________千米和__________千米．（武汉市选拔赛试题）4．上午9时整，时计与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（）．A．9时30分B．10时5分C．10时5511分D．9时83211分（“希望杯”竞赛试题）5．甲、乙两人同时从A地到B地，如果乙的速度v保持不变，而甲先用2v的速度到达中点，再用12v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）．A．甲、乙同时到达B地B．甲先到B地C．乙先到B地D．无法确定谁先到6．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达（）．A．31层B．30层C．29层D．28层7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们的第2007次相遇在边（）上．A．AB B．BC C．CD D．DA乙甲BAD（湖北省黄冈市竞赛试题）8．甲、乙两列火车同时从相距120千米的两地相向行驶，甲速为每小时84千米，乙速为每小时60千米，则当两车相距24千米时行驶的时间为（ ）．A ．40分钟B ．1小时C ．1小时或20分钟D ．40分钟或1小时9．有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计）．通过道口后，还需7分钟到达学校：（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过逬口，求维持秩序的时间．（江西省中考试题）10．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？（湖北省孝感市竞赛试题）11．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为 3.6千米/小时，骑车人速度为16.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？（河北省竞赛试题）B 级1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，a 小时相遇；若同向而行，则b 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为__________．（江苏省竞赛试题）2．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是__________秒．（“希望杯”邀请赛试题）3．某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A ，C 两地的距离为10千米，则A ，B 的距离为__________千米．（重庆市竞赛试题）4．某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为1v ，2v ，3v ．则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为（ ）．A ．1233v v v ++ B ．1231113v v v ++C ．1231111v v v ++D ．1233111v v v ++（天津市竞赛试题）5．静水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不为零的河流中，甲、乙两船同时从A 港出发，同向航行1小时后立即返航，那么（ ）．A ．甲船先返回A 港B ．乙船先返回A 港C．甲、乙两船同时返回A港D．不能确定哪条船先返回A港（《时代学习报》数学文化节试题）6．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为__________．（北京市竞赛试题）7．甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．8．某风景区的旅游线路如右图所示，其中A为入口处，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．某游客从A处出发，以每小时2千米的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．（1）若该游客沿跨线“A→D→C→E→A”游览回到A处，共用去3小时，求C,E两点间的路程．（2）若该游客从A处出发，打算在最短时间内游完三个景点并返回A处（仍按上述步行速度和在景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一个步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．1.311.20.41.1EDCBA（江苏省竞赛试题）9．某人沿电车路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？（湖北省黄冈市竞赛试题）10．如图，甲、乙两人分别在A，B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走，甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相距多少千米？A BE乙（“华罗庚金杯”竞赛试题）专题 10 多变的行程问题例1 1950 提示:设甲乙两站相距S 千米,则280708050S S+=++,解得S=1950千米例2 B 提示:乙第一次追上甲用了2707分钟,270672736029077⨯=⨯+⨯ 例3 ⑴ 8.12 7.03 7.48⑵ 191号能追上194号,这时离第一换项点有24037.96米191号不会追上195号 ⑶ 从第二换项点出发时,195号比191号提前216秒,且长跑速度比191号快,所以195号在长跑时始 终在191号前面,而191号在长跑时始终在194前面,故在长跑时,谁也追不上谁.例4 ⑴设小船在静水中的速度为α,水流的速度为b ,由题意,得6(a +b )=8(a -b ),解得a =7b .故小船按水流速度由A 港漂流到B 港所需的时间为6()6(7)4848a b b b bb b b++===小时 ⑵ 设小船行驶x 小时后救生圈掉入水中,则小船找到救生圈即小船与救生圈相遇,他们行驶的路程如图所示:由题意得(6-x +1)b +(a -b )×1=(6-x )(a +b ),将a =7b 代入上式,解得x =5 故救生圈是在上午11点掉入水中的.例5 如图,设点A为县城所在地,点B为学校所在地,但C为师生途中与汽车相遇之处.汽车晚到的的半小时一方面是因晚出发了10分钟,另一方面是从B到C由于步行代替乘车而多花了20分钟.若设汽车从C到B需要X分钟,则师生从B到C应花(x+20)分钟,由于汽车由C到B与师生从B到C的路程相等由时间与速度成反比可得1206xx=+解得x=4故排除故障花的时间为4×2+30=38分钟例6 解法一:第一次相遇时,甲乙两人所走的路程之和,正好是AB两地相距的路程,即当甲乙合走完AB间的全部路程时，乙走了6千米.第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍(如图，图中实线表示甲走的路程，虚线表示乙走的路程)，因此，这时乙走的路程应为1836=⨯千米.考虑到乙从B 地走到A 地后又返回了4千米，所以A,B 两地间的距离为18-4=14千米.解法二:甲、乙两人同时出发，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有:两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了(全程-6)千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了(2×全程-4)千米，乙走了(全程+4)千米. 设全程为S ，则可列方程44266+-=-S S S . 解得01421==S S ， (舍去).故A,B 两地相距14千米.解法三:设全程为S 千米，甲、乙两人速度分别为21,v v v, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-②①212144266v S v S v v S ②①÷得46426+=--S S S ，解得014==S S 或 (舍去) 故A,B 两地相距14千米.A 级1. 4.82.6403. 150 200提示:设第一辆车行驶了(140十x )千米，则第二辆车行驶了()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⨯+x x 34324614034140千米，由题意得 70343246=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x ，解得10=x . 4.D 提示:因为分针每分钟转 6,时针每分钟转⎪⎭⎫ ⎝⎛21，设两针从上午9时开始，x 分钟后两针成直角，由题意知3602190906=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x ,解得11832=x .5.C6.C 提示：45==乙甲乙甲V V S S . 7. C 8. D 9.(1)因15197336>=+,故王老师应选择绕道去学校. (2)设维持秩序时间为t, 则69336336=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-t t ,解得t=3(分钟). 10.设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时，由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-601518601530x x ，解得x =1. 此人打算在火车前10分钟到达火车站，骑摩托车的速度应为276010160151306010601530=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯x x 千米/时.11.设火车的速度为x 米/秒，由题意得()()263221⨯-=⨯-x x ，解得x =14.故火车的车身长为(14-1)×22=286米.B 级 1.ab a b -+ 2.7.5 提示：先求出甲、乙两车速度和为2010200=米/秒. 3. 20或320 4. D 提示:设三个等长路段的路程均为S ，则平均速度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++321321321111311133v v v v v v S S v S v S v S S . 5.D 提示:考虑两船同时先顺水航行的情形，设想乙船在静水中的速度接近水流的速度，则它将迟迟难以返航.而甲先返回A 港,类似的可考虑两船同时先逆水航行的情形.6. 667. 4448. (1) CE=0.6千米.(2)基本的行走路线有两条:一是A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A )，总时间为4小时;二是A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，总时间为3.9小时.9.设电车速度为v ，人速为x ，电车每隔t 分钟开出一辆，则每两辆电车之间的距离vt ，对于迎面来的电车，这个距离是人与电车共同走4分钟完成的，对于后面追上的电车，两辆电车之间的距离是电车在12分钟追上起始时的距离，由题意得x v vt x v 121244-==+，解得t =6分钟.10. AE:BE=60:80=3:4，设AE=3x , BE= 4x ，从而AB= 7x (米).由题意得1480376047++=+x x x x ，解得x =240，故AB=7x =7×240=1680米.。

03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.字母表示数有如下特点：即字母可以表示任意的数.即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：_______________________________(某某某某地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（某某省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（市竞赛试题）解题思路：从分析A中第n项22(1)(1)n nn n的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.（某某省竞赛试题）解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （某某省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A 级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋a b ＝102×a b （a ，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(某某省某某市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(某某省某某市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q ＝________．(某某省某某市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（某某省中考试题）-=a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C.10a＋1D.a＋1(某某市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(某某省眉山市竞赛试题)x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（某某省某某市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式； （3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （某某省某某市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（某某省某某市中考试题）2＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________；(2)22＋42＋…＋502＝__________________.n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（某某市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B 地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s a b B ．(1)ss ba C ．(1)s s ab D ．(1)ssba6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（某某省竞赛试题）a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．22c a bB ．2c abC ．2ab cD ．22a b c(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（某某市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（某某市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+ 例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-=121004(1)1005⨯+-故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形. (1)由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n =时,29919811910010⨯+=+==;2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=个个个个,计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想:原式210n = 验证如下:9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=个反思结论必为一个数的平方形式,不妨设999n a =个,得另一种解法解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※)可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321可知各组数的个数依次为1,2,3,.按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001中,该组前面共有123420012003001+++++=个数.故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数, 设它们在第n组,别1,,21n nc d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴=得20011200022c -==,20011d = A 级1. 100 提示:21010a ab b+=⨯中,根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+= 2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1-提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==- 故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n + 10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b = (3)2(2)47.5825a b b +÷=≈ B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++ (3) 3980025 2. (1) 2085(2) 22100提示:原式2224(1225)=⨯+++3.20114026提示:由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯可得,原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++且(1)(16)306m m m +++++=,它后面紧接的17 个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为c ab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块.8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，worda4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．与①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），则（a1－a2）＋（a1－a3）＋（a1－a4）＋（a2－a3）＋（a2－a4）＋（a3－a4）＝18，即3（a1－a4）＋（a2－a3）＝18．又因3（a1－a4），18均为3的倍数，故a2－a3也是3的倍数，a2－a3＜a1－a4，则a2－a3＝3，a1－a4＝5，a1－a2＝1，a3－a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a1＝15，a2＝14，a3＝11，a4＝10．11 / 11。

17 不等式(组)的应用阅读与思考许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1．作差或作商比较有理数的大小． 2．求代数式的取值范围． 3．求代数式的最大值或最小值． 4．列不等式(组)解应用题．列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”． 例题与求解【例1】如果关于x 的方程210m x x --=只有负根，那么m 的取值范围是_________．(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)解题思路：由x ＜0建立关于m 的不等式．【例2】已知A ＝1998199920002001⨯-⨯，B ＝1998200019992001⨯-⨯，C ＝1998200119992000⨯-⨯，则有( )．A ．A ＞B ＞C B ．C ＞B ＞A C ．B ＞A ＞CD ．B ＞C ＞A(浙江省绍兴市竞赛试题)解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较【例3】已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．(北京市竞赛试题)解题思路：设1a ＜2a ＜3a ＜···＜7a ，则1a +2a +3a +···+7a ＝159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含1a的不等式．【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．(河北省竞赛试题) 解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．【例6】已知n，k皆为自然数，且1＜k＜n．若123101n kn+++⋅⋅⋅+-=-，n k a+=．求a的值．(香港中学数学竞赛试题) 解题思路：此题可理解为在n个连续自然数中去除其中一个数k (且1＜k＜n，k是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求n和k之和。

专题06 有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律． 2．以符代数． 3．裂项相消． 4．分解相约． 5．巧用公式等．例题与求解【例1】 已知m ，n 互为相反数，a ，b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则2002200123)()()1(-ab x n m x ab n m x ++++++的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】 已知整数d c b a ,,,满足25=abcd ，且d c b a >>>，那么d c b a +++等于（ ） A ． 0 B ． 10 C ．2 D ．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】 计算： （1）;100321132112111+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）199843277777+⋅⋅⋅++++；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）9019727185617424163015201941213652211+-+-+-+-． （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】 n m ,都是正整数，并且)11)(11()311)(311)(211)(211(mm A +-⋅⋅⋅+-+-=， )11)(11()311)(311)(211)(211(nn B +-⋅⋅⋅+-+-=．(1)证明：m m A 21+=，n n B 21+=； (2)若261=-B A ，求m 和n 的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．【例5】 在数学活动中，小明为了求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值（结果用n 表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值． （2）请你用图②，在设计一个能求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】 记，令nS S S T nn +⋅⋅⋅++=21称n T 为n a a a ⋅⋅⋅,,21这列数的“理想数”，已知50021,,a a a ⋅⋅⋅的“理想数”为2004．求50021,,,8a a a ⋅⋅⋅的“理想数”．（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为n S 为各项和，n T 为各项和的和乘以n1． 能力训练 A 级1．若y x ,互为相反数，n m ,互为倒数．1=a ，201220112)()(mn y x a -++-的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若21)1(22)1(1)1(32=+-⨯--⨯-+--M ，则M =___________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：（1）199919971971751531⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯＝________________； （2）()()()()[]⎪⎭⎫⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0＝__________________．4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，⋅⋅⋅，依次类推，直至最后减去余下的19971，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数c b a ,,满足关系式c b a <<<0，那么代数式32-c ab acbc 的值（ ） A ． 必为正数 B ．必为负数 C ．可正可负 D ．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数z y x ,,两两不相等，则z y x -y -，x -z z -y ，y--x xz 中负数的个数是（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若a 与)-(b 互为相反数，则abb a 199********2+＝（ ）A ． 0B ． 1C ． －1D ．1997（重庆市竞赛试题）9．如果()-12001=+b a ，()1-2002=b a ，则20032003b a +的值是（ ）A ．2B ． 1C ． 0D ．-1（“希望杯”邀请赛试题）10．若d c b a ,,,是互为不相等的整数，且9=abcd ，则d c b a +++等于（ ） A ．0 B ． 4 C ． 8 D ．无法确定 11． 把511，3.7，216，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12．已知c b a ,,都不等于零，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，求)1(1998++n m 的值． B 级 1．计算：)9897983981()656361()4341(21+•••+++•••++++++＝________________． （“五羊杯”竞赛试题）2．计算：109876543222-2-2-2-2-2-2-2-2+＝________________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：2)93186293142842421(nn n n n n ••+•••+××+×ו•+•••+××+××＝____________________．4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．已知2000年底，人类知识总量a ，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人类知识总量是：__________________； （2）2019年底人类知识总量是：__________________；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．（北京市顺义区中考试题）5．你能比较20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较1+n n与n n )1(+的大小（n 是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”） ①122__1，②233__2；③344__3；④455__4；⑤••••••566__5 （2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出1+n n与nn )1(+的大小关系是_____________________________________________________________________________； （3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小20022001_____20012002：．（福建省龙岩市中考试题）6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（ ） A ． －2 B ．－1 C ．0 D ．2（全国初中数学竞赛海南省试题）7．如果1332211=++t t t t t t ，那么321321t t t t t t 的值为（ ） A ． －1 B ．1 C ．1± D ．不确定（河北省竞赛试题）8．三进位制数201可用十进制数表示为1910921303212=++×=+×+×；二进制数1011可用十进制法表示为1112081212021123=+++=+×+×+×．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数221=a ，二进位制数10111=b ，则a 与b 的大小关系为（ ）． A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．不能确定（重庆市竞赛试题）9．如果有理数d c b a ,,,满足d c b a +>+，则（ ） A ．d c b a +>++11- B ．2222d c b a +>+ C ．3333d c b a +>+ D ．4444d c b a +>+（“希望杯”邀请赛试题）10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（ ） A ．1997999 B ．1997997 C ．1998998 D ．1998999（《学习报》公开赛试题）11．观测下列各式：223214111××==， 22333241921××==+，22333434136321××==++ 22333354411004321××==+++．．． 回答下面的问题：（1）猜想33333)1-(321n n ++•••+++＝______________．（直接写出你的结果） （2）利用你得到的（1）中的结论，计算3333310099321++•••+++的值． （3）计算①3333100991211++•••++的值； ②3333310098642++•••+++的值．专题 06 有理数的计算例1 28或-26例2 D 提示 ：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.例3 （1）101200 提示：2)1(13211+-++++n n n=()12+n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1112n n .（2）6771999- 提示：设s=1998327777++++ ，则7s=1999327777++++（3）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+56174217301520151213613211+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-90197219=1+1-1019191814131312121-+-++-+-+ =2-101=1091例4 （1）A=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m 1131121111311211 =m m m m 1342313221+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =m m 21+ 同理B=nn 21+由A-B=mm 21+-n n 21+=n m 2121-=261得13111=-n m∴m=n n +1313=13-n+⨯131313，又∵m ，n 均为正整数，∴13+n 为13×13的因数，∴13+n=213∴n156，m=12.例5 （1）原式=1-n21，（2）例6 由题意知 ()()()[]n n a a a a a a a a a nT ++++++++++=213212111，即()()[]n n n a a a n a n na n T +++-+-+=-13212311.又[]50049932150024984995005001a a a a a T +++++⨯= ∴5004993212498499500a a a a a +++++ =2004×500. 故8，1a ，2a ，…，5a 的“理想数“为[]500499321501249849950085015011a a a a a T ++++++⨯=””=[]500200485015011⨯+⨯⨯=2008. A 级1.2 提示：原式=()201220112201-+-=1+1=2.2.2 提示：M-1+21221=+--，解得 M=2.3.（1）5997998；（2）-8 4.1提示：设a=1997，由题意原式= -⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---41623122a a a a a a =19961997342312⨯--⨯-*-⨯-a a a a a 5.-13 6.B 7.B 提示：不妨设x>y>z. 8.B 9.D 10.A 11.提示：设○内从右到左填的数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a 则△内填的数为923254321a a a a a ++++.要使△中填的数尽可能小，则5113=a ，2a ， 4a 分别为2，9，3，7，而剩下的两个为1a ，5a . 12.1998 提示 ：1=x x 时，m=4；1-=xx时，n-4. B 级1.612.5 提示：倒叙相加. 2.6 提示：n n n 2221=-+3.72964 4.（1）a ∙32 （2）a ∙132 （3）a ∙182 5.（1）略 （2）当n<3时，()nn n n 11+<+；当n ≥3时，()nn n n 11+>+ （3）>001-00076. A 提示：先写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又2009＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这2009个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.7. A8. A9. A 10 A 11.（1）14×π2×（n ＋1）2（2）原式＝14×1002×（100＋1）2＝25 502 500（3）①原式＝14×100×（100＋1）2－14×102×（10＋1）2＝25 499 475;②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23×14×502×（50＋1）2＝13 005 000.。

08 还原与对消——方程的解与解方程阅读与思考解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，其方程的解由a ，b 的取值范围确定．字母a ，b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a ，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：(1)当a ≠0时，原方程有唯一解x ＝b a； (2)当a ＝0且b ＝0时，原方程有无数个解； (3)当a ＝0，b ≠0时，原方程无解； 例题与求解[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －3a )]＝4x 和312x a +－158x -＝1有相同的解，那么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：建立关于a 的方程，解方程． [例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax ＝1的解是x ＝1a(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(江苏省竞赛试题)解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性．[例3] a 为何值时，方程3x ＋a ＝2x －16(x －12)有无数多个解？无解？ 解题思路：化简原方程，运用方程ax ＝b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式． [例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程23kx a +＝2＋6x bk-，无论k 为何值时，它的根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：用代解法可得到p ，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．(湖北省黄冈市中考试题)解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，用a 表示出16个数之和，若算出的a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．能力训练图① 日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2003 200419971999 2000 2001 2002… … … (36)3738394041421996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图②A 级1．若关于x 的方程(k －2)x|k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －34[x －14(x －37)]＝316(x －37)的解是______． (广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解 7．方程12x ⨯＋23x ⨯＋…＋19951996x ⨯＝1995的解是( )． A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．1998 8．若关于x 的方程21x bx --＝0的解是非负数，则b 的取值范围是( )． A ．b ＞0 B ．b ≥0 C ．b ≠2 D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )． A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．ab ＝0 D ．ab＝0 10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程3x＋a ＝||2a x －16(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______． 2．已知关于x 的方程2a x -＝33bx -的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式b a －a b 的值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果12＋16＋112＋…＋1(1)n n +＝20032004，那么n ＝______． (江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝1A B +＋(1)(1)x A B ++，如果2※1＝53，那么3※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程 ①x －2＝－1 ②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1) ③x ＝0④x －2＋11x -＝－1＋11x - 其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个50g 砝码(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子23ma na -+的值都是一个定值，其中m －n ＝6，求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子35ax bx ++必为同一定值，求a b b +的值．(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？ (2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？第11题图…………………………………… 142 144 146 148 150 152 1543032343638404216 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 1407 整式的加减例1 －17例2 B例3 1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.例4 原多项式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由题意知，该多项式为二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2 b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17.解得b＝－1，故原多项式为－x2－4 x－5.当x＝－2时，－x2－4 x－5＝－4＋8－5＝－1.例5 设前7站上车的乘客数量依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a 7＝80＋b 8，前6站上车而在终点下车的人数为b8－a7＝100－80＝20（人）.例6 如图，由题意得a1＋a2＋a3＝29,a2＋a3＋a4＝29,…a6＋a7＋a 1＝29,a7＋a1＋a 2＝29,将上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67 .这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7为整数矛盾.故不存在满足题设要求的7个整数.A级1. 292. －63. －24.20035. 10 提示：3 x－2 y＋z＝2×（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5 z）＝2×23－36＝46－36＝10.6. C7. C 提示：设满足条件的单项式为ambncp的形式，其中m，n，p为自然数，且m＋n＋p＝7.8. C 9. D10. 1.2 提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）.11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b.B级1. －a＋b＋c2. ≥ 1 提示：x的系数之和为零，须使4－7 x≤0且1－3 x≤0.3. 224. －94 提示：由（x＋5）2＋| y 2＋y－6|=0得x＝－5，y 2＋y＝6. y 2－ x y＋x 2＋x 3＝y 2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.5. －6. B 提示：利用绝对值的几何意义解此题. x的取值范围在与之间7. A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1] 6=1①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×（－1）－1] 6＝3 6＝729②①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365.8. C 9. A10. A 提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶数.11. 提示：（1）4.5πa2 S阴影＝（a＋a＋a）2＝4.5πa2（2） ab－ b2＋πb2 S阴影＝（a＋a）b－（b2－πb2）＝ a b－ b 2＋πb2（3）3 x＋3 y＋2 z 总长1＝2 x＋4 y＋2 z＋（x－y）＝3 x＋3 y＋2 z.12. 因为＝100 a＋10 b＋c，＝10a＋c.由题意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.化简得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）又∵5是质数，故，从而则符合条件的＝155，245，335，425，515，605.。

27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。

（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。

++=。

不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。

根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。

（2）请解释图中点B的实际意义。

图像理解（3）求慢车和快车的速度。

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。

在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。

14 一次方程组阅读与思考一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法．解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧．方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法． 对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的形式，方程组的解由222111,,,,,c b a c b a 的取值X 围确定，当222111,,,,,c b a c b a 的取值X 围未给出时，须讨论解的情况，基本思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．例题与求解【例1】 若m 使方程组⎩⎨⎧=+=-m y x y x 22的解x ，y 的和为6，则m ＝______________．(某某黄冈市竞赛试题)解题思路：用含m 的式子分别表示x ，y ，利用x ＋y ＝6的关系式，求解m ．【例2】 若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0（0≠xyz ）．则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( ) A ．21-B ．219-C ．－15D ．－13(全国初中数学竞赛试题)解题思路：把z 当作常数，解关于x ，y 的方程组．【例3】 解下列方程组．（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+==3432654z y x z y x（“某某杯”邀请赛试题）（2）⎩⎨⎧=+=+798719951997598919971995y x y x（市竞赛试题）（3）⎩⎨⎧=++++=+=+==+=+=+1999119991998211999199819981997433221x x x x x x x x x x x x x x（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加．【例4】 已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-++=+3)1(2212y a x ay ax 分别求出a 为何值，方程组的解为：（1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无穷多组解．（某某省荆州市竞赛试题）解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论．【例5】已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足4=a bcdef ，9=b acdef ，16=cabdef，41=d abcef ， 91=e abcdf ，161=f abcde ．求)()(f d b e b a ++-++的值． （“CADIO ”某某市竞赛试题）解题思路：利用叠乘法求出abcdef 的值．【例6】已知关于x ，y 的二元一次方程（a －3）x ＋（2a －5）y ＋6－＝0，当a 每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解．（1）求出这个公共解．（2）请说明，无论a 取何值，这个公共解都是二元一次方程（a －3）x ＋（2a －5）y ＋6－＝0的解．（2013年“实中杯”数学竞赛试题）解题思路：分别令a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解． 能力训练A 级1． 若243124953=+--++n m n m y x是关于x ，y 的二元一次方程，则nm的值等于______. （“希望杯”邀请赛试题）2． 方程组⎩⎨⎧=+=+572317631723y x y x ，的解为____________.（某某省中考试题）3． 已知方程组⎩⎨⎧-=-=+②24①155by x y ax 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为x ＝－3，y ＝－1；乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为x ＝5，y ＝4．若按正确的a ，b 计算，则原方程组的解为___________.（某某省联赛试题）4． 已知关于x 的方程)1(5)13()3(+=++-x x b x a 有无穷多个解，则a ＝，b ＝________.（“希望杯”邀请赛试题）5．已知0)223()423(22=+-+-+yx y x，则有( )． A. x ＝2，y ＝3 B.x ＝－6，y ＝3 C. x ＝3，y ＝6 D. x ＝－3，y ＝66．如果方程组⎩⎨⎧=-=+223623y x y x 的解也是方程4x ＋y ＋2a ＝0的解，那么a 的值是 ( )．A.391-B. 691-C. －2D. 27．设非零实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，则222c b a cabc ab ++++的值为( )． A.21-B.0C. 21D. 1（2013年全国初中数学竞赛试题）8．若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解为⎩⎨⎧==2.13.8b a 则方程组⎩⎨⎧=-++=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(2y x y x 的解为( )．A. ⎩⎨⎧==2.13.8y x B. ⎩⎨⎧==2.23.10y x C.⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x（某某省枣庄市中考试题）9．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=-+=+34231232k y x k y x 的解x ，y 的值的和为6，求k 的值．（某某市竞赛试题）10．解方程组．（1）⎩⎨⎧=+-=+102361463102463361y x y x（某某省某某市竞赛试题）（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-1121221136211y x y x（某某省竞赛试题）（3）⎩⎨⎧-=-=+1327y x y x11．若1x ~5x 满足下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++962482242122625432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，求5423x x +的值． （美国数学邀请赛试题）B 级1．已知对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程b a y b a x b a +=+--)()(有一组公共解，则公共解为______.（某某省竞赛试题）2．设⎩⎨⎧=++=++36542332z y x z y x ，则3x －2y ＋z ＝．（2013年全国初中数学竞赛试题）3．若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+03186y x my x 有自然数解，则整数m 可能的值是．（2013年某某省某某市竞赛试题）4． 已知方程组⎩⎨⎧=+=+-by x y x a 5)1(，当a ，b 时，方程组有唯一一组解；当a ，b 时，方程组无解；当a ，b 时，方程组有无数组解．（“汉江杯”竞赛试题）5．“△”表示一种运算符号，其意义是a △b ＝2a －b ，如果x △（1△3）＝2，则x ＝ ( )．A.1B.21 C.23D ．2 （某某省竞赛试题）6．已知xz z y x +=+=531，则z y y x +-22的值为( )．A.1B.23 C. 23- D ．41 （某某市竞赛试题）7．已知关于x ，y 的两个方程组⎩⎨⎧=-=-7222y x by ax 和⎩⎨⎧=-=-113953y x by ax 具有相同的解，那么a ，b 的值是( )．A. ⎩⎨⎧==23b a B. ⎩⎨⎧==32b a C.⎩⎨⎧-=-=32b a D ．⎩⎨⎧-=-=23b a 8．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a ＋b ＝c ，b ＋c ＝d ，c ＋d ＝a ，则a ＋b ＋c ＋d 的最大值是( )．A. －1B. －5C.0 D ．1（全国初中数学联赛试题）9．解方程组 （1）⎩⎨⎧=+=+321y x y x（某某省竞赛试题）（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====64321ea de cd bc ab（某某市竞赛试题）10．已知151=+b a ab ，171=+c b bc ，161=+a c ca ，求cabc ab abc++的值．（某某省某某市数学竞赛试题）11．已知1x ，2x ，3x ，…，n x 中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足求的值1x ＋2x ＋3x ＋…＋n x ＝－17，21x ＋22x ＋23x ＋…＋2n x ＝37．求31x ＋32x ＋…＋3n x 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）12．已知k 是满足20101910<<k 的整数，并且使二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-ky x y x 54745有整数解，问：这样的整数k 有多少个？（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题14 一次方程组例1 8 ②一①得3y=m-2，∴23m y -=．①×2+②得3x=4+m ，∴43mx +=．又由x+y=6得43m ++23m -=6，解得m=8. 例2 D 提示：由题意知43627x y z x y z -=⎧⎨+=⎩得32x zy z=⎧⎨=⎩代入原式中，得2222225(3)2(2)132(3)3(2)10z z z z z z+-=---. 例3 （1）121518x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，提示：令456x y z k ===，则x=4k,y=5k,z=6k.(2) 12x y =⎧⎨=⎩,提示：将方程分别相加、相减得x+y=3,x-y=-1.（3）由题意可设x 1=x 3=x 5=…=x 1999=A,x 2=x 4=x 6=…=x 1998=B ，则110009991999A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A=1 000，B=- 999，即x l = x 3 =x 5=…=x 1999=1 000,x 2 =x 4 =x 6=…=x 1998=-999. 例4提示：由方程组得(2)(1)(2)(2)2(2)(1)2a a x a a a a y a -+=-+⎧⎨-+=-⎩(1)当（a-2）(a+1)≠o ，即a ≠2且a ≠-l 时，原方程组有唯一解；(2)当(a-2) (a+l) =0且(a-2) (a+2)与a-2中至少有一个不为0时，方程组无解，故当a= -1时，原方程组无解；(3)当(a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)=（a-2)=0, 即a=2时，原方程组有无数组解． 例5提示：依题意可得(abcdef)4=1即abcdef=1，从而414a =，故12a =，同理可得13b =,14c =,2d =,3e =,4f =，那么1117()()(3)(24)224312a c eb d f ++-++=++-++=-例6 (1)分别令a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，解出公共解为73x y =⎧⎨=-⎩．(2)把(a- 3)x+(2a-5)y+6-a=0可变形为(x+ 2y -1)a- 3x - 5y+6=0．依题意可得2103560x y x y +-=⎧⎨--+=⎩,解得73x y =⎧⎨=-⎩. ∴无论a 取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解．A 级1. 3192.21x y =⎧⎨=⎩3. 14295x y =⎧⎪⎨=⎪⎩4. 2 1 5．C 6．B7．A 提示：由已知得a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c) =0，故(a+b+c)2=0，于是ab+bc+ca 2221()2a b c -++，则原式的值为12-．8. C 提示：依题中方程组知28.31 1.2x y +=⎧⎨-=⎩解得 6.32.2x y =⎧⎨=⎩9. 5 提示：1611,1313x k =+231313y k =--．10. (1) 11x y =⎧⎨=-⎩(2) 73116x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩提示：设11A x =-，121B y =-. (3) 1143x y =⎧⎨=⎩,2243x y =-⎧⎨=⎩,3343x y =⎧⎨=-⎩4443x y =-⎧⎨=-⎩ 11. 181 提示：将各个方程相加得x 1+x 2 +x 3 +x 4+x 5 ＝31．B 级1.⎩⎨⎧-==10y x 提示：由a (x －y －1)－b (x ＋y ＋1)＝0知⎩⎨⎧=++=--0101y x y x2. 10 提示：3x －2y ＋z ＝2(2x ＋y ＋3z )－(x ＋4y ＋5z )＝2×23－36＝46－36＝103.－1，0，1，4 提示：把y ＝3x 代入6x ＋m y ＝18中得6x ＋3my ＝18, 整理得x ＝26+m ，又因为x ，y 为自然数，故符合条件的m 取值为－1，0，1，4。

5 数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小； 4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】 已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于_____________．（市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A ，B 在数轴上的位置，求出A ，B 两点所表示的有理数．【例2】 在数轴上和有理数c b a ,,对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①0<abc ，②c a c b b a -=-+-，③0))()((>---a c c b b a ，④bc a -<1，其中，正确的结论有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到101<<<<-<c b a ，再对代数式进行逐以一判断．【例3】 如图所示，已知数轴上点C B A ,,所对应的数c b a ,,都不为0，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，试确定原点O 的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而2ba c +=是解题的关键．【例4】 （1）阅读下面材料：点B A ,在数轴上分别表示实数,,b a B A ,两点之间的距离表示为AB ．当B A ,两点中有一点在原点时，当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |． （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是______________，如果|AB |＝2，那么x 为_________； ③当代数式|x ＋1|十|x －2|取最小值时________，相应的x 的取值X 围是___________． ④求1997...321-++-+-+-x x x x 的最小值．（某某省某某市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式b a -所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（某某省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求n a x a x a x y -+•••+-+-=21的最小值．【例6】 如图，A 是数轴上表示－30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点C B A ,,在数轴上同时向正方向运动．点A 运动的速度是6个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，线段AC ＝6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求2PM －PN ＝2时t 的值．（某某省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）C B A ,,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A 点运动到C 点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将N M P ,,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M 始终在点N 左侧，则分为“点P 在N M ,左边”，“点P 在N M ,之间”，“点P 在N M ,右边”三种情况来求解．能力训练A 级1．已知数轴上表示负数有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距m 个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（某某省竞赛试题）2．如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么B A ,两点的距离为______________．3．点B A ,分别是数3-，21-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到''B A 的中点对应数3，则点'A 对应的数是________________，点A 移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知0>a ，0<b 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为911999的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001（某某市竞赛试题）6．如图，b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）．A ．c b a -+32B ．c b -3C ．c b +D ．b c -8．如图所示，在数轴上有六个，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）．A ．－1B ．0C ．1D ．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：且64366====d c b a ，求c b a b d a -+---22323的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点o K ，第一步从o K 向左挑一个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置o K 点所表示的数是_________________．11．如图，已知B A ,分别为数轴上两点，A 点对应的数为－20，B 点对应的数为100． （1）求过B A ,中点M 对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数．（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．B 级1．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示：则化简c c a b b a ------+11的结果为_____________________． 2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“站台439”的镜头（如示意图中M 站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若B A ,站台分别位于－2，－1处，NB AN 2=，则N 站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若N 点与原点O 的距离是N 点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N 点表示的数是_________________．（某某省竞赛试题）4．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值X 围是__________________．（某某市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点C B A ,,，且BC AB ≠，那么，到C B A ,,三点距离的和最小的点为（）．A ．B 点外 B ．线段AC 的中点 C ．线段AC 外一点D ． 无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点)(,,,,321为正整数n A A A A n ⋅⋅⋅都在数轴上，点在原点O 的左边，且11=O A ，点2A 在点1A 的右边，且212=A A ，点3A 在点2A 的左边，且323=A A ，点4A 在点3A 的右边，且434=A A ，•••，依照上述规律，点20092008,A A 所表示的数分别为（） ．A ．2008，－2009B ．－2008，2009C ．1004，－1005D ．1004，－1004（某某省某某市中考试题）7．设11++-=x x y ，则下列四个结论中正确的是（）．A ．y 没有最小值B ．只有一个x 使y 去最小值C ．有限个x （不止一个）使y 去最小值D ．有无穷多个x 使y 取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点D C B A ,,,对应的数分别是整数d c b a ,,,，且92=-a b ，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D（“新世纪杯”某某初中数学竞赛试题）9．已知y y x x +---=-++15912，求y x +的最大值和最小值．（某某省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有F E D C B A ,,,,,六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．11．如图，数轴上标有12+n 个点，它们对应的整数是n n n n n ,1,2,,2,1,0,1,2,),1(,--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n 的最小值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）专题05 数与形的第一次联姻例1 12 提示：点A 表示数为3或－3，满足条件的点B 共有4个． 例2 B 提示：由数轴知a ＜－1＜0＜b ＜c ＜1．∴abc ＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a －b ＜0，b －c ＜0，c －a ＞0，故（a －b ）（b－c ）(c －a ）＞0，③正确；|a |＞1，1－bc ＜1，|a |＞1－bc ，④不正确． 例3 原点O 在线段AC 上．例4 ①3，3，4 ②|x ＋1| 1或－3 ③－1≤x ≤2 ④997 002例5 如图，用A ，B ，C ，D ，E 点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给1x ，2x ，3x ，4x ，5x 台电脑．依题意得：7＋1x －2x ＝11＋2x －3x ＝3＋3x －4x ＝14＋4x －5x ＝15＋5x －1x ＝10．得2x ＝1x －3，3x ＝1x －2，4x ＝1x －9，5x ＝1x －5．本题要求y ＝|1x |＋|2x |＋|3x |＋|4x |＋|5x |的最小值，依次代入，可得y ＝|1x |＋|1x －3|＋|1x －2|＋|1x －9|＋|1x －5|．由绝对值几何意义可知，当1x ＝3时，y 有最小值12．此时有2x ＝0，3x ＝1，4x ＝－6，5x ＝－2． 所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台．例6 （1）A ，B ，C 三点在数轴上同时向正方向运动． 当点A 运动到点C 左侧时，∵线段AC ＝6，∴6＋6t ＝30＋18＋3t ，解得t ＝14． 当点A 运动到点C 右侧时，∵线段AC －6，∴6t －6＝30＋18＋3t ，解得t ＝18． 综上可知，t 为14或18时，线段AC ＝6．（2）当点A ，B ，C 三个点在数轴上同时向正方向运动t 秒后，点A ，B ，C 在数轴上表示的数分别为：6t －30，10＋3t ，18＋3t ．（3）∵P ，M ，N 分别为OA ，OB ，OC 的中点． ∴P ，M ，N 三个点在数轴上表示的数分别为：2306-t ，2310t +，2318t+．且点M 始终在点N 左侧． ①若点P 在M ，N 左边，则PM ＝2310t +－2306-t ＝20－1．5t ，PN ＝2318t +－2306-t ＝24－1．5t ．∵2PM －PN ＝2，∴2（20－1．5t ）－（24－1．5t ）＝2， ∴t ＝328． ②若点P 在M ，N 之间，则PM ＝2306-t －2310t+＝－20＋1．5t ， PN ＝2318t +－2306-t ＝24－1．5t ．∵2PM －PN ＝2，∴2（－20＋1．5t ）－（24－1．5t ）＝2， ∴t ＝344． ③若点P 在M ，N 右边，则PM ＝2306-t －2310t+＝－20＋1．5t ，PN ＝2306-t －2318t +＝－24＋1．5t ． ∵2PM －PN ＝2，∴2（－20＋1．5t ）－（－24＋1．5t ）＝2， ∴t ＝12．但此时PM ＝－20＋1．5t ＜0，所以此情况不成立． 综上可知，t ＝328或344时符合题意．A 级1．2m 2．2或8 3.47，419提示：AB 的长为()221--⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝25，A '对应的数为3－2521⨯＝47，点A 移动的距离为47－（－3）＝419． 4．b ＜－a ＜a ＜|b | 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 510．－30．06 提示：设0K 点表示的有理数为x ，则1K ，2K ，…，100K 点所表示的有理数分别为x －1，x －1＋2，x －1＋2－3，…，x －1＋2－3＋4－…－99＋100．由题意得x －1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94． 11．（1）M 点对应的数为210020+-＝40．（2）相遇时间为46120+＝12秒，C 点对应的数为100－12×6＝28．（3）追击时间为60秒，D 点对应的数为－260．B 级1．－2 2．311-3．24或40．提示：设N 点对应的数为x ．根据绝对值的几何意义可知|x |＝4|x －30|．对x 分情况讨论得出x ＝24或x ＝40．4.b ≤x ≤a 5．A 6．C 7．D 8．C9．原式化为|x ＋2|＋|1－x |＋|y －5|＋|1＋y |＝9．∵|x ＋2|＋|1－x |≥3，当－2≤x ≤1时等号成立；|y －5|＋|1＋y |≥6，当－1≤y ≤5时等号成立．∴x ＋y 的最大值＝1＋5＝6；x ＋y 的最小值＝－2－1＝－3．10．调运后各仓库的存货量都相等，应为61×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨． 设A 库运往B 库B x 吨，B 库运往C 库C x 吨，C 库运往D 库D x 吨，D 库运往E 库E x 吨，E 库运往F库F x 吨，F 库运往A 库A x 吨，故有:50＋A x －B x ＝84＋B x －C x ＝80＋C x －D x ＝70＋D x －E x ＝55＋E x －F x ＝45＋F x －A x ＝64．所以，B x ＝A x －14，C x ＝B x ＋20＝A x ＋6，D x ＝C x ＋16＝A x ＋22，E x ＝D x ＋6＝A x ＋28，Fx ＝E x －9＝A x ＋19．若使调运量最小，则有y ＝|A x |＋|B x |＋|C x |＋|D x |＋|E x |＋|F x |＝|A x |＋|A x －14|＋|A x ＋6|＋|A x ＋22|＋|A x ＋28|＋|A x ＋19|取最小值．而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，当－19≤≤A x -6时，y 有最小值，此时，-33≤≤B x -20，-13≤≤C x 0，3≤≤D x 16，9≤≤E x 22，0≤≤F x 13.当A x =-19时，B x =-33, c x =-13，D x =3, E x =9, F x =0.即A 库运往B 库-33吨，亦即B 库运往A 库33吨.B 库运往C 库-13吨，亦即C 库运往B 库13吨.C 库运往D 库3吨，D 库运往E 库9吨，E 库运往F 库0吨，F 库运往A 库19吨，总调运量为77吨.11.首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7.从中可取前4个点0，1，2，3，其中任何两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4.因为2006=4×501+2，8×501=4010.故当n=2005时，2n+1=4011.从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个点，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4.另一方面，如果n ≤2004，那么2n+1≤4009.从左到右，第8个连续点一组，至多502组，其中最后一组只有1个点.因此不论怎么取2006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有两个点的距离为4.综上所述，n的最小值是2005.。