2010年普通高等学校招生_3

2010年高考上海理科数学试题及答案一、填空题（共13小题；共65分）1. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．2. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．3. 行列式 \（\begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．4. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．5. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．6. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．7. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．9. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．10. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．11. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．12. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．13. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）14. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−216. 若x0是方程12x=x13的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1217. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．20. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．21. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．22. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a2，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．2. y2=8x【解析】由定义知P的轨迹是以F2,0为焦点的抛物线，故p=4，所以其方程为y2=8x．3. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．4. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=22=3．5. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．6. S←S+a7. 0,−28. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．9. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．10. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1=11+0=1．11. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．12. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．13. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分14. A 【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．15. C【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．16. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．17. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分18. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.19. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．20. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ， 设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 21. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ． （2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．22. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。

3571 5653 10682 11762 15902 16556 6967 1531 548 6711 129 3516 9803 4174 9816 5708 8453 16694 17362 5744 1470 5052 6813 10741 8735 7408 7695 5132 11242 10813 3906 10223 17262
10 北京交通大学 11 北京科技大学 12 北京理工大学 13 北京联合大学 14 北京林业大学 15 北京师范大学-香港浸会 大学联合国际学院
16 北京体育大学 17 北京邮电大学 18 北京邮电大学宏福校区 19 北京中医药大学 20 长安大学 21 长春理工大学 22 长沙理工大学 23 大连海事大学 24 大连交通大学 25 大连理工大学 26 大连民族学院 27 大连民族学院 28 大连医科大学 29 电子科技大学
14 60含增加计划3 62含增加计划2 27 39含增加计划2 22含增加计划2 28含增加计划4 80含增加计划8 128 18含增加计划1 64含增加计划1 99含增加计划3 80含增加计划23 54 10 34 70 42 29含增加计划1 39含增加计划4 50 99(含文科调剂计划4) 27 20 97含增加计划6 13含增加计划1 55 61含增加计划8 27 48含增加计划13 73 61 34
平行 平行 退缺补报 平行 平行 平行 平行 退缺补报 退缺补报 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 平行 退缺补报 平行
513 530 575 587 549 619 535 574 520 536 523 541 523 682 584 533 571 505 638 571 572 597 507 652 640 543 559 603 554 580 532 540 501

2010年安徽理一、选择题（共10小题；共50分）1. i是虚数单位，3+3i= A. 14−312B. 14+312i C. 12+36i D. 12−36i2. 若集合A= x log12x≥12，则∁R A= A. −∞,0∪22,+∞ B. 22,+∞C. −∞,0∪22,+∞ D. 22,+∞3. 设向量a=1,0，b=12,12，则下列结论中正确的是 A. a=bB. a⋅b=22C. a∥bD. a−b与b垂直4. 若f x是R上周期为5的奇函数，且满足f1=1，f2=2，则f3−f4= A. −1B. 1C. −2D. 25. 双曲线方程为x2−2y2=1，则它的右焦点坐标为 A. 22,0 B. 52,0 C. 62,0 D. 3,06. 设abc>0，二次函数f x=ax2+bx+c的图象可能是 A. B.C. D.7. 设曲线C的参数方程为x=2+3cosθ,y=−1+3sinθ（θ为参数），直线l的方程为x−3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A. 280B. 292C. 360D. 3729. 动点A x,y在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是12,32，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A. 0,1B. 1,7C. 7,12D. 0,1和7,1210. 设a n是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是 A. X+Z=2YB. Y Y−X=Z Z−XC. Y2=XZD. Y Y−X=X Z−X二、填空题（共5小题；共25分）11. 命题"对任何x∈R,x−2+x−4>3 "的否定是．12.y −x6的展开式中，x3的系数等于．13. 设x,y满足约束条件2x−y+2≥0,8x−y−4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=abx+y a>0,b>0的最大值为8，则a+b的最小值为．14. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x=．15. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．；①P B=25②P B A1=5；11③事件B与事件A1相互独立；④A1,A2,A3是两两互斥的事件；⑤P B的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关．三、解答题（共6小题；共78分）+16. 设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A、B、C所对边长，并且sin2A=sinπ3−B +sin2B.B sinπ3（1）求角A的值；（2）若AB⋅AC=12，a=27，求b,c（其中b<c）．17. 设a为实数，函数f x=e x−2x+2a,x∈R．（1）求f x的单调区间与极值；（2）求证：当a>ln2−1且x>0时，e x>x2−2ax+1.18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90∘，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B−DE−C的大小．19. 如图，已知椭圆E经过点A2,3，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=12．（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在，请找出；若不存在，说明理由．20. 设数列a1，a2，⋯，a n，⋯中的每一项都不为0．证明：a n为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N+，都有1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=na1a n+1．21. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=1−a1+2−a2+3−a3+4−a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（1）写出X的可能值集合；（2）假设a1，a2，a3，a4等可能的为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由．答案第一部分1. B2. A3. D4. A 【解析】因为f3=f3−5=f−2=−f2=−2,f4=f4−5=f−1=−f1=−1,所以f3−f4=−2−−1=−1.5. C6. D 【解析】由A、C、D知，f0=c<0，因为abc>0，那么ab<0，从而对称轴x=−b2a>0，由此A、C错误，D符合要求；由B知，f0=c>0，因为abc>0，那么ab>0，从而对称轴x=−b2a<0，由此B错误．7. B 【解析】曲线C是圆心坐标为C2,−1、半径为3的圆，那么圆心C到直线x−3y+2=0的距离为d=2−3×−1+2=71010.因为32<71010<3，所以曲线C上到直线l距离为71010的点有2个．8. C 【解析】该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、高分别为10、8、2的长方体，上面竖着是一个长、宽、高分别为6、2、8的长方体，则其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S=28×10+8×2+10×2+26×8+2×8=360.9. D 【解析】由于A点12秒旋转一周，则点A每秒转过2π12=π6弧度，从而经过t秒转了π6t弧度．而t=0时，点A12,32，则∠xOA=π3．经过t秒后点A的纵坐标为y=sinπt+πt∈0,12,当−π+2kπ≤πt+π≤π+2kπ,k∈Z时，函数y为关于t的增函数，此时−5+12k≤t≤1+12k,k∈Z,结合0≤t≤12得k=0 时,0≤t≤1;k=1 时,7≤t≤12.其他解法一：依题意，函数y t是周期为12的函数，其单调递增区间长度与单调递减区间长度相等．因此排除A、B、C；选D．其他解法二：画出示意图后容易知道函数y t在t=0的右侧和t=12的左侧小邻域内都是单调递增的；因此排除A、B、C；选D．10. D【解析】由于等比数列a n中，S n=X，S2n=Y，S3n=Z，根据等比数列的相关性质，对应的S n，S2n−S n，S3n−S2n也成等比数列，即X，Y−X，Z−Y成等比数列，则有Y−X2=X Z−Y，即Y Y−X=X Z−X．第二部分11. 存在x0∈R，有x0−2+x0−4 ≤312. 1513. 4【解析】作出可行域图中虚线的斜率是负数，所以当z取最大值时，它必经过点1,4，将1,4代入8=abx+y得ab=4，所以a+b≥2ab=4，当且仅当a=b=2时，等号成立．14. 12【解析】x=1⇒x=2⇒x=4⇒x=5⇒x=6⇒x=8⇒x=9⇒x=10⇒x=12，不满足继续循环的条件，退出循环，最后输出12．15. ②④【解析】根据题意可得④是正确的；所以P A1=510，P A2=210，P A3=310，而P B=510×511+2 10×411+310×411=922，则①和⑤是错误的；由于P B A1=P A1BP A1=510×511510=511，则②是正确的；同时可以判断出③是错误的．第三部分16. （1）因为sin2A=3cos B+1sin B3cos B−1sin B +sin2B=34cos2B−14sin2B+sin2B=34,所以sin A=±3 ,又A为锐角，所以A=π3 .（2）由AB⋅AC=12，可得cb cos A=12. ⋯⋯①由（1）知A=π3，所以cb=24, ⋯⋯②由余弦定理知a2=c2+b2−2cb cos A,将a=27及②代入，得c2+b2=52, ⋯⋯③③+②×2，得c+b2=100,即c+b=10.因此，c，b是一元二次方程t2−10t+24=0的两个根．解此方程并由c>b知c=6,b=4.17. （1）由f x=e x−2x+2a,x∈R，知fʹx=e x−2,x∈R.令fʹx=0，得x=ln2.于是当x变化时，fʹx，f x的变化情况如下表：x−∞,ln2ln2ln2,+∞fʹx−0+f x单调递减21−ln2+a单调递增故f x的单调递减区间是−∞,ln2，单调递增区间是ln2,+∞，f x在x=ln2处取得极小值，极小值为f ln2=e ln2−2ln2+2a=21−ln2+a.无极大值．（2）设g x=e x−x2+2ax−1,x∈R，于是gʹx=e x−2x+2a,x∈R.由（1）知当a>ln2−1时，gʹx最小值为gʹln2=21−ln2+a>0.于是对任意x∈R，都有gʹx>0，所以g x在R内单调递增．于是当a>ln2−1时，对任意x∈0,+∞，都有g x>g0，而g0=0，从而对任意x∈0,+∞,g x>0．即e x−x2+2ax−1>0,故e x>x2−2ax+1.18. （1）设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，AB，又H为BC的中点，∴GH∥AB，GH=12AB．∴EF∥GH，EF=GH，又EF∥AB，EF=12∴四边形EFHG为平行四边形，∴GE∥FH，而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB．（2）由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH．又∵BC∩FB=B又∵BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC，又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AG⊥平面EDB．（3）如图，以H为坐标原点，HB为x轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系O−xyz．设AB=2，则B1,0,0，C−1,0,0，E0,−1,1，D−1,−2,0．所以BE=−1,−1,1，BD=−2,−2,0.设平面BDE的法向量为n1=1,y1,z1，则BE⋅n1=−1−y1+z1=0,BD⋅n1=−2−2y1=0,所以y1=−1，z1=0，即n1=1,−1,0．又CD=0,−2,0，CE=1,−1,1．设平面CDE的法向量为n2=1,y2,z2，则n2⋅CD=0，y2=0，n2⋅CE=0，1−y2+z2=0，z2=−1，故n2=1,0,−1，所以cos n1,n2=n1⋅n212=12⋅2=1,所以n1,n2=60∘，即二面角B−DE−C为60∘．19. （1）设椭圆E的方程为x2a +y2b=1．由e=12，得c =1,b2=a2−c2=3c2,所以x2 4c2+y23c2=1,将A2,3代入，有1 c2+3c2=1,解得c=2，所以椭圆E的方程为x 216+y212=1．（2）解法一：由（1）知F1−2,0，F22,0，所以直线AF1的方程为y=34x+2,即3x−4y+6=0.直线AF2的方程为x=2．由点A在椭圆E上的位置知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P x,y为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有3x−4y+65=x−2.若3x−4y+6=5x−10，得x+2y−8=0,其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x−4y+6=−5x+10,即2x−y−1=0.所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x−y−1=0．解法二：因为A2,3，F1−2,0，F22,0，所以AF1=−4,−3,AF2=0,−3,所以AF1 AF1+AF2AF2=1−4,−3+10,−3=−41,2.所以k l=2，所以l:y−3=2x−2,即2x−y−1=0.（3）解法一：假设存在这样的两个不同的点B x1,y1和C x2,y2．因为BC⊥l，所以k BC=y2−y1x2−x1=−12.设BC的中点为M x0,y0，则x0=x1+x22,y0=y1+y22,由于M在l上，故2x0−y0−1=0. ⋯⋯①又B，C在椭圆上，所以有x12 16+y1212=1 与 x2216+y2212=1.两式相减，得x22−x12 16+y22−y1212=0,即x1+x2x2−x116+y1+y2y2−y112=0.将该式整理为1⋅x1+x2+y2−y121⋅1⋅y1+y2=0,并将直线BC的斜率k BC和线段BC的中点表示代入该表达式中，得1x0−1y0=0,即3x0−2y0=0. ⋯⋯②①×2−②得x0=2,y0=3,即BC的中点为点A，而这是不可能的．所以不存在满足题设条件的相异两点．解法二：假设存在B x1,y1，C x2,y2两点关于直线l对称，则l⊥BC，所以k BC=−12，设直线BC的方程为y=−1x+m,将其代入椭圆方程x2 16+y212=1,得一元二次方程3x2+4 −12x+m2=48,即x2−mx+m2−12=0,则x1与x2是该方程的两个根，由韦达定理得x1+x2=m,于是y1+y2=−1x1+x2+2m=3m,所以BC的中点坐标为m2,3m 4.又线段BC的中点在直线y=2x−1上，所以3m4=m−1，得m=4．即BC的中点坐标为2,3，与点A重合，矛盾．所以不存在满足题设条件的相异两点．20. （先证必要性）设数列a n的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立，若d≠0，则1 12+123+⋯+1n n+1=1a2−a112+a3−a223+⋯+a n+1−a nn n+1=1d1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1a n−1a n+1=111−1n+1=1⋅a n+1−a11n+1=na1a n+1.（再证充分性）证法一：（数学归纳法）设所述的等式对一切n∈N+都成立，首先，在等式1 a1a2+1a2a3=2a1a3 ⋯⋯①两端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d.假设a k=a1+k−1d，当n=k+1时，观察如下两等式：1 12+123+⋯+1k−1k=k−11k, ⋯⋯②1 12+123+⋯+1k−1k+1k k+1=k1k+1, ⋯⋯③将②代入③，得k−1 a1a k +1a k a k+1=ka1a k+1,在该式两端同乘a1a k a k+1，得k−1a k+1+a1=ka k.将a k=a1+k−1d代入其中，整理后，得a k +1=a 1+kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N +都有a n =a 1+ n −1 d ,所以 a n 是公差为d 的等差数列．证法二：（直接证法）依题意有1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n +1=n a 1a n +1, ⋯⋯①112+123+⋯+1n n +1+1n +1n +2=n +11n +2. ⋯⋯② ②−①得1n +1n +2=n +11n +2−n 1n +1, 在上式两端同乘a 1a n +1a n +2，得a 1= n +1 a n +1−na n +2, ⋯⋯③同理可得a 1=na n − n −1 a n +1, ⋯⋯④③−④得2na n +1=n a n +2+a n .即a n +2−a n +1=a n +1−a n ,所以 a n 是等差数列．21. （1）X 的可能值集合为 0,2,4,6,8 ．在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a 2，a 4中的奇数个数等于a 1，a 3中的偶数个数， 因此 1−a 1 + 3−a 3 与 2−a 2 + 4−a 4 的奇偶性相同，从而X = 1−a 1 + 3−a 3 + 2−a 2 + 4−a 4 必为偶数．X 的值非负，且易知其值不大于8．容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．（2）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到X02468P124187243816（3）（i ）首先P X ≤2 =P X =0 +P X =2 =424=16, 将三轮测试都有X ≤2的概率记作p ，由上述结果和独立性假设，得p =163=1216. （ii ）由于p =1216<51000是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X ≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．。

2010年河南省普通高等学校招生录取本科三批第一志愿分数段统计(文科)院校名称计划总数520以上510以上500以上490以上480以上470以上460以上450以上(4250)华东交通大学 4 47 2 3 4 22 31 37 47 (5060)重庆工商大学20 272 2 5 7 21 133 190 237 272 (5994)郑州大学西亚斯国际学院(与美国堪萨斯州富特海斯州立大学合办)720 40 1 10 21 40 (6000)郑州大学150 383 4 82 204 300 383 (6002)郑州大学升达经贸管理学院691 2510 1 2 19 740 1705 2279 2510 (6003)郑州大学西亚斯国际学院1469 2915 5 16 358 1105 2193 2915 (6008)河南大学(郑州校区) 100 141 1 21 50 90 141 (6015)河南中医学院25 1198 1 2 24 77 450 776 1010 1198 (6017)河南中医学院与嵩山少林武术职业学院联合办学200 26 3 8 16 26 (6018)河南中医学院(医学定向) 25 993 3 5 22 48 331 575 772 993 (6033)河南师范大学与河南教育学院联合办学(就读在河南教育学院)100 2752 3 9 32 989 1765 2327 2752 (6034)河南师范大学与焦作师范高等专科学校联合办学(就读在焦作师专)45 398 96 237 339 398 (6050)安阳师范学院120 22 1 5 16 22 (6060)周口师范学院120 8 3 4 8 (6070)南阳师范学院404 34 1 2 9 18 34 (6078)南阳理工学院(对外合作办学) 187 40 5 19 40 (6079)南阳理工学院与南阳医学高等专科学校联办(就读在南阳医学高专)20 319 2 77 164 250 319 (6098)华北水利水电学院380 92 11 25 58 92 (6100)河南理工大学 5 20 2 7 13 20 (6110)郑州轻工业学院75 73 1 4 19 46 73 (6130)黄河科技学院646 1061 1 2 3 120 370 710 1061 (6132)黄河科技学院(对外合作办学) 340 5 1 2 5 (6175)郑州华信学院697 1108 1 96 335 633 1108 (6180)郑州科技学院394 143 11 32 67 143 (6501)河南大学民生学院936 1974 1 4 10 386 1051 1672 1974 (6502)河南师范大学新联学院1370 1401 2 165 484 924 1401 (6503)河南科技学院新科学院970 373 35 106 224 373 (6504)中原工学院信息商务学院939 809 1 43 170 429 809 (6505)新乡医学院三全学院500 1203 1 4 14 248 629 972 1203 (6506)河南理工大学万方科技学院(有焦作和郑州两个校区)1072 558 25 96 252 558 (6507)安阳师范学院人文管理学院1357 211 7 28 77 211(6508)信阳师范学院华锐学院1380 881 66 211 485 881(6509)河南农业大学华豫学院1036 93 1 7 31 93(6510)河南财经政法大学成功学院879 710 1 34 104 309 710(6591)南开大学滨海学院168 529 3 10 24 58 309 431 497 529(6595)四川音乐学院绵阳艺术学院 3(6596)北京交通大学海滨学院8 17 6 11 15 17(6597)北京第二外国语学院中瑞酒10 6 1 2 3 5 6 店管理学院(6601)天津大学仁爱学院16 21 7 16 19 21(6602)电子科技大学中山学院13 5 3 4 5(6604)西南大学育才学院43 12 1 7 12(6605)大连理工大学城市学院18 41 1 19 32 37 41(6606)厦门大学嘉庚学院19 94 1 2 11 44 71 87 94(6607)东南大学成贤学院 6 9 4 6 9(6608)中国石油大学胜利学院17 22 4 12 18 22(6609)华中科技大学文华学院 6 18 1 10 13 18(6610)北京工业大学耿丹学院9 4 1 2 3 4(6611)天津师范大学津沽学院22 32 14 24 27 32(6612)天津理工大学中环信息学院 6 4 3 4(6613)北京中医药大学东方学院9 67 1 4 27 48 60 67(6614)辽宁财贸学院42 4 1 4(6615)上海师范大学天华学院26 28 1 2 14 21 28(6617)南京师范大学中北学院10 21 9 15 20 21(6620)南京信息工程大学滨江学院 4 4 1 2 3 4(6627)南京邮电大学通达学院 2 5 1 2 3 5(6629)江苏科技大学南徐学院 6 7 1 4 7(6633)华北电力大学科技学院 5 20 1 9 12 18 20(6635)河北大学工商学院7 8 7 8(6636)河北师范大学汇华学院36 46 12 32 41 46(6638)河北经贸大学经济管理学院15 63 11 26 52 63(6639)南京审计学院金审学院 2 19 2 3 8 12 18 19(6640)温州大学城市学院14 7 1 6 7(6641)山西大学商务学院13 37 8 16 32 37(6645)中北大学信息商务学院 2 2 2(6646)中国海洋大学青岛学院20 42 3 11 27 34 42(6647)青岛农业大学海都学院22 8 2 4 5 8(6648)曲阜师范大学杏坛学院10 17 1 4 8 17(6651)沈阳航空航天大学北方科技10 1 1学院(6652)沈阳大学科技工程学院32 47 5 13 30 47(6653)聊城大学东昌学院20 4 1 4(6654)渤海大学文理学院26 20 2 5 12 20(6655)东北财经大学津桥商学院12 3 2 3(6656)大连工业大学艺术与信息工11 5 1 2 5 程学院(6659)辽宁石油化工大学顺华能源2 1 1学院(6661)天津财经大学珠江学院10 15 2 3 11 13 15 (6663)重庆大学城市科技学院15 13 3 6 7 13 (6666)山东经济学院燕山学院19 29 12 21 26 29 (6669)福州大学至诚学院9 4 1 3 4 (6672)武汉大学珞珈学院15 45 2 3 26 42 44 45 (6673)华中农业大学楚天学院20 11 3 5 11 (6674)华南理工大学广州汽车学院9 3 1 3 (6675)中山大学南方学院20 10 2 6 8 10(6676)广东外语外贸大学南国商学2院(6678)四川大学锦江学院 2 1 1 (6679)西南科技大学城市学院 1 2 2 (6681)福州大学阳光学院25 4 1 2 4 (6682)福建师范大学协和学院50 5 3 5 (6684)福建师范大学闽南科技学院7(6685)西安理工大学高科学院 5 3 1 2 3 (6686)西安科技大学高新学院 4 12 4 5 10 12 (6687)广东商学院华商学院 4 1 1 (6688)广东技术师范学院天河学院7 2 2(6689)福建农林大学金山学院10(6691)南昌大学科学技术学院17 46 1 23 34 43 46 (6692)江西农业大学南昌商学院12 80 27 44 59 80 (6693)江西师范大学科学技术学院13 56 16 32 48 56 (6694)华东交通大学理工学院10 98 1 54 86 91 98 (6695)江西理工大学应用科学学院9 15 7 11 12 15 (6696)东华理工大学长江学院7 6 3 5 6 (6697)南昌航空大学科技学院8 51 18 40 48 51 (6698)江西中医学院科技学院8 15 5 8 12 15(6699)江西财经大学现代经济管理14 119 1 3 6 58 92 105 119 学院(6700)赣南师范学院科技学院 4 9 3 7 8 9(6701)景德镇陶瓷学院科技艺术学3 4 4 院(6702)江西科技师范学院理工学院7 8 2 5 6 8 (6703)南昌大学共青学院 6 30 1 8 18 24 30 (6705)内蒙古大学创业学院 5(6707)中国矿业大学银川学院29 20 2 5 12 20(6711)四川外语学院重庆南方翻译24 20 9 17 20 学院(6712)重庆师范大学涉外商贸学院23 26 4 15 21 26 (6713)重庆工商大学融智学院16 21 4 12 18 21(6714)重庆工商大学派斯学院22 7 3 5 7(6721)宁夏大学新华学院 1 1 1(6752)天津商业大学宝德学院8 17 1 3 13 17(6754)天津外国语大学滨海外事学47 55 1 2 29 47 51 55 院(6764)石家庄经济学院华信学院7 4 2 4(6765)石家庄铁道大学四方学院 6 22 1 6 12 17 22(6766)燕山大学里仁学院 4 21 1 13 19 21(6771)山西财经大学华商学院7 6 1 3 4 6(6772)山西医科大学晋祠学院 3 6 1 6(6786)沈阳理工大学应用技术学院14 11 1 3 8 11(6787)沈阳化工大学科亚学院 4 2 2(6788)沈阳农业大学科学技术学院8 1 1(6791)长春大学光华学院24 14 1 5 9 14(6792)长春大学旅游学院20 7 4 7(6793)长春工业大学人文信息学院20 8 1 2 3 6 8(6794)长春理工大学光电信息学院 1(6795)吉林财经大学信息经济学院17 13 3 7 13(6796)东北师范大学人文学院18 26 3 11 22 26(6797)吉林建筑工程学院城建学院8(6798)吉林建筑工程学院建筑装饰20 32 2 11 25 32 学院(6799)吉林农业大学发展学院28 7 3 7(6800)吉林师范大学博达学院23 14 1 6 10 14(6801)吉林动画学院16(6802)大庆石油学院华瑞学院10(6803)东北农业大学成栋学院 2(6805)哈尔滨理工大学远东学院11 10 1 2 5 10(6806)哈尔滨德强商务学院26 12 3 6 12(6807)哈尔滨商业大学广厦学院 4(6808)哈尔滨师范大学恒星学院25 3 1 3(6811)江南大学太湖学院9 18 1 3 9 16 18(6812)中国矿业大学徐海学院10 14 3 6 12 14(6813)安徽财经大学商学院14 70 24 51 64 70(6816)安徽工业大学工商学院 6 15 5 11 15(6821)阜阳师范学院信息工程学院15 30 8 24 27 30(6822)淮北师范大学信息学院26 93 13 42 77 93(6825)华侨大学厦门工学院12 5 1 3 5(6832)山东科技大学泰山科技学院30 25 6 10 20 25(6833)烟台大学文经学院16 52 1 17 44 50 52(6836)武汉大学东湖分校15 55 2 30 39 49 55(6837)华中师范大学汉口分校 1 2 1 2(6838)武汉科技大学中南分校7 29 1 16 22 25 29(6839)华中科技大学武昌分校9 45 5 10 35 40 41 45 (6841)长江大学工程技术学院 2 1 1(6842)长江大学文理学院 6 1 1 (6843)湖北大学知行学院8 9 3 6 8 9 (6844)湖北工业大学工程技术学院 4 9 4 6 9 (6845)湖北工业大学商贸学院10 10 3 7 8 10 (6846)湖北经济学院法商学院11 38 1 7 24 36 38 (6847)湖北民族学院科技学院7(6848)湖北汽车工业学院科技学院 4 2 1 2 (6849)湖北师范学院文理学院9 3 1 2 3 (6850)江汉大学文理学院7 9 4 8 9 (6851)三峡大学科技学院 5 2 1 2 (6852)武汉工业学院工商学院10 5 2 5 (6854)武汉科技大学城市学院8 43 6 20 34 43 (6855)武汉纺织大学外经贸学院 3 1 1 (6856)武汉理工大学华夏学院 4 21 1 7 13 18 21 (6858)襄樊学院理工学院 2(6859)孝感学院新技术学院7 1 1 (6860)郧阳医学院药护学院 3 7 2 4 7 (6861)中国地质大学江城学院 4 9 5 7 8 9 (6862)中南财经政法大学武汉学院10 20 1 9 15 17 20 (6863)中南民族大学工商学院19 92 3 50 80 86 92 (6864)长沙理工大学城南学院14 23 1 4 13 23 (6866)湖南工程学院应用技术学院 2(6867)湖南科技大学潇湘学院 1(6868)湖南理工学院南湖学院 2(6869)湖南农业大学东方科技学院8 3 1 2 3 (6870)湖南商学院北津学院 6 3 3 (6872)湖南文理学院芙蓉学院 2(6874)吉首大学张家界学院 4(6875)南华大学船山学院 2(6881)广西大学行健文理学院15 2 1 2 (6882)广西工学院鹿山学院10(6883)广西民族大学相思湖学院33 11 2 3 7 11 (6884)广西师范大学漓江学院26 9 1 3 9 (6885)广西师范学院师园学院14 2 1 2 (6886)广西中医学院赛恩斯新医药20 11 1 2 3 4 11 学院(6887)桂林电子科技大学信息科技8学院(6889)重庆邮电大学移通学院9 9 1 2 7 9 (6891)成都理工大学工程技术学院9 8 2 7 8 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11(7611)浙江树人学院10(7613)江西蓝天学院18 38 7 26 33 38(7614)烟台南山学院35 39 7 20 34 39(7615)青岛滨海学院35 12 3 11 12(7616)武汉生物工程学院 4 1 1(7617)长沙医学院 6 9 2 7 9(7618)湖南涉外经济学院38 8 1 2 4 8(7619)广东白云学院8 2 2(7621)西安翻译学院21 36 1 3 11 22 31 36(7622)西安欧亚学院30 38 1 7 16 28 38(7623)西安外事学院20 53 1 16 27 45 53(7624)西京学院24 8 2 8(7625)宁夏理工学院21 1 1 (7626)南昌理工学院18 46 5 23 30 46 (7627)西安思源学院20 21 2 6 14 21 (7628)陕西国际商贸学院16 57 6 21 38 57 (7629)山东万杰医学院10 28 2 10 16 28 (7630)闽南理工学院12(7634)潍坊科技学院8 10 3 6 8 10 (7635)天津天狮学院24(7636)海口经济学院67 14 1 2 7 14 (8609)宁波大红鹰学院23(8778)山东英才学院17 28 5 8 13 28 注：灰色背景表示院校第一志愿缺档。