2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (51)

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (5)一、选择题1．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8【答案】C【解析】因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4 ；②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3. 由②知x 2＋5x ＋3＝0，故两根之和为x 3＋x 4＝－5. 因此满足条件的所有x 之和为－8. 故选择C.本题考查函数的性质及推理论证能力，易错之处是只考虑x ＝x ＋3x ＋4 ，而忽视了x ＋x ＋3x ＋4＝0，误选了A.2．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个【答案】C【解析】f (x )在[0，＋∞)递减，在(－∞，0]上递增，且f (0)＝1，f (－2)＝f (2)＝0，故(a ，b )可以是(－2，0)，(－2，1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)，共5个．故选择C.3．对于函数①f (x )＝lg(|x －2|＋1)，②f (x )＝(x －2)2，③f (x )＝cos(x ＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 命题丙：f (x ＋2)－f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( ) A ．①③ B ．①② C ．③ D ．②【答案】D【解析】本题考查函数的增减性、奇偶性、考查真假命题的概念，考查分析问题的能力． 方法1：函数①、②使命题甲为真，函数③使命题甲为假，排除A 、C 选项；根据函数图像分析，函数①、②使命题乙为真；函数②使命题丙也为真，但函数①使命题丙为假，因此选D.方法2：由命题甲f (x ＋2)是偶函数，可知①、②满足条件，排除③；作出①②函数的图像，可知②满足命题乙的条件，①不满足乙的条件，排除①.因此选D.4．函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又a ∈R ，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a )【答案】D【解析】法1：取a ＝0，由f (x )在R 上是减函数，去A 、B 、C ，∴选D.法2：∵f (x )是R 上的减函数，而a >0时，a <2a .a <0时，a >2a ，∴f (a )与f (2a )大小不定，同样a 2与a ，a 2＋a 与a 的大小关系不确定，从而f (a 2)与f (a )，f (a 2＋a )与f (a )的大小关系不定，但a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，从而f (a 2＋1)<f (a )．故选D.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[－2，－1]∪[2，3]【答案】A【解析】当t ＝1时，x ∈[1,3]，若x ＝3，则f (x ＋t )＝f (4)＝15,2f (x )＝2f (3)＝18，故f (x ＋t )≥2f (x )不恒成立，故答案C 、D 错误； 当t ＝32时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72，令g (x )＝f (x ＋t )－2f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－2x 2＝－x 2＋3x ＋94，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72上是减函数，g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝12，g (x )≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72上恒成立，即f (x ＋t )≥2f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72上恒成立．故t ＝32符合题意，答案B 错误．故选择A.二、填空题6．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ . 【答案】－1【解析】∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 由函数为偶函数得a ＋1＝0，解得a ＝－1.【答案】1＋2 2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥0，x 2－5x ＋4≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥2，x ≤1或x ≥4，∴函数的定义域为x ≤0或x ≥4，而原函数在(－∞，0]上为减函数，在[4，＋∞)上是增函数，当x ＝0时f (x )＝4，而当x ＝4时，f (x )＝1＋22，故f (x )的最小值为1＋2 2.8．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝ .【答案】－2x 2＋4【解析】∵f (－x )＝f (x )且f (x )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2， ∴b (－x )2＋(2a ＋ab )(－x )＋2a 2＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴－(2a ＋ab )＝2a ＋ab ，即2a ＋ab ＝0， ∴a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f (x )＝bx 2，∵f (x )值域为(－∞，4]， 而y ＝bx 2值域不可能为(－∞，4]，∴a ≠0.当b ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋2a 2，值域为(－∞，2a 2]． ∴2a 2＝4，∴a 2＝2，∴f (x )＝－2x 2＋4. 三、解答题9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，求不等式f x －f －xx<0的解集．【解析】∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴f x －f －x x ＝2f xx <0，即⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧f x >0，x <0.因为f (x )是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数， 故f (x )在(－∞，0)上是增函数． 由f (1)＝0知f (－1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，x >0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧f x <f 1，x >0，∴0<x <1，⎩⎪⎨⎪⎧f x >0，x <0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧f x >f－1，x <0，∴－1<x <0.∴原不等式的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}．10．设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的解析式． 【解析】f (x )＝(x －1)2－1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴最小值g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2；当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴最小值g (t )＝f (t )＝(t －1)2－2； 当t <1<t ＋1，即 0<t <1时， 最小值g (t )＝f (1)＝－2，∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2 t ≤0－2 0<t <1t －12－2 t ≥1.11．函数f (x )＝－x 2＋2tx ＋t 在[－1,1]上的最大值为g (t )，求函数g (t )的解析式；画出其图像，据图像写出函数g (t )的值域．【解析】f (x )＝－x 2＋2tx ＋t ＝－(x －t )2＋t 2＋t ，(－1≤x ≤1) 当－1≤t ≤1时，函数f (x )的最大值为f (t )＝t 2＋t . 当t <－1时，函数f (x )在[－1,1]上是减函数， ∴最大值为f (－1)＝－1－t .当t >1时，函数f (x )在[－1,1]上是增函数， ∴最大值为f (1)＝－1＋3t .综上可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋t －1≤t ≤1－1－t t <－1－1＋3t t >1图像如下：∴g (t )的值域为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. 12．设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1. (1)求实数a 的取值范围；(2)试比较f (0)f (1)－f (0)与116的大小，并说明理由．【解析】方法1：(1)令g (x )＝f (x )－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<1－a 2<1，g 1>0，g 0>0，⇔⎩⎨⎧a >0，－1<a <1，a <3－22或a >3＋22，⇔0<a <3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)． (2)∵f (0)f (1)－f (0)＝g (0) g (1)＝2a 2， 令h (a )＝2a 2.∵当a >0时，h (a )单调增加， ∴当0<a <3－22时，0<h (a )<h (3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122) ＝2·117＋122<116，即f (0)f (1)－f (0)<116.方法2：(1)同方法1.(2)f (0)f (1)－f (0)＝g (0)g (1)＝2a 2， 由(1)知0<a <3－22， ∴42a －1<122－17<0. 又42a ＋1>0，于是 2a 2－116＝116(32a 2－1)＝116(42a －1)(42a ＋1)<0， 即2a 2－116<0，故f (0)f (1)－f (0)<116.方法3：(1)方程f (x )－x ＝0⇔x 2＋(a －1)x ＋a ＝0. 由韦达定理得x 1＋x 2＝1－a ，x 1x 2＝a ，于是0<x 1<x 2<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，1－x 1＋1－x 2>0，1－x 11－x 2>0，⇔⎩⎨⎧a >0，a <1，a <3－22或a >3＋22，⇔0<a <3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2)依题意可设g (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，则由0<x 1<x 2<1得f (0)f (1)－f (0)＝g (0)g (1)＝x 1x 2(1－x 1)(1－x 2)＝[x 1(1－x 1)][x 2(1－x 2)] <⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1－x 122⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1－x 222＝116，故f (0)f (1)－f (0)<116.。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (58)一、填空题1．如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝ .【答案】3 3【解析】连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°. ∵∠CPA ＝30°，OC ＝AB2＝3，∴tan 30°＝3PC，即PC ＝3 3.2．(2011高考北京卷·理)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是 . 【答案】①②【解析】∵CF ＝CE ，BF ＝BD ，∴BC ＝CE ＋BD .∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ，故结论①正确． 连接DF ，则∠FDA ＝∠DGA . 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADF ∽△AGD . ∴AD AG ＝AF AD，∴AD 2＝AF ·AG . 又AE ＝AD ，∴AD ·AE ＝AF ·AG .故结论②正确，容易判断结论③不正确．3．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为 .【答案】135° 【解析】如图，连结OC ，则OC ⊥PC ， 设∠OAC ＝α，则∠AOC ＝π－2α，故∠APC ＝∠AOC －∠OCP ＝π－2α－π2＝π2－2α，从而∠APQ ＝12∠APC ＝π4－α.在△APQ 中，有∠AQP ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－α＝3π4＝135°.4．如图，AB 为半圆的直径，DE 为半圆的一条切线，点C 为切点，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E 交半圆于F ，若AD ＝3，BE ＝7，那么线段DE 的长为 .【答案】221【解析】如图，连结OC ，则OC ⊥DE ，得OC 是梯形ABED 的中位线， ∴OC ＝12(AD ＋BE )＝5，而AB ＝2OC ＝10；连结AF ，则∠AFB ＝90°， 四边形AFED 为矩形，得EF ＝3， ∵BE ＝7，得BF ＝4，于是DE ＝AF ＝AB 2－BF 2＝102－42＝221.5．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝ ，AD ＝ .【答案】52，5【解析】∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10. 设半径为r ，则10－r r ＝106，∴r ＝154.∴AE ＝10－2r ＝52，AD 2＝52×10＝25.∴AD ＝5.6.如图，⊙M 和⊙O 交于A 、B 两点，点M 在⊙O 上，⊙O 的弦MC 分别与弦AB 、⊙M 交于D 、E 两点，若MD ＝1，DC ＝3，则⊙M 的半径为 .【答案】2【解析】设⊙M 半径|ME |＝r ，延长DM 交⊙M 于N ， 则|DE |＝r －1.在⊙O 中，由相交弦定理，AD ·DB ＝MD ·DC ＝3. 在⊙M 中，由相交弦定理，AD ·DB ＝DE ·DN ＝(r －1)(r ＋1)＝3.∴r 2＝4，r ＝2.7．如图，已知两个同心圆，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，则EG 的值为 .【答案】677【解析】如图，连结GC ，则GC ⊥ED ，由于EF 切小圆于C ，得EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝23，又CD ＝4，那么在Rt△ECD 中有ED ＝EC 2＋CD 2＝232＋42＝27，∵EC 2＝EG ·ED ，得EG ＝EC 2ED ＝23227＝677. 8．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .【答案】30°，3 【解析】如图，连结OC ，∵BC ＝OB ＝OC ＝3，∴∠CBO ＝60°. 由于∠DCA ＝∠CBO ，即∠DCA ＝60°. 又AD ⊥DC ，得∠DAC ＝30°. 又∵∠ACB ＝90°，得∠CAB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，从而∠ABE ＝30°， ∴AE ＝12AB ＝3.二、解答题9．如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .(1)证明：OM ·OP ＝ OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线ON 于K .证明：∠OKM ＝ 90°.【证明】(1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM . 又因为AP ⊥OM ，在Rt△OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同(1)，有OB 2＝ON ·OK ，又OB ＝OA ， 所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OMOK.又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.10.如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，且⊙O 1过点O 2，PB 是⊙O 2的直径，A 为⊙O 2上的点，连结AB ，过O 1作O 1C ⊥BA 于C ，连结CO 2.已知PA ＝43，PB ＝4.(1)求证：BA 是⊙O 1的切线； (2)求∠BCO 2的正切值．【证明】∵O 1C ⊥BA ，∴∠O 1CB ＝90°. ∵⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，PB 是⊙O 2的直径， ∴PB 过O 1，∠PAB ＝90°， ∴O 1C ∥PA ，∴PA ：PB ＝O 1C ：O 1B .∵⊙O 1过点O 2，PB ＝4，∴O 1B ＝3，O 1P ＝1. 又PA ＝43，∴O 1C ＝1，∴BA 是⊙O 1的切线．(2)连结PC ，由BA 是⊙O 1的切线知BC 2＝BO 2·BP ，∠BCO 2＝∠BPC .∵PB ＝4，BO 2＝2，∴BC ＝22，BC ＝－22(舍去)． 又∠B ＝∠B ，∴△BCO 2∽△BPC ， ∴CO 2PC ＝BC BP. 又△PCO 2是直角三角形， ∴tan∠BCO 2＝tan∠BPC ＝CO 2PC ＝BC BP ＝22. 11．已知如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点T ，⊙O 2的弦CD 切⊙O 1于点E ，连结TC ，TD 分别交⊙O 1于点A 、B ，TE 的延长线交⊙O 2于F ，连结AB 、FD .求证：①AB ∥CD ； ②∠CTF ＝∠DTF ； ③DF 2－EF 2＝CE ·DE .【解析】过T 作两圆的公切线MN ，因为MN 是两圆的公切线， 所以∠MTC ＝∠ABT ，∠MTC ＝∠CDT ， 所以∠ABT ＝∠CDT ，所以AB ∥CD .(2)连结BE .因为CD 切⊙O 1于E .所以∠DEB ＝∠DTE . 因为AB ∥CD ，所以∠DEB ＝∠ABE ， 因为∠ABE ＝∠ATE ，所以∠ATE ＝∠DTE ， 即∠CTF ＝∠DTF .(3)因为TF 、CD 是⊙O 2的两条相交弦，所以CE ·DE ＝EF ·TE ＝EF ·(TF －EF )＝EF ·TF －EF 2. 因为∠FDE ＝∠CTF ＝∠DTF ，∠F 是公共角， 所以△FDE ∽△FTD ， 所以EF ∶DF ＝DF ∶TF ， 所以DF 2＝EF ·TF ， 所以CE ·DE ＝DF 2－EF 2， 即DF 2－EF 2＝CE ·DE .12．已知△ABC 内接于⊙O ，BT 为⊙O 的切线，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F .(Ⅰ)如图甲，求证：当点P 在线段AB 上时，PA ·PB ＝PE ·PF ；(Ⅱ)如图乙，当点P 在线段AB 的延长线上时，上述结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【解析】(Ⅰ)证明：因为BT 切⊙O 于点B ，所以∠EBA ＝∠C . 因为EF ∥BC ，所以∠AFP ＝∠C . 所以∠EBA ＝∠AFP .因为∠BPE ＝∠FPA ，所以△PBE ∽△PFA . 所以PB PF ＝PEPA，所以PA ·PB ＝PE ·PF .(Ⅱ)当P 为AB 延长线上一点时，(Ⅰ)中的结论仍成立． 因为BT 切⊙O 于点B ，所以∠ABM ＝∠ACB . 因为∠ABM ＝∠PBE ，所以∠PBE ＝∠ACB . 因为EF ∥BC ，所以∠F ＝∠ACB . 所以∠PBE ＝∠F .因为∠P 是公共角，所以△PBE ∽△PFA .所以PB PF ＝PEPA，所以PA ·PB ＝PE ·PF .。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (52)一、选择题1．下列两个变量中具有相关关系的是( ) A ．正方形的体积与边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力 【答案】C【解析】本题要注意区分函数关系与相关关系，函数关系是一种确定的关系，而相关关系则是一种存在某一种不确定的关系，题中A 、B 为函数关系，C 是相关关系，D 则无相关关系．故选择C.2．已知x 、y 之间一组数据x 与y A ．(0,0)点 B ．(x －，0)点 C ．(0，y －)点 D ．(x －，y －)点 【答案】D【解析】回归直线方程中，a 、b 有公式a ＝y －－b x －， 即y －＝a ＋b x －，所以直线必定过(x －，y －)点． 故选择D.3．已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得一组数据如下：(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70)，若它们回归直线的斜率为6.5，则在这些样本点中任取一点，它在回归直线上方的概率为( )A.25B.35C.15D.45 【答案】A【解析】x －＝5，y －＝50，a ＝y －－b x －＝17.5，所以回归直线方程为y ＝6.5x ＋17.5，验证知只有点(5,60)、(8,70)在回归直线的上方，故所求概率为25.故选择A.4．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，得到的回归直线方程y ＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ＝bx ＋a 必经过点(x ，y )B ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．y ＝bx ＋a 的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x·y∑i ＝1nx i 2－nx2D ．直线y ＝bx ＋a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑i ＝1n[y i －(bx i ＋a )]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的【答案】B【解析】回归直线方程一定过样本的中心(x ，y )，选项A 正确；选项C 是回归直线的斜率的计算公式，所以选项C 正确，易判断选项D 也正确，只有选项B 是错误的．故选择B.5．为考虑广告费用与销售额之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用(千元)x 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0 销售额(千元)y19.044.040.052.053.0A ．36.4千元B ．37.2千元C ．38.4千元D ．39.4千元 【答案】B【解析】x ＝7，y ＝41.6，∑i ＝15x i y i ＝1 697，∑i ＝15x i 2＝349.所以b ＝1 697－5×7×41.6349－5×49≈2.3，a ＝41.6－2.3×7＝25.5，故回归直线方程为y ＝2.3x －25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60≈2.3x －25.5. 解得x ≈37.2(千元)． 故选择B. 二、填空题6．下列关系中，具有相关关系的是. ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 【答案】②④【解析】①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系． ③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具有相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．7．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：则回归直线方程是. 【答案】y ＝6.5x ＋17.5【解析】列出下表，并用科学计算进行有关计算.b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x i 2－5x －2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ＝y －b x －＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y ＝6.5x ＋17.5.8．为了研究三月下旬的平均气温(x )与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年至2011年的情况，得到如下数据：峰日为日．【答案】12日或13日【解析】(1)运用科学计算器，得：x －＝29.13，y －＝7.5，∑i ＝16x i 2＝5 130.92，∑i ＝16x i y i ＝1 222.6，∴b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x i 2－6x －2＝－2.2，a ＝7.5－(－2.2)×29.13＝71.6.∴回归直线方程为y ＝－2.2x ＋71.6. 当x ＝27时，y ＝－2.2×27＋71.6＝12.2.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日． 三、解答题9．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度 (℃) －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归直线方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数． 【解析】(1)散点图如下图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程 y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．10．某化工厂的原料中含有两种有效成分A 和B 的含量如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i ：A (%) 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y i ：B (%)67547264392258434634用x 表示A 的含量，用y 表示B 的含量，计算精确度保留小数点后4位小数． (1)作出散点图；(2)求出回归直线方程：y ^＝bx ＋a ；(3)计算回归直线方程y ^＝bx ＋a 对应的Q ＝∑i ＝110[y i －(bx i ＋a )]2并和另一条直线y ^＝b ′x＋a ′(a ′＝2a ，b ′＝2b )对应的Q ′＝∑i ＝110[y i －(b ′x i ＋a ′)]2.比较Q 和Q ′的大小．【解析】(1)散点图见下图：(2)把数据代入公式，计算可知回归直线方程为：y ^＝3.532 4x －11.563 5.(3)经计算：Q ＝∑i ＝110[y i －(bx i ＋a )]2＝348.338 1；Q ′＝∑i ＝110[y i －(b ′x i ＋a ′)]2＝27 175.555 1.∴Q ＜Q ′.11．一机器可以按各种不同的速度运转，其生产之物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多寡，随机器运转的速度而变化，下列即为其试验结果：速度(转/秒)每小时生产有缺点物件数8 5 12 8 14 9 1611(1)(2)若实际生产中所容许的每小时最大缺点物件数为10，那么，机器的速度不得超过多少转每秒？【解析】(1)用x 来表示机器速度，y 表示每小时生产的有缺点的物件数，那么4个样本数据为：(x 1，y 1)＝(8,5)，(x 2，y 2)＝(12,8)， (x 3，y 3)＝(14,9)，(x 4，y 4)＝(16,11)， 则x －＝12.5，y －＝8.25. 回归直线的斜率为：b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x i 2－4x －2＝25.535＝0.728 6， 截距a ＝y －－b x －＝－0.857 1，所求的回归直线方程为：y ＝0.728 6x －0.857 1. (2)根据回归方程y ＝0.7286x －0.857 1， 要使y ≤10，即0.728 6x －0.857 1≤10， 解得，x ≤14.901 3，即机器速度不能超过14.901 3转/秒．12．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)已知该厂技术改造前100吨甲产品生产能耗为90吨标准煤；试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考数值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 【解析】(1)由题设所给数据，可得散点图如图．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14x i 2＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x i 2－4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ＝y －－b x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (2)一、选择题1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选择A.2．（2011大纲全国卷）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3【答案】A【解析】由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1；因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1.故选择A.3．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数【答案】A【解析】由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．故选择A.4．(2011上海卷·理)设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件为( )A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n…均是等比数列，且公比相同【答案】D【解析】∵A i＝a i a i＋1，若{A n}为等比数列，则A n＋1A n＝a n＋1a n＋2a n a n＋1＝a n＋2a n为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．故选择D.5．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是( ) A ．①④⑤ B ．①②④ C ．②③⑤ D ．②④⑤【答案】B【解析】s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，①正确，排除C 、D.因为q 是r 的充分条件，q 是s 的必要条件，所以s 是r 的充分条件，又因为s 是r 的必要条件，所以s 是r 的充分必要条件，⑤错，排除A.故选择B.二、填空题6．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 个．【答案】1【解析】原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误．7．(2011陕西卷·理)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝ .【答案】3或4【解析】由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.8．下列小题中，p 是q 的充要条件的是 .①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点． ②p ：f －xf x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数．③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β. ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A . 【答案】①④【解析】在①中，函数有两个零点，则Δ＝m 2－4m －12>0，解得m >6或m <－2，所以p是q 的充要条件；②中p 是q 的充分不必要条件；③中p 是q 的既不充分也不必要条件；④中p 是q 的充要条件．三、解答题9．设T ＝x ＋y ＋xy ，其中x ，y 为非零实数，则命题“若1x ＋1y>0，则T ≠0”的否命题是否正确？为什么？【解析】否命题：若1x ＋1y≤0，则T ＝0，不正确．这是因为：若1x ＋1y≤0，∴x ＋yxy≤0， 即x ＋y ＝0或x ＋y 与xy 异号． 此时T ＝x ＋y ＋xy 不一定为0.10．指出下列命题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”中选一种)，并写出判断过程．(1)p ：a 2>b 2，q ：a >b .(2)p ：{x |x >－2，或x <3}，q ：{x |x 2－x －6<0}． (3)p ：a 与b 都是奇数，q ：a ＋b 为偶数．(4)p ：0<m <13，q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．【解析】(1)∵a 2>b2a >b ，又a >b a 2>b 2，∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)∵{x |x >－2，或x <3}＝R ， {x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴x ∈{x |x >－2，或x <3}⇒/ x ∈{x |－2<x <3}． 而x ∈{x |－2<x <3}⇒x ∈{x |x >－2，或x <3}． ∴p 是q 的必要而不充分条件． (3)因为a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数， 而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(4)当m ＝0时，方程化为－2x ＋3＝0，仅有一个实根x ＝32.当m ≠0且Δ＝4－12m >0，即m <13且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根，设两根为x 1，x 2，若0<m <13时，方程有两个不相等的实数根，且x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝3m >0，故方程有两个同号且不相等的实数根．即0<m <13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0⇒0<m <13.即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根⇒0<m <13，所以p 是q 的充要条件．11．已知函数f (x )在区间(－∞，＋∞)内是增函数，a ，b ∈R . (1)证明命题：如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中的逆命题是否正确？并证明你的结论． 【证明】(1)由a ＋b ≥0，得a ≥－b . 又f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )．同理由b ≥－a ， 得f (b )≥f (－a )故f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题正确 .逆命题：如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0. 证明：假设a ＋b <0，则a <－b .由f (x )在(－∞，＋∞)上递增，得f (a )<f (－b )． 同理得f (b )<f (－a )． 即f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) 这与已知条件矛盾． 故判断(1)中逆命题成立． 12．若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1，p 2为常数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， f 1x f 2x ，f 2x ， f 1xf 2x(1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1，p 2表示)；(2)设a ，b 为两实数，a <b 且p 1，p 2∈(a ，b )，若f (a )＝f (b )，求证：f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度和为b －a2(闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m )．【解析】(1)f (x )＝f 1(x )恒成立 ⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32. ①若p 1＝p 2，则①⇔0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|. 当p 1>p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2， x <p 2，－2x ＋p 1＋p 2， p 2≤x ≤p 1，p 2－p 1， x >p 1.所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32.当p 1<p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2， x <p 1，2x －p 1－p 2， p 1≤x ≤p 2，p 2－p 1， x >p 2.所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32. (2)分两种情形讨论．①如果|p 1－p 2|≤log 32，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b )，则由f (a )＝f (b )及a <p 1<b 易知p 1＝a ＋b2，再由f 1(x )＝的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度为 b －a ＋b 2＝b －a 2.②当|p 1－p 2|>log 32时，不妨设p 1<p 2，则p 2－p 1>log 32.于是， 当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x<3p 2－x<f 2(x )，从而f (x )＝f 1(x )．当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2 >3log32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )．当p 1<x <p 2时，f 1(x )＝3x －p 1及f 2(x )＝2·3p 2－x ，由方程3x 0－p 1＝2·3p 2－x 0，解得f 1(x )与f 2(x )图像交点的横坐标为x 0＝p 1＋p 22＋12log 32. ①显然p 1<x 0＝p 2－12[(p 2－p 1)－log 32]<p 2，这表明x 0在p 1与p 2之间．由①易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， p 1≤x ≤x 0，f 2x ， x 0<x ≤p 2.综上可知，在区间[a ，b ]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， a ≤x ≤x 0，f 2x ， x 0<x ≤b .故由函数f 1(x )与f 2(x )的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为(x 0－p 1)＋(b －p 2)，由于f (a )＝f (b )，即3p 1－a＝2·3b －p 2，得p 1＋p 2＝a ＋b ＋log 32. ②故由①②得(x 0－p 1)＋(b －p 2)＝b －12(p 1＋p 2－log 32)＝b －a2.综合①②可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为b －a2.。