建筑制图第五章 直线、平面相对位置

两平面垂直
两平面不垂直
[例题12] 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
h
c
g
a
a
c
g
h
[例题13] 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。
f
d
f d
结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。
[例题14] 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
分析
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于
该平面的正平线的正面投影。
n
k
k n
定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的 水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投 影，则直线必垂直于该平面。
[例题7] 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
c
a
k
k a
[例题3 ] 试判断两平面是否平行
n m
s r
n m
s
r
结论：两平面平行
[例题4] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
[例题5] 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
§5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线
2．求Q平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
点K。
k
1
示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
C
B N
过MN作正垂面Q
以铅垂面为辅助平面求线面交点。
2 k 1
PH
1
步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
2
示意图
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步
骤和方法。
§5-1 直线与平面平行 • 两平 面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
3．连接KH，KH即 为所求。
§5-3 直线与平面垂直、两平面垂直
一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10
二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知 平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
二、平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平 面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
|zM-zN| mn
|yM-yN|
m
m
作图过程
k
h n
n k
h
mn
|yM-yN|
直径任取
30° 45° NM
mn
|zM-zN|
两平面垂直的几何条件
若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都 垂直于该平面。
A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
六、两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因 而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点， 将其连线即为两平面的交线。 两一般位置平面相交求交线 示意图 判别可见性 例题6
求两平面的交线
k 1
PV n 2
e
两一般
l
位置平面相
QV 交，求交线
步骤：
1．用求直线
一、直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
第五章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置
基本要求
§5-1 直线与平面平行 • 两平面平行 §5-2 直线与平面的交点 • 两平面的交线 §5-3 直线与平面垂直 • 两平面垂直
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
2
别
可
见
3 (4 )
性
1
[例题6] 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线 EF相交 。
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F
H E
作图
PV
1 m
2
n
h
h n2 m1
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。
c
n
[例题8] 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h
h
h
（a）
h
（b）
h
（c）
[例题9] 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂 直于该平面。
e
f
e f
[例题11] 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °， 与H面的夹角为45 °。
分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性 ）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面 相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
b
m k
M
P
c
f
l
B
m C
c PH
K
F N k
fb n
AL
a l
a n
m kb a
f
l
c
n
判断平面的可见性
结果
判断平面的可见性
五、直线与一般位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点
QV
1
k
2
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，
AK即为所求。
A
E
K
F
作图
2
f 2 k
1 2
1
a
e
PV
e
2
a
k
f
1
1
本章结束
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
kb
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
判断直线的可见性
b n
a
k
m
c
n a
kb
m c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
m
与平面交点
2
的方法，作
m
出两平面的
e k
两个共有点K、
E。
l2．连接两个共有Fra bibliotek，画1
出交线KE。
示意图
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
B M
K A L
F N
C 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连 线即为两平面的交线。
两平面相交，判别可见性
3
1 (2 )
利
用
4
重
影
点
判
例题3 例题4 例题5
一、直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
[例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例题2] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
f
b
a
a
b f
二、两平面平行
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其 可见性。
k' 1' (2')
2 k1
四、一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 一般位置平面与特殊位置平面相交 判断平面的可见性
一般位置平面与特殊位置平面相交
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图