高中数学必修二模块综合测试卷(4)

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

高中新课标数学必修②测试卷(4)班别 _____ 姓名 ____________ 座号 ____ 分数______一. 选择题 （每小题4分，共48分）1. 直线0x a ++=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ D ）.A.030 B. 060 C. 0120 D. 0150 2. 到直线3410x y --=的距离为2的直线方程是（ B ）.A. 34110x y --=B. 34110x y --=或3490x y -+=C. 3490x y -+=D. 34110x y -+= 或 3490x y --= 3. 下列说法正确的是（ C ）.A. 经过定点0P （0x ，0y ）的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示.B. 经过不同两点1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）的直线都可以用方程112121y y x x y y x x --=--表示.C. 经过定点0P （0，b ）且斜率存在的直线都可以用方程y kx b =+表示.D. 不过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示. 4. 无论m 为何值，直线1(2)y m x +=-总过一个定点，其中m R ∈，该定点坐标为（ D ）. A.（1，2-） B.（1-，2） C.（2-，1-） D.（2，1-） 5. 若直线1l ：()34350m x y m +++-=与2l ：()2580x m y ++-=平行，则m 的值为（ A ）.A. 7-B. 17--或C. 6-D. 133-6. 一条直线与一个平面内的（ D ）都垂直，则该直线与此平面垂直.A. 无数条直线B. 两条直线C. 两条平行直线D.两条相交直线 7. 下列四个命题中错误的个数是（ B ）. ① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直A. 1B. 2C. 3D. 48. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ C ）.A. 3B.343R π3D. 39R 9. 下列命题中错误的是（ B ）. A. 若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥B. 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ=，则l ⊥γD. 若α⊥β，aβ=AB ，a //α，a⊥AB ，则a ⊥β10. P 为ABC 所在平面外一点，PB PC =，P 在平面ABC 上的射影必在ABC 的（ A ）.A. BC 边的垂直平分线上B. BC 边的高线上C. BC 边的中线上D. BAC ∠的角平分线上11. 圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C 224420x y x y +-+-=的位置关系是（ A ）. A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 12. 直线()110a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ C ）.A. 1，1-B. 2-C. 1-D. 1 二. 填空题（每小题4分，共20分）1. 圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为， 2. 过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线的方程是 250x y +-= 3. 过点A （0，1），B （2，0）的直线的方程为 220x y +-= .4. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长 为2，则它的表面积是5. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，异面 直线1A D 与1D C 所成的角为 060 度；直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为 030 度.三. 解答题（第1、2题各9分，第3题14分，共1. 求经过两条直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点P ，且垂直于直线3l ：210x y --=直线l 的方程.1解：由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得22x y =-⎧⎨=⎩∴ 点P 的坐标是（2-，2） ∵ 所求直线l 与3l 垂直，∴ 设直线l 的方程为 20x y C ++= 把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，得2C =∴ 所求直线l 的方程为 220x y ++= 2. 已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-），且圆心在直线l ：10x y -+=上，求圆心为C的圆的标准方程. 解：因为A （0，6-），B （1，5-），所以线段AB 的中点D 的坐标为111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率 ()56110AB k ---==-，因此线段AB 的垂直平分线'l 的方程是11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即 50x y ++=圆心C 的坐标是方程组 5010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，的解.解此方程组，得 32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是（3-，2-）. 圆心为C 的圆的半径长所以，圆心为C 的圆的标准方程是3. 如图：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. ①求证：EF ∥平面ABC .②若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC . 解：①证明：∵EF 是SAC 的中位线，∴EF ∥AC ，B又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .②证明：∵SA SC =,AD DC = ∴SD ⊥AC ， ∵BA BC =,AD DC = ∴BD ⊥AC ,又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD DB D =，∴AC ⊥平面SBD ， 又∵AC ⊂平面ABC ， ∴平面SBD ⊥平面ABC .。

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________． 【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ． 又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷汇总、阶段通关训练（一）（60分钟 100分）一、选择题（每小题5分，共3。

分）1・已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是□ □便視囲A. 长方体 C.匹棱锥【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示» 入城商中目字必零二01 ：酚俭1王训停 爺人椒版為中教学宕偌2!； &馈通关训号 信，奴薮版快9E 必偌二好：阶段遑关训澤 司：人馭艇苣中数猝偌二桂測：跻蜀■美训遂 琼人板版毫中gtl 修二窗I ；樓埃蜃量怦估 S 人会版毎中數⑴ C 2） Word 版言眾忻 Word 版合解忻 W 。

招版含解忻 （AS ） Word 板合樹ff （B 卷）WordB.圆性 D.四棱台正視图悟视图2.以钝角三角形旳较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（）A .两个圆锥拼桜而成的组合体B.一个圖台C.一个圆锥D . 一个圆锥挖去一个同底的小圆维【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.3.已知AAB攏边长为2a的正三角形，那么△ABCE勺平面直观图△ A'B‘ C'的面积为（）D.\Ga~【鮮析】选C.直观图面积S与原图面积S具有关系：S' Mfs.因为S 好芸12a）所以S …c 三•X\/3a'=^a .4- 4 4【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三信形的面积是【解析】根据宜观图和原图形的关系可知原图形的面积为X 2vl X 2二2卮 答案：2^24. 某三梭锥的三视图如图所示，则该三検锥的体积是【解析】选B .由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三 棱锥旳高为 2. RI V=x x 1 x 1 x 2=.^【补偿洲练】已知正三棱镣V-ABC 的正视图、侧视图和帽视图如图所 示，则该正三枝锥侧视图的面积是A.B. C. D.1A.v39B.6\,r 3D.6俯视C.即3【解析】选D .如图，根据三视图间的关系可得BCM3,所以侧视图 中VA 二\|铲一任X ? X 2妁七整，所以三橙锥侧视图面积S- 海=x 2V 3X 2\顶二6,故选 D.5.（2016 •蚌瑋高二检测）若一个回锥的侧面展开图是面积为 2工的半圆面,则该圆锥的体积为B.V3 X C .拓x【解析】选A.设园锥的母线长为I,底面半径为r,由题意|7苗2 = 211,vnl = 2TTT ,解得'所以圆锥的高为 h=\F —尸=寸3 , V= * r 2h= r x 12x r = L . 6.(2016 •雅安高二检测）设正方体的全面积为 24,邪么其内切球的体积是A .扼KB.兀32 D.—【解析】 选B.正方体的全面积为24,所以，设正方体的棱长为a.6 宀 24, a 二2,正方体的内切球的直径就是正方体的校长，所以球的半径为1,内切球旳体积：V = 7t . ID RC乙 第*已回刮寻詠回王曲＞=s '哥USS 甲'里蛔国皿【果到】&&価91实逐刘t ¥豈我到国丑屬T 風濕&一天喔宰邕€好日-6肝里N 二縛：毒虽•*+£，W=M*£Axl X >t=S rft凰峯4 Z^A^Ax^ x=A '風刘"坦 NN 八一醇E3HI 诳乙 弟学段皿期一旧耳闻1/峯'皓也乎书屋絶三零净【爆蜴】醇車回1/溟【四'（国⑰）国隴三阳财回廿必日（脈玛二堆※困• 9L0S1-8LL :孝晶U=x 韧 N 刮’壽」三三）阜尚‘X 興覃毋号密祺［菓到】 麹*辛矣廚留丄壬至藏乌去廖犯讪目丄竺羽诲同争宙【睾里區墙】^实些阳号屛醇斟濯施*09实邊回回淮即回通士互士 .乙屿％邊国基’9L 实雙団驚勢N（G&详‘&9鲤W 辱）谴乏帯 '二=M 媛苴'務nD所以AQ=\吃，A O=R^/6.所以S丼二4兀F<=24T.答案：24 x10•圖台的底面半径分别为1和2,母线长为3,则此圖台的体积为【解析】圆台的高h= 732 - （2 - I）2 =2 <1 ,所以体积71 2 aV=y(R+Rr4-r )h=^^i(. 答案：學三、解答题（共4小题，共50分）11.（12分）如區几何体上半部分是母线长为5,底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2,母线长为2的圆台，计算该几何体的表面枳和体枳【韻析】圖锥侧面积为S = X rl=15r ,圖台的侧面积为缶冗(r+r ' )1二10冗，圖台的底面宜积为订’』牝，所以表面积为:S=S+S+S s=15i +10兀+4H=29X;圆锥的体积V-xr2hi=12x ,圆台的体积V：= r h2（r ：+rr , +「’ 2）=^y^r ,所以体积为：V=V+U=12i------ X .312.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.(3)求出该几何体的体积.【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的側视图如图.其中AB=AC AD^BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=v3a, AD是正六棱锥的高，即AD十3a,所以该平面图形的面积(3)没这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则S=6< —a=—a\4 2所以V=x三歯x JJa=a°.13.（13分）如图所示，在四边形ABC畔，Z DAB=90 , ZADCF35 ,AB二5 CD二不臣，AD二2求四边形ABC说AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【鮮析】S 表面二S SOFB +S Bo ma +S 四部面=it x 5~+ i x (2+5) x 5+ r X 2X 2V2=(4 克+60) x .V=V H&-V B*=z (4-r if z+Fj )h- x h148=I (25+10+4) X 4- Jt X 4X 2. x .14.(13分)(2016 ,湖北实验中学高一检测 )如图，△ ABC中，ZACB=90 , Z ABC=30* , BC%3 在三角形内挖去一个半圆(圆心。

新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。

高中数学选择性必修二第四章《数列》单元测试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列{}n a 的通项公式为()()132nn a n =--，则{}n a 的第5项是（ ）A ．13B ．13-C ．15-D ．152．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n 个图形的边长为n a ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．13nB ．131n - C ．13nD ．113n - 4．若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2018a 的值为（ ）A ．2B ．3-C ．12-D ．135．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为（ ） A ．100-B ．100C ．110-D ．1106．已知数列{}n a 的前n 项和1233n n S a =+，则{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．112n n a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．在数列{}n a 中，11a =-，20a =，21n n n a a a ++=+，则5a 等于（ ） A ．0B ．1-C ．2-D ．3-8．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1769．已知数列{}n a 的各项均为整数，82a =-，134a =，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则15a =（ ） A ．8B ．16C ．64D ．12810．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n n =--，则数列()21n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前40项的和为（ ）A ．3940B ．3940-C ．4041D ．4041-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n n b b b b b +=+++⋅⋅⋅+，121b b ==，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为（ ）A ．1062B ．2124C ．1101D ．110012．已知数列{}n a 满足11a =，()12n n a a n +-≥∈*N ，则（ ） A ．21n a n ≥+B ．2n S n ≥C ．12n n a -≥D ．12n n S -≥二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．14．已知数列{}n a 的首项12a =，且()11122n n a a n +=+∈*N ，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为_____．15．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n n n S a =-，则=n S _________．16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦，则100S =_____．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na ⋅=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S ，52S ，4S 成等差数列，521322a a a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b -=，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S满足1n a +，()n ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．21．（12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n =-∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若lg n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．22．（12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a λ=-（0n λ>∈*N ，）． （1）证明：数列{}n a 为等比数列，并求n a ；（2）若24,log n n n a n b a n λ⎧⎪==⎨⎪⎩，是奇，是偶，（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．高中数学选择性必修二第四章《数列》单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】求数列{}n a 的某一项，只要把n 的值代入数列的通项即得该项． 2．【答案】A【解析】∵“0n a >”⇒“数列{}n S 是递增数列”， 所以“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分条件． 如数列{}n a 为1-，0，1，2，3，4，…，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于等于零， 所以“数列{}n S 是递增数列”不能推出“0n a >”， ∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的不必要条件．∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】D【解析】本题主要考查了等比数列的判定和等比数列的通项的求法，属于基础题． 4．【答案】B【解析】12a =由题，111n n n a a a ++=-，所以121131a a a +==--，2321112a a a +==--，3431113a a a +==-，454121a a a +==-，故数列{}n a 是以4为周期的周期数列，故20185044223a a a ⨯+===-．故选B ． 5．【答案】A【解析】由()11nn n a a n ++=-，得211a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，…192019a a +=-， ∴n a 的前20A ． 6．【答案】B【解析】令1n =，11a =，代入选项，排除A ，D 选项．令2n =，解得212a =-，排除C 选项．故选B ． 7．【答案】C【解析】因为21n n n a a a ++=+，所以3121a a a =+=-，4321a a a =+=-，5432a a a =+=-．故选C ． 8．【答案】B【解析】由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=．即第八个孩子分得斤数为184．本题选择B 选项． 9．【答案】B【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由()2212131124d 423d a a a -+===-+，解得1d =或34d =， 又数列{}n a 的各项均为整数，故1d =，所以13122a q a ==， 所以111012213n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩，，，故415216a ==，故选B ．10．【答案】D【解析】根据2n S n n =--，可知当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-------=-⎣⎦，当1n =时，112a S ==-，上式成立，所以2n a n =-，所以()221112(+11nn a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭），所以其前n 项和11111111234+111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-++-=--=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以其前40项和为404041T =-．故选D ． 11．【答案】C【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则112461527a d a d +=+=⎧⎨⎩，解得121a d ==⎧⎨⎩，数列{}n a 的通项公式为1n a n =+，当2n ≥时，1n n n b b b +-=，∴12n n b b +=，即{}n b 从第二项起为等比数列，∴()222n n b n -=≥，数列{}n b 的通项公式为：21,1 2,2n n n b n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩， 分组求和可得数列{}n c 的前11项和为()()29101123412112227721101S =+++++++++=+=+．本题选择C 选项．12．【答案】B【解析】由题得212a a -≥，322a a -≥，432a a -≥，432a a -≥， ∴()213243121n n a a a a a a a a n --+-+-++-≥-，∴()121n a a n -≥-，21n a n ∴≥-，∵123135a a a ≥≥≥，，，，21n a n ≥-，∴12313521n a a a a n ++++≥++++-，∴()21212n nS n n ≥+-=．故选B ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--．故答案是63-．14．【答案】1023【解析】由11122n n a a +=+，得()11112n n a a +-=-，∴{}1n a -为等比数列，()111111122n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1121n n a -=-，101012102312S -==-，故答案为1023． 15．【答案】2n n ⋅【解析】∵1n n n a S S -=-，故()122n n n n S S S -=--，整理得到122n n n S S -=+，也即是11122n n n n S S --=+，故2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又12a =，∴()11122n n S a n n =+-⨯=即·2n n S n =． 16．【答案】101223-【解析】由()()()1112n nn n a a n +⎡⎤=+-+-∈⎣⎦*N ，当n 为奇数时，有()12nn a +=-；当n 为偶数时，有122n n n a a +=+， ∴数列{}n a 的所有偶数项构成以2-为首项，以4为公比的等比数列，()()10013599246100S a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+()()()246982469824610022222a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+++++⋯+()()24698246100100322222a a a a a =+++⋯+-++++⋯+()()()5049101992144142232214143----=⨯-⨯-+=--． 故答案是101223-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）12n n a -=；（2）21122n n T n n -++-=． 【解析】（1）由已知1，n a n S 成等差数列得21n n a S =+，① 当1n =时，111211a S a =+=+，∴11a =， 当 2n ≥时，1121n n a S --=+，② ①-②得122n n n a a a --=，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=． （2）由12n n n a b na ⋅=+得12n nb n a =+， ∴1212111242n n nT b b b n a a a =+++=++++++()12111242nn a a a ⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭()21112212212212n n n n n n --+=+=++--． 18．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）12362n n n T -+=-． 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3S ，52S ，4S 成等差数列， 可知345S S S +=，由521322a a a =+-得：120a d -=，1420a d --= 解得:11a =，2d =，因此21n a n =-，()n ∈*N ． （2）令()11212n n n n a c n b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则12n n T c c c =++⋯+，∴()21111113521222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①()23111111352122222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②，得()2111111122122222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111212122n nn -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2332n n +=-∴12362n n n T -+=-． 19．【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2216a a a =⋅∴()()21115a d a a d +=⋅+， ∵11a =，∴23d d =，∵0d ≠，∴3d =，∴32n a n =-．（2）由（1）知()()1111323133231bn n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1211111111113447323133131n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 20．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．【解析】（1）①1n =时，由11a +，得11a =，②2n ≥时，由已知，得()241n n S a =+，∴()21141n n S a --=+， 两式作差，得()()1120n n n n a a a a --+--=， 又∵{}n a 是正项数列，∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．∴21n a n =-，()n ∈*N ． （2）∵()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴12111111111111123235221212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 又因为数列{}n T 是递增数列，当1n =时n T 最小，113T =，∴1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．21．【答案】（1）12n n a -=；（2）()1lg2212n n n n T -=+-．【解析】（1）由()21n n S a n =-∈*N ，可得1121S a =-，∴1121a a =-，∴11a =． 又2221S a =-，∴12221a a a +=-，∴22a =． ∵数列{}n a 是等比数列，∴公比212a q a ==，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． （2）由（1）可知，()lg 1lg2n n b a n ==-，∴数列{}n n b a +的前n 项和()()()1122n n n T b a b a b a =++++++()()()-101lg221lg22n n ⎡⎤=+++++-+⎣⎦()()1lg22lg21lg2122n n -=+++-++++⎡⎤⎣⎦()1lg2212n n n -=+-． 22．【答案】（1）12n n a λ-=⨯；（2）()()()()()14214344211334n n n n n n T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇． 【解析】（1）由题意可知112S a λ=-，即1a λ=； 当2n ≥时，()()1112222n n n n n n n a S S a a a a λλ---=-=---=-，即12n n a a -=； ∴数列{}n a 是首项为λ，公比为2的等比数列，∴12n n a λ-=⨯．（2）由（1）可知当4λ=时12n n a +=，从而121n n n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩，是奇，是偶， n 为偶数时，()2414312142n n n n T ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+-； n 为奇数时，()()1211141431122142n n n n n n T T b n +++⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭=-=+-+- ()()()142115234n n n n +-++=+-- ()()()14211334n n n +--+=+， 综上，()()()()()14214344211334n n n n n n T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇．。

人教版高中数学选择性必修第二册第四章单元测试卷一、单选题 1．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a =⋅⋅⋅重新编辑，编辑新序列为*324123,,,a a a A a a a ⋅⋅⋅⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第n 项为1n na a +，若序列()**A 的所有项都是2，且51a =，632a =，则1a 等于（ ）A ．1256B ．1512C ．11024D ．120482．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-3．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块4．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12B ．24C ．30D ．326．记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –17．数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10二、多选题9．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=-C．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214n n n n c c a a π--+-=⋅三、填空题 10．在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列1，9，扩充一次后得到1，5，9，扩充两次后得到1，3，5，7，9，以此类推．设数列1，3，t （t 为常数），扩充n 次后所得所有项的和记为n S ，则n S =______________．11．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生.以(),09i i N i ∈≤≤为首项的“外观数列”记作i A ，其中1A 为1、11、21、1211、111221、，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，，按照相同的规则可得其它i A ，例如3A 为3、13、1113、3113、132113、.给出下列四个结论：①若i A 的第n 项记作n a ，j A 的第n 项记作n b ，其中29i j ≤<≤，则n N *∀∈,n n a b i j -=-； ①1A 中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3； ①1A 的每一项中均不含数字4；①对于2k ≥，1i ≠，i A 的第k 项的首位数字与1A 的第2k +项的首位数字相同. 其中所有正确结论的序号是___________.12．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．四、解答题 13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若数列{}n a 的前n 项和为()()2*134n S n n n N =+∈，判断{}n a 是否是“紧密数列”，并说明理由； （2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围. 14．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：①数列是等差数列；①213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．16．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.17．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.18．已知数列{an }，{bn }，{cn }中，1111121,,()nn n n n n n ba b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（1）若数列{bn }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{an }的通项公式； （2）若数列{bn }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．*()n N ∈ 19．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．五、双空题 20．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，Sn 的最小值为__________．21．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm .参考答案：1．C 【解析】 设21a q a =，则112n n na q a -+=，利用累乘法可求得n a ，利用56,a a 可构造方程求得结果. 【详解】 设21a q a =， 序列()**A 的所有项都是2，{}2,2,2,A q q q *∴=⋅⋅⋅，即112n n na q a -+=， 12211231n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，()()21231211222n n n n n n a q q q a q a -----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=， 64511056121232a q a a q a ⎧==∴⎨==⎩，解得：1110242a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 故选：C . 【点睛】本题考查数列新定义运算问题的求解，关键是能够明确新定义运算实际给出了数列的递推关系式，根据递推关系式选择累乘法即可求得数列的通项公式. 2．A 【解析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，①25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 3．C 【解析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 4．B 【解析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 5．D 【解析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 6．B 【解析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 7．C 【解析】取1m =，可得出数列{}n a 是等比数列，求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k *∈N 可求得k 的值. 【详解】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 8．A 【解析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】①n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，①2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ①24S =，42642S S -=-= ①641S S -=， ①641167S S =+=+=. 故选：A. 9．ABD 【解析】根据题中递推公式，求出n S ，n c ，数列的前n 项和，数列的奇数项和，与选项对比即可. 【详解】对于A 选项，因为斐波那契数列总满足()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，所以2121a a a =，()22222312321a a a a a a a a a a ==-=-， ()23333423432a a a a a a a a a a ==-=-，类似的有，()21111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-==-=-，累加得22221231n n n a a a a a a +++++=⋅，由题知222222112311211n n n n n n n n S a a a a a a a a a a ++++++=+++++=⋅=+⋅，故选项A 正确，对于B 选项，因为11a a =，231a a a =-，342a a a =-， 类似的有11n n n a a a +-=-， 累加得123122++1n n n n a a a a a a a a ++++=+-=-，故选项B 正确，对于C 选项，因为11a a =，342a a a =-，564a a a =-， 类似的有21222n n n a a a --=-， 累加得13211222++n n n a a a a a a a -+=+-=，故选项C 错误，对于D 选项，可知扇形面积24nn a c π⋅=，故()()2222111124444n n n n n n n n c c a a a a a a ππππ+----⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅，故选项D 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题. 10．()72132nt ++- 【解析】根据等差中项的定义，结合题中操作的性质、等差数列的性质进行求解即可. 【详解】扩充n 次后所得数列为31,,2,,3,,,,2tt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 因此从1到3是等差数列，项数为21n +，且中间项为2； 从3到t 也是等差数列，项数为21n +，且中间项为32t+； 根据等差数列的性质可得()()()3722121321322n nn nt t S ++=+++-=+-. 故答案为：()72132nt ++- 【点睛】关键点睛：掌握如果等差数列的项数为21n +，它的前n 项和是项数与中间项的乘积这一性质是解题的关键. 11．①①① 【解析】列出i A 、j A 的前四项，观察规律，可判断①的正误；利用反证法可判断①的正误；利用①中的结论可判断①的正误；根据i A 和1A 各项首位数字出现的周期性可判断①的正误. 【详解】对于①，1a i =，21a i =，3111a i =，4311a i =，，n a i =，1b j =，21b j =，3111b j =，4311b j =，，n b j =，由递推可知，随着n 的增大，n a 和n b 每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同， 所以，n n a b i j -=-，①正确；对于①，若1A 中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为3，即333n a =， 由题中定义可知，1n a -中必有连续三个位置上的数字均为3，即1333n a -=，.以此类推可知，1a 中必有连续三个位置上的数字均为3，这与11a =矛盾，①错误； 对于①，由①可知，1A 的每一项不会出现某连续三个数位上都是3，故1A 中每一项只会出现1、2、3，①正确；对于①，对于2k ≥，1i ≠，有1a i =，21a i =，3111a i =，4311a i =，513211a i =，6111312211a i =，，由上可知，记数列{}n a 的首位数字构成数列{}n c ，则数列{}n c 为：i 、1、1、3、1、1、3、，且当2k ≥时，3k k c c +=；记1A 的第k 项记为k b ，则11b =，211b =，321b =，41211b =，5111221b =，6312211b =，713112221b =，81113213211b =，，记数列{}n b 的首位数字构成数列{}n d ，则数列{}n d 为：1、1、2、1、1、3、1、1、3、，且当4k ≥时，3k k d d +=.由上可知，24c d =，35c d =，46c d =，，所以，当2k ≥时，2k k c d +=，①正确. 故答案为：①①①. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义，解题时要紧扣“外观数列”的定义，充分利用数列的规律、数列的周期性等基本性质来解决问题.12．232n n - 【解析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 13．(1){}n a 是“紧密数列”.理由见解析(2) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式，再证得1122n n a a +≤≤，由此证得{}n a 是“紧密数列”.（2）先根据{}n a 是“紧密数列”，求得q 的一个取值范围.对于{}n S .对q 分成1q =、112q ≤<和12q <≤三种情况，利用1122n nS S +≤≤列不等式组，由此求得q 的取值范围. 【详解】（1）由数列{}n a 的前n 项和()()2*134n S n n n N =+∈，得 111,1,111,2,222n n n n S n a S S n n n -=⎧=⎧⎪==⎨⎨-≥+≥⎩⎪⎩()*1122n n N =+∈. 所以，()111121221111122n n n a n a n n n ++++===++++，因为对任意*n N ∈，11012n <≤+，即131112n <+≤+，所以，1122n na a +≤≤， 即{}n a 是“紧密数列”.（2）由数列{}n a 是公比为q 的等比数列，得1n na q a +=， 因为{}n a 是“紧密数列”，所以122q ≤≤.①当1q =时，1n S na =，1111n n S n S n n ++==+，因为11122n≤+≤，所以1q =时，数列{}n S 为“紧密数列”，故1q =满足题意. ①当1q ≠时，()111n n a q S q-=-，则1111n n nn S q S q ++-=-，因为数列{}n S 为“紧密数列”， 所以111221n nq q+-≤≤-，对任意*n N ∈恒成立. （i ）当112q ≤<时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-， 即()()21121nn q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立. 因为01n q q <≤<，0211q ≤-<，3212q -≤-<-，所以()211nq q q -<<，()()133221224n q q q q ⎛⎫-≥-≥⨯-=->- ⎪⎝⎭，所以，当112q ≤<时，()()21121nn q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立.（ii ）当12q <≤时，()()1111212n n nq q q +-≤-≤-，即()()21121nn q q q q ⎧-≥⎪⎨-≤-⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立.因为1nq q ≥>，211q ->，120q -<-≤.所以()()21121q q q q ⎧-≥⎪⎨-≤-⎪⎩，解得1q =，又12q <≤，此时q 不存在.综上所述，q 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查新定义数列的概念的理解和运用，考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查分类讨论的数学思想方法，综合性较强，属于中档题. 14．证明过程见解析【解析】选①①作条件证明①,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①①作条件证明①选①①作条件证明①an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①①作条件证明①：[方法一](0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =．选①①作条件证明①：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +所以是等差数列. 选①①作条件证明①： [方法一]：(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①①证明①的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①①时，按照正常的思维求出公差，表示出n S由等差数列定义进行证明；选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a1d11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.15．（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【解析】 （1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb bb b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】 （1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-, 由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ①由①①得1nn n b S b-=． ①又212n nS b +=， ① 由①①得112n n b b --=． 令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]： 由212n n S b +=，得22=-nn n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠． 又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法 由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+． 下面用数学归纳法证明． 当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 3113(1)1222+⋅=+=+++k k k k ． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）[方法一]：由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ①()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【整体点评】 （1）方法一从212n nS b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从n b 的定义，替换相除得到1n n n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-nn n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；16．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300. 【解析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+， 所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===， 所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=． 由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知， 数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ． 所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+， 所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.17．（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +-- 【解析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列(){}111n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可. 【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， 整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >==，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础. 18．（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【解析】（I ）根据1236b b b +=，求得q ，进而求得数列{}n c 的通项公式，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（II ）利用累乘法求得数列{}n c 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=. 所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以121421443n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=，又1n =，11a =符合，故1423-+=n n a .（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c bc b ++=， 所以111n n n n c bc b --+=()*2,n n N ≥∈， 故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ ()1211111111112n n n n n n b b d n b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又11c =，而()1212111111=111d d d dd b b d b b d d ⎛⎫++⎛⎫+-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯+⎝⎭⎝⎭， 故()111111n n n c n d b b +⎛⎫⎛⎫=+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即1211n c c c d++⋯+<+， *n N ∈. 【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题. 19．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n n n n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n n n nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭nn n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦112111(1)111311331331(1)3334334423113n nn n nn n n f n n ++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦ ⎪⎝⎭'-，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 20． 0. -10. 【解析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查. 21．5 ()41537202n n -+-【解析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )； 故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=， 设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑， 则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++， 两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为：5；()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。

高中数学立体几何测试题（理科）一、选择题：1．下列说法不正确的是A 圆柱的侧面展开图是一个矩形B 圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D 圆台平行于底面的截面是圆面2、下面表述正确的是A、空间任意三点确定一个平面B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面C、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D、不共线的四点确定一个平面3、“a、b是异面直线”是指①a∩b=∅，且a和b不平行；②a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β=∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b=∅；④a⊂平面α，b ⊄平面α；⑤不存在平面α，使得a⊂平面α，且b⊂平面α都成立。

上述说法正确的是A ①④⑤B ①③④C ②④D ①⑤4、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是A、垂直B、平行C、相交不垂直D、不确定5、下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。

A 、0B 、1C 、2D 、36、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A 、异面B 、相交C 、平行D 、不确定 7、直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是A 、a α⊥B 、//a αC 、a α⊆D 、a α⊆或//a α 8、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定 9．已知二面角α－AB －β为︒30，P 是平面α内的一点，P 到β的距离为1．则P 在β内的射影到AB 的距离为（ ）． A ．23B ．3C ．43 D ．2110、若,m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 二、填空题：11、三条两两相交的直线可确定12．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2。

高中数学必修二模块综合测试卷( 四)一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分。

1．设全集R，M{ x |2x2}, N{ x | x1} ，则(C R M ) N（）A．{ x | x2}B．{ x | 2 x 1}C．{ x | x 1}D．{ x | 2 x 1} 2．给出命题：（设、表示平面， l 表示直线， A、B、C 表示点）⑴若 A l , A, B, B l ,则 l；⑵ A, A, B, B,则AB ；⑶若 l, A l , 则A；⑷若 A、B、C，A、B、C，且 A、B、C不共线，则与重合。

则上述命题中，真命题个数是（）．A． 1B． 2C． 3D． 43．已知二面角AB的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点 C 到棱AB 的距离为4，那么tan的值等于A．3B．3C．7D．3 7 45774．已知圆 (x-3)22kx 订交于P,Q两点,则|OP|·|OQ|的值是( ) +(y+4) =4 和直线yA ．21B．1+k2C． 4D． 21k 215．已知ab0, 点M (a,b)是圆 x2+y 2=r 2内一点，直线 m是以点 M为中点的弦所在的直线，直线 l的方程是 ax by r 2,则以下结论正确的选项是（）A.m// l，且l与圆订交B.l ⊥m,且 l 与圆相切C.m// l，且l与圆相离D.l ⊥m,且 l 与圆相离6．如右图是正方体的平面睁开图，则在这个正方体中：① BM与 ED平行② .与BE是异面直线③. 与 BM成 60o角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是( )ND C MA. ①②③B.②④C.③④D.②③④ E A B7．两圆订交于点 A （1，3）、B （ m ，－ 1），两圆的圆心均在直线x yc 0 上，则 m c的值为（ ）．A.0B.2C.3D.－18．一几何体的三视图以下，则它的体积是（）aaaa2a2a2a正视图侧视图俯视图A.3a 3 B.7 a 3 C.316 a 3 D.7 a 3 3121239．过点（ 1， 2）且与原点的距离最大的直线方程是（）．A.2x+y-4=0B. x+2y-5=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=010．已知函数 f (x) ＝ lg( ax 22 x 1) 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是（）A. a 1B.a 1C. 0 a 1D.0 a 111．若实数 x, y 知足 x2y22x2 y 10,则y4 的取值范围为（ ）．x 2A. [0, 4]B.[ 4, )C.(,4 ] D.[4,0)333312．若圆 ( x 3)2( y 5) 2 r 2 上有且只有两个点到直线4x 3y2的距离为 1，则半径r 的取值范围是（）A.（4,6)B.[4,6) C. (4,6] D.[ 4,6]二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分，请将答案填在答模卷上．13．过点（ 1， 2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为．14．空间坐标系中，给定两点 A (1, 2, 1) 、 B ( 2, 2, 2) ，知足条件 |PA|=|PB| 的动点 P 的 轨迹方程是．（即 P 点的坐标 x 、 y 、 z 间的关系式）15．在棱长为 1 的正方体上， 分别用过共极点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8个三棱锥后 ,剩下的凸多面体的体积是．16．光芒从点（― 1，3）射向 x 轴，经过 x 轴反射后过点（ 4，6），则反射光芒所在直线方程的一般式是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 10 分）求经过两条直线l1: 3x 4 y 2 0 与 l 2 : 2 x y 2 0 的交点 P，且垂直于直线l3: x 2y 1 0的直线l的方程 .1x18．（本小题满分12 分）若0x 2, 求函数 y 42 3 2x 5 的最大值和最小值。

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高中数学必修二模块综合测试卷(含答案)一、选择题：（共10小题,每小题5分）1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ． (2,1) C ．(4,2)- D ．(1,2)- 2。

直线y kx =与直线21y x =+垂直,则k 等于（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．133．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4. 在空间直角坐标系中,点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ) A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)-5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π6. 下列四个命题中错误的．．．是( ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7。

第四章 单元测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外2．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线x ＋y ＝0对称，则下列等式中成立的是( )A ．D ＋E ＋F ＝0B ．D ＋F ＝0C ．D ＋E ＝0 D ．E ＋F ＝03．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线的最小值为( )A ．1B ．22 C.7 D ．34．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值为( ) A. 2 B ．2－2 C.2－1 D.2＋15．若点P (3，－1)为圆(x －2)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A. x ＋y －2＝0 B ．2x －y －7＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．x －y －4＝06．从点P (4，－1)向圆x 2＋y 2－4y －5＝0作切线PT (T 为切点)，则|PT |等于( )A ．5B ．4C ．3 D.107．圆x 2＋y 2－2x －8＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦所在的直线方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝08．(2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－22，3)C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]9．以P (2,3)为圆心，并与直线x ＋y －3＝0相切的圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝2B ．(x －2)2＋(y －3)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝ 2D ．(x －2)2＋(y －3)2＝ 210．过直线x ＝－72上一点P 分别作圆C 1：x 2＋y 2＝1和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝9的切线，切点分别为M 、N ，则|PM |与|PN |的大小关系是( )A ．|PM |＞|PN |B ．|PM |＜|PN |C ．|PM |＝|PN |D ．不能确定11．(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34 ,0]B ．[－33，33]C ．[－3，3]D ．[－23，0] 12．已知点A (－2,0)，B (0,2)，C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任一点，则△ABC 面积的最大值是( )A ．3＋ 2B ．3－2C ．6D ．4第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．圆心在x 轴上，半径为5，且过点A (2，－3)的圆的标准方程为________．14．圆x 2＋y 2＋4y －1＝0关于原点(0,0)对称的圆的方程为__________．15．已知圆C ：(x ＋5)2＋y 2＝r 2(r >0)和直线l ：3x ＋y ＋5＝0.若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是__________．16．已知圆(x －2)2＋(y －3)2＝13和圆(x －3)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求圆心在3x ＋y ＝0上，过原点且被y 轴截得的弦长为6的圆的方程．18．(12分)过点P (－1,2)作圆x 2＋y 2－2x ＋4y －15＝0的切线，求切线方程．19．(12分)一束光线从A (0,0,2)发出后经过xOy 平面反射，然后照到点B (1,1,2)处，则光线由A 反射后到B 点所经过的路程为多少？20．(12分)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4与直线l ：(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8，当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求m 的值．21．(12分)求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆的方程．22．(12分)已知点P (－2,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝0.(1)求过P 点的圆C 的切线方程； (2)若(x ，y )是圆C 上一动点，由(1)所得写出y －2x ＋2的取值范围．。

高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①② B．②④ C．①③ D．②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为（）A．2x y1 B．2x y5 C．x2y5D．x2y73.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝3x的距离是()A．2 B．2 C．1 D．34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且A．2 B． C． D．5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是()A．若m//α,n⊥α，则m//n B．若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC．若m//α,n//α，则m//n D．若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－687.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）A．1/5 B．113° C． D．232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧面BC1C 的中心为D，则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD 成60°的角；④AB与CD所成的角是60°。

模块综合测试二一、选择题（本大题共10个小题；每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1过点(2,3)且与原点距离为1的直线共有…( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析：设直线方程为y-3=k(x-2)，即kx-y+3-2k=0. 由21|23|k k +-=1得3k 2-12k+8=0,Δ=144-3×4×8＞0.∴方程有两解，故满足条件的直线有2条.答案：B2等表面积的球和正方体，它们的体积的大小关系是( )A.V 球>V 正方体B.V 球=V 正方体C.V 球<V 正方体D.不能确定解析：设球半径为R ，长方体棱长为a ，则4πR 2=6a 2,∴a=π32R.V 球=34ππR 3 V 正方体=a 3=a 2·a=32πR 2·π32R=V 球·6π＜V 球. 答案：A3点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是( )A.|a|<1B.a<131 C.|a|<51 D.|a|<131 解析：∵点P 在圆内部∴（5a+1-1)2+(12a)2＜1,即（13a ）2＜1，∴a 2＜(131)2,即|a|＜131. 答案：C4圆柱形容器内壁底半径为5 cm ，三个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这三个小球，容器内的水面将下降（ ） A.25 cm B.5 cm C.340cm D.65 cm 解析：∵球直径为5，∴半径R=25. ∴三个球的体积和为V=3·34πR 3=4πR 3=2125π. 设水面下降为h ，则π·52h=2125π，∴h=25. 答案：A5若P(2，-1)为圆(x-1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0解析：圆心C （1，0），AB ⊥PC ，又k PC =-1.∴k AB =1,∴AB 方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.答案：A6一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）A.必须都是非直角三角形B.至多只能有一个直角三角形C.至多只能有两个直角三角形D.可能都是直角三角形解析：例如，如右图，三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，这样的三棱锥三个侧面都是直角三角形，应选D.答案：D7若两条直线(a 2+a-6)x+12y-3=0与(a-1)x-(a-2)y+4-a=0互相垂直，则a 的值为( )A.3B.3或5C.-5D.3或-5或2解析：由A 1A 2+B 1B 2=0得（a-1）(a 2+a-6)-12(a-2)=0,即（a-1）(a-2)(a+3)-12(a-2)=0，∴(a-2)(a 2+2a-15)=0解得a=2或3或-5.答案：D8正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是( )A.90°B.60°C.45°D.30°解析：如右图，连结A 1B ，则A 1B ∥DE 1，∴∠A 1BC 1为DE 1与BC 1所成的角，连结A 1C 1.∵AB=BC=1，BB 1=2，∴A 1B=BC 1=3.又∠A 1B 1C 1=120°，∴A 1C 1=3，∴∠A 1BC 1=60°.答案：B9若圆x 2+y 2=r 2(r ＞0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r 的取值范围是（ ）A.［4，6］B.［4，6）C.（4，6］D.（4，6）解析：圆心O （0，0）到直线之距离d=525=5. ∴当r=4时，圆上有一点到直线距离为1，r=6时，圆上有三点到直线距离为1.故4＜r ＜6.答案：D10在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 是A 1B 1上任意一点，则PD 与BC 1所成的角为（ ）A.30°B.60°C.90°D.不确定解析：连结B 1C ，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BCC 1B 1，∴CD ⊥BC 1，又∵四边形BCC 1B 1为正方形，∴B 1C ⊥BC 1，∴BC 1⊥面A 1B 1CD.又DP ⊂面A 1B 1CD ，∴BC 1⊥DP.答案：C二、填空题（本大题共4个小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）11若直线x+y-m=0与圆x 2+y 2=m(m>0)相切，则m=_______.解析：由m m =2||得m=2或m=0（舍去）. 答案：212已知点B （2，0），点O 为坐标原点且点A 在圆（x-2）2+(y-2)2=1上运动，则∠AOB 的最大值与最小值分别是___________.解析：如右图，过O 作圆C 的切线，加点分别为D 、E ，连结CD ，OC ，∵C （2，2），∴∠COB=45°.又|CD|=1，|OC|=2，∴∠COD=30°.∴∠AOB 的最小值为∠COB-∠COD=15°.最大值为∠COB+∠COE=∠COB+∠COD=64ππ+=75°.答案：75°，15°13一条直线与两个平行平面中的一个成30°的角，且被两平面截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是_________.解析：如右图，平面α∥平面β，设直线l∩α=A,l∩β=B ，AB=2，过A 作AC ⊥β，垂足为C ，则AC 长即为所求.连结BC ，∠ABC=30°，∴AC=2sin30°=1.答案：114已知A ，B ，C ，P 是球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则球的体积为___________. 解析：∵PA 、PB 、PC 两两垂直，∴以PA 、PB 、PC 为棱可构造一个球内接正方体，且棱长为2，则球直径为正方体的对角线.∴2R=222222++， ∴R=3，∴V=34πR 3=34π. 答案：34π 三、解答题(本大题共4个小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)已知：异面直线AB 、CD 都平行于平面α，且AB 、CD 在平面α的两侧，AC 、BD 分别与α相交于M 、N 两点，若M 为AC 的中点.求证:N 为BD 的中点.证明：如右图，连结AD ，交平面α于一点Q ，分别连结MQ,NQ.∵CD ∥α，CD ⊂面ACD ，面ACD∩α=MQ∴CD ∥MQ ，在△ACD 中，∵M 为AC 的中点，∴Q 为AD 中点.∵AB ∥α，同理可证AB ∥QN ，又Q 为AD 中点，故N 为BD 中点.16(本小题满分10分)已知圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C 的方程. 解析：∵圆C 与y 轴交于A(0,-4),B(0,-2),∴由垂径定理得圆心在y=-3这条直线上.又已知圆心在直线2x-y-7=0上,∴联立⎩⎨⎧=---=,072,3y x y 解得x=2. ∴圆心为(2,-3), 半径r=|AC|=5)]4(3[222=---+. ∴所求圆C 的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.17(本小题满分12分)已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M,N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证:MN ∥平面PAD;(2)求证:MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证:MN ⊥平面PCD.证明：(1)取PD 的中点E ，连结NE,EA,∵M 、N 、E 分别为AB 、PC 、PD 的中点,∴AM ∥CD 且2AM=CD ，NE ∥CD 且2NE=CD.∴AM ∥NE 且AM=NE.∴四边形MNEA 为平行四边形.∴MN ∥EA.又∵MN ⊄平面PAD,EA ⊂平面PAD,∴MN ∥平面PAD.(2)∵PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥CD.又CD ⊥AD,AD∩PA=A,∴CD ⊥平面PAD.又AE 在平面PAD 内,∴CD ⊥AE ，AE ∥MN.∴MN ⊥CD.(3)∠PAD=90°,∠PDA=45°,∴△PAD 为等腰直角三角形.又E 为PD 的中点,∴AE ⊥PD.又∵AE ⊥CD,PD 与CD 交于D 点, ∴AE ⊥平面PCD.又∵MN ∥AE,∴MN ⊥平面PCD.18(本小题满分12分)求经过点M(5,0)且与圆C:x 2+y 2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程. 解：由题意知圆C:(x+1)2+(y-3)2=5，圆心为C(-1，3)，半径为5.又因为|MC|=22)51()03(--+-=545>,所以点M 在已知圆外.所以两圆外切.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0).由题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=-+-=-+-.5,1,3.510250,)2()1(,)0()5(222222r b a a b r b a r b a 解之得 解之得a=3,b=1,r=5.所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.。

选择性必修第二册 期末模块检测试卷 基础A 卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，1212a a +=，3134a a -=，则4=a （ ）A ．18- B ．18C ．4-D ．4【答案】A 【分析】根据题意，将条件表示为1,a q 的形式，计算出1,a q ，再计算4a 即可. 【详解】∵等比数列{}n a 中，1212a a +=，3134a a -=，∴112111234a a q a a q ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得111,2a q ==-， ∴341311128a a q ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭= ．故选：A.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a =5，则5S =（ ） A ．5B ．25C ．35D ．50【答案】B 【分析】根据等差中项及等差数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，{}n a 为等差数列，所以15355()5252525222a a a S +⨯⨯⨯==== 故选：B3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D 【分析】设该女子第一天织布x 尺，根据题意，求得531x =尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】设该女子第一天织布x 尺，则5天共织布5(12)512x -=-，解得531x =尺，在情境模拟下，设需要n天织布总尺数达到165尺，则有5(12)3116512n -=-，整理得21024n=，解得10n =.故选：D ． 4．观察下列式子:213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，则可归纳出()2221111231n +++⋅⋅⋅++小于（ ）A ．1n n + B ．211n n -+ C ．211n n ++ D ．21nn + 【答案】C 【分析】根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论. 【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为1n +，分子第1n +个正奇数，即21n ，()2221112112311n n n ++++⋅⋅⋅+<++∴. 故选：C.5．设曲线1e x y ax -=-在点1x =处的切线方程为2y x =，则a =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】利用12x y ='=可求得答案. 【详解】1e x y a -'=-，∵112x y a ==-='，则3a =．故选：D6．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n-=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．6227【答案】D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D7．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】求得可得()'f x 的解析式，求出()f x '-解析式，可得()f x '为偶函数，即可求出()()20212021f f ''--的值，再求()()3f x f x +-=，即可求得()()20202020f f +-的值，即可求得答案. 【详解】()()22331xxe f x x e-'=++，()()()2222333()311xxxxe ef x x x ee----'-=+-=+++，所以()f x '为偶函数，所以()()202120210f f ''--=，因为()()33333331111x x x x x e f x f x x x e e e e -+-=++-=+=++++，所以()()202020203f f +-=，所以()()()()20202020202120213f f f f ''+-+--=． 故选：C ．8．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞ B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e【答案】B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x --'=，得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.二、多选题9．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a >B ．6S 最大C ．130S >D ．110S >【答案】ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确；所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误；所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.10．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）A ．()()()f a f e f d >>B ．函数()f x 在[],a b 上递增，在[],b d 上递减C ．函数()f x 的极值点为c ，eD ．函数()f x 的极大值为f b 【答案】ABD 【分析】对A ，B 由导数与函数单调性的关系，即可判断()f a ，()f b ，()f c 的大小以及()f x 的单调性，对C ，D 由极值的定义即可判断. 【详解】解：由题图知可，当(),x c ∈-∞时，()0f x '>，当(),x c e ∈时，()0f x '<，当(),x e ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(),c -∞上递增， 在(),c e 上递减，在(),e +∞上递增， 对A ，()()f d f e >，故A 错误；对B ，函数()f x )在[],a b 上递增，在[],b c 上递增，在[],c d 上递减，故B 错误；对C ，函数()f x 的极值点为c ，e ，故C 正确； 对D ，函数()f x 的极大值为()f c ，故D 错误. 故选：ABD.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6S 求出1a ，然后求出相应的项，判断各选项． 【详解】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列． 所以611611()(1)23781112a a q S q ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦===--，解得1192a =．选项A ：55611192()62a a q ==⨯=，故A 错误，选项B ：由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确．选项C ：211192962a a q ==⨯=，而6194.54S =，9694.5 1.5-=，故C 正确．选项D ：2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=， 则后3天走的路程为37833642-=， 而且336428÷=，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的应用，解题关键是引入等比数列{}n a ，n a 表示第n 天行走的路程，根据前6项的和求出首项1a ，然后可得通项公式，从而判断出结论．12．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确； 121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.三、填空题13．已知()2()21f x x xf =+'，则()1f '等于__________.（用数字作答）【答案】-2【分析】求出()f x 的导函数，代入1x =即可求解.【详解】()2()21f x x xf =+'，()()221f x x f ''∴=+，()()12121f f ''∴=⨯+，解得()12f '=-.故答案为：2-.14．()f x 对任意x ∈R 都有()()112f x f x +-=.数列{}n a 满足：()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则n a =__________. 【答案】14n + 【分析】采用倒序相加法即可求得结果.【详解】由题意得：()()1012f f +=，1112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 122n n a +∴=，解得：14n n a +=.故答案为：14n +. 【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.15．已知32()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______. 【答案】[3)+∞，【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a 的取值范围.【详解】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =，在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增；在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减. 又(2)37f -=-，(0)3f =，(2)5f =-，∴max ()3f x =，又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立，∴3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞故答案为：[)3,+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.16．古代埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式．例如2115315=+，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分2成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如)*2(3,21n n N n ∈-的分数的分解：2115315=+，2117428=+，2119545=+，按此规律，则221n =-________()*3,n n N ∈． 【答案】2112n n n+- 【分析】 根据21123133(231)=+⨯-⨯⨯-,21124144(241)=+⨯-⨯⨯-，21125155(251)=+⨯-⨯⨯-，…进行归纳推理. 【详解】 由题意得，2115315=+，即21123133(231)=+⨯-⨯⨯-， 2117428=+，即21124144(241)=+⨯-⨯⨯-， 2119545=+，即21125155(251)=+⨯-⨯⨯-， 由此归纳出)*211(3,21(21)n n N n n n n =+∈⨯--． 经验证112112(21)(21)21n n n n n n n -++==---，结论成立， ∴2211212n n n n=+--． 故答案为：2112n n n +-. 【点睛】方法点睛：由数列的前n 项归纳通项公式时，首先要分析项的结构，然后再探究结构中的各部分与项的序号n 间的函数关系，进而求得通项公式．四、解答题17．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n n T n =+. 【分析】（1）由=1n 可得11a =，再由2n ≥时，()21141n n S a --=+与条件作差可得12n n a a --=，从而利用等差数列求通项公式即可； （2）由n b 1(21)(21)n n =-+利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）∵()241n n S a =+，∴()21141a a =+，解得11a =，当2n ≥时，由()241n n S a =+①可得， ()21141n n S a --=+②，①－②：()()1120n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴10n n a a -+≠，∴120n n a a ---=，即∴12n n a a --=，∴{}n a 是以11a =为首项，以2d =为公差的等差数列，∴1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-综上所述，结论是：21n a n =-.（2）由（1）可得11n n n b a a +=1(21)(21)n n =-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭∴2n a n T b b b =+++111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 综上所述，21n n T n =+. 18．在①133a a b +=，②254b S b +=-，③194a a +=-这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的m 存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，设前n 项和为n T ，若 ， ，且1422,5b T T ==.是否存在大于2的正整数m ，使得134,,m S S S 成等比数列？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】答案见解析.【分析】由等比数列的条件，求得2q ，可得等比数列的通项公式．然后分别选取条件①②，条件①③，条件②③，列出关于等差数列首项与公差的方程组，求得首项与公差，得到等差数列的通项公式及前n 项和，再由14S ，3S ，m S 成等比数列列式求解m 值即可．【详解】解：设{}n a 的 公差为d ，{}n b 的公比为(0)q q >，由题意知1q ≠，所以421142(1)(1)5511b q b q T T q q--===--， 整理得215q +=，因为0q >，所以2q ，所以2n n b =.（1）当选取的条件为①②时，有1358416a a S +=⎧⎨+=-⎩，所以1122824a d a d +=⎧⎨+=-⎩， 解得1128a d =⎧⎨=-⎩. 所以2820,416n n a n S n n =-+=-+.所以21312,12,416m S S S m m ===-+，若134,,m S S S 成等比数列，则2314m S S S =，所以241630m m -+=，解得2m = 因为m 为正整数，所以不符合题意，此时m 不存在.（2）当选取的条件为①③时，有131984a a a a +=⎧⎨+=-⎩，所以11228284a d a d +=⎧⎨+=-⎩， 解得162a d =⎧⎨=-⎩. 所以228,7n n a n S n n =-+=-+.所以2136,12,7m S S S m m ===-+，若134,,m S S S 成等比数列，则2314m S S S =，所以2760m m -+=，解得6m =或1m =（舍去）此时存在正整数6m =满足题意.（3）当选取的条件为②③时，有1954416a a S +=-⎧⎨+=-⎩，所以1128424a d a d +=-⎧⎨+=-⎩， 解得161a d =-⎧⎨=⎩. 所以2137,2n n n n a n S -=-=. 所以213136,15,2m m m S S S -=-=-=， 若134,,m S S S 成等比数列，则2314m S S S =，即22524m S =-，所以2452750m m -+=，解得132m =， 因为m 为正整数，所以不符合题意，此时m 不存在.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．19．已知数列{}n a 中，11a =，()*13n n n a a n N a +=∈+ （1）证明：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列 （2）若数列{}n b 满足()312n n n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和nT . 【答案】（1）证明见解析 ；（2）1242n n n T -+=-. 【分析】（1）由()*13n n n a a n N a +=∈+可得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，然后可得答案； （2）由（1）可算出231n n a =-，12n n n b -=，然后用错位相减法可算出答案. 【详解】 （1）证明：由()*13n n n a a n N a +=∈+，知11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又111322a +=，∴112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列 （2）解：由（1）知111333222n n n a -+=⨯=，∴231n n a =-，12n n n b -= 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得012111111222222222n n n nT n n -+=++++-⨯=- ∴1242n n n T -+=- 20．已知函数()()x x f x a a R e=-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()f x ＝0有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞.（2）10a e <<【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；（2）由()0x x f x a e =-=得x x a e =， 将此方程的根看作函数x x y e=与y a =的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；【详解】解：（1）∵()()x x f x a a R e=-∈ 所以21()()x x x x e xe x f x e e--'== ∴当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<；即()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞.（2）由()0x x f x a e =-=得xx a e =， 将此方程的根看作函数x x y e =与y a =的图象交点的横坐标， 由（1）知函数x x y e =在1x =时有极大值1e，作出其大致图象，∴实数a 的取值范围是10a e<<. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题.21．设函数()21x f x e ax x =---，a R ∈. （1）0a =时，求()f x 的最小值.（2）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）1(,]2-∞.【分析】（1）当0a =时，求导可得()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，分别讨论(),0x ∈-∞和()0,∞+时，()'f x 的正负，即可得()f x 的单调性，即可求得答案；（2）求导可得()21x f x e ax '=--，设()21(0)x h x e ax x =--≥，分别讨论12a ≤和12a >时()h x '的正负，可得()h x 的单调性，进而可得()f x 的单调性，综合分析，即可得答案.【详解】（1）当0a =时，()1x f x e x =--，则()1xf x e '=-， 令()0f x '=，解得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减函数；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增函数；所以()()min 00f x f ==.（2）()21x f x e ax x =---，则()21xf x e ax '=--， 设()21(0)xh x e ax x =--≥，则()2x h x e a '=-， 当12a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数， 又(0)0h =，所以()(0)0h x h ≥=，即()0f x '≥，所以()f x 在在[)0,+∞上为增函数，又(0)0f =，所以()(0)0f x f ≥=，满足题意； 当12a >时，令()0h x '=，解得ln2x a =， 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，所以()h x 在(0,ln 2)a 为减函数，所以当[0,ln 2)x a ∈时，()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤，所以()f x 在[0,ln 2)x a ∈为减函数，又(0)0f =所以()(0)0f x f ，不满足题意，综上：a 的取值范围是1(,]2-∞【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性，极（最）值的方法，若处理恒成立问题时，需满足min ()0f x ≥，若处理存在性问题时，需满足max ()0f x ≥，需仔细审题，进行求解，属中档题. 22．已知2()2ln f x x x a x =-+.（1）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值；（2）若()()g x f x ax =-，求函数()g x 的单调递增区间；（3）若2a =，存在正实数12,x x ，使得()()1212f x f x x x +=+成立，求12x x +的取值范围.【答案】（1）4-；（2）答案见解析；（3）32⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】（1）由题意结合极值的概念可得(2)0f '=，解得4a =-后，验证即可得解；（2）求导得(1)(2)()(0)x x a g x x x--'=>，按照0a ≤、02a <<、2a =、2a >分类讨论，求得()0g x '>的解集即可得解；（3）转化条件得()()()212121212322ln x x x x x x x x +-+=-，令12t x x =，()22ln (0)t t t t ϕ=->，求导确定()t ϕ的单调性和值域即可得解.【详解】（1）222()22(0)a x x a f x x x x x-+-+'==>， ∵函数()f x 在2x =处取得极值，∴84(2)0a f x -+'==，解得4a =-， 当4a =-时，()2222(1)(2)()x x x x f x x x'--+-==. ∴当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当4a =-时，函数()f x 在2x =处取得极小值；（2）2()()(2)ln g x f x ax x a x a x =-=-++， ∴22(2)(1)(2)()2(2)(0)a x a x a x x a g x x a x x x x-++--'=-++==>， 令()0f x '=，则1x =或2a x =， ①当0a ≤时，令()0g x '>可得1x >，∴函数()g x 的单调递增区间为(1,)+∞；②当02a <<时，令()0g x '>可得02a x <<或1x >， ∴函数()g x 的单调递增区间为0,,(1,)2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ③当2a =时，()0g x '≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；④当2a >时，令()0g x '>可得01x <<或2a x >，∴函数()g x 的单调递增区间为(0,1),,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （3）2a =，∴2()22ln f x x x x =-+，()()1212f x f x x x +=+，∴()()221212121222ln x x x x x x x x +-++=+，整理可得()()()212121212322ln x x x x x x x x +-+=-，令12t x x =，()22ln (0)t t t t ϕ=->， 12(1)()21t tt tϕ-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，令()0t ϕ'=，解得1t =， 当01t <<时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减；当1t >时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增； ∴当1t =时，()t ϕ取得极小值即最小值为()12ϕ=，∴()()2121232x x x x +-+≥即()()21212320x x x x +-+-≥，解得1232x x +≤（舍去）或1232x x +≥，∴12x x +的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题.。