当前位置：文档之家 › 五年级下册数学专项训练 -数字游戏

五年级下册数学专项训练 -数字游戏

  • 格式：doc
  • 大小：244.50 KB
  • 文档页数：7

下载文档原格式

  / 7

合集下载

新人教版五年级下册数学计算题专项训练经典练习题

新人教版五年级下册数学计算题专项训练经典练习题

新人教版五年级下册数学计算题专项训练经典练习题新人教版五年级下册数学计算题专项训练经典练题班级姓名得分一、直接计算。

（8分）72 111 1312 = 29 + 1 = 30 - 1 = 2999 102 024 45二、解方程或比例。

（9分）① x + 1/2 = 1/5 - 1/5 + 1/2 - 1/5 + 1/3 - 5/3 + 2/5 = 10/23② x + x = 14/1③ x - 5/5 - 5/5 - 1/2 = 6/11三、运算，要写出要紧运算过程，能用简便方法的要用简便方法运算。

（18分）1111 115232 346 7 8 42 -5251 2121 2 7 59155 13137667 1515五年级下期运算题专项练二班级姓名得分一．直接计算。

（8分）1112 5559 - = 32233 6661 1413 313 - 1 = 25555 882二．解方程或比例。

（9分）1411 51x - = x + 2 x - =2562 66三．运算下列各题，要写出要紧运算过程，能用简便方法的要用简便方法运算。

（18分）1) + (-) (2) 2 - - (3) 68 - 7.5 + 32 - 2.5 (4) - +4 5 3 8 1 4 3 7 4 7 5 8 1 3 5511 4311 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 55) - (-) (6) + (-)1212 1225 84五年级下期运算题专项练三班级姓名得分一．直接计算。

（13分）2623 3111 119731 0793 524151****23136752 0202 0984 87 - = 5 72115 31131 - - =3314 1414 444二．解方程或比例。

（9分）1671 757x + = - x = X - (-) =3712 4162 424三．运算下列各题，要写出要紧运算过程，能用简便方法的要用简便方法运算。

小学五年级数学下册期末专项训练题(766)

小学五年级数学下册期末专项训练题(766)

小学五年级数学下册期末专项训练题（766）好的，以下是一份针对小学五年级数学下册期末专项训练题的内容，适合五年级学生进行复习和练习。

一、选择题（每题2分，共10题，20分）1. 一个数的5倍是30，这个数是：A. 6B. 5C. 3D. 42. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 不规则多边形B. 半圆C. 任意三角形D. 椭圆3. 一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米、5厘米，它的体积是：A. 240立方厘米B. 180立方厘米C. 120立方厘米D. 300立方厘米4. 一个数除以0.5，相当于将这个数：A. 乘以2B. 除以2C. 加倍D. 减半5. 一个分数的分子和分母都乘以3，分数的大小：A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10题，20分）1. 一个数的3倍是45，这个数是______。

2. 一个长方体的体积是120立方厘米，如果长、宽、高都扩大2倍，新的体积是______立方厘米。

3. 一个分数的分子是15，分母是30，化简后是______。

4. 一个数的40%是24，这个数是______。

5. 一个圆的半径是5厘米，它的面积是______平方厘米。

三、计算题（每题5分，共4题，20分）1. 计算下列表达式的值：\[ 36 \div 6 + 5 \times 2 - 8 \]2. 计算下列分数的和：\[ \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \]3. 计算下列长方体的表面积：长：10厘米，宽：4厘米，高：6厘米。

4. 计算下列圆的周长：半径：7厘米。

四、应用题（每题10分，共2题，20分）1. 小华家到学校的距离是1.2公里，他每天往返学校，一周（5天）他走了多少公里？2. 一个农场有一块长方形的地，长是宽的3倍，如果长增加10米，宽增加5米，面积就增加了150平方米。

求原来长方形地的长和宽。

这份训练题涵盖了五年级数学下册的主要知识点，包括基本的算术运算、几何图形的识别和计算、分数的理解和应用等。

人教版五年级数学下册解决问题专项全能训练

人教版五年级数学下册解决问题专项全能训练

人教版五年级数学下册解决问题专项全能训练1. 一盒牛奶1.5千克，正好倒4杯，平均每杯装多少千克牛奶？2. （2012•广汉市校级模拟）红星小学五年级有男生98人，女生112人．五年级的学生人数是五年级的3. 小华体重30千克，比小刚轻4. 一个长600米、宽200米的植物园，它的面积是多少公顷？如果每6平方米栽一棵树，这个植物园可以在多少株植物？如果每平方米施肥20千克，一共要施肥多少吨？5. 1＋2＋3＋……＋999＋1000＋1001的和是奇数还是偶数？请写出理由。

6. 李老师买了一箱矿泉水，4瓶4瓶数或5瓶5瓶数，都刚好数完。

这箱矿泉水至少有几瓶？7. 李老师每隔3天去1次图书馆，王芳每隔4天去1次图书馆，6月30日她们都去图书馆，7月份同时去图书馆的日子有哪几天？8. 妈妈买了3千克水果糖和4千克奶糖一共用去45元，已知1千克奶糖的价钱与3千克水果糖的价钱一样多，每千克水果糖和奶糖各多少元？9. 如图1是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米。

中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形。

草地部分的面积有多大？图1 图210. 学校买来了大小两种不同包装的圆珠笔，大包装7盒，小包装3盒，共114支，每盒大包装比小包装的多2支，求每盒大包装和小包装各多少支？11. 每套童装需2.2米布，30米布最多可以做几套这样的童装？还剩几米布？12. 王老师买了2支钢笔和6支圆珠笔，共付60元，已知1支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱一样多，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？13. 一块三角形地，高是36米，底是18米，共收小麦777.6千克，平均每平方米收小麦多少千克？14. 有一个底面积是300平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。

现在把一块石头浸没到水里，水面上升2厘米。

这块石头的体积是多少立方厘米？15. 一块砖长8厘米，宽6厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？16. 一块底5分米、高4分米的三角形木板正反两面刷上油漆，一共用去油漆0.72千克，每平方米木板用油漆多少千克？17. 晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？18. “小星星”体操队共有96人，要排成一个表演方阵，你认为应该怎样编队才整齐？19. 一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？320. 小红说：我的体重是36千克．爸爸说：小红的体重是我的21. 100千克的油菜籽可榨油45千克，平均每千克油菜籽可以榨油多少千克？榨1千克油需要多少千克油菜籽？（用最简分数表示结果）22. 一个封闭的长方体容器。

人教版五年级数学下册第四单元计算专项训练(假分数带分数互化 通分 约分 比较大小)

人教版五年级数学下册第四单元计算专项训练(假分数带分数互化 通分 约分 比较大小)

人教版五年级数学下册第四单元计算专项训练（假分数带分数互化通分约分比较大小）1.将下面每组分数通分。

（1）56和78（2）49和35（3）67和13（4）34和162.约分。

① 2754= ② 7560= ③ 1525=④ 2412= ⑤ 1260= ⑥ 2736=⑦ 68= ⑧ 3214=3.把下面的假分数化为带分数或整数，把带分数化为假分数。

（1）134= （2）153=（3）237= （4）7911=4.把下列带分数和假分数互化① 45 =② 912 =③ 94 =④ 137 =⑤ 5011 =5.化简成最简分数① 2430 =② 1218 =③ 1845 =④ 4956 =⑤ 1339 =6.把下面的小数化成分数，分数化成小数。

（1）34（2）0.28（3）7.8（4）1187.求下列每组数的最小公倍数。

（1）15和20 （2）11和12 （3）7和568.求下列每组数的最大公因数。

（1）9和15 （2）7和28 （3）42和48 9.通分。

（1）23和45（2）721和47（3）58和71210.先通分，再比较每组分数的大小。

（1）67和89（2）58和712（3）2021和1415（4）34和1211.求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）12和16 （2）24和48 （3）7和912.先通分，再比较大小．（1）14和37（2）712和38（3）718和32013.求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）12和60 （2）18和45 （3）27和3014.写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4和9 （2）16和12 （3）13和52 （4）14和10 15.把下面各组分数通分．（1）1124和2372（2）712和1315（3）512、78和111616.写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

（1）9和10 （2）14和42 （3）26和3917.求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

五年级数学下册典型例题系列之期中专项练习：分数及最大公因数和最小公倍数的实际应用(解析版)(人教版)

五年级数学下册典型例题系列之期中专项练习：分数及最大公因数和最小公倍数的实际应用(解析版)(人教版)

2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之期中专项练习：分数及最大公因数和最小公倍数的实际应用（解析版）1．（2021·河南三门峡·五年级期中）给地面铺瓷砖最好铺整块的，既美观又节约。

张青家的长方形客厅长70分米，宽50分米，如果用正方形的瓷砖铺地（必须用整块），瓷砖的边长最大是几分米？【解析】70257=⨯⨯50255=⨯⨯所以70和50的最大公因数是：2510⨯=答：瓷砖的边长最大是10分米。

2．（2021·河南南阳·五年级期中）五一班有男生25人，女生23人，女生人数占全班人数的几分之几？【解析】23÷（25＋23）＝23÷482348=答：女生人数占全班人数的23 48。

3．（2021·河南新乡·五年级期中）明明看一本故事书，已经看了40页，还剩51页没有看，明明看了这本故事书的几分之几？【解析】40(4051)÷+4091=÷4091=答：明明看了这本故事书的40 91。

4．（2021·河南焦作·五年级期中）我参加射击比赛，41发命中，9发没有命中。

命中数占实际射击总数的几分之几？【解析】41÷（41＋9）＝41÷50＝41 50答：命中数占实际射击总数的41 50。

5．（2020·云南·巧家县茂租镇九年一贯制学校五年级期中）一张长方形木板长28dm，宽12dm。

在无剩余的前提下，将它裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？【解析】2281221467328和12的最大公因数为：2×2＝4（dm）答：正方形的边长是4dm。

6．（2020·云南·巧家县茂租镇九年一贯制学校五年级期中）五（1）班期末进行50米跑步测试，有8人不达标，40人达标，没有达标的人数占全班人数的几分之几？【解析】8÷（8＋40）＝8÷48＝1 6答：没有达标的人数占全班人数的16。

小学数学五年级下奥数题专项训练(附答案)

小学数学五年级下奥数题专项训练(附答案)

小学数学五年级下奥数题专项训练（附答案）一、工程问题1、甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还需要多少小时？2、修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。

如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。

现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3、一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。

现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。

乙单独做完这件工作要多少小时？4、一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。

已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5、师徒俩人加工同样多的零件。

当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。

当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6、一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。

单份给男生栽，平均每人栽几棵？7、一个池上装有3根水管。

甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。

现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8、某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9、两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？二、鸡兔同笼问题1、鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，问鸡与兔各有几只？三、数字数位问题1、把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?2、A和B是小于100的两个非零的不同自然数。

2020五年级数学下册小数除法专项过关训练

2020五年级数学下册小数除法专项过关训练1. 与0.3×1.52的积相等的式子是（）A .0.3×0.152B .15.2×0.03C .0.03×0.1522. 把90.060化简，可以去掉的零有（）个。

A .1B .2C .3D .03. 3.65÷25的商的最高位是（）A .个位B .十分位C .百分位4. 34.5除以5的商减去8与0.2的积，得多少？正确的列式为（）。

A .（34.5÷5－8）×0.2B .34.5÷5－8×0.2C .34.5÷（5－8×0.2）5. 小数a除以0.01，结果是（）A .aB .a的100倍C .a缩小到原来的6. 下面各式（）的商最大．A .24÷0.15B .2.4÷1.5C .2.4÷0.757. 商大于被除数的算式是（）A .64.8÷1.7B .56.2÷1C .21.48÷0.58. 4.0706706…用循环小数简便写法记作（）A .4.B .4.C .4.09. 下面各数中，要读出两个“零”的数是（）A .2.10008B .210.008C .2100.08D .21000810. 每个空瓶可以装2.5千克的色拉油，王老师要把25.5千克的色拉油装在这样的瓶子里，至少需要（）个这样的瓶子。

A .10B .11C .1211. 有一个数十位和百分位上都是4，个位和十分位都是0，这个数写作______，读作______。

12. 小数的末尾添上______或去掉______，小数的______不变。

13. 简便计算。

56.5×1.25+56.5×0.75=（ ______ ）14. 3.4×5表示______，5×3.4表示______。

小学五年级数学下册期末专项训练题(945)

小学五年级数学下册期末专项训练题（945）好的，以下是针对小学五年级数学下册期末专项训练题的内容：一、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的倍数的个数是，其中最小的倍数是，没有最大的倍数。

2. 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是，最大的因数是。

3. 两个数的最小公倍数是，最大公因数是。

4. 一个数是另一个数的倍，这个数就是另一个数的倍数。

5. 两个数的公倍数的个数是，其中最小的公倍数是。

二、选择题（每题3分，共30分）1. 一个数的因数一定小于它的倍数。

（）A. 正确B. 错误2. 两个数的最小公倍数一定大于它们的最大公因数。

（）A. 正确B. 错误3. 一个数的倍数一定大于它的因数。

（）A. 正确B. 错误4. 两个数的最小公倍数是它们的公倍数中最小的一个。

（）A. 正确B. 错误5. 两个数的最大公因数是它们的公因数中最大的一个。

（）A. 正确B. 错误三、解答题（每题10分，共50分）1. 求出48和60的最小公倍数和最大公因数，并说明求法。

2. 一个数的最小倍数是24，最大因数是8，求这个数。

3. 两个数的最小公倍数是72，最大公因数是12，求这两个数。

4. 一个数是另一个数的3倍，求这两个数的最小公倍数和最大公因数。

5. 两个数的公倍数有24、48、72等，求这两个数。

以上就是针对小学五年级数学下册期末专项训练题的内容。

这些题目涵盖了倍数、因数、最小公倍数和最大公因数等知识点，难度适中，有助于学生巩固和提高。

希望对你有所帮助。

如果还有任何其他问题，欢迎随时问我。

2020-2021学年苏教版数学五年级下册《解决问题》专项训练卷

10．一条72米长的小路，原来从一端起每隔9米栽一棵树，现在要从一端起每隔6米栽一棵树，为节省成本，有些位置上的树保持不动，保持不动的树有多少棵？
11．有一根长20m的绳子对折3次，剪成同样长的小段，每小段长多少米？每小段占全长的几分之几？
12．有两根一样长的钢管，第一根截去 米，第二根截去 ，哪根钢管剩余的部分长？
【详解】
20厘米＝2分米，9升＝9立方分米，
3×3×2
＝9×2
＝18（立方分米）
18－9＝9（立方分米）
答：这个西瓜的体积是9立方分米。
【点睛】
此题考查的是长方体的体积的计算问题。关键需要掌握西瓜完全浸入水中的上升的水的体积等于西瓜的体积。
15．1.125吨
【分析】
根据长方体的体积公式，长方体体积＝长×宽×高求出其体积，长方体体积×单位体积细沙的重量即可求出需要的细沙重量。
2．五年级先抽出了105名同学来组成5路彩旗仪仗队。现在要改为6路仪仗队，最少需要增加（______）名同学，或者减少（______）名同学。
3．教室里原有9名男同学，6名女同学，女同学占教室总人数的 ，出去了5名男同学，现在教室的女同学占总人数的 。
4．五年级二班要从贝贝，甜甜、芳芳这三名同学中推选出一名文体委员，每人只能选这三人中的任意一个，最后，贝贝所得票数为总票数的 ，甜甜为总票数的 ，应推选（________）为文体委员。
【点睛】
此题考查的是两个数之间的最大公因数，属于基础知识，需牢牢掌握。
10．5棵
【分析】
根据题意，保持不动的树是9米与6米的公倍数的路灯，即18米倍数的树不移动，也就是求出每隔18米树的棵数，加上开头的那一棵即可。
【详解】
如图所示：
9与6的最小公倍数是18；

五年级数学下册《剪绳子问题》专项训练

0.8米比1米少，那么0.8米平均分成两份，其中这样的一份肯定比1/2米少。
因为绳子长度不确定，绳子1/2的长度不确定，所以1/2和1/2米就无法比较了。
我们先画图：
再想想：
你看我们不知道绳子有多长，就不Байду номын сангаас道绳子的1/2有多长？
思考1：假如绳子长1米，它的1/2有多长呢？
当绳子长1米时，它的1/2正好就是1/2米。
思考2：假如绳子比1米长是2米的话，它的1/2有多长呢？
如果绳子比1米多的话，那把它平均分成两份，每份肯定比1/2米多。
思考3：假如绳子比1米短是0.8米的话，它的1/2有多长呢？
五年级数学下册
《剪绳子问题》专项训练
例题：我有一根绳子，第一次剪去它的1/2，第二次剪去1/2米，哪次剪去的绳子长呢？
一条绳子的1/2和1/2米一样长吗？
1/2把1根绳子平均分成两份，取一份；1/2米就是0.5米长，意思不一样的。
1/2和1/2米意思都不一样，怎么比呢？
意思不同的可以转化成相同意思的来比，1/2米已经知道有多长，那就看绳子的1/2有多长？要知道绳子的1/2有多长，得知道到绳子有多长？
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第九讲数学游戏游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。

例1 在一个3×3的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略。

分析把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i。

甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i=（a＋c＋g+i）+（b+h）；乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i=（a＋c＋g＋i）+（d＋f）要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f.要想使b ＋h＞d＋f，甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾。

为了使叙述方便起见，我们分别用（甲2）和（a5）分别表示“甲第二轮”和“在a处填数字5”，其余如（乙1），（甲1，b10）等含义类同。

一、甲首先使b、h处填的数尽可能大.譬如，（甲1，b10）。

1.乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如（乙1）不在h处填数，（甲2）在h处填余下来的最大数后，无论（乙2）怎么填，最后总有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在h处填最小数）2.（甲2）不能在d处或f处填数.（否则，如（甲2，dx），x为任一数，则（乙2）在f处填余下来的最大数后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙胜）.当然（甲2）填9，譬如（甲2，eg）.（以后，只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入d或f，就不会输了）3.显然，（乙2，d8），乙就不会输了.因此不分胜负（此时（甲3）必须（f3））。

同样，若（甲1，h10），只要乙应对正确，乙就不会输。

因此，只有二、甲首先使d、f处填的数尽可能小（才有可能必胜）.譬如，（甲1，d1）。

1.若（乙1）不在f处填数时，（甲2）在f处填余下来的最小数，则最后必有b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲胜。

2.若（乙1，f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2，b9），最后必有b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲胜.因此，只要（甲1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。

解：甲第一轮采用削弱对方策略，把1填入d格（或f格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入b或h 格内，或者把尽可能小的数填入f格（或d格）内（在乙没有在f或d格内填数的情况下），甲都能获胜。

例2 在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？分析见右图，采用倒推法.甲要取胜，就必须使乙在移动最后一次石子后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即○一1~○一3.而移动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只有○+1和○+2,即○+1和○+2必须由甲来占领。

这样，如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次移动石子后，石子落在再移动一次就能移到○+1或○+2的那些方格中，即○一4~○一9.而从哪些方格（除了○+1和○+2外）中移动一次石子，石子必定落在○一1~○一9之一中呢？只有用○+3.因此甲第一次移动石子就必须把石子从左下角移到○+3.中。

这样，所有的格子被分成“胜位”（○+1~○+3）和“负位”（○一1~○一9）.自然，上图中的○一10和○一11也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后他不失误）；谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。

解：由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一格.然后，乙如果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜。

如果是5×5的方格，甲要取胜，应采取怎样的策略呢？根据例2的分析，我们仍用○+表示胜位，○一表示负位，如图所示.因此，先移动石子者必输——第一次他只能把石子移动到负位。

例3 甲乙两人玩下面的游戏：有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个，甲乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（＞0）不限.规定拿到最后一个球的人为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？分析解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起，逐渐找出规律或找出解来。

为了便于叙述，我们用（m，n）表示两堆球，其中一堆有m个，另一堆有n个。

我们从最简单的情况（1，0）开始讨论。

显然，谁拿过球后两堆球成为（1，0）的状况，则对方必败，因为此时对方只有唯一的一种选择——拿走最后一个球.因此（1，0）是胜位，即谁造成这个局面谁必胜.把这种情形简记为①（1，0），胜位。

②（a）（n，0），负位，其中n＞1；（对方只需在n个球的那堆中拿走n—1个，对方就造出（1，0）局面，因而对方胜）。

显然，（b）（1，1），负位；（c）（n，1），负位，其中n＞1。

（对方只需在n个球的那堆中的球全拿走，就造出（1，0）局面.）此外，③（2，2），胜位.（对方拿走1个变（2，1），即②（c）中的情形；拿走2个变（2，0），即②（a）中的情形.对方均负）.因此④（n，2），负位，其中n＞2。

（对方只需在n个球的那堆中拿走n—2个，对方就占据了胜位（2，2）.）与③类似，有⑤（3，3），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④三种负位之一.）因此⑥（n，3），负位，其中n＞3。

（对方只需在n个球的那堆中拿走n—3个，对方就占据了胜位（3，3）.）还有⑦（4，4），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④，⑥四种负位之一.）因此⑧（n，4），负位，其中n＞4。

（对方只需在n个球的那堆中拿走n—4个，对方就占据了胜位（4，4）.）如此等等，因此，当两堆球的个数相等但不等于1，或只有一堆球，其中只有一个球时，先拿的必输；当个数不相等但不是（1，0），或两堆各有1个球时，先拿的必胜（当为（n，0）时，拿走n-1个球；当为（n，1）时，拿走n个球；否则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等）。

解：如果甲先拿，甲有必胜的策略.甲的具体做法是：从9个球的那一堆中拿1个，使两堆球数相等，都是8个。

此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数.在前两种情形，因为只剩下一堆球，而且这堆中只有一个球，因此乙必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是比原来少了。

这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面.这时，乙只有两种选择：拿2个或拿1个，然后，甲拿1个或拿2个，乙也必输。

说明：我们也可用例2的分析中的思考方法来解这道题。

先如右图画一表格.其中有“*”的格子表示两堆球的个数分别为3和5.这个方格记为（3，5）（第四行第六列）.显然.（5，3）（第六行第四列）的含义与（3，5）一样（行、列分别为从下到上、从左到右编序）.我们的问题转化为：在（8，9）格中有一石子（即“有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个”），甲乙两个轮流移动石子（即“甲乙两人轮流从中拿球”），每次只能向下或向左移动（即“每次只能从一堆中拿”），格数不限（即“个数不限”）.规定把石子移到（0，0）格（即左下角）的人为输（即“规定拿到最后一个球的人为输”）.问如果甲先移（即“甲先拿”），他有无必胜的策略？按照例2分析中的思路，我们把解答填在右面的表格里，其中的“+”、“-”分别表示该格为“胜位”和“负位”.如，（1，0）格中的“+”表示谁把石子移动到这一格即会胜.在表格中除了（1，0），（0，1）是胜位外，其余所有的胜位为（n，n），n＝2，3，4，….而（8，9）格是负位.因此，开始时石子在（8，9）格中时，如甲先移，甲有必胜的策略，即甲必胜——把石子移到一个标有“+”的格子，即移到（8，8）格中.此时，无论乙怎样移动石子（只要按规定移），他必把石子移到负位.接着，甲又能把石子移到胜位，….最后，甲必能把石子移到（1，0）格或（0，l）格.因此甲必胜。

请同学们自己推导一下上述填“+”、“-”的过程，并把“移石子”的必胜策略“翻译”成“取玻璃球”的策略.习题九1.如果把例1中的九个数改为1、2、3、4、5、6、7、8、10（注意缺少9），得分少者为胜，甲先填，请你为甲找出一种必胜的策略。

2.甲乙两人玩轮流从右图中选数的游戏，谁选的数中有三个在同一条直线上（即和为15），谁就胜.先选的人有没有必胜的方案？3.把例2分别改成在8×8和9×9方格纸上，甲乙两人交替将右上角石子移到左下角，其他规则不变，问谁能有必胜策略？4.甲乙两人玩下面的游戏：有三堆玻璃球，A堆有29个，B堆有16个，C堆有16个，甲乙两人依次从中拿取，每次只许从同一堆中拿，至少拿一个，多拿不限，规定拿最后一个者为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？。