高三基础训练51
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高三基础训练51 2012-4-26
班级： 姓名： 得分：
B ．选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵1
1A ⎡=⎢-⎣ ⎥⎦
⎤42,设向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，试计算5
A β 的值
C ．选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，A 为曲线2
2cos 30ρρθ+-=上的动点，B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点，求AB 的最小值。
22．【必做题】如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B,C,D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X （三点共线时，规定X=0） （１） 求1()2
P X ≥
； （２） 求E （X ）
23．【必做题】已知多项式5431
111
()52330
f n n n n n =++-
.（1）求(1)f 及(1)f -的值； （2）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论
高三基础训练51 2012-4-24
班级： 姓名： 得分：
B 矩阵A 的特征多项式为1
1
)(-=
λλf
0654
2
2=+-=--λλλ， 解得12λ=,23λ=. (4分)
当21=λ时，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121α；当32=λ时，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112α， (6分) 由21ααβn m +=，得⎩
⎨⎧=+=+47
2n m n m ，得1,3==n m , (8分)
∴25152155)(3)3(ααααβA A A A +=+=
252151)(3αλαλ+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=339435113122355. (10分)
C 圆方程为()2
214x y ++=，圆心()1,0-，直线方程为70x y +-=，…… 5分
圆心到直线的距离d =
=min ()AB
=2． ………… 10分
22．．⑴从六点中任取三个不同的点共有36C 20=个基本事件，
事件“1
2X ≥”所含基本事件有2317⨯+=，
从而17
()220
P X =≥．……………………………………………………………5分
⑵X 的分布列为：
X 0 14 12
1 P
320 1020 620 120 则311016113
()01204202202040
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
． 答：17()220P X =≥，13
()40
E X =．…………………………………………10分
23. （01）先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数.
①当n=1时，(1)1f =,结论成立.
②假设当n=k （k ≥1，k ∈N *
）时，结论成立，即5431111
()52330
f k k k k k =++-
是整数，则当 n=k+1时，5431111
(1)(1)(1)(1)(1)52330
f k k k k k +=+++++-+
051423324504132214
5555554444452
C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+
031223
33331(1)330
C k C k C k C k ++++-+=432()4641f k k k k k +++++
根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数. ∴(1)f k +是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.
由①、②可知对对一切正整数n ，()f n 是整数. ……………………………………………7分。
