初等数论与小学数学

初等数论知识在小学数学中的渗透
赵艳;李凤清
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2022(32)3
【摘要】本文通过案例分析的形式介绍初等数论知识在小学数学中如何渗透,通过突出整数以及整除特性、明确整除特征、发掘教材内容、重视整数标准分解、拓宽素数知识面等措施,扩宽学生视野,增强其解决问题能力,同时渗透数学思想方法,让学生感受数学文化,强化学习动机与学习兴趣。

【总页数】5页(P50-54)
【作者】赵艳;李凤清
【作者单位】蓬溪县实验小学;四川职业技术学院教师教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
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论初等数论与小学数学的关系—-“同余"在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号:15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉,那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过,似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法.初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。

其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。

这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外,也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。

有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。

”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2)数的整除特征（小升初常考内容）余数问题:（1)带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1)奇偶与加减运算；（2)奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解约数倍数：(1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。

对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容-—同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。

同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分.其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。

在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系,欧拉定理和循环小数等几个知识点。

在没接触初等数论学习之前,我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。

初等数论在中小学数学教科书中的融合应用一问题提出初等数论在国内主要开设于高等院校，在中小学并未直接设立课程，但在该阶段的数学知识学习过程中，许多关键概念及原理都渗透着初等数论的理论，如：数的整除、带余数除法、因数与倍数、质数与合数、勾股定理等。

尽管初中阶段的数学以代数、几何为主，没有较多初等数论的内容，然而，在高中甚至后续的数学学习过程中，关于整数的部分，必不可少地将会涉及到初等数论的理论，故在初中数学教学中有必要补充和延伸与教学内容相关联的数论知识。

较多学者对初等数论课程的教学现状与教学改革进行了考察与研究，尤其强调在高等师范院校的小学教育专业开设这门课程的必要性；也有大量期刊论文、硕士论文对初等数论在数学竞赛试题中的应用进行分析，但从整体上看，针对初等数论具体应用于中小学数学教科书的研究相对较少。

另一方面，人教版数学教材是全国义务教育阶段数学学习的主流教材之一，具有较广的普及范围和较强的影响力。

本文将主要分析初等数论在现行一至九年级新人教版教科书中的融合应用。

二研究方法本文主要采用了文献研究法和案例研究法等。

基于数据资料库、图书馆等途径，进行大量文献检索，并搜集、梳理、分析相关资料；同时，通过研究案例，将理论与实际结合，梳理初等数论在中小学数学教科书中的具体应用，并对案例进行系统理解与深入分析，了解初等数论在中小学数学教学过程中的意义与价值。

三初等数论融合于中小学数学教科书中的案例分析（一）有余数的除法学生在小学阶段已接触初等数论中最基本的内容——整除理论，但结合儿童心理发展规律，代入具体数值，联系生活实际，能够帮助学生理解并掌握知识。

学生将在二年级学习“有余数的除法”，教材呈现出用小棒摆出正方形的活动情境，教师引导学生观察、归纳，让学生发现“余数要比除数小”的特点在本单元中，最典型的实际问题是与“日历”相联系的题型（如图2），例如：六月份有30天，有几个星期？还多几天？观察生活中的日历，便能发现其中蕴含着同余理论，假若知道某月2号是星期二，则9号、16号均是星期二，日历中位于同一列的整数被7除后的余数相同。

常见教师招聘考试笔试数学专业知识考察范围（小学）教师招聘考试中小学数学部分一般是由四部分组成的：高中数学、初中数学、初等数论与小学数学教材教法研究。

高中数学这部分主要内容是：简易逻辑、数列、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线方程、直线、平面、简单几何体、数学归纳法、概率与统计。

初中数学部分主要包括数的分类、方程与不等式、简单函数、直线与圆、比例等等。

初等数论：数的整除性、不定方程。

而小学数学教材教法研究：小学数学知识的相关基础理论知识、小学数学教学法。

对于高等数学中的考试内容现在已经进入了现在高中数学的教材中，而且这部分的内容考试不难。

因此我将高中数学与高等数学放到一块看看考试的大纲。

首先是简易逻辑，简易逻辑主要是考的是四种命题、充分必要条件。

接下来是数列，数列是高考的必考内容，也成为了招教考试的必考的内容。

数列这部分考试内容是等差数列以及等比数列的通项公式以及前n项和的公式，一般情况下会和函数以及不等式结合起来一块来考察。

考试的方式基本上与高考的水平不相上下，但是考大题的可能性不是太大。

不等式这部分，主要的考点是不等式的性质及其证明，掌握均值不等式的运用，掌握简单不等式的一般解法，这部分的内容是解决函数、数列等知识的基础。

解析几何部分主要包括：直线和圆的方程，圆锥曲线方程。

直线的要求是理解直线的倾斜角和倾斜率，掌握直线方程的点斜式、两点式与一般式。

掌握两条直线位置关系以及点到直线之间的距离。

一般直线与圆一块来考，圆这部分的要求是掌握圆的标准方程和一般方程。

圆锥曲线主要是椭圆、双曲线与圆锥曲线的定义、圆锥曲线以及简单几何性质。

除此之外，还有时候直线与圆锥曲线一块来考，难度不是很大，但是计算量比较大，在小学教师招聘考试中出的可能性不大。

立体几何中主要的考点是直线、平面与简单几何体。

主要考察的是直线、平面的位置关系以及多面体柱、锥、球的表面积与体积公式等等。

概率与统计是现在教师招聘考试数学的必考环节，这部分主要的内容是会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率以及会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用作者：黄咏华来源：《成长·读写月刊》2017年第09期【摘要】随着教育制度改革不断实施，越来越多的人开始重视学生教育，特别是小学阶段。

作为小学数学教师，其要能够在实际教学中注重对学生在解决问题的能力。

关于初等数论，其作为学校为培养学生儿开设的课程，不仅能够在一定程度上培养学生扎实的数学基础知识和给课程特有的思想方法，还进一步的提高学生学习数学的综合能力。

对此，本文就对当前初等数论知识在小学数学教学中的应用进行重点探讨和分析。

【关键词】初等数论；小学数学；应用关于初等数论，其是研究数学中整数的最基苯性质，同时也是一门非常重要的数学基础课程。

在当前小学数学教学中开展这门课程，既能够进一步的加深学生对数的性质了解和掌握，还更好的理解其他与之相关的学科。

但是，在现阶段，由于大多数教师在初等数论课程教学内容上过于陈旧，且使用的教学方法也较为单一。

对于这种情况，已经严重影响整个小学数学在内初等数论的教学质量。

一、小学初等数论知识在教学中的相关概况及其作用在当前的小学数学教学过程中，初等数论知识和思想是最为常见的，因而作为小学数学教师，要给予足够的重视[1]。

在现阶段，随着新课程改革的不断深入，初等数论知识，不仅出现在正常的数学教学中，还会以小学数学竞赛的形式出现。

在通常情况下，都是以在数学教学中出现更为突出。

在实际数学教学中，教师开展初等数论知识课程，主要是为了能够进一步的提高学生的数学素养，同时在其内容上也在一定程度上反应某些特别重要的数学思想方法，这能够更好的帮助学生提高数学基础能力和实际应用意识。

总之，在小学数学教学中开展这么课程不仅极大的扩展学生的数学视野，还提高的学生对数学科学价值和文化价值的认识。

对于在小学数学教学中应用初等数论知识，有以下几个方面的作用；一是，激发学生学习数学的兴趣。

在目前的小学数学教学中，多数教师还在使用传统的教学模式和方法，这种教学方式严重影响学习学习的兴趣，对此，教师要能在教学中合理的运用数论知识，提高学生学习兴趣；二是，有助于培养学生在学习中的创造思维能力。

利用初等数论思想解决小学数学教学问题08数学大专（1）班 30308127 丁令万小学数学的教学过程中，往往教师上课不懂怎么教、学生听不懂，导致恶性循环，使学生数学基础差，解题思想单一等问题严重。

为解决这一问题，关键在于授课老师要有良好的教学方法能使学生听懂，并且愿意听。

而要达到这一目标，我建议教学过程中采用初等数论的解题思想。

初等数论意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。

重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等。

解析数论借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。

积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。

加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。

此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。

我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。

因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。

简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、角谷猜想、圆内整点问题、完全数问题……下面列举初等数论中的整除性问题来说明数论思想对小学数学教学的作用。

整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．例1 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k 为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例2 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法, 其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织, 融会贯通的知识网络, 需要我们去挖掘、揭示。

初等数论在中小学的背景
初等数论课程是高等院校初等教育专业的一门专业技术课程。

初等数论是主要用算术方法来研究整数性质的一门学.科,是数学中最
古老的分支之-。

初等数论研究的主要研究整除理论、同余理论、不
定方程及原根与指标四大部分。

其中整除理论是初等数论的基础;同
余理论是初等数论的核心内容,是初等数论所特有的思想、概念和方法;以整除和同余理论为基础,初等数论主要研究整数的性质和不定
方程。

目前高等院校中的初等数论课程教学内容相对陈旧，教学方法比较单一，而且在日常生活中的应用不明显，这些问题对于提高数论的教学质量而言十分不利,同时对我们培养具有灵活思维能力、具有创
造力的未来中小学数学教师也更加不利。

为此,本文针对初等数论课
程的特点,从教学内容和教学方法等方面对数论课程的教学进行改进。

我国初等数论课程的教学现状数学不仅仅是逻辑推理和数、式
的简单演算,而且还是活生生的科学现实。

数学史、数学意识及数学
思维方法的形成都是数学教学应当涉及的范畴,然而,在初等数论的
教学中这些几乎是盲区。

数学基础知识固然重要,但是初等数论的产生、演化、发展数学事件、数学思维方法的孕育、萌芽、形成过程及划时代的意义等也非常重要。

我们的初等数论教材中对数学史的渗透、融合重视程度还很不够。

因而,应该改变初等数论课程的现有教学模式，充分发挥数学史知识在提高教师的教学效果及进行国家提倡的素质教育方面的重要作用。