大兴区2020届高三一模数学试题及答案

2020 学年第一学期高三数学会考练习数学试卷（满分 100 分，考试时间 120 分钟） 2020.12 1．考生要仔细填写学校、班级、姓名、考试编号。

考2．本试卷分两部分。

第一部分选择题，20 个小题；第二部分非选择题，包含两生道大题，共7 个小题。

须3．试题所有答案一定填涂在或书写在答题卡上，在试卷上做答无效。

知4．考试结束后，考生应将试卷答题卡放在桌面上，待监考老师回收。

参照公式：圆柱的侧面积s圆柱侧 2 Rh , 此中R是圆柱底面半径，h 为圆柱的高。

V圆柱2圆柱的体积公式R h，此中此中 R 是圆柱底面半径，h为圆柱的高。

球的表面积公式S球 4 R 2，此中R是球半径。

球的体积公式V 球 4 R 3，此中R是球半径。

3第一部分（选择题共60分）一、选择题（共20 个小题，每题 3 分，共60 分）在每个小题给出的四个被选答案中，只有一个是切合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂在“答题卡”第1-20 小题的相应地点上。

1．已知会合A x x 0 , B x x 4 ，那么会合 A B =（）A. B. x x 0 C. x x 4 D. x 0 x 42 y 2x c的图像经过点（2 5 = ( )．假如函数，），则 cA. 1B. 0C. 1D. 2 3．以下函数中，在(0, ) 上是减函数的是（）A. y 1B. y x 2 1C. y 2xD. y log 3 xx4．函数y cos(2x 5 ) 的最小正周期是（）6A.2B. C. 2 D. 45．已知过点A( 2, m), B(m,4) 的直线与直线2x y 1 0 平行，则 m 的值为（）A.0B.8C.2D.106．一条直线若同时平行于两个订交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的地点关系是（）A. 异面B. 订交C. 平行D. 不可以确立7．函数y 3x的图像与 y 3 x 的图像（）A. 对于 x 轴对称B. 对于 y 轴对称C. 对于直线 y x 对称D. 对于直线 y x 对称8．下面四个命题中，正确的选项是（）A.平行于同一条直线的两条直线相互平行B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直C.平行于同一个平面的两条直线相互平行D.垂直于同一个平面的两条直线相互垂直9．已知向量a (3,4), b ( 2, 1), 假如向量 a xb 与 b 垂直，则 x （）A. 23B.3C. 2D.2 3 23 510．圆x2 y 2 2x 2 y 1 0 上的点到直线x y 2 的距离最大值是（）A. 2B. 1+ 22D.1+2 2 C. 1211．已知a (3,1), b ( 2,5) ，则3a 2b （） .A. (2,7)B. (13, 7)C. (2, 7)D. (13,13) 12．在等差数列中，已知a1 2, a2 a3 13, 则 a4 a5 a6（）A. 40B. 42C. 43D. 4513．已知sin 3, 且, ，那么 sin 2 等于（）5 2A. 12B.12C.24D.2425 25 25 2514．在ABC 中，a2 b2 c 2 bc ，则角 A 为（）A. 30B. 45C. 120D. 15015．从数字1， 2，3， 4，5 中，随机抽取 2 个数字（不同意重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（）432 1A. B. C. D.555 516．已知角的终边经过点 P(4, 3) ，则 sin( ) 的值为（）3 3 244 A.C.D.5B.55517．将函数 ycos 2x 的图象向右平移个单位，所得图像的函数分析式为（）4A.y cos(2xB.y cos(2x)4)4C.y sin 2xD.ysin 2x18．下面程序框图表示的算法是（）开始 A.输出 c, b, a输入 a,b,cB.输出最大值是否c>a 且 c>b ？C. 输出最小值D. 比较 a, b,c 的大小a>b ？是 否 输出 c输出 a输出 b结束19．右图是一个几何体的三视图，依据图中数据，可得该几何体的表面积是（）2A. 9B.C.D.10311 122 220．为改良生态环境，某城市对排污系统进行了整顿。

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，21+i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2} 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．12B．1C．2D．34．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．y=√x+1C．y=−log12x D．y＝（x﹣1）2 5．在（x﹣2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于（）A．﹣32B．﹣24C．8D．46．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．√3B．2C．√5D．37．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．√10C．√13D．√179．已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）．若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．610．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是y=107(1e )x107，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．ln 32D．ln43二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（2，t），若a→∥b→，则t＝．12．若函数f（x）＝cos2x﹣sin2x在区间[0，m]上单调减区间，则m的一个值可以是．13．若对任意x＞0，关于x的不等式a≤1x+x恒成立，则实数a的范围是．14．已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且|AB|=√5，则a﹣b＝；ab=．15．在直角坐标系xOy中，双曲线x2a −y2b=1（a＞0，b＞0）的离心率e＞2，其渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：①|OA→−OB→|＜|OA→+OB→|；②|OA→−OB→|存在最大值；③|OA→+OB→|＞6．则正确结论的序号为．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，A=2π3，且△ABC的面积为√32．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②∠CAD=π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）现从A校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X表示成绩不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1，∠BCC1＝60°，平面ABC⊥平面BCC1B1，D是BC的中点，E是棱A1B1上一动点．（Ⅰ）若E是棱A1B1的中点，证明：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣CA﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E，使得DE⊥BC1，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，且经过点（2，0），一条直线l与椭圆C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：1|OP|+1|OQ|为定值．20．已知函数f(x)=lnx−axx+1．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i ＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，21+i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：在复平面内，复数21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2}【分析】分别求得集合A、B，利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．12B．1C．2D．3【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=−12，d =12，由此能求出S 4． 解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝0，a 4＝1，∴{a 1+d =0a 1+3d =1，解得a 1=−12，d =12， ∴S 4＝4×(−12)+4×32×12=1． 故选：B ．【点评】本题考查等差数列的前4项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（ ）A ．y ＝e xB ．y =√x +1C ．y =−log 12xD ．y ＝（x ﹣1）2【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐一判断每个选项即可．解：函数y ＝e x ＞0恒成立，不存在零点，即A 不符合题意；函数y =√x +1＞0恒成立，不存在零点，即B 不符合题意；函数y =−log 12x =log 2x 在（0，+∞）上单调递增，且当x ＝1时，y ＝0，所以函数的零点为x ＝1，即C 正确；函数y ＝（x ﹣1）2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即D 不符合题意． 故选：C ．【点评】本题考查函数的单调性和零点问题，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．5．在（x ﹣2）n 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x 项的系数等于（ ） A ．﹣32 B ．﹣24 C ．8 D ．4【分析】根据n为偶数是，只有中间一项的二项式系数最大，由此求出n的值，然后再利用通项求出含x的项的系数．解：由已知得：n为偶数，且n2+1=3，故n＝4．所以该二项式为（x﹣2）4，所以展开式的通项为T k+1=C4k x4−k(−2)k，令4﹣k＝1得k＝3，故该项的系数为(−2)3C43=−32．故选：A．【点评】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题．6．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．√3B．2C．√5D．3【分析】设M的坐标，由抛物线的性质可得，到焦点的距离等于到准线的距离，求出M 的横坐标，代入抛物线的方程可得M的纵坐标，进而求出M到顶点的距离．解：设M（x0，y0），由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由抛物线的性质可得x0+1＝2，所以x0＝1，代入抛物线的方程可得|y|＝2，即M（1，±2），所以|OM|=√12+22=√5，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题．7．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，由此能求出结果．解：∵数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，∴“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．√10C．√13D．√17【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的最大棱长．解：根据几何体的三视图转换为直观图如下：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD，所以该几何体的最长的棱长为DE=√22+22+32=√17．故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观体之间的转换，直观图的棱长的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．已知函数f(x)=sin(ωx +π6)（ω＞0）．若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【分析】当x ∈[0，π]时，ωx +π6∈[π6，ωπ+π6]；根据条件关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得5π2≤ωπ+π6＜9π2，解得73≤ω＜133，即可得满足条件的ω的最大整数． 解：当x ∈[0，π]时，ωx +π6∈[π6，ωπ+π6]；∵关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得5π2≤ωπ+π6＜9π2，解得73≤ω＜133，可得满足条件的ω的最大整数为4．故选：B ．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，整体法思想与数形结合的思想方法，属于基础题．10．如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 作匀速运动，CQ ＝x ；点P 沿线段AB （长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y ）．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是y =107(1e)x107，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）A ．ln 2B ．ln 3C ．ln 32D ．ln 43【分析】易知，它们的初速度相等，故Q 点的速度为107，然后可以根据y =107(1e)x107，求出P 在中点、13分点时的x ，则Q 点移动的距离可求，结合速度，时间可求．解：由题意，P 点初始速度107即为Q 点的速度．当P 在靠近A 点的三等分点时：23×107=107(1e)x 107，解得：x =107ln 32，当P 在二等分点时：12×107=107(1e)x 107，解得：x ＝107ln 2，所以经过的时间为：[107(ln2−ln 32)]÷107=ln 43．故选：D ．【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（﹣1，1），b →=（2，t ），若a →∥b →，则t ＝ ﹣2 ． 【分析】由向量平行的充要条件可得：﹣1×2﹣1×t ＝0，解之即可．解：∵向量a →=（﹣1，1），b →=（2，kt ），且a →∥b →， ∴﹣1×2﹣1×t ＝0，解得t ＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．12．若函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x 在区间[0，m ]上单调减区间，则m 的一个值可以是 1 ． 【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求f （x ）＝cos2x ，利用余弦函数的单调性可求函数的单调递减区间，结合已知可得{kπ≤0kπ+π2≥m ，k ∈Z ，解得k ＝0时，m ≤π2，即可求解．解：∵f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x ＝cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π+π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤k π+π2，k ∈Z ，∴函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x 的单调递减区间为：[k π，k π+π2]，k ∈Z ， ∵函数在区间[0，m ]上单调递减，∴{kπ≤0kπ+π2≥m ，k ∈Z ，解得k ＝0时，m ≤π2，∴可得0＜m ≤π2． 故答案为：1．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．13．若对任意x ＞0，关于x 的不等式a ≤1x+x 恒成立，则实数a 的范围是 （﹣∞，2] ． 【分析】利用基本不等式求出1x+x 的最小值，只需a 不大于其最小值即可．解：∵x ＞0，∴1x+x ≥2√1x⋅x =2，当且仅当x ＝1时取等号，又a ≤1x+x 恒成立，∴a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．14．已知A （a ，r ），B （b ，s ）为函数y ＝log 2x 图象上两点，其中a ＞b ．已知直线AB 的斜率等于2，且|AB|=√5，则a ﹣b ＝ 1 ；ab = 4 ．【分析】利用对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式列出方程组，能求出a ，b ，s ，r ，由此能求出结果．解：∵A （a ，r ），B （b ，s ）为函数y ＝log 2x 图象上两点，其中a ＞b ． 直线AB 的斜率等于2，且|AB|=√5， ∴{log 2a =r log 2b =ss−r b−a =2√(a −b))2+(r −s)2=√5， 解得a =43，b =13，s ＝﹣log 23，r ＝2﹣log 23，∴a ﹣b ＝1，a b =4． 故答案为：1，4．【点评】本题考查两数差与两数商的求法，考查对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．15．在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率e ＞2，其渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2＝4交x 轴上方于A ，B 两点，有下列三个结论： ①|OA →−OB →|＜|OA →+OB →|；②|OA →−OB →|存在最大值； ③|OA →+OB →|＞6．则正确结论的序号为 ①③ ．【分析】由离心率e ＞2⇒b 2＞3a 2，进而得出渐近线与x 轴的夹角α的取值范围，然后求出OA →2、OB →2、OA →⋅OB →，再研究结论的正确与否，选出正确序号即可．解：由题意可得e =ca ＞2，可得c 2＞4a 2，∵c 2＝a 2+b 2，∴b 2＞3a 2，所以渐近线的斜率k =ba＞√3，设渐近线与x 轴的夹角为α，所以tan α＞√3，π3＜α＜π2，所以两条渐近线的夹角为θ，则θ＝2（π2−α）＝π﹣2α，所以θ∈（0，π3）∴cos ＜OA →，OB →＞＞0，所以①正确；∵|OA →−OB →|=√OA →2+OB →2−2OA →⋅OB →，而OA →2=OB →2＝[4cos （π2−α）]2＝16sin 2α，OA →⋅OB →=|OA →|•|OB →|•cos θ＝16sin 2α•（1﹣2cos 2α），∴|OA →−OB →|=4sin2α，π3＜α＜π2，无最大值，所以②错误；又|OA →+OB →|=√OA →2+OB →2+2OA →⋅OB →=√64sin 2α−64sin 2αcos 2α=8sin 2α＞8×sin 2π3=6，所以③正确；故答案为：①③．【点评】本题主要考查以圆锥曲线为素材研究向量的运算，属于中档题．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，A=2π3，且△ABC的面积为√32．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②∠CAD=π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求得a；（Ⅱ）选①时，利用正弦定理求出sin B，从而求得sin∠ADB．选②时，利用余弦定理求出cos B，从而求得sin∠ADB．解：（Ⅰ）由于c＝1，A=2π3，S△ABC=12bc sin A=12b•1•sin2π3=√32，解得b＝2；由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，解得a=√7；（Ⅱ）若选①，则当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理bsinB =BCsin∠BAC，即2sinB =√7√32，所以sinB=√217；因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠B；所以sin∠ADB＝sin B，即sin∠ADB=√217．若选②，则当∠CAD＝30°时，在△ABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =7+1−427×1=2√77． 因为A ＝120°，所以∠DAB ＝90°， 所以∠B +∠ADB =π2， 所以sin ∠ADB ＝cos B ，即sin∠ADB =2√77．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M 采用分层抽样的方法从A 校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）现从A 校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X 表示成绩不低于90分的人数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N 也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图，低于60分的概率为0.1，由频率与频数的关系求出m；（II）每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，求出X的分布列和数学期望；（III）机构M抽测的不达标率为20200=0.1，机构N抽测的不达标率为20100=0.2，结合概率知识判断写出理由即可．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，低于60分的概率为（0.002+0.002+0.006）×10＝0.1，由m×0.1＝20，解得m＝200；（Ⅱ）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X=0)=C20⋅(1−0.1)2=0.81，P(X=1)=C21⋅0.1(1−0.1)=0.18，P(X= 2)=C22⋅0.12=0.01，所以X的分布列为X012P0.810.180.01所以E（X）＝0×0.81+1×0.18+2×0.01＝0.2，（Ⅲ）机构M抽测的不达标率为20200=0.1，机构N抽测的不达标率为20100=0.2，（以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M测试的不达标率0.1估计A校不达标率较为合理，理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以能较好反映了总体的分布．②没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理，理由：尽管机构N 的样本量比机构M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算能力，中档题．18．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝BC ＝AA 1，∠BCC 1＝60°，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，D 是BC 的中点，E 是棱A 1B 1上一动点． （Ⅰ）若E 是棱A 1B 1的中点，证明：DE ∥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求二面角C 1﹣CA ﹣B 的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E ，使得DE ⊥BC 1，若存在，求出E 的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）取A 1C 1中点为P ，连结CP ，EP ，推导出CDEP 为平行四边形，CP ∥DE ．由此能证明DE ∥平面ACC 1A 1．（Ⅱ）连结C 1D 、AD ，推导出DC 1，DA ，DB 两两垂直．建立直角坐标系D ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角C 1﹣CA 1﹣B 的余弦值．（Ⅲ）设A 1E →=λA 1B 1→(0≤λ≤1)，则A 1E →=(−√3λ，λ，0)，E(√3−√3λ，1+λ，√3)，DE →=(√3−√3λ，1+λ，√3)，BC 1→=(0，−1，√3)，假设DE ⊥BC 1，则DE →⋅BC 1→=0，解得λ＝2，由此推导出不存在点E ，使得DE ⊥BC 1．【解答】（Ⅰ）证明：取A 1C 1中点为P ，连结CP ，EP ， 在△A 1B 1C 1中，因为E 、P 为A 1B 1、A 1C 1的中点， 所以EP ∥B 1C 1且EP =12B 1C 1．又因为D 是BC 的中点，CD =12BC ，所以EP ∥BC 且EP ＝CD ，所以CDEP 为平行四边形，所以CP ∥DE ． 又因为DE ⊄平面ACC 1A 1，CP ⊂平面ACC 1A 1， 所以DE ∥平面ACC 1A 1． （Ⅱ）解：连结C 1D 、AD ，因为△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ， 因为BC ＝AA 1＝CC 1，∠BCC 1＝60°，所以C 1D ⊥BC ．因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，C 1D ⊂平面BCC 1B 1， 所以C 1D ⊥平面ABC ，所以DC 1，DA ，DB 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则A(√3，0，0)，C （0，﹣1，0），C 1(0，0，√3)，CC 1→=(0，1，√3)，CA →=(√3，1，0) 设平面ACC 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{CC 1→⋅n →=0CA →⋅n →=0，即{y +√3z =0√3x +y =0，令x ＝1，得n →=（1，−√3，1）．平面ABC 的法向量为DC 1→=(0，0，√3)，cos ＜DC 1→，n →＞=DC 1→⋅n→|DC 1→|⋅|n →|=√55．又因为二面角C 1﹣CA 1﹣B 为锐二面角，所以二面角C 1﹣CA 1﹣B 的余弦值为√55． （Ⅲ）解：A 1(√3，1，√3)，A 1B 1→=(−√3，1，0)，设A 1E →=λA 1B 1→(0≤λ≤1)，则A 1E →=(−√3λ，λ，0)， 所以E(√3−√3λ，1+λ，√3)，DE →=(√3−√3λ，1+λ，√3)，所以BC 1→=(0，−1，√3)，假设DE ⊥BC 1，则DE →⋅BC 1→=0，解得λ＝2，这与已知0≤λ≤1矛盾．故不存在点E ，使得DE ⊥BC 1．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点（2，0），一条直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求证：1|OP|+1|OQ|为定值．【分析】（Ⅰ）首先利用椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标求出a 和c 的值，最后求出b ，进一步求出椭圆的方程．（Ⅱ）利用分类讨论思想的应用①假设直线的斜率不存在求出结果为定值，②当直线的斜率存在时，建立直线和椭圆的方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果为定值．解：（Ⅰ）因为椭圆经过点（2，0），所以a ＝2，又因为c a=12，则c ＝1 由b 2＝a 2﹣c 2，得b 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）方法一：因为以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，所以OP ⊥OQ ．①若直线OP 的斜率不存在，则P 为椭圆与y 轴交点，Q 为椭圆与x 轴交点， 因此|OP |2＝b 2＝3，|OQ |2＝a 2＝4，则1|OP|2+1|OQ|2=13+14=712．②若直线OP 的斜率存在且为0，则P 为椭圆与x 轴交点，Q 为椭圆与y 轴交点， 因此|OP |2＝a 2＝4，|OQ |2＝b 2＝3，则1|OP|2+1|OQ|2=14+13=712．③若直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 方程为y ＝kx （k ≠0），则直线OQ的方程为y=−1k x．联立{y=kxx24+y23=1，得x24+k2x23=1，即x2=123+4k2，y2=12k23+4k2，即1|OP|2=1x2+y2=3+4k212+12k2，同理，1|OQ|=4+3k212+12k，则1|OP|+1|OQ|=7+7k212+12k=712．方法二：①若直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，与椭圆方程联立得：{y=kx+mx24+y23=1，有（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由题意，△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2=−8km4k2+3，x1x2=4m2−124k2+3．因为以PQ为直径的圆过原点O，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，整理得，12（1+k2）＝7m2，而1|OP|2+1|OQ|2=|OP|2+|OQ|2|OP|2|OQ|2=|PQ|2|OP|2|OQ|2．设h为O到l的距离，则|OP|•|OQ|＝|PQ|•h所以1|OP|2+1|OQ|2=1ℎ2，而h=|m|√1+k，所以1|OP|2+1|OQ|2=1+k 2m 2=712．②若直线l 的斜率不存在，则有k OP ＝±1，不妨设k OP ＝1，设P （x 1，y 1），有x 1＝y 1，代入椭圆方程x 24+y 23=1得，x 12=127，|OP|2=|OQ|2=247， 即1|OP|2+1|OQ|2=724×2=712， 综上1|OP|2+1|OQ|2=712．【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法和应用，直线和椭圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20．已知函数f(x)=lnx −ax x+1．（Ⅰ）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f （x ）有且只有一个零点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，然后分别求出x ＝1时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（Ⅱ）函数f （x ）有且只有一个零点，可转化为g(x)=(x+1)lnx x −a 在（0，+∞）上只有一个零点，可通过研究g （x ）的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解． 解：（Ⅰ）当a ＝1时，函数f(x)=lnx −x x+1，x ＞0，所以f(1)=−12，f′(x)=1x −1(x+1)2=x 2+x+1x(x+1)2，k =f′(1)=34， 所以函数y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是3x ﹣4y ﹣5＝0．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），要使函数f （x ）有且只有一个零点，只需方程（x +1）lnx ﹣ax ＝0有且只有一个根，即只需关于x 的方程(x+1)lnx x −a =0在（0，+∞）上有且只有一个解．设函数g(x)=(x+1)lnx x−a ， 则g′(x)=x+1−lnx x 2， 令h （x ）＝x +1﹣lnx ，则h′(x)=1−1x =x−1x ， 由h '（x ）＝0，得x ＝1．x（0，1） 1 （1，+∞） h '（x ）﹣ 0 + h （x ） 单调递减 极小值 单调递增由于h （x ）min ＝h （1）＝2＞0，所以g '（x ）＞0，所以g(x)=(x+1)lnx x−a 在（0，+∞）上单调递增， 又g （1）＝﹣a ，g(e a )=a e a ，①当a ＝0时，g （1）＝0，函数g （x ）在（0，+∞）有且只有一个零点，②当a ≠0时，由于g(1)g(e a )=−a 2e a ＜0，所以存在唯一零点． 综上所述，对任意的a ∈一、选择题函数y ＝f （x ）有且只有一个零点．【点评】本题考查了函数的零点的判断方法，导数在研究函数单调性、极值中的应用．同时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力．属于中档题．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i ＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．【分析】（Ⅰ）A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，从而推导出a10＝1，同理推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，从而m（A）不可能为18．（Ⅲ）由m（A）＜18，得m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，推导出a10≤4，a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，从而m（A）的最大值为17；假设n（A）≤15．推导出a1＝10．a4＝10，矛盾，假设不成立，从而n（A）≥16．从而n（A）的最小值为16．解：（Ⅰ）解：∵数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．∵10+6+1＝17，6+1+2＝9，1+2+7＝10，2+7+8＝17，7+8+3＝18，8+3+9＝20，3+9+5＝17，9+5+4＝18，∴A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）证明：假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，即a10≤1，因为a i≥1（i＝1，2，3，…，10），所以a10＝1，同理，设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可以推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，m（A）不可能为18．（Ⅲ）解：m（A）的最大值为17，n（A）的最小值为16．①首先求m（A），由（Ⅱ）知m（A）＜18，而m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×17+a10，即a10≤4，又S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+a7+（a8+a9+a10）＝55，得55＝S≥3m（A）+a7＝51+a7，即a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，此时A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，满足题意．所以m（A）的最大值为17．②现证明：n（A）的最小值为16．先证明n（A）≤15为不可能的，假设n（A）≤15．设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可得55≤3n（A）+a1≤3×15+a1，即a1≥10，元素最大值为10，所以a1＝10．又（a1+a2+a3）+a4+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55≤3n（A）+a4≤3×15+a4，同理可以推出a4＝10，矛盾，假设不成立，所以n（A）≥16．数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10时，A＝{13，14，15，16}，m（A）＝13，n（A）＝16，A中元素的最大值为16．所以n（A）的最小值为16．【点评】本题考查集合的求法，考查集合中元素的最大值和最小值的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．。

北京市大兴区2020届高三4月统考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数)1(i i z +=，则z 等于（ ）A ．1 B．2 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：()()2211,112z i i i z =+=-+∴=-+=Q ，故选B.考点：1、复数的模；2、复数的运算. 2.在方程θθθ(2cos ,sin ⎩⎨⎧==y x 为参数）所表示的曲线上的点是（ ）A ．)7,2(-B ．)32,31( C ．)21,21( D ．(1,0) 【答案】C考点：参数方程的应用.3.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则47S S 等于（ ） A ．47 B ．514C ．7D ．14 【答案】C 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由()423a a a =+,得11463a d a d +=+,得1a d =-, 所以47S S 11767142743242a d d da d ⨯+⨯===⨯+⨯，故选C. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式.4.将函数y=sin2x 的图像向左平移4π个单位得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的一个增区间是 （ ） A ．)4,4(ππ-B ．)2,0(πC ．),2(ππD ．)45,43(ππ 【答案】C考点：1、三角函数的平移变换；2、诱导公式及三角函数的单调性. 5.使“a>b ”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1+>b a B ．1>baC ．22b a >D ．33b a > 【答案】A 【解析】试题分析：因为选项B 是必要不充分条件,C 是既不充分也不必要的条件, D 是充要条件，1a b >+成立一定有a b >成立，而a b >成立1a b >+不一定成立，所以a b >成立的充分不必要条件是1a b >+, 故选A.考点：1、不等式的性质；2、充分条件与必要条件.【方法点睛】本题通过几个不等式主要考查不等式的性质、充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 6.下列函数：①11+-=x y ；②3)1(-=x y ；③1log 2-=x y ；④x y )21(-=中，在),0(+∞上 是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③④ 【答案】A 【解析】试题分析：因为②的零点是1、③的零点是2；①④都是在),0(+∞上是增函数且不存在零点的函数，所以符合题意函数的序号是①④，故选A. 考点：1、函数的单调性；2、函数的零点.7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D考点：1、几何体的三视图；2、三角形面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的 孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出 生的天数是（ ）A ．336B ．510C ．1326D ．3603【答案】B 【解析】试题分析：由题意，图中表示的是七进位制()71326，化为十进位制得，321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、数学建模能力；2、进位制及等比数列求和.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想、进位制及等比数列求和，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“满七进一”，的理解，进而转化为“七进制”的理解和等比数列求和公式的应用.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．） 9.5)1(x -展开式中2x 的系数等于______. 【答案】10考点：二项展开式的通项及系数.10.已知向量)2,(),2,1(-==x b a ，且)(b a a -⊥，则实数x 等于_______. 【答案】9 【解析】试题分析：由向量)2,(),2,1(-==x 得()1,4,a b x -=-r r因为)(-⊥，所以()1,4x -()1,2g 0=， 9x ∴=.故答案为9.考点：1、平面向量数量积公式；2、向量垂直的性质.11.若双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线方程是02=-y x ，则它的离心率等于______.【答案】5 【解析】试题分析：因为双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线方程为20,2,5x y a b c b -=∴=∴=,所以双曲线的离心率是5c e a ==，故答案为5. 考点：1、双曲线的性质；2、双曲线的渐近线及离心率.12.为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分（10 分制）如图所示，假设得分的中位数e m ，众数为0m ，平均数为x ，则e m ，0m ，x 之间的大小关系是 _____.【答案】x m m e <<0考点：1、条形图的应用；2、众数、中数、平均数的求法.13.已知AB 是圆O 的直径，AB=1，延长AB 到C ，使得BC=1，CD 是圆O 的切线，D 是切点，则CD 等于______，△ABD 的面积等于______.【答案】226考点：1、圆的性质及切割线定理的应用；2、三角形面积公式.【方法点睛】本题主要考查三角形面积公式、圆的性质及切割线定理的应用，属于中档题. 圆的性质与相交弦定理、切割线定理的综合应用是高考命题热点，在实际应用过程中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，遇到切线和割线就要想到切割线定理，同时，与定理有关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分，做题过程中还要注意与相识三角形的性质相结合.14.已知函数⎩⎨⎧>-≤≤-+-=3,3,31,34)(2x x x x x x f ，若在其定义域内存在),2(*∈≥N n n n 个不同的数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，使得n n x x f x x f x x f )()()(2211=⋅⋅⋅==，则n 的最大值是______；若2=n ，则nn x x f )(的最大 值等于_______. 【答案】34- 【解析】试题分析：画出函数⎩⎨⎧>-≤≤-+-=3,3,31,34)(2x x x x x x f 的图象，如图，使得n n x x f x x f x x f )()()(2211=⋅⋅⋅==的n x x x ,,,21⋅⋅⋅的个数就是直线y kx =与()y f x =的图象交点个数，由图知直线y kx =与()y f x =的图象交点个数最多有三个，所以n 的最大值是是3；当2n =时nn x x f )(的最大值就是直线y kx =与()243,13x x x -+-≤≤的图象相切时k 的值，由判别式可得4k =-即nn x x f )(的最大值是4-，故答案为4-.考点：1、分段函数的解析式和图象；2、直线的斜率及数形结合思想的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和图象、转化与划归思想、直线的斜率及数形结合思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD 中，AB=4，32=AC ，B D ACB ∠=∠=∠2,31cos . （1）求sin ∠B ；（2）若AB=4AD ，求CD 的长.【答案】（1）36sin =∠B ；（2）3CD =.（2）因为4AB =,且4AB AD =，所以1AD =. 因为B D ∠=∠2，所以B D ∠-=∠2sin 21cos ， 即313221cos -=⨯-=∠D ， 由余弦定理知，CDAD AC CD AD D ⨯-+=∠2cos 222，即CDCD ⨯⨯-+=-12121312，033232=-+CD CD ，0)113)(3(=+-CD CD ，解得3CD =.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、正弦定理及余弦定理. 16.（本小题满分12分）2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和中国十佳最美丽城市，见 下表：（1）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为1x 与2x ，方差分别为21s 与22s ，试比较1x 与2x ，21s 与22s 的大小；（只需写出结论）；（2）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳 宜居城市”的概率；（3）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个城市进行调研，用X 表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复 计数），求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）1x <2x ，21s >22s ；（2）23；（3）分布列见解析，1925.由已知，既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台.所以32)(310142636=+=C C C C A P . （3）0,1,2X =, 25910036)0(1101101616====C C C C X P ，251310052)1(1101101616141414==+==+C C C C C X P C C ， 25310012)2(110110141414==-==C C C C C X P ， 则X 的分布列为X 012P2592513 253 25252251250=⨯+⨯+⨯=EX . 考点：1、平均值和方差的应用；2、古典概型概率公式及离散型随机变量的分布列与期望. 17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，BC=2，AD=CD=1，M 是PB 的中点. （1）求证：AM ∥平面PCD ； （2）求证：平面ACM ⊥平面PAB ；（3）若PC 与平面ACM 所成角为30°，求PA 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2=PA .（2）证明：因为 PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥. 因为1,AD CD AD CD ==⊥，所以2=AC ，因为ABC ∆中，45ACB ∠=o，2=AC ，2BC =，所以2=AB .因为222BC AC AB =+，所以90CAB ∠=o，所以AC AB ⊥， 又因为PA AB A =I ，所以AC ⊥平面PAB ，又因为AC ⊂平面ACM ，所以平面ACM ⊥平面PAB . （3）过C 作KC PA P ，则KC ⊥平面ABCD .因为,,CD CB CK 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz -，考点：1、线面平行判定定理、线面垂直的判定定理；2、面面垂直的判定定理、空间向量夹角余弦公式. 18.（本小题满分13分）已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+-+=，其中0≠a . （1）当2=a 时，求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）当a>0时，判断函数)(x f 零点的个数.（只需写出结论）.【答案】（1）30y +=；（2）当0a <时，)(x f 的增区间为()0,1，)(x f 的减区间为),1(+∞，当21=a 时， )(x f 的增区间为),0(+∞，当210<<a 时，)(x f 的增区间为()0,1，),21(+∞a ，)(x f 的减区间为)1,21(a，当21>a 时，)(x f 的增区间为)21,0(a ，),1(+∞，)(x f 的减区间为)1,21(a；（3）当0a >时，零点的个数为1.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求曲线的切线方程. 19.（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x G 的长轴长为32，右焦点F(1,0)，过F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆G 于点A ，B 和C ，D ，设AB ，CD 的中点分别为P ，Q. （1）求椭圆G 的方程；（2）若直线AB ，CD 的斜率均存在，求⋅的最大值，并证明直线PQ 与x 轴交于定点.【答案】（1）12322=+y x ；（2）⋅有最大值51，证明见解析.（2）①证明： ()1,0F ，由题意设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=123)1(22y x x k y ，消元得0636)23(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+>∆236,02221k k x x ，所以AB 的中点P 的坐标为)232,233(222+-+k kk k ， 又由题意直线P 的方程为)1(1--=x ky ， 同理可得CD 的中点Q 的坐标为)322,323(22++k kk ，所以242222213665)32)(23(49k k k k k k k ++=++-=⋅考点：1、待定数法求椭圆方程；2、直线与椭圆的位置关系、基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系及基本不等式求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求⋅最大值的. 20.（本小题满分13分）数列{}n a 是由1,2,3，...，2016的一个排列构成的数列，设任意m 个相邻项的和构成集合B ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅⋅⋅===∑=+mi i n m n a x x B 12016,,2,1,0,.（1）若m=8，求B 中元素的最大值；（2）下列两种情况下，集合B 能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列{}n a ，若不能，说明理由. ①251,,2,1,0,8,8⋅⋅⋅===k k n m ； ②671,,2,1,0,3,3⋅⋅⋅===k k n m .（3）对于数列{}n a ，若m=8，记B 中元素的最大值为S ，试求S 的最大值.【答案】（1）16100；（2）①{}8068=B ，②没有这样的数列{}n a 使集合B 只有一个元素；（3）8068.试题解析：（1）B 中元素的最大值2016201520142013201220112010200916100x =+++++++=. （2）①数列：2016,1,2015,2,2014,3,...,1009,1008能使集合B 只有一个元素， 这时),1008,,2,1(2017),1008,,2,1(122⋅⋅⋅=-=⋅⋅⋅==-n n a n n a n n)251,,2,1,0)(()(88684828785838181881⋅⋅⋅=+++++++==+++++++++=∑k a a a a a a a a ak k k k k k k k k i()()()()()()()()()()20174120174220174320174441424344k k k k k k k k =-++-++-++-+++++++++201748068⨯=，所以{}8068=B .②当3,3,0,1,2,...,671m n k k ===时，没有这样的数列{}n a 使集合B 只有一个元素.证明：假设存在一个数列{}n a 使集合B 只有一个元素，由题意，数列{}n a 中的2016个数分为672段，每段和都相等，设和为T ，则有23672201722016)12016(201621672⨯⨯=+=+⋅⋅⋅++=T ， 所以232017⨯=T ，与T 是整数矛盾，假设不成立. 当671,,2,1,0,3,3⋅⋅⋅===k k n m 时，没有这样的数列{}n a 使集合B 只有一个元素. （3）S 的最小值为8068.考点：1、等差数列求和及集合的表示；2、元素与集合的关系及数学的划归思想.【方法点晴】本题主要考查等差数列求和及集合的表示、元素与集合的关系及数学的划归思想，属于难题数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合思想、建模思想等等，做考查转化与划归思想的题型应耐心读题，弄清题设的性质，按题设的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以转化为常见数学知识，这样才能快速找准突破点. 充分利用数学的划归思想方法能够使问题化难为简，并使问题迎刃而解，解答本题的关键是将集合问题转化为数列问题.。

2020届北京市大兴区高三第一次模拟考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数21i +=()()()2111i i i -+-=1﹣i 对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故选D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 【答案】D【解析】直接根据交集运算，即可得答案； 【详解】Q {|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，∴{202}A B =-I ，，，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20a =，41a =，则4S 等于（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据数列的通项公式可求得1,a d 的值，再代入前n 项和公式，即可得答案； 【详解】Q 1111,0,231,1,2a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩∴4143141222S ⋅=-⋅+⋅=，故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题. 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增且存在零点的是（ ） A ．e x y = B．1y =C ．12log y x =-D ．2(1)y x =-【答案】C【解析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案； 【详解】对A ，Q 方程e 0x =无解，∴e x y =不存在零点，故A 错误； 对B ，Q10=无解，∴1y =不存在零点，故B 错误；对D ，2(1)y x =-在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，∴2(1)y x =-在(0,)+∞不具有单调性，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.5．在(2)n x -的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x 项的系数等于（ ） A ．32- B ．24- C ．8 D ．4【答案】A【解析】根据展开式的第三项的二项式系数最大可得4n =，再由二项式展开式的通项公式，即可得答案； 【详解】 由题意得4n =，∴414(2),0,,4r rr r T C x r -+=-=L ， 当3r =时，3344(2)32T C x x =⋅⋅-=-，∴含x 项的系数等于32-，故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.6．若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离等于2，则M 到其顶点O 的距离等于（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】C【解析】设点11(,)M x y ，根据焦半径公式可求得M 的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案； 【详解】设点11(,)M x y ，F 为抛物线的焦点，Q 11||121MF x x =+=⇒=，∴214y =，∴||MO ==，故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.7．已知数列{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，则“对任意*n ∈N ，0n a >”是“数列{}n S 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据1(2)n n n a S S n -=-≥这一关系，即可得答案； 【详解】Q 1(2)n n n a S S n -=-≥，∴0n a >10n n S S -⇒->，∴1n n S S ->，∴“数列{}n S 为递增数列”，若“数列{}n S 为递增数列”，则1100n n n n n S S S S a -->⇒->⇒>，∴“对任意*n ∈N ，0n a >”是“数列{}n S 为递增数列”的充分必要条件，故选：C. 【点睛】本题考查n a 与n S 的关系、充分必要条件的判断，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（ ）A ．3B ．10C ．13D ．17【答案】D【解析】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥A BCDE -，再计算各条棱的长度，即可得答案； 【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥A BCDE -∴13AB AD ==10AC =，17AE =2BE DE ==，5BC =，1CD =， ∴该几何体的最长棱的棱长为17AE =故选：D. 【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.9．已知函数π()sin()6f x x ω=+(0)>ω．若关于x 的方程()1f x =在区间[0π]，上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】利用换元法求出π6x ω+的取值范围，再根据三角函数的图象得到ω的不等式，即可得答案； 【详解】 令π6t x ω=+，Q [0π]x ∈，，∴ππ666x πωωπ≤+≤+， Q sin y t =的图象如图所示，Q 关于x 的方程()1f x =在区间[0π]，上有且仅有两个不相等的实根， ∴sin 1y t ==在π[,]66πωπ+上有且仅有两个不相等的实根，∴5π175********ππωπω≤+≤⇒≤≤， ∴ω的最大整数值为4，故选：B. 【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元的取值范围.10．如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 作匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB y =)．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是7710110()exy =，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）A ．ln 2B ．ln3C ．3ln 2D ．4ln 3【答案】D【解析】设P 运动点三等分点的时间为1t ，此时Q 运动的距离为1x ，P 运动点中点的时间为2t ，此时Q 运动的距离为2x ，再利用Q 做匀速运动，利用路程除以速度可得时间. 【详解】设P 运动点三等分点的时间为1t ，此时Q 运动的距离为1x ，P 运动点中点的时间为2t ，此时Q 运动的距离为2x ，Q 两点P ，Q 以相同的初速度运动，设点Q 的运动速度为710v =，∴177710211010()3e x ⋅=，277710111010()2ex⋅=， ∴711210log 3ex =，721110log 2ex =， ∴214ln 3x x t v -==， 故选：D. 【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.二、填空题11．已知向量(11)a =-r ，，(2)b t =r ，， 若//a b r r，则t =_______；【答案】2-【解析】根据向量平行，向量坐标交叉相乘相等，即可得答案； 【详解】Q //a b r r，∴1122t t -⨯=⨯⇒=-，故答案为：2t =-. 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.12．若函数22()cos sin f x x x =-在区间[0]m ，上单调减区间，则m 的一个值可以是_______； 【答案】4π（答案不唯一，只要π02m <≤）【解析】由题意可得'()0f x ≤在区间[0]m ，上恒成立，即可得答案； 【详解】Q ()cos 2f x x =，∴'()2sin 2f x x =-，∴'()2sin 20f x x =-≤在区间[0]m ，上恒成立， ∴sin 20x ≥在区间[0]m ，上恒成立， ∴取4m π=，显然sin 20x ≥恒成立，故答案为：4π. 【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解.13．若对任意0x >，关于x 的不等式1a x x+≤恒成立，则实数a 的范围是_______；【答案】(2]-∞，【解析】求出函数1x x+的最小值，即可得到答案； 【详解】Q 0x >，∴12x x+≥，等号成立当且仅当1x =， ∴2a ≤，故答案为：(2]-∞，. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.14．在直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的离心率2e >，其渐近线与圆22(2)4x y +-= 交x 轴上方于A B ，两点，有下列三个结论： ①||||OA OB OA OB →→→→-<+ ； ②||OA OB →→-存在最大值； ③ ||6OA OB →→+>．则正确结论的序号为_______. 【答案】①③【解析】根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案； 【详解】Q 21()23c b be a a a==+>⇒>，∴60AOB ∠<o ，对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合60AOB ∠<o ，可得||||OA OB OA OB →→→→-<+成立，故①正确；对②，||||OA OB AB →→-=u u u r ，由于60AOB ∠<o ，∴AOB ∠没有最大值，∴||AB u u u r 没有最大值， 故②错误；对③，当60AOB ∠=o 时，||||22cos303OA OB ==⋅=o∴21||12122362OA OB OA OB →→+=++⋅⋅⋅=u u u r u u u r ，又Q 60AOB ∠<o ，∴2||36OA OB →→+>， ∴||6OA OB →→+>，故③正确；故答案为：①③. 【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、双空题15．已知()()A a r B b s ，，，为函数2log y x =图象上两点，其中a b >．已知直线AB 的斜率等于2，且||AB =a b -=_______；ab=______； 【答案】1 4【解析】根据斜率公式和两点间的距离公式，即可求得答案； 【详解】Q 直线AB 的斜率等于2，且||AB =∴且22log log 2b ab a-=-，解得：||1b a -=，Q a b >，∴1a b -=；∴22log log 24b a ab a b-=⇒=-；故答案为：1；4. 【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力，求解时注意对数的运算法则的应用.四、解答题16．在ABC ∆中，1c =，2π3A =，且ABC ∆的面积为2． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且 ，求sin ADB ∠的值． 从①1AD =，②π6CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =（2）选①，sin ADB ∠=；选②，sin ADB ∠=． 【解析】（1）利用三角形的面积公式得1sin 2ABC S bc A ∆=，再利用余弦定理，即可得答案；（2）①当1AD =时，由正弦定理sin sin b BC B BAC =∠，可求得sin 7B =，再由ADB B ∠=∠，可求得答案；②当30︒∠=CAD 时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案； 【详解】（1） 由于 1c =，2π3A =，1sin 2ABC S bc A ∆=， 所以2b =，由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-，解得a =（2）①当1AD =时， 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b BCB BAC=∠，即2sin B=，所以sin B =． 因为1AD AB ==，所以ADB B ∠=∠． 所以sin sin ADB B ∠=，即sin ADB ∠=． ②当30︒∠=CAD 时， 在ABC ∆中，由余弦定理知，222cos2AB BC AC B AB BC +-===⋅．因为120A ︒=，所以90DAB ︒∠=， 所以π2B ADB ∠+∠=， 所以sin cos ADB B ∠= ，即sin ADB ∠=． 【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M 采用分层抽样的方法从A 校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（1）求m 的值；（2）现从A 校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X 表示成绩不低于90分的人数，求X 的分布列及数学期望；（3）另一机构N 也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由． 【答案】（1）200m =；（2）分布列详见解析，数学期望为0.2；（3）用机构M 测试的不达标率0.1估计A 校不达标率较为合理，理由详见解析．【解析】（1）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006)1020m ⨯++⨯=，解方程可得m 的值；（2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯，由已知X 的所有可能取值为012，，，再根据二项分布，即可得答案； （3）机构M 抽测的不达标率为200.1200= ，机构N 抽测的不达标率为200.2100=，再从样本能否较好反映总体的分布情况说明理由． 【详解】（1）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006)1020m ⨯++⨯=， 解得200m =．（2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯ ， 由已知，X 的所有可能取值为012，，， 则022(0)(10.1)0.81P X C ==⋅-=， 12(1)0.1(10.1)0.18P X C ==⋅⋅-=，222(2)0.10.01P X C ==⋅=．所以X 的分布列为X 0 1 2 P 0.810.180.01所以=00.81+10.1820.010.2EX ⨯⨯+⨯=． （3）机构M 抽测的不达标率为200.1200= ， 机构N 抽测的不达标率为200.2100=． （以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M 测试的不达标率0.1估计A 校不达标率较为合理．理由：机构M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N ，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布． ②没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理．理由：尽管机构N 的样本量比机构M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理． 【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系，考查数据处理能力，求解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC BC AA ===，160BCC ∠=o，11ABC BCC B ⊥平面平面，D 是BC 的中点，E 是棱11A B 上一动点．（1）若E 是棱11A B 的中点，证明：//DE 平面11ACC A ； （2）求二面角1C CA B --的余弦值；（3）是否存在点E ，使得1DE BC ⊥，若存在，求出E 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）不存在，理由详见解析． 【解析】（1）取11A C 中点为P ，连结CP EP ，，证明//CP DE ，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；（2）先证明1DC DA DB ，，两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面1ACC 的法向量(131)n =-，，r ，平面ABC 的法向量为1(003)DC =，，uuu u r，再利用向量的夹角公式，即可得答案；（3）设111(01)A E A B λλ=≤≤uuu r uuu u r ，由10DE BC ⋅=u u u r u u u u r，解得2λ=与假设矛盾，从而得到结论. 【详解】（1）证明：取11A C 中点为P ，连结CP EP ，， 在111A B C ∆中，因为E P 、为1111A B AC 、的中点，所以11//EP B C 且1112EP B C =． 又因为D 是BC 的中点，12CD BC =， 所以//EP BC 且EP CD =， 所以CDEP 为平行四边形 所以//CP DE ．又因为DE ⊄平面11ACC A ， ．CP ⊂平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A ． （2）连结1C D AD 、，因为ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点， 所以AD BC ⊥，因为11BC AA CC ==，160BCC ∠=o，所以1C D BC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11BCC B ， 平面ABC I 平面11BCC B BC =，1C D ⊂平面11BCC B ，所以1C D ⊥平面ABC ， 所以1DC DA DB ，，两两垂直． 如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则(300)A ，，，(010)C -，，，1(003)C ，，， 1(013)CC =u u u u r ，，，(310)CA =u u u r，， 设平面1ACC 的法向量为()n x y z =，，r， 则100CC n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u u ru r u r r ， 即3030y z x y ⎧=⎪+=， 令1x =，则3y =1z =，所以(131)n =，，r． 平面ABC 的法向量为1(003DC =，，uuu u r， 1115cos ||||DC n DC n DC n ⋅<>==⋅，uuu u r ruuu u r r uuu u r r ．又因为二面角11C CA B --为锐二面角，所以二面角11C CA B --．（3）11A ，11(10)A B =uuu u r， 设111(01)A E A B λλ=≤≤uuu r uuu u r，则1(0)A E λ=，，uuu r，所以1E λ+，，1DE λ=+，uuu r，所以1(01BC =-，uuu r，假设1DE BC ⊥，则10DE BC ⋅=u u u r u u u u r，解得2λ=，这与已知01λ≤≤矛盾．∴不存在点E . 【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点(2,0)，一条直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：2211||||OP OQ +为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析． 【解析】（1）因为椭圆经过点(2,0)，所以2a =，再根据离心率，即可求得椭圆的方程；（2）①若直线l 的斜率存在时，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，:l y kx m =+，与椭圆方程联立，由OP OQ ⊥可得12120x x y y +=，从而得到,k m 的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结论；②若直线l 的斜率不存在，则有1OP k =±，可证结论也成立. 【详解】（1）因为椭圆经过点(2,0)，所以2a =， 又因为12c a =，则1c =，由222b a c =-，得23b =， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，与椭圆方程联立得：22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x kmx m +++-=， 由题意，>0∆，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+． 因为以PQ 为直径的圆过原点O ，由OP OQ ⊥，得 12120x x y y +=， 即1212()0()x x kx m kx m +++=，整理得，2212(1)7k m +=， 而22222222211||||||||||||||||||OP OQ PQ OP OQ OP OQ OP OQ ++== 设h 为O 到l 的距离，则 ||||||OP OQ PQ h ⋅=⋅所以222111||||OP OQ h +=，而h =，所以2211||||OP OQ +=221712k m +=． ②若直线l 的斜率不存在，则有1OP k =±， 不妨设1OP k =，设11(,)P x y ，有11x y =，代入椭圆方程22143x y +=得，21127x =，2224||||7OP OQ ==，即2211772||||2412OP OQ +=⨯=，综上22117||||12OP OQ +=．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对斜率进行讨论. 20．已知函数()ln 1axf x x x =-+． （1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：函数()f x 有且只有一个零点． 【答案】（1）3450x y --=；（2）详见解析．【解析】（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案； （2）函数的定义域为(0,)+∞，要使函数()f x 有且只有一个零点，只需方程(1)ln 0x x ax +-=有且只有一个根，即只需关于x 的方程(1)ln 0x xa x+-=在(0)+∞，上有且只有一个解，利用导数可得函数(1)ln ()x xg x a x+=-在(0)+∞，单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案； 【详解】（1）当1a =时，函数()ln 1xf x x x =-+，0x >，1(1)2f =-， 222111()(1)(1)x x f x x x x x ++'=-=++，3(1)4k f '==，所以函数()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程是3450x y --=． （2）函数的定义域为(0,)+∞，要使函数()f x 有且只有一个零点，只需方程(1)ln 0x x ax +-=有且只有一个根，即只需关于x 的方程(1)ln 0x xa x+-=在(0)+∞，上有且只有一个解． 设函数(1)ln ()x xg x a x+=-， 则21ln ()x xg x x +-'=，令()1ln h x x x =+-，则11()1x h x x x-'=-=， 由()0h x '=，得1x =．由于min ()(1)20h x h ==>， 所以()0g x '>，所以(1)ln ()x xg x a x+=-在(0,)+∞上单调递增， 又(1)g a =-，(e )eaa a g =，①当0a =时， (1)0g =，函数()g x 在(0,)+∞有且只有一个零点，②当0a ≠时，由于2(1)(e )0eaa a g g =-<，所以存在唯一零点．综上所述，对任意的a ∈R 函数()y f x =有且只有一个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进行二次求导的运用.21．已知数列1210a a a L ，，，满足：对任意的{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j ∈，，若i j ≠，则i j a a ≠，且{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i a ∈，设集合12{|1,2,3,4,5,6,7,8}i i i A a a a i ++=++=，集合A 中元素最小值记为()m A ，集合A 中元素最大值记为()n A ．（1）对于数列：10612783954，，，，，，，，，，写出集合A 及()()m A n A ，； （2）求证：()m A 不可能为18；（3）求()m A 的最大值以及()n A 的最小值．【答案】（1）{17,9,10,18,20}A =，()9m A =，()20n A =；（2）详见解析；（3）()m A 的最大值为17， ()n A 的最小值为16．【解析】（1）由题意易得{17,9,10,18,20}A =，()9m A =，()20n A =．（2）利用反证法，假设()18m A ≥，可推出11a =，101a =这一集合元素互异性的矛盾； （3）首先求()m A ，由（2）知()18m A <，而()17m A =是可能的；再证明：()n A 的最小值为16． 【详解】（1）由题意易得{17,9,10,18,20}A =，()9m A =，()20n A =. （2）证明：假设()18m A ≥，设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=， 则10553()S m A a =+≥=10318a ⨯+，即101a ≤，因为1(1,2,3,,10)i a i =L ≥，所以101a =，同理，设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=，可以推出11a =，i a (1,2,,10)i =L 中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，()m A 不可能为18．（3）()m A 的最大值为17，()n A 的最小值为16．①首先求()m A ，由（2）知()18m A <，而()17m A =是可能的． 当()17m A =时，设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++= 则10553()S m A a =+≥=10317a ⨯+即104a ≤，又S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++= 得77553()51S m A a a =+=+≥，即74a ≤． 同理可得：4(1,4,7,10)i a i =≤． 对于数列：1,6,10,2,7,8,3,9,5,4此时{17,18,19,20}A =，()17()20m A n A ==，，满足题意． 所以()m A 的最大值为17； ②现证明：()n A 的最小值为16．先证明()15n A ≤为不可能的，假设()15n A ≤． 设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=，可得11553()315n A a a +⨯+≤≤，即110a ≥，元素最大值为10，所以110a =． 又12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=443()315n A a a +⨯+≤≤， 同理可以推出410a =，矛盾，假设不成立，所以()16n A ≥． 数列为：7,6,2,8,3,4,9,1,5,10时，{13,14,15,16}A =，()13()16m A n A ==，，A 中元素的最大值为16．所以()n A 的最小值为16． 【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用，考查反证法的证明，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于难题.。

2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习高三数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）2-（12）答案不唯一，只要π02m <≤ （13）(2]-∞，（或{|2}a a ≤ （14）1；4（第一个空3分，第二个空2分）（15）①③ （不选或有错选得0分，只选对1个得3分，全部选对得5分．）三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ） 由于 1c =，2π3A =， 1sin 2ABC S bc A ∆=， ……2分所以2b =． ……3分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-， ……5分 解得a =． ……6分（Ⅰ）①当1AD =时，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b BCB BAC=∠， ……2分即2sin B=，所以sin B =． ……4分 因为1AD AB ==，所以ADB B ∠=∠． ……6分 所以sin sin ADB B ∠=， ……7分即sin ADB ∠=． ……8分②当30CAD︒∠=时，在ABC∆中，由余弦定理知，222cos2AB BC ACBAB BC+-===⋅．……3分因为120A︒=，所以90DAB︒∠=，……4分所以π2B ADB∠+∠=，……5分所以sin cosADB B∠=，……7分即sin ADB∠=．……8分（17）（共14分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006)1020m⨯++⨯=，……2分解得200m=. ……3分（Ⅱ）方法1：由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯，……1分由已知，X的所有可能取值为012，，，……2分则022(0)(10.1)0.81P X C==⋅-=，12(1)0.1(10.1)0.18P X C==⋅-=，222(2)0.10.01P X C==⋅=. ……5分所以X的分布列为……6分所以=00.81+10.1820.010.2EX⨯⨯+⨯=. ……7分方法2：由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯，……1分由已知(2,0.1)X B～，……2分则022(0)(10.1)0.81P X C==⋅-=，12(1)0.1(10.1)0.18P X C==⋅-=，222(2)0.10.01P X C==⋅=. ……5分所以X的分布列为……6分所以=20.10.2EX⨯=. ……7分P ABCDA 1B 1C 1E（Ⅲ）机构M 抽测的不达标率为200.1200= ， ……1分 机构N 抽测的不达标率为200.2100=． ……2分 （以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M 测试的不达标率0.1估计A 校不达标率较为合理。

大兴区 高三统一练习数学（理科）一、选择题（1）复数2(1i)的值是（A ）2 （B ）2 （C ）2i （D ）2i 【答案】D【解析】22(1)122i i i i -=-+=-，选D. （2）若集合{|2}x M y y，{|1}Py y x ，则M P(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y (C)}0|{>y y (D)}0|{≥y y【答案】C【解析】{0}M y y =>，{0}P y y =≥,所以{0}A B y y =>,选C.（3）执行如图所示的程序框图．若5n =，则输出s （A ）-21 （B ） 11是否 结束开始s =1,i =1(2)i ss1i i =+输入n输出si n ≤?（C ）43 （D ） 86 【答案】A【解析】第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==； 第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，第五次循环，511(2)21,6s i =+-=-=，此时不满足条件，输出21s =-，所以选A.(4)双曲线221x my 的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 【答案】D【解析】双曲线的标准方程为2211y x m-=，所以0m >，且2211,a b m ==，因为24a b =，所以2a b =，224a b =，即41m=，解得4m =，选D. (5)已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 【答案】C【解析】C 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确。

xyO π2π1-1北京2022高三数学理分类汇编（含9区一模及上年末试）专项：三角函数一、选择题1 ．（2020届北京大兴区一模理科）函数21cos ()cos xf x x-=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增 2 ．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是 第6题图A ．41sin(2)55y x =+B ．31sin(2)25y x =+C ．441sin()555y x =- D ．441sin()555y x =+ 3 ．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是 （ ）A ．11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πf B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf fC ．()x f 是奇函数D ．()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ4 ．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+二、填空题5 ．（2020届北京大兴区一模理科）函数f x x x()s i nc o s =的最大值是 。

6 ．（2020届北京海边一模理科）在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C ==7 ．（2020届北京海边一模理科）已知函数π()sin2f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||2}PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.8 ．（2020届北京市延庆县一模数学理）在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <.若6,32,2π===A c a ，则角=C .9 ．（2020届门头沟区一模理科）在∆ABC 中，若2a =，3c =，tan 15B =，则b = ．10．（北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ．11．（北京市海淀区北师特学校2020届高三第四次月考理科数学）在△ABC 中，若π,4B b ∠==，则C ∠= ． 12．（北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范畴是______．13．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在ABC ∆中,若815sin ,41cos ,4=-==A B b ,则=a _______,=c ________. 14．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知ABC ∆中，，BC=1，sin C C =，则ABC ∆的面积为______．15．（北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = .16．（【解析】北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．17．（北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于 . 三、解答题18．（2020届北京大兴区一模理科）在∆A B C中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5A，π4B，2b ．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积．19．（2020届北京丰台区一模理科）已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.20．（2020届北京海边一模理科）已知函数2()2cos )f x x x =--.（Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.21．（2020届北京市延庆县一模数学理）已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若]6,0[π∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值．22．（2020届北京西城区一模理科）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．23．（2020届东城区一模理科）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，求ac 的最大值．24．（2020届房山区一模理科数学）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()22Cf =且2c ab =， 试判定△ABC 的形状．25．（2020届门头沟区一模理科）已知：函数2π()sin cos()2f x x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．26．（北京市东城区一般高中示范校2020届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.27．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题 ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5=a ，ABC ∆的面积为.（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求)3cos(π-B 的值.28．（北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．29．（北京市海淀区北师特学校2020届高三第四次月考理科数学）已知πsin()4A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x=+的值域．30．（北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）在△ABC 中，已知21cos 2B B =-．（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．31．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.32．（北京市通州区2020届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．33．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.34．（北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.35．（【解析】北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分） 已知函数2()sin cos cos 1222x x x f x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.36．（【解析】北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．37．（北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.北京2020届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：三角函数参考答案一、选择题 1. D 2. D 3. 答案D 因为()()6f x f π≤恒成立,因此6π是函数的对称轴,即2,62k k Zππϕπ⨯+=+∈,因此,6k k Zπϕπ=+∈,又()()2f f ππ<,因此sin()sin(2)πϕπϕ+<+,即sin sin ϕϕ-<,因此sin 0ϕ>,因此6πϕ=,即()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k πππππ-+≤+≤+,得36k x k ππππ-+≤≤+,即函数的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ,因此D 正确,选D.4. 【答案】B解：由图象可知52882Tπππ=-=，因此函数的周期T π=，又2T ππω==，因此2ω=。

2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习数学 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.在复平面内，复数21i+对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数21i +=()()()2111i i i -+-=1﹣i 对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A. [11]-， B. [22]-， C. {02}，D. {202}-，， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据交集运算，即可得答案；【详解】Q {|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，∴{202}A B =-I ，，，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20a =，41a =，则4S 等于（ ） A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B【分析】根据数列的通项公式可求得1,a d 的值，再代入前n 项和公式，即可得答案；【详解】Q 1111,0,231,1,2a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩∴4143141222S ⋅=-⋅+⋅=，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题. 4.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增且存在零点的是（ ） A e x y =B. 1y =C.12log y x =-D. 2(1)y x =-【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案； 【详解】对A ，Q 方程e 0x =无解，∴e x y =不存在零点，故A 错误； 对B ，Q10=无解，∴1y =不存在零点，故B 错误；对D ，2(1)y x =-在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，∴2(1)y x =-在(0,)+∞不具有单调性，故D 错误； 故选：C.【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.5.在(2)nx -的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x 项的系数等于（ ）A. 32-B. 24-C. 8D. 4【解析】 【分析】根据展开式的第三项的二项式系数最大可得4n =，再由二项式展开式的通项公式，即可得答案；【详解】由题意得4n =，∴414(2),0,,4r rr r T C x r -+=-=L ， 当3r =时，3344(2)32T C x x =⋅⋅-=-，∴含x 项的系数等于32-，故选：A.【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.6.若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离等于2，则M 到其顶点O 的距离等于（ ）B. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】设点11(,)M x y ，根据焦半径公式可求得M 的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案； 【详解】设点11(,)M x y ，F 为抛物线的焦点，Q 11||121MF x x =+=⇒=，∴214y =，∴||MO ==，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.7.已知数列{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，则“对任意*n ∈N ，0n a >”是“数列{}n S 为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据1(2)n n n a S S n -=-≥这一关系，即可得答案； 【详解】Q 1(2)n n n a S S n -=-≥，∴0n a >10n n S S -⇒->，∴1n n S S ->，∴“数列{}n S 为递增数列”，若“数列{}n S 为递增数列”，则1100n n n n n S S S S a -->⇒->⇒>，∴“对任意*n ∈N ，0n a >”是“数列{}n S 为递增数列”的充分必要条件，故选：C.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系、充分必要条件的判断，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（ ）A. 3 101317【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥A BCDE -，再计算各条棱的长度，即可得答案；【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥A BCDE -∴13AB AD ==，10AC =，17AE =，2BE DE ==，5BC =，1CD =， ∴该几何体的最长棱的棱长为17AE =，故选：D.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.9.已知函数π()sin()6f x x ω=+(0)>ω．若关于x 的方程()1f x =在区间[0π]，上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求出π6x ω+的取值范围，再根据三角函数的图象得到ω的不等式，即可得答案； 详解】令π6t x ω=+，Q [0π]x ∈，，∴ππ666x πωωπ≤+≤+， Q sin y t =的图象如图所示，Q 关于x 的方程()1f x =在区间[0π]，上有且仅有两个不相等的实根， ∴sin 1y t ==在π[,]66πωπ+上有且仅有两个不相等的实根，∴5π175********ππωπω≤+≤⇒≤≤，∴ω的最大整数值为4，故选：B.【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元的取值范围.10.如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 作匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB y =)．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是7710110()exy =，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）A. ln 2B. ln3C. 3ln 2D. 4ln 3【答案】D 【解析】 【分析】设P 运动点三等分点的时间为1t ，此时Q 运动的距离为1x ，P 运动点中点的时间为2t ，此时Q 运动的距离为2x ，再利用Q 做匀速运动，利用路程除以速度可得时间.【详解】设P 运动点三等分点的时间为1t ，此时Q 运动的距离为1x ，P 运动点中点的时间为2t ，此时Q 运动的距离为2x ，Q 两点P ，Q 以相同的初速度运动，设点Q 的运动速度为710v =，∴177710211010()3e x ⋅=，277710111010()2ex⋅=， ∴711210log 3ex =，721110log 2ex =， ∴214ln 3x x t v -==，故选：D.【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量(11)a =-r ，，(2)b t =r ，， 若//a b r r，则t =_______； 【答案】2- 【解析】 【分析】根据向量平行，向量坐标交叉相乘相等，即可得答案； 【详解】Q //a b r r，∴1122t t -⨯=⨯⇒=-， 故答案为：2t =-.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.12.若函数22()cos sin f x x x =-在区间[0]m ，上单调减区间，则m 的一个值可以是_______；【答案】4π（答案不唯一，只要π02m <≤） 【解析】 【分析】由题意可得'()0f x ≤在区间[0]m ，上恒成立，即可得答案； 【详解】Q ()cos 2f x x =，∴'()2sin 2f x x =-，∴'()2sin 20f x x =-≤在区间[0]m ，上恒成立， ∴sin 20x ≥在区间[0]m ，上恒成立， ∴取4m π=，显然sin 20x ≥恒成立，故答案为：4π. 【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解.13.若对任意0x >，关于x 的不等式1a x x+≤恒成立，则实数a 的范围是_______；【答案】(2]-∞，【解析】 【分析】 求出函数1x x+的最小值，即可得到答案； 【详解】Q 0x >，∴12x x+≥，等号成立当且仅当1x =， ∴2a ≤，故答案为：(2]-∞，. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.14.已知()()A a r B b s ，，，为函数2log y x =图象上两点，其中a b >．已知直线AB 的斜率等于2，且||AB =a b -=_______；ab=______； 【答案】 (1). 1 (2). 4 【解析】 【分析】根据斜率公式和两点间的距离公式，即可求得答案；【详解】Q 直线AB 的斜率等于2，且||AB =∴=且22log log 2b ab a-=-，解得：||1b a -=，Q a b >，∴1a b -=； ∴22log log 24b a ab a b-=⇒=-；故答案为：1；4.【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力，求解时注意对数的运算法则的应用.15.在直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）离心率2e >，其渐近线与圆22(2)4x y +-= 交x 轴上方于A B ，两点，有下列三个结论：①||||OA OB OA OB →→→→-<+ ； ②||OA OB →→-存在最大值； ③ ||6OA OB →→+>．则正确结论的序号为_______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案； 【详解】Q 21()23c b be a a a==+>⇒>，∴60AOB ∠<o ，对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合60AOB ∠<o ，可得||||OA OB OA OB →→→→-<+成立，故①正确；对②，||||OA OB AB →→-=u u u r，由于60AOB ∠<o ，∴AOB ∠没有最大值，∴||AB u u u r 没有最大值，故②错误；对③，当60AOB ∠=o 时，||||22cos303OA OB ==⋅=o∴21||12122362OA OB OA OB →→+=++⋅⋅⋅=u u u r u u u r ，又Q 60AOB ∠<o ，∴2||36OA OB →→+>，∴||6OA OB →→+>，故③正确；故答案为：①③.【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC ∆中，1c =，2π3A =，且ABC ∆． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且 ，求sin ADB ∠的值． 从①1AD =，②π6CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =（2）选①，sin ADB ∠=sin ADB ∠=． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式得1sin 2ABC S bc A ∆=，再利用余弦定理，即可得答案；（2）①当1AD =时，由正弦定理sin sin b BC B BAC =∠，可求得sin 7B =，再由ADB B ∠=∠，可求得答案；②当30︒∠=CAD 时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案；【详解】（1） 由于 1c =，2π3A =，1sin 2ABC S bc A ∆=， 所以2b =，由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-，解得a =（2）①当1AD =时， 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b BCB BAC=∠，即2sin B=，所以sin 7B =． 因为1AD AB ==，所以ADB B ∠=∠． 所以sin sin ADB B ∠=，即sin ADB ∠=． ②当30︒∠=CAD 时， 在ABC ∆中，由余弦定理知，22227cos 2271AB BC AC B AB BC +-===⋅⨯．因为120A ︒=，所以90DAB ︒∠=， 所以π2B ADB ∠+∠=， 所以sin cos ADB B ∠= ， 即27sin ADB ∠=． 【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17.为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M 采用分层抽样的方法从A 校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（1）求m 的值；（2）现从A 校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X 表示成绩不低于90分的人数，求X 的分布列及数学期望；（3）另一机构N 也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．【答案】（1）200m =；（2）分布列详见解析，数学期望为0.2；（3）用机构M 测试的不达标率0.1估计A 校不达标率较为合理，理由详见解析． 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006)1020m ⨯++⨯=，解方程可得m 的值； （2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯，由已知X 的所有可能取值为012，，，再根据二项分布，即可得答案；（3）机构M 抽测的不达标率为200.1200= ，机构N 抽测的不达标率为200.2100=，再从样本能否较好反映总体的分布情况说明理由．【详解】（1）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006)1020m ⨯++⨯=， 解得200m =． （2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯ ， 由已知，X 的所有可能取值为012，，， 则022(0)(10.1)0.81P X C ==⋅-=， 12(1)0.1(10.1)0.18P X C ==⋅⋅-=，222(2)0.10.01P X C ==⋅=．所以X 的分布列为所以=00.81+10.1820.010.2EX ⨯⨯+⨯=． （3）机构M 抽测的不达标率为200.1200= ， 机构N 抽测的不达标率为200.2100=． （以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M 测试的不达标率0.1估计A 校不达标率较为合理．理由：机构M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N ，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布．②没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理．理由：尽管机构N 的样本量比机构M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理．【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系，考查数据处理能力，求解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC BC AA ===，160BCC ∠=o，11ABC BCC B ⊥平面平面，D 是BC 的中点，E 是棱11A B 上一动点．（1）若E 是棱11A B 的中点，证明：//DE 平面11ACC A ； （2）求二面角1C CA B --的余弦值；（3）是否存在点E ，使得1DE BC ⊥，若存在，求出E 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）详见解析；（25；（3）不存在，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）取11A C 中点为P ，连结CP EP ，，证明//CP DE ，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；（2）先证明1DC DA DB ，，两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面1ACC 的法向量(131)n =-，r ，平面ABC 的法向量为1(003DC =，，uuu u r，再利用向量的夹角公式，即可得答案；（3）设111(01)A E A B λλ=≤≤uuu r uuu u r ，由10DE BC ⋅=u u u r u u u u r，解得2λ=与假设矛盾，从而得到结论.【详解】（1）证明：取11A C 中点为P ，连结CP EP ，， 在111A B C ∆中，因为E P 、为1111A B AC 、的中点，所以11//EP B C 且1112EP B C =． 又因为D 是BC 的中点，12CD BC =， 所以//EP BC 且EP CD =， 所以CDEP 为平行四边形所以//CP DE ． 又因为DE ⊄平面11ACC A ， ．CP ⊂平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A ． （2）连结1C D AD 、，因为ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点， 所以AD BC ⊥，因为11BC AA CC ==，160BCC ∠=o，所以1C D BC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11BCC B ， 平面ABC I 平面11BCC B BC =，1C D ⊂平面11BCC B ，所以1C D ⊥平面ABC ， 所以1DC DA DB ，，两两垂直． 如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则(300)A ，，(010)C -，，，1(003)C ，，， 1(013)CC =u u u u r ，，，(310)CA =u u u r，， 设平面1ACC 的法向量为()n x y z =，，r， 则100CC n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u u r u r u r r ， 即3030y z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则3y =-1z =，所以(131)n =，，r． 平面ABC 的法向量为1(003DC =，，uuu u r， 1115cos ||||DC n DC n DC n ⋅<>==⋅，uuu u r ruuu u r r uuu u r r又因为二面角11C CA B --为锐二面角， 所以二面角11C CA B --5． （3）1(313)A ，，，11(310)A B =uuu u r， 设111(01)A E A B λλ=≤≤uuu r uuu u r， 则1(30)A E λλ=-，，uuu r， 所以(3313)E λλ+，，，(3313)DE λλ=+，，uuu r， 所以1(013)BC =-，，uuu r，假设1DE BC ⊥，则10DE BC ⋅=u u u r u u u u r，解得2λ=，这与已知01λ≤≤矛盾．∴不存在点E .【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点(2,0)，一条直线l 与椭圆C交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：2211||||OP OQ +为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）因为椭圆经过点(2,0)，所以2a =，再根据离心率，即可求得椭圆的方程；（2）①若直线l 的斜率存在时，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，:l y kx m =+，与椭圆方程联立，由OP OQ ⊥可得12120x x y y +=，从而得到,k m 的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结论；②若直线l 的斜率不存在，则有1OP k =±，可证结论也成立. 【详解】（1）因为椭圆经过点(2,0)，所以2a =， 又因为12c a =，则1c =，由222b a c =-，得23b =， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，与椭圆方程联立得：22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x kmx m +++-=，由题意，>0∆，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+． 因为以PQ 为直径的圆过原点O ，由OP OQ ⊥，得 12120x x y y +=， 即1212()0()x x kx m kx m +++=，整理得，2212(1)7k m +=， 而22222222211||||||||||||||||||OP OQ PQ OP OQ OP OQ OP OQ ++== 设h 为O 到l 的距离，则 ||||||OP OQ PQ h ⋅=⋅所以222111||||OP OQ h +=， 而h =，所以2211||||OP OQ +=221712k m +=． ②若直线l 的斜率不存在，则有1OP k =±， 不妨设1OP k =，设11(,)P x y ，有11x y =，代入椭圆方程22143x y +=得，21127x =，2224||||7OP OQ ==， 即2211772||||2412OP OQ +=⨯=，综上22117||||12OP OQ +=．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对斜率进行讨论.20.已知函数()ln 1axf x x x =-+． （1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：函数()f x 有且只有一个零点． 【答案】（1）3450x y --=；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；（2）函数的定义域为(0,)+∞，要使函数()f x 有且只有一个零点，只需方程(1)ln 0x x ax +-=有且只有一个根，即只需关于x 的方程(1)ln 0x xa x+-=在(0)+∞，上有且只有一个解，利用导数可得函数(1)ln ()x xg x a x+=-在(0)+∞，单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案； 【详解】（1）当1a =时，函数()ln 1xf x x x =-+，0x >，1(1)2f =-，222111()(1)(1)x x f x x x x x ++'=-=++，3(1)4k f '==，所以函数()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程是3450x y --=． （2）函数的定义域为(0,)+∞，要使函数()f x 有且只有一个零点，只需方程(1)ln 0x x ax +-=有且只有一个根，即只需关于x 的方程(1)ln 0x xa x+-=在(0)+∞，上有且只有一个解． 设函数(1)ln ()x xg x a x+=-， 则21ln ()x xg x x +-'=，令()1ln h x x x =+-， 则11()1x h x x x-'=-=， 由()0h x '=，得1x =．由于min ()(1)20h x h ==>， 所以()0g x '>，所以(1)ln ()x xg x a x+=-在(0,)+∞上单调递增， 又(1)g a =-，(e )eaa a g =，①当0a =时， (1)0g =，函数()g x 在(0,)+∞有且只有一个零点，②当0a ≠时，由于2(1)(e )0eaa a g g =-<，所以存在唯一零点．综上所述，对任意的a ∈R 函数()y f x =有且只有一个零点．【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进行二次求导的运用.21.已知数列1210a a a L ，，，满足：对任意的{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j ∈，，若i j ≠，则i j a a ≠，且{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i a ∈，设集合12{|1,2,3,4,5,6,7,8}i i i A a a a i ++=++=，集合A 中元素最小值记为()m A ，集合A 中元素最大值记为()n A ．（1）对于数列：10612783954，，，，，，，，，，写出集合A 及()()m A n A ，； （2）求证：()m A 不可能为18；（3）求()m A 的最大值以及()n A 的最小值．【答案】（1）{17,9,10,18,20}A =，()9m A =，()20n A =；（2）详见解析；（3）()m A 的最大值为17， ()n A 的最小值为16． 【解析】 【分析】（1）由题意易得{17,9,10,18,20}A =，()9m A =，()20n A =．（2）利用反证法，假设()18m A ≥，可推出11a =，101a =这一集合元素互异性的矛盾；（3）首先求()m A ，由（2）知()18m A <，而()17m A =是可能的；再证明：()n A 的最小值为16．【详解】（1）由题意易得{17,9,10,18,20}A =，()9m A =，()20n A =. （2）证明：假设()18m A ≥，设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=， 则10553()S m A a =+≥=10318a ⨯+，即101a ≤，因为1(1,2,3,,10)i a i =L ≥，所以101a =，同理，设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=，可以推出11a =，i a (1,2,,10)i =L 中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，()m A 不可能为18．（3）()m A 的最大值为17，()n A 的最小值为16．①首先求()m A ，由（2）知()18m A <，而()17m A =是可能的． 当()17m A =时， 设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++= 则10553()S m A a =+≥=10317a ⨯+即104a ≤， 又S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++= 得77553()51S m A a a =+=+≥，即74a ≤．同理可得：4(1,4,7,10)i a i =≤． 对于数列：1,6,10,2,7,8,3,9,5,4此时{17,18,19,20}A =，()17()20m A n A ==，，满足题意． 所以()m A 的最大值为17； ②现证明：()n A 的最小值为16．先证明()15n A ≤为不可能的，假设()15n A ≤． 设S =12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=，可得11553()315n A a a +⨯+≤≤，即110a ≥，元素最大值为10，所以110a =． 又12345678910()()()55a a a a a a a a a a +++++++++=443()315n A a a +⨯+≤≤， 同理可以推出410a =，矛盾，假设不成立，所以()16n A ≥．数列为：7,6,2,8,3,4,9,1,5,10时，{13,14,15,16}A =，()13()16m A n A ==，，A 中元素的最大值为16．所以()n A 的最小值为16．【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用，考查反证法的证明，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于难题.。

2020年北京市大兴区高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，那么A∩B等于（）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {-2，-1}D. {-2，-1，0}2.已知a=30.4，，，则（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞b＞aD. c＞a＞b3.若x，y满足则2x-y的最大值为（）A. -6B. 4C. 6D. 84.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为16，则判断框内的条件为（）A. n＞6？B. n≥7？C. n＞8？D. n＞9？5.已知抛物线C：y2=x，直线l：y=kx+1，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a＞0，b＞0，若a+b=4，则（）A. a2+b2有最小值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最大值7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）A.B. 3C.D.8.有10名选手参加某项诗词比赛，计分规则如下：比赛共有6道题，对于每一道题，10名选手都必须作答，若恰有n个人答错，则答对的选手该题每人得n分，答错选手该题不得分．比赛结束后，关于选手得分情况有如下结论：①若选手甲答对6道题，选手乙答对5道题，则甲比乙至少多得1分；②若选手甲和选手乙都答对5道题，则甲和乙得分相同；③若选手甲的总分比其他选手都高，则甲最高可得54分④10名选手的总分不超过150分．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数z满足z2+1=0，则|z|=______．10.已知向量=（1，k），=（9，k-6），若∥，则k=______．11.在△ABC中，a=8，b=5，面积为12，则cos2C=______．12.若直线2x+y-2=0与圆（x-1）2+（y-a）2=1相切，则a=______．13.已知点O（0，0），A（1，1），点P在双曲线x2-y2=1的右支上，则的取值范围是______．14.如图，单位圆Q的圆心初始位置在点（0，1），圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为______；当圆心Q位于点（3，1）时，点P的坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，函数的一个零点是，其图象关于直线对称．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）写出f（x）的单调递减区间．16.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，2b2+b3=0，a1+a3=2b3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）求b1-b2+b3-b4+…+b2n-1-b2n．17.随着智能手机的发展，各种“APP”（英文单词Application的缩写，一般指手机软件）应运而生．某机构欲对A市居民手机内安装的APP的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）从被抽取安装APP的个数不低于50的居民中，随机抽取2人进一步调研，求这2人安装APP的个数都低于60的概率；（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计A市使用智能手机的居民手机内安装APP的平均个数在第几组（只需写出结论）．18.如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E为PC中点．（Ⅰ）求证：PA⊥BC；（Ⅱ）求证：直线BE∥平面PAD；（Ⅲ）求证：平面PBC⊥平面PDC．19.已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，F1，F2是椭圆C的焦点，△MF1F2的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．20.已知函数f（x）=ae x图象在x=0处的切线与函数g（x）=ln x图象在x=1处的切线互相平行．（1）求a的值；（2）设直线x=t（t＞0）分别与曲线y=f（x）和y=g（x）交于P，Q两点，求证：|PQ|＞2．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-2，-1，0}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：30.4＞30=1，，；∴a＞c＞b．故选：B．容易得出：，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法，属于基础题.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x-y的最大值．【解答】解：由z=2x-y得y=2x-z，作出x，y满足对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过A（4，2）时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．即z=2×4-2=6．故选：C．解析：解：框图首先赋值s=0，n=1，执行s=0+1=1，n=1+2=3；判断框中的条件不满足，执行s=1+3=4，n=3+2=5；判断框中的条件不满足，执行s=4+5=9，n=5+2=7；判断框中的条件不满足，执行s=9+7=16，n=7+2=9；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16．由此看出，判断框中的条件应是选项C，即n＞8．故选：C．根据框图运行后输出的结果是16，从s=0，n=1开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到s的值为16时看此时的n值，此时的n值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案．本题考查了程序框图，考查了直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足算法结束，是基础题．5.答案：B解析：解：将直线方程代入抛物线方程得，即y=k•y2+1，∴ky2-y+1=0，当k=0时，方程只有一个解．当k≠0时，要使直线l与抛物线C有两个不同交点，则△=1-4k＞0，解得k＜且k≠0．∴“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．故选：B．结合直线和抛物线的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和抛物线的位置关系是解决本题的关键．6.答案：A解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，是一道基础题．利用基本不等式求最值或者根据当a 逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，对所给出的式子进行分析判定．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，,∴,∴，a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab≥8，当且仅当a=b=2时取等号，a2+b2有最小值8，故A正确；由上可知,当a=b=2时取等号，当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，ab逐渐接近于0，故ab没有最小值，故没有最小值，故B错误；同样当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，趋近于+∞，∴没有最大值，故C错误；,由于只有最大值，没有最小值，∴没有最大值，故D错误.7.答案：C解析：解：根据题意，该三棱锥的原图为如图的S-ABC，SD在俯视图中投成了一个点，故SD⊥平面ABCD（ABCD为俯视图的四个顶点），DE平行于正视的视线，故DE⊥BC，根据题意，DE=BE=SD=2，所以SB为最长的棱，因为BD⊂ABCD，∴SD⊥BD，∴BD2=DE2+BE2=8，∴SD===2．故选：C．根据三视图，还原出原图，根据勾股定理可得．本题考查了空间几何体的三视图，由三视图还原原图是解决问题的难点，属于中档题．8.答案：B解析：解：①甲全对，得到全部题目分数，乙错一道题，比甲少1题的分数，且这一题至少为1分（至少1人答错），故甲比乙至少多得1分；②若选手甲和选手乙都答对5道题，如果错的题目是同一题，得分相同，如果错的是不同题目且所错题目得分不同，则他们的得分就不一样．故②错；③若选手甲的总分比其他选手都高，则甲得分最高的情况为，甲答对6道题，其他人所有题目全部答错，则甲每题得9分，最高54分；④10名选手的总得分为≤6×25=150．故选：B．根据题意，只有②不对．根据题目所给的规则逐项判断．本题考查了简单的合情推理．理解题意，准确把握每个命题的含义，是正确解决问题的关键．本题属基础题．9.答案：1解析：解：由z2+1=0，得z2=-1，则z=i或-i，则|z|=1，故答案为：1结合复数的运算和性质，求出z=i或-i，结合复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算求出z是解决本题的关键．10.答案：解析：解：∵∥，∴k-6-9k=0，解得k=-．故答案为：-．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：∵a=8，b=5，面积为12，∴S=ab sin C=20sin C=12，∴sin C=．∴cos2C=1-2sin2C=1-2×=．故答案为：．利用面积公式即可求出sin C．使用二倍角公式求出cos2C．本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：因为直线2x+y-2=0与圆（x-1）2+（y-a）2=1相切，所以=1，解得a=±．故答案为：±．利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．13.答案：（0，+∞）解析：解：设P（x，y），x2-y2=1∴=（1，1）•（x，y）=x+y，P是该双曲线上且在第一象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知→+∞，P是该双曲线上且在第四象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知→0，则的取值范围是（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．用坐标表示出则，利用P与双曲线的渐近线的位置关系，即可得出结论．本题考查双曲线的简单性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.答案：（π，2）（3-sin3，1-cos3）解析：解：作辅助线如图，当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为（π，2）；当圆心Q位于（3，1）时，=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3-sin（π-3）=3-sin3，纵坐标为1+cos（π-3）=1-cos3，故答案为：（π，2），（3-sin3，1-cos3）．当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为（π，2）；当圆心Q位于（3，1）时，=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3-sin（π-3）=3-sin3，纵坐标为1+cos（π-3）=1-cos3，本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．15.答案：解：（Ⅰ）设T为f（x）的最小正周期，由图可知，解得T=π．……（2分）又，所以ω=2．……（4分）由，即，……（5分）∵，∴解得．……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．函数y=sin x单调减区间是．由，k∈Z……（2分）得，k∈Z……（4分）所以f（x）的减区间是．……（6分）另解：由y=f（x）图象可知，当时函数取得最大值，……（2分）所以，函数y=f（x）在一个周期内的递减区间是．……（4分）函数f（x）在R上的减区间是．……（6分）解析：（Ⅰ）利用函数图象，确定函数周期，求出ω 和φ的值即可，（Ⅱ）结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象求出ω 和φ的值以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．16.答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由2b2+b3=0，得，即q=-2．……（2分）所以，所以b3=4……（3分）由a1+a3=2b3，得d=3．……（4分）所以a n=3n-2．……（5分）所以．……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．……（1分）所以b1-b2+b3-b4+……+b2n-1-b2n=1-（-2）1+（-2）2-（-2）3+（-2）4+…-（-2）2n-1……（3分）=1+2+22+…+22n-1……（4分）=……（5分）=22n-1……（6分）解析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由2b2+b3=0，得，即q=-2．可得b n．可得b3=4．由a1+a3=2b3，得d，可得a n，S n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：（共13分）解：（Ⅰ）由（0.011+0.016+a+a+0.018+0.004+0.001）×10=1，……（2分）得a=0.025．……（3分）（Ⅱ）设事件A为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”．……（1分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有0.004×10×100=4人，分别记为a1，a2，a3，a4，……（2分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有0.001×10×100=1人，记为b1，……（3分）从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研，共包含10个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a2a3，a2a4，a2b1，a3a4，a3b1，a4b1，……（5分）事件A包含6个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，……（6分）则这2人安装APP的个数都低于60的概率．……（7分）（Ⅲ）第4组（或者写成[30，40））．……（3分）解析：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a．（Ⅱ）设事件A为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”．被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有4人，分别记为a1，a2，a3，a4，被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有1人，记为b1，从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研，利用列举法能求出这2人安装APP的个数都低于60的概率．（Ⅲ）第4组（或者写成[30，40））．本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：（共14分）证明：（Ⅰ）因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD．……（2分）又因为BC⊂平面ABCD，……（3分）所以PA⊥BC．……（4分）（Ⅱ）方法一：取PD中点F，连接EF，AF．在△PCD中，E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥DC且．……（1分）又因为AB∥DC且，所以AB∥EF且AB=EF．……（2分）所以四边形ABEF为平行四边形．……（3分）所以BE∥AF．……（4分）因为AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD．……（5分）方法二：取DC中点G，连接BG，EG．在△PCD中，E，G分别为PC，DC的中点，所以EG∥PD．……（1分）又因为PD⊂平面PAD，EG⊄平面PAD，所以EG∥平面PAD．……（2分）因为AB∥DG且AB=DG，所以四边形ABGD为平行四边形．所以BG∥AD．又因为AD⊂平面PAD，BG⊄平面PAD，所以BG∥平面PAD．……（3分）因为EG∥平面PAD，BG∥平面PAD，EG∩BG=G，所以平面BGE∥平面PAD．……（4分）又因为BE⊂平面BGE，所以BE∥平面PAD．……（5分）（Ⅲ）因为AP=AD，F为PD的中点，所以AF⊥PD．又因为BE∥AF，所以BE⊥PD．……（1分）因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PA⊥DC．……（2分）因为AB∥CD，∠DAB=90°，所以AD⊥DC．因为DC⊥AD，DC⊥PA，AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD．……（3分）又因为AF⊂平面PAD，所以DC⊥AF．又因为BE∥AF，所以DC⊥BE．……（4分）因为BE⊥DC，BE⊥PD，DC∩PD=D，所以BE⊥平面PDC．又因为BE⊂平面PDC，所以平面PBC⊥平面PDC．……（5分）解析：（Ⅰ）推导出PA⊥AB，从而PA⊥平面ABCD．由此能证明PA⊥BC．（Ⅱ）法一：取PD中点F，连接EF，AF．推导出四边形ABEF为平行四边形，从而BE∥AF，由此能证明BE∥平面PAD．法二：取DC中点G，连接BG，EG．推导出EG∥PD，从而EG∥平面PAD，推导出四边形ABGD为平行四边形，从而BG∥AD．进而BG∥平面PAD，由此能证明平面BGE∥平面PAD．从而BE∥平面PAD．（Ⅲ）推导出AF⊥PD．BE⊥PD．由PA⊥平面ABCD，得PA⊥DC．AD⊥DC．从而DC⊥平面PAD．进而DC⊥AF，DC⊥BE．由此能证明BE⊥平面PDC，从而平面PBC⊥平面PDC．本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得2a+2c=6，又椭圆离心率为，即，解得a=2，c=1又b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程．证明：（Ⅱ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为y-t=k（x-1），联立，得（3+4k2）x2+8k（t-k）x+4（t-k）2-12=0，由题意，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．因为|PA|=|PB|，所以P是AB的中点．即，得，4kt+3=0……①又l⊥AB，且k≠0，l的斜率为，直线l的方程为……②把①代入②可得：所以直线l恒过定点．当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时直线l为x轴，也过．综上所述直线l恒过点．解析：（I）根据椭圆的离心率以及过点，建立方程组即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设出直线MN的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行求解即可．本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用，联立方程转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．20.答案：（1）解：由f（x）=ae x，得f'（x）=ae x，所以f'（0）=a，由g（x）=ln x，得，所以g'（1）=1，由已知f'（0）=g'（1），得a=1，经检验，a=1符合题意．（2）证明：由题意|PQ|=|e t-ln t|，t＞0，设h（x）=e x-ln x，x＞0，则，设，则，所以φ（x）在区间（0，+∞）单调递增，又φ（1）=e-1＞0，，所以φ（x）在区间（0，+∞）存在唯一零点，设零点为x0，则，且．当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞），h'（x）＞0．所以，函数h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，，由，得ln x0=-x0，所以，由于，h（x0）＞2．从而h（x）＞2，即e x-ln x＞2，也就是e t-ln t＞2，|e t-ln t|＞2，即|PQ|＞2，命题得证．解析：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调性、最值，考查构造函数和函数零点存在定理，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．（1）分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解得a；（2）由题意|PQ|=|e t-ln t|，t＞0，设h（x）=e x-ln x，x＞0，求得导数和单调性，构造函数，结合函数零点存在定理，求得最小值，即可得证．。