最新论初等数论与小学数学的关系

初等数论知识在小学数学中的渗透
赵艳;李凤清
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2022(32)3
【摘要】本文通过案例分析的形式介绍初等数论知识在小学数学中如何渗透,通过突出整数以及整除特性、明确整除特征、发掘教材内容、重视整数标准分解、拓宽素数知识面等措施,扩宽学生视野,增强其解决问题能力,同时渗透数学思想方法,让学生感受数学文化,强化学习动机与学习兴趣。

【总页数】5页(P50-54)
【作者】赵艳;李凤清
【作者单位】蓬溪县实验小学;四川职业技术学院教师教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
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初等数论在中小学数学教科书中的融合应用一问题提出初等数论在国内主要开设于高等院校，在中小学并未直接设立课程，但在该阶段的数学知识学习过程中，许多关键概念及原理都渗透着初等数论的理论，如：数的整除、带余数除法、因数与倍数、质数与合数、勾股定理等。

尽管初中阶段的数学以代数、几何为主，没有较多初等数论的内容，然而，在高中甚至后续的数学学习过程中，关于整数的部分，必不可少地将会涉及到初等数论的理论，故在初中数学教学中有必要补充和延伸与教学内容相关联的数论知识。

较多学者对初等数论课程的教学现状与教学改革进行了考察与研究，尤其强调在高等师范院校的小学教育专业开设这门课程的必要性；也有大量期刊论文、硕士论文对初等数论在数学竞赛试题中的应用进行分析，但从整体上看，针对初等数论具体应用于中小学数学教科书的研究相对较少。

另一方面，人教版数学教材是全国义务教育阶段数学学习的主流教材之一，具有较广的普及范围和较强的影响力。

本文将主要分析初等数论在现行一至九年级新人教版教科书中的融合应用。

二研究方法本文主要采用了文献研究法和案例研究法等。

基于数据资料库、图书馆等途径，进行大量文献检索，并搜集、梳理、分析相关资料；同时，通过研究案例，将理论与实际结合，梳理初等数论在中小学数学教科书中的具体应用，并对案例进行系统理解与深入分析，了解初等数论在中小学数学教学过程中的意义与价值。

三初等数论融合于中小学数学教科书中的案例分析（一）有余数的除法学生在小学阶段已接触初等数论中最基本的内容——整除理论，但结合儿童心理发展规律，代入具体数值，联系生活实际，能够帮助学生理解并掌握知识。

学生将在二年级学习“有余数的除法”，教材呈现出用小棒摆出正方形的活动情境，教师引导学生观察、归纳，让学生发现“余数要比除数小”的特点在本单元中，最典型的实际问题是与“日历”相联系的题型（如图2），例如：六月份有30天，有几个星期？还多几天？观察生活中的日历，便能发现其中蕴含着同余理论，假若知道某月2号是星期二，则9号、16号均是星期二，日历中位于同一列的整数被7除后的余数相同。

数论在小学数学学习中的应用探讨数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系。

虽然数论在高等数学中有着广泛的应用，但是它在小学数学学习中的应用却相对较少。

然而，数论作为一门富有挑战性和趣味性的学科，可以为小学生提供一种全新的学习方式和思维方式。

本文将探讨数论在小学数学学习中的应用，以及如何将数论的概念融入到小学数学教学中。

首先，数论可以帮助小学生提高他们的逻辑思维能力。

数论中的许多问题都需要学生进行推理和证明，这对于培养他们的逻辑思维能力非常有帮助。

例如，让学生证明一个数是否为素数，需要他们运用到素数的定义和性质进行推理。

这样的问题可以激发学生的思考，培养他们的逻辑推理能力。

其次，数论可以帮助小学生理解数学中的一些基本概念。

例如，学习最大公约数和最小公倍数的概念时，数论可以提供一种直观的理解方式。

通过数论中的算法，如欧几里得算法和辗转相除法，学生可以更好地理解这些概念，并能够熟练地应用它们解决实际问题。

另外，数论可以帮助小学生培养他们的问题解决能力。

数论中的许多问题都需要学生进行探索和发现，这可以培养他们的问题解决能力和创造力。

例如，让学生找出一组满足某个条件的整数，这样的问题可以激发学生的兴趣，让他们主动思考和探索。

通过解决这些问题，学生可以培养他们的问题解决能力，并提高他们的数学思维能力。

此外，数论还可以帮助小学生发展他们的数学直觉。

数论中的一些问题和定理往往具有直观的几何意义，可以帮助学生形成数学直觉。

例如，费马小定理可以帮助学生理解模运算的性质，进而应用到解决实际问题中。

通过数论的学习，学生可以培养他们的数学直觉，提高他们的数学思维能力。

最后，数论可以帮助小学生培养他们的数学兴趣。

数论中的一些问题往往具有趣味性和挑战性，可以激发学生对数学的兴趣。

例如，学生可以尝试证明哥德巴赫猜想，这是一个数论中的经典问题。

通过解决这样的问题，学生可以感受到数学的美妙和乐趣，从而激发他们对数学的兴趣。

综上所述，数论在小学数学学习中的应用具有重要的意义。

浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用作者：黄咏华来源：《成长·读写月刊》2017年第09期【摘要】随着教育制度改革不断实施，越来越多的人开始重视学生教育，特别是小学阶段。

作为小学数学教师，其要能够在实际教学中注重对学生在解决问题的能力。

关于初等数论，其作为学校为培养学生儿开设的课程，不仅能够在一定程度上培养学生扎实的数学基础知识和给课程特有的思想方法，还进一步的提高学生学习数学的综合能力。

对此，本文就对当前初等数论知识在小学数学教学中的应用进行重点探讨和分析。

【关键词】初等数论；小学数学；应用关于初等数论，其是研究数学中整数的最基苯性质，同时也是一门非常重要的数学基础课程。

在当前小学数学教学中开展这门课程，既能够进一步的加深学生对数的性质了解和掌握，还更好的理解其他与之相关的学科。

但是，在现阶段，由于大多数教师在初等数论课程教学内容上过于陈旧，且使用的教学方法也较为单一。

对于这种情况，已经严重影响整个小学数学在内初等数论的教学质量。

一、小学初等数论知识在教学中的相关概况及其作用在当前的小学数学教学过程中，初等数论知识和思想是最为常见的，因而作为小学数学教师，要给予足够的重视[1]。

在现阶段，随着新课程改革的不断深入，初等数论知识，不仅出现在正常的数学教学中，还会以小学数学竞赛的形式出现。

在通常情况下，都是以在数学教学中出现更为突出。

在实际数学教学中，教师开展初等数论知识课程，主要是为了能够进一步的提高学生的数学素养，同时在其内容上也在一定程度上反应某些特别重要的数学思想方法，这能够更好的帮助学生提高数学基础能力和实际应用意识。

总之，在小学数学教学中开展这么课程不仅极大的扩展学生的数学视野，还提高的学生对数学科学价值和文化价值的认识。

对于在小学数学教学中应用初等数论知识，有以下几个方面的作用；一是，激发学生学习数学的兴趣。

在目前的小学数学教学中，多数教师还在使用传统的教学模式和方法，这种教学方式严重影响学习学习的兴趣，对此，教师要能在教学中合理的运用数论知识，提高学生学习兴趣；二是，有助于培养学生在学习中的创造思维能力。

论初等数论在中学教学与数学竞赛重的应用摘要：《初等数论》是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业基础课。

作为课程内容，《初等数论》常常被认为是介绍一些基础知识 ，而作为研究内容是一大批纯数学的难题，经常被认为与实际应用没有多大关系的学科。

然而，真实的情况却是，数论的知识点在中小学的教育中被越来越频繁的应用，特别是在中学的数学竞赛应用极为广泛。

本文主要介绍初等数论在中小学数学竞赛中的应用以及它与中学教学的相关问题（主要讨论整除在这两者中的应用与相关性）。

关键词：初等数论 中学教学 数学竞赛 整除正文 ：一、整除与中小学的数学教学1、整除在《初等数论》中的概念与性质定义（整除）： 设a 、b 是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q 使得等式a =bq （1）成立，我们就说b 整除a 或a 被b 整除，记作b |a 。

定理1（传递性）： 若a 是b 的倍数，b 是c 的倍数，则a 是c 的倍数，即b |a ,c |b => c |a .定理2： 若a 、b 都是m 的倍数，则a +b （或a -b ）也是m 的倍数。

定理3： 若n a a a ,...,21都是m 的倍数，n q q q ,...,21是任意n 各整数，则n n q a q a q a +++...2211是m 的倍数。

定理4（带余数除法）： 若a ，b 是两个整数，其中b >0 ，则存在两个整数q 及r ，使得a =bq +r ,0≤r <b （2）成立，而且q 及r 是唯一的。

定义 ： （2）中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被b 除所得到的余数。

以上的2条定义和4条定理即为整除在《初等数论》中的知识点，不难想到，若将其用数字具体化，即为中小学中的学到的，并且在解题中被大量的应用。

下面来看几个例子。

2、中小学中有关整除的习题 例 2.1(04年人大附中考题)甲,乙,丙代表互不相同的3个正整数,并且满足甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小 是____.（基础题）【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5*3*3*3，所以丙最小应该是2*2*5*3,所以甲最小是2*3*3*5=90.例2.2（05人大附中考题）有____.个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身。

利用初等数论思想解决小学数学教学问题08数学大专（1）班 30308127 丁令万小学数学的教学过程中，往往教师上课不懂怎么教、学生听不懂，导致恶性循环，使学生数学基础差，解题思想单一等问题严重。

为解决这一问题，关键在于授课老师要有良好的教学方法能使学生听懂，并且愿意听。

而要达到这一目标，我建议教学过程中采用初等数论的解题思想。

初等数论意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。

重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等。

解析数论借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。

积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。

加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。

此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。

我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。

因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。

简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、角谷猜想、圆内整点问题、完全数问题……下面列举初等数论中的整除性问题来说明数论思想对小学数学教学的作用。

整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．例1 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k 为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例2 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法, 其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织, 融会贯通的知识网络, 需要我们去挖掘、揭示。