第3讲 定点运算及浮点运算

计算机理论：浮点数和定点数计算机表示浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。

具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。

浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。

一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。

在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。

m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。

如果m 的第一位是非0整数，m称作规格化的。

有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。

e是指数。

由此可以看出，在计算机中表示一个浮点数，其结构如下：尾数部分（定点小数）阶码部分（定点整数）数符±尾数m 阶符±阶码e这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。

例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。

当然，实际使用的位数通常远大于4。

此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和−∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。

无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。

众所周知，计算机中的所有数据都是以二进制表示的，浮点数也不例外。

然而浮点数的二进制表示法却不像定点数那么简单了。

先澄清一个概念，浮点数并不一定等于小数，定点数也并不一定就是整数。

所谓浮点数就是小数点在逻辑上是不固定的，而定点数只能表示小数点固定的数值，具用浮点数或定点数表示某哪一种数要看用户赋予了这个数的意义是什么。

简介当我们用不同的电脑计算圆周率时，会发现一台电脑的计算较另一台来讲结果更加精确。

或者我们在进行枪战游戏的时候，当一粒子弹击中墙壁时，墙上剥落下一块墙皮，同样的场面在一台电脑上的表现可能会非常的呆板、做作；而在另外一台电脑上就会非常生动形象，甚至与我们在现实中看到的所差无几。

这都是浮点运算能力的差异导致的。

定点与浮点大学计算机基础中已经了解过计算机的实数表示方法可分为两种即定点与浮点1、定点数：定点数指小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数。

在对小数点位置作出选择之后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数问题。

（1）定义：数据中小数点位置固定不变的数（2）种类：定点整数（3）小数点在符号位与有效位之间。

注：定点数受字长的限制，超出范围会有溢出。

2、浮点数：浮点数的表示形式有点像科学计数法（*.*****×10^***），它的表示形式是0.*****×10^***，在计算机中的形式为 .***** e ±***），其中前面的星号代表定点小数，也就是整数部分为0的纯小数，后面的指数部分是定点整数。

利用这样的形式就能表示出任意一个整数和小数，例如1024就能表示成0.1024×10^4，也就是 .1024e+004，3.1415926就能表示成0.31415926×10^1，也就是 .31415926e+001，这就是浮点数。

浮点数进行的运算就是浮点运算。

注：其浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。

浮点数，这个复杂点，有三种格式单精度：_31_30________23_22___________0符号指数有效数双精度：_63_62__________52_51__________________0符号指数有效数扩展精度数：_79_78____________64_63___________________0符号指数有效数3、定点数与浮点数区别定点表示法运算直观，但数的表示范围较小，不同的数运算时要考虑比例因子的选取，以防止溢出。

定点数与浮点数什么是定点数、浮点数？首先我们要认清一个概念，定点数不一定是整数，浮点数不一定是小数。

如其名，浮点数和定点数的区别就在于浮点和定点上，点就是指小数点。

浮点数就是小数点是浮动的，定点数就是小数点是固定不动的。

具体，什么是浮点数？浮点数是在计算机中用以近似表示任意某个实数。

具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。

一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。

在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。

m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p 位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。

如果m 的第一位是非0整数，m称作规格化的。

有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。

e是指数。

对于一些外文资料中，指数即：exponent，尾数即：mantissa。

在IEEE 754中，定义了两种浮点数，即我们熟悉的float和double型。

如图所示。

对于float型的浮点数来说，最高一位是符号位，不用说了，1为负号，0为正。

紧跟着指数位是8位，尾数是23位。

由于尾数是规格化的，最高一位肯定非零，并且最高一位隐藏。

所以对于尾数来说，实际上可以有 23+1=24位。

比如说，如果mantissa为010，exponent为3，s为0，则尾数实际上是1.010，因此这个数是+1.010*2^3=1010b,即为十进制10.0。

Double的位数说明类似于float。

什么是定点数？我们在上述的浮点数中可以看到，浮点的小数位是可变的（随exponent变化），因此浮点数可表达的小数范围非常广。

但浮点数运算量非常大（从它的定义上就知道了）。

并且在目前市场占有量最大的定点DSP并不支持浮点运算。

定点数与浮点数计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。

1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。

在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。

一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。

定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。

若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。

如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。

所以定点小数的表示范围是：2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。

若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤ | x| ≤ 2n - 1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。

计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。

若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。

用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。

2. 浮点数表示法(floating-point number)与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E × M式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E 为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。

浮点运算和定点运算
浮点运算和定点运算是计算机中常见的两种数值运算方式。

浮点运算是指在计算机中使用浮点数进行的数值运算，浮点数由尾数和指数两部分组成，用于表示实数。

其特点是可表示很大或很小的数字，而且精度可以控制，在科学计算、数字信号处理等领域有广泛应用。

但是其缺点是计算速度相对较慢，而且会因为舍入误差而产生精度误差。

而定点运算是指在计算机中使用定点数进行的数值运算，定点数通常是整数，其小数点位置是固定的。

它的特点是计算速度快，不会产生舍入误差，但是其精度不如浮点运算，只能用于一些对精度要求不高、要求计算速度快的应用场合，比如图像、视频等。

在实际应用中，通常会根据具体需求选择浮点运算或定点运算。

对于需要高精度计算的应用，如科学计算，一般采用浮点运算；而对于要求计算速度和实时性比较高的应用，如多媒体处理，通常采用定点运算。

同时，现代计算机中的CPU、GPU等处理器都具有硬件支持浮点运算和定点运算，可以根据应用场景智能地选择合适的数值运算方式，提高计算效率和精度。

小数点的表示为了节省内存，计算机中数值型数据的小数点的位置是隐含的，且小数点的位置既可以是固定的，也可以是变化的。

定点数与浮点数如果小数点的位置事先已有约定，不再改变，此类数称为“定点数”。

相比之下，如果小数点的位置可变，则称为“浮点数”。

⑴定点数。

常用的定点数有两种表示形式：如果小数点位置约定在最低数值位的后面，则该数只能是定点整数；如果小数点位置约定在最高数值位的前面，则该数只能是定点小数。

例如，假定用两个字节存放一个定点数，则以定点方式表示的十进制整数195为：这里，(-0.6876)10=(-0.10110000000001101…)2，转换为无限循环小数，存储时多余的位被截断。

如果知道一个定点数的小数点位置约定和占用存储空间大小，那么很容易确定其表示数的范围。

⑵浮点数。

浮点数表示法来源于数学中的指数表示形式，如193可以表示为0.193x103或1.93x102等。

一般地，数的指数形式可记作：N=M x RC其中，M称为“尾数”，C称为“阶码”。

在存储时，一个浮点数所占用的存储空间被划分为两部分，分别存放尾数和阶码。

尾数部分通常使用定点小数方式，阶码则采用定点整数方式。

尾数的长度影响该数的精度，而阶码则决定该数的表示范围。

同样大小的空间中，可以存放远比定点数取值范围大得多的浮点数，但浮点数的运算规则比定点数更复杂。

1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。

典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。

在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。

货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。

由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。

SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。

还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。

DSP中浮点转定点运算--浮点与定点概述⼀：浮点与定点概述1.1相关定义说明 定点数：通俗的说，⼩数点固定的数。

以⼈民币为例，我们⽇常经常说到的如123.45￥，789.34￥等等，默认的情况下，⼩数点后⾯有两位⼩数，即⾓，分。

如果⼩数点在最⾼有效位的前⾯，则这样的数称为纯⼩数的定点数，如0.12345，0.78934等。

如果⼩数点在最低有效位的后⾯，则这样的数称为纯整数的定点数，如12345，78934等。

浮点数：⼀般说来，⼩数点不固定的数。

⽐较容易的理解⽅式是，考虑以下我们⽇常见到的科学记数法，拿我们上⾯的数字举例，如123.45，可以写成以下⼏种形式：12.345x1011.2345 x1020.12345 x103……为了表⽰⼀个数，⼩数点的位置可以变化，即⼩数点不固定。

1.2定点数与浮点数的对⽐为了简单的把问题描述清楚，这⾥都是⼗进制数字举例，详细的分析，⼤家可以在后⾯的⽂章中看到。

(1)表⽰的精度与范围不同例如，我们⽤4个⼗进制数来表达⼀个数字。

对于定点数（这⾥以定点整数为例），我们表⽰区间[0000，9999]中的任何⼀个数字，但是如果我们要想表⽰类似1234.3的数值就⽆能为⼒了，因为此时的表⽰精度为1/100=1；如果采⽤浮点数来表⽰（以归整的科学记数法，即⼩数点前有⼀位有效位，为例），则可以表⽰[0.000，9.999]之间的任何⼀个数字，表⽰的精度为1/103=0.001，精度⽐上⼀种⽅式提⾼了很多，但是表⽰的范围却⼩了很多。

也就是说，⼀般的，定点数表⽰的精度较低，但表⽰的数值范围较⼤；⽽浮点数恰恰相反。

(2)计算机中运算的效率不同⼀般说来，定点数的运算在计算机中实现起来⽐较简单，效率较⾼；⽽浮点数的运算在计算机中实现起来⽐较复杂，效率相对较低。

(3)硬件依赖性⼀般说来，只要有硬件提供运算部件，就会提供定点数运算的⽀持（不知道说的确切否，没有听说过不⽀持定点数运算的硬件），但不⼀定⽀持浮点数运算，如有的很多嵌⼊式开发板就不提供浮点运算的⽀持。