厦门市2017届高三质检试题(数学理)(含答案)word版

厦门市2017年高中毕业班质量检查数 学 试 题（理）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：线性回归方程系数公式：1221ˆˆˆ,n i ii n i i x y nx y b ay bx x nx==-===-∑∑ 第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题所给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的。

1．已知集合2{0,},{1,2}A m B ==，那么“1m =-”是“{1}A B = ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．如图，已知幂函数a y x =的图象过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．165B ．83C ．43D ．233．已知1tan 47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α= （ ）A ．65-B ．1-C ．34-D ．654．执行右边的程序框图，输出S 的值等于（ ） A ．10B ．6C ．3D ．25．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7，据此模型，若广告费用为10元，则预报销售额等于 （ ）A ．42.0元B ．57.0元C ．66.5元D ．73.5元6．如图，O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是（ ）A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1 D ．A 1C 17．已知函数(]23,[1,2]()3,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则方程()1f x =的解是（ ）A 2B 3C 4D ． 48．设01(1)n n n x a a x a x +=+++ ，若1263n a a a +++= ，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．215xB ．320xC ．321xD ．235x9．已知F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF = ，则椭圆 C 的离心率等于（ ）A B ．23 C D ．1210．如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得AC =Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =︒，据此 可得cos72︒的值所在区间为 （ ）A ．（0.1,0.2）B ．（0.2,0.3）C ．（0.3,0.4）D ．（0.4,0.5）第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

厦门市2017届高三毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分为150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高，球的表面积公式24S R π=． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0<2+3=2x x x A -|，{})3lg(x y x B -==，则=B A ∩（ ▲ ）．A ．{}21|<<x xB ．{}31|<<x xC ．{}32|<<x xD ．{}3|<x x ．2．已知双曲线22221x y a b-=00a b >>（，）的一条渐近线为x y 5=，则双曲线的离心率为（ ▲ ）． A．6B ．2 CD ．6 3．如图，函数)(x f 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为)4,0()0,2(，)4,6(，则'(1)(3)=f f +（ ▲ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．24．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ▲ ）． A ．31 B ．21 C ．53 D ．325．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点-（），则⎪⎭⎫⎝⎛-6ta n πα的值为（ ▲ ）．A ．33-B ．53-C ．335-D ．533- 6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）输入3A =，1a =．那么在①处应填（ ▲ ）．A ．2?T S >B ．2?S T >C ．2?S T <D ．2?T S <7．实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，则43z x y =+的最大值为（ ▲ ）．A ．3B ．4C ．18D ．24 8．在平行四边形ABCD 中，3=AB ，2=AD ，13AP AB =，AD AQ 21=，若12CP CQ ⋅=，则BAD =∠（ ▲ ）． A ．4π B ．3π C ．2πD ．23π9．当0x >时，函数()()()2xf x ae bx =+-单调递增，且函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则使得(2)0f m ->成立的m 的取值范围是（ ▲ ）．A ．{}|22m m m <->或 B ．{}|22m m -<< C ．{}|04m m m <>或 D ．{}|04m m << 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ▲ ）． A ．193π B ．223πC ．19πD ．22π 11．已知抛物线C ：px y 22=0p >（）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上两动点，且AFB α∠=（α为常数），线段AB 中点为M ，过点M 作l 的垂线，垂足为N ，若MNAB 的最小值为1，则α=（ ▲ ）．A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线22-=x y 与圆2222+=+n a y x 交于n A ，n B *n N ∈（）两点，且241n n n B A S =．若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*N n ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ▲ ）． A ．),(+∞0 B ．),(+∞21 C ．)∞,[+0 D ．),[+∞21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z 满足i i z -2=)+1(（i 为虚数单位），则z 的模为___▲___．14．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，13515a a a ++=，2460a a a ++=，则n S 的最大值为___▲___．15．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，90BAC ∠=︒，BC =2，CC 1=1，直线BC 1与平面A 1ABB 1所成角等于60º，则三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面积为___▲___．16．0(2,)x ∃∈+∞，000(2)(ln +1)k x x x ->，则正整数k 的最小值为___▲___． （参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()()sin (00)2f x M x M πωϕωϕ=+>><,,的图象与x 轴的两个相邻交点是)0,0(A ，(6,0)B ，C 是函数()f x 图象的一个最高点．a ，b ，c 分别为ABC Δ的三个内角A ，B ，C 的对边，满足()(sin sin )()sin a c C A a b B +=+-．（Ⅰ）求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）将函数()x f 的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3π倍，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间．18．（本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：20 联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？)+)(+)(+)(+()(=22d c d b b a c a bc ad n K -19．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD的边长等于2，平面ABCD⊥平面ABEF，22BE AF==，EF=（Ⅰ）求证：//AC平面DEF；（Ⅱ）求三棱锥C DEF-的体积．20．（本小题满分12分）已知函数2()(1)xf x x ax a e=-++．（Ⅰ）讨论函数()f x的单调性；（Ⅱ）函数)(xf有两个极值点1212x x x x<，（），其中0a>．若221()xf xmxe->恒成立，求实数m的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22211xy aa+=>（）与圆E：22342x y⎛⎫+-=⎪⎝⎭相交于A，B两点，且32=AB，圆E交y轴负半轴于点D．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点，点N与点N'关于y轴对称，求证：直线NM'过定点，并求该定点坐标．选考题（请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C：2xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为θρcos8=，直线l的极坐标方程为)(3R∈=ρπθ．（Ⅰ）求曲线1C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与1C ，2C 在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为2C 上的动点．求PAB ∆面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)1(1)(>-+-=m m x x x f ，若4)(>x f 的解集是{}40><x x x 或． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）关于x 的不等式4)(2-+<a a x f 有解，求实数a 的取值范围．。

2017福建省质检数学(理)word版篇一：福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试(三)数学(理)试题 Word版含答案高三数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足(3?4i)?z?|4?3i|，i是虚数单位，则z的虚部为（） A．?4B．4 5C．4 D．?4 52.设集合P??x||x?1|?3?，Q??y|y?(),x?(?2,1)?，则P?Q?（）x??13??A．(?4,)19B．(,2]19C．(,2]13D．(,2)133.已知命题p：?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0，则?p是（） A．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 B．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 C．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 D．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?04.若??(A．??2,?)，3cos2??sin(B．?4??)，则sin2?的值为（）C．?171****8118D．1 185.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（） A．(4,10]B．(2,??)C．(2,4]D．(4,??)6.有关以下命题：①用相关指数R来刻画回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好；②已知随机变量?服从正态分布N(2,?2)，P(??4)?，则P(2)?；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题个数为（） A．3个B．2个C．1个D．0个227. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（） A．2?B．16?C．8?D．8?3x?y?a?0,?8. 设x，y满足约束条件?x?y?0,若目标函数z?x?y的最大值为2，则实数a的?2x?y?0,?值为（） A．2B．1C．?1D．?29.已知等差数列?an?的公差d?0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1?1，Sn为数列?an?的前n项和，则2Sn?16的最小值为（）an?3B．3C．2D．2A．4bx2y210.过双曲线2?2?1（a?0，b?0）的右焦点F作直线y??x的垂线，垂足为A，aab交双曲线的左支于B点，若FB?2FA，则该双曲线的离心率为（）AB．2CD11.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为则bd和（a，b，c，d?N*），acb?d是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道，若令a?c314916，则第一次用“调日法”后得是?的更为精确的过剩近似值，即101553116，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得?的近似分数为（） 105226378109A． B． C． D．720352512.已知函数f(x)??根的根数是（） A．8B．6C．4D．2?2x，g(x)?xcosx?sinx，当x3?,3??时，方程f(x)?g(x)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(x?为．162?)展开式的常数项是540，则由区县y?x和y?x围成的封闭图形的面积axB，C，14.△ABC的三个内交为A，的最大值为．7?则2cosB?sin2C?tan(?)，122????215.在平行四边形ABCD中，AC?CB?0，2BC?AC?4?0，若将其沿AC 折成二面角D?AC?B，则三棱锥D?AC?B的外接球的表面积为．??x3?x2,x?e16.设函数y??的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点?alnx,x?e的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，设bn?2(log2an?1)，n?N*．（1）求数列?an?的通项公式；（2）求数列?bn?an?的前n 项和Tn．18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，?DAB??DBF?60?，且FA?FC．（1）求证：AC?平面BDEF；（2）求证：FC//平面EAD；（3）求二面角A?FC?B的余弦值．19.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A B甲乙丙4次 3次 2次6次 6次 2次2次 3次 8次12次 12次 12次C假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概念；（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量?，求随机变量?的分布列和数学期望E?．x2y220.已知椭圆?：2?2?1（a?b?0）的右焦点为，且椭圆?上一点M到其ab两焦点F1，F2的距离之和为（1）求椭圆?的标准方程；（2）设直线l：y?x?m（m?R）与椭圆?交于不同两点A，B，且|AB|?，若点P(x0,2)满足|PA|?|PB|，求x0的值． 21.已知a?R，函数f(x)?(x?a)|x?1|．（1）若a?3，求f(x)的单调递增区间；（2）函数f(x)在?a1,b?上的值域为??1,1?，求a，b需要满足的条件．??请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦CD?AB于点M，E是CD延长线上一点，AB?10，CD?8，3ED?4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．篇二：福建省福州第一中学2016届高三下学期模拟考试(5月质检)数学(理)试题 Word版含答案2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若集合A?x?2?16，B?xlog3(x?2x)?1，则A?B等于(A)?3,4? (B) ?3,4?(C) (??,0)??0,4? (D) (??,?1)??0,4? （2）计算sin46??cos16??cos314??sin16???x??2?1(C)2（3）已知随机变量?服从正态分布N(3,?2)，若P(??6)?，则P(03)? (A) (B) (C) (D)x03（4）设命题p:?x0?(0,??),3?x0，则?p为(A) ?x?(0,??),3x?x3 (B) ?x?(0,??),3x?x3 (C)?x?(0,??),3?x (D) ?x?(0,??),3?x（5）二项式(2xx3x35的展开式中x的系数等于（6）设向量OA?e1,OB?e2,若e1与e2不共线，且AP?6PB，则OP?(A) ?40 (B) 40 (C) ?20(D) 201??6??6??1??1??6??6??1??(A) e1?e2 (B) e1?e2 (C) e1?e2 (D) e1?e2777777771?8?（7）已知函数f(x)?sin(x?)(x?R)，把函数f(x)的图象向右平移个单位得函数463g(x)的图象，则下面结论正确的是(A) 函数g(x)是奇函数(B) 函数g(x)在区间??,2??上是增函数(C) 函数g(x)的最小正周期是4? (D) 函数g(x)的图象关于直线x??对称（8）在一球面上有A,B,C三点，如果AB??ACB?60?，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为(A) 36? (B) 64? (C) 100? (D) 144? （9）右边程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的n,an,x分别为5,1,?2，且a4?5,a3?10,a2?10,a1?5,a0?1，则输出的v=(A) 1 (B) 2 (C) ?1 (D) ?25（10）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) (D)x2y2(11) 已知O,F分别为双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的中心和右焦点，点G,M分别在abE的渐近线和右支，FG?OG，GM//x轴，且OM?OF，则E的离心率为43x(12) 设定义在(0,??)的函数f(x)的导函数是f?(x)，且xf?(x)?3xf(x)?e，e3f(3)?，则x?0时，f(x)81(A) 有极大值，无极小值(B) 有极小值，无极大值(C) 既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知复数z的共轭复数z?1?i，则复数z的虚部是_______. 1?2i?y?x?（14）若x,y满足约束条件?x?y?2, 且z?3x?y的最小值是最大值的?3倍，则a的值是?x?a?_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2x?2y?3?0与椭圆相交，所得弦的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________.（16）若?ABC的内角满足sinA?2sinC?B，则角C的最大值是_______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且S6?5S2?18,a3n?3an，数列?bn?满足 b1?b2bn?4Sn.（Ⅰ）求数列?an?，?bn?的通项公式；（Ⅱ）令cn?log2bn，且数列?（18）（本小题满分12分）?1??的前n项和为Tn，求T2016.?cn?cn?1?ABCD，底面ABCD为直如图，在四棱柱ABCD?A1BC11D1中，侧面ADD1A1?底面AB?BC?4. 角梯形，其中BC//AD,AB?AD,AD?12,AD11?（Ⅰ）在线段AD上求一点N，使得CN//平面ABB1A1，并加以证明；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N，求锐二面角D?ND1?C1的余弦值.（19）（本小题满分12分）某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，（Ⅰ）某天该商场共购入8件A商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，并说明理由.（20）（本小题满分12分）已知抛物线E:y2?2px(p?0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A,B两点，E的准线与x轴交于点C，?CAB的面积为4，以点D(3,0)为圆心的圆D过点A,B.（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；（Ⅱ）若斜率为k(k?1)的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M,N两点，求FM?FN的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax2?bx?2lnx(a?0,b?R)，若对任意x?0,f(x)?f(2). （Ⅰ）写出b?g(a)的表达式；（Ⅱ）已知c,d为不相等的两个整数，且c?k?d时lna?kb?0恒成立，求c的最小值与d的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD内接于圆O，AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交BD的延长线于M，自M引MT切圆O于T.（Ⅰ）求证：MT?ME；（Ⅱ）若AE?BM,MT?3,MD?1，求BE的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x?y?1，在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为??228.cos??2sin?（Ⅰ）将C1上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的2C2，求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P,Q分别为曲线C2与直线l上的两个动点，求PQ的最小值以及此时点P的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲如果关于x 的不等式x??x?6?a的解集为空集. （Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若实数b与实数a取值范围相同，求证：ab?25?5a?b.篇三：福建省福州市第八中学2017届高三上学期第四次质量检查数学(理)试题 Word版含答案福州八中2016—2017学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷(60分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A?{x|?1?2x?1?3}，B?{x|A．{x|?1?x?0} C．{x|0?x?2} 2．复数z?x?2?0}，则A?B? xB．{x|0?x?1} D．{x|0?x?1}2i?i3（i为虚数单位）的共轭复数为 i?1C．1?iD．1?2iA．1?2i3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为B. D.234.已知命题p：?x?R，32x?1?0，命题q：0?x?2是log2x?1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A．?pB．p?qC．p?(?q) D．?p?q5.已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y ＝8平行，则a＝ A．－7B．－7或－1C．－1D．7或1?x?y?2?0,?6.若实数x,y满足?x?y?0,若z?x?2y的最小值是?y?0,?A．?2B．?1D．2是7. 直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 A.4 3C.838.若两个正实数x,y满足?1xy4?1，且不等式x??m2?3m有解，则实数m的取值范围4yA．(??,?1)?(4,??) C．(?4,1) 9.已知函数B．(??,0)?(3,??) D．(?1,4)?2f(x)?Acos(?x??)的图象如图所示,f()??,则f(0)等于23232C.3A.?B. ?D.1 2x2y210.已知双曲线ab1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲1 2ac线上存在点P，则该双曲线的离心率的取值范围为sin∠PF1F2sin∠PF2F1A．2＋1，＋∞) C．(13)B．3，＋∞) D．(1，2＋1)?|log3x|,0?x?3?11.已知函数f(x)??，若存在实数x1，x2，x3，x4，当??x),3?x?9?3?x1?x2?x3?x4时，满足f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)，则x1?x2?x3?x4的取值范围是135135) ) C．[27,30) D．(27,4412x12.已知函数f(x)?x?e?(x?0)与g(x)?x2?ln(x?a)的图象上存在2A．(7,B．(21,29) 4关于y轴对称的点,则a的取值范围是A．(?,??) B．(?1,) eC．(?,11) D．(?,??) e第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）rrr1r13.已知向量a?(,b?(1,0)，则b在a上的投影等于______________.214.已知圆x+y=m与圆x+y+6x-8y-11=0相交,则实数m的取值范围是215.已知数列{an}满足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2222n?n?)an?sin2，则该数列的前1222项和为16.已知边长为2的菱形ABCD中，?BAD?600，沿对角线BD折成二面角为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(本小题满分12分）等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求证：18.(本小题满分12分）1113(n?N?) S1S2Sn4??已知函数f?x??m?n,且m?sin?x?cos?x?x,???n??cos?x?sin?x,2sin?x?，其中??0，若函数f?x?相邻两条对称轴的距离大于等于?. 2（1）求?的取值范围；（2）在锐角?ABC中，当?最大时，f?A??1，且a?a,b,c分别是角A,B,C的对边，求b?c的取值范围.19.(本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD//BC，CE//BG，且?BCD??BCE?平面ABCD⊥平面BCEG,?2，BC?CD?CE?2AD?2BG?2.（Ⅰ）证明：AG//平面BDE;（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.y2x220.(本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，以原点为圆ab心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x?y?0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y?kx(k?0)与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．21.(本小题满分12分）设函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).（1）若函数f(x)在x?e处的切线与y轴相交于点(0,2?e)，求a的值；（2）当1?x?2时，求证：211. ??x?1lnxln(2?x)请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题 2017.03本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则A B 等于A. [16]-， B. (16]， C. [1+)-∞， D. [23]， 答案：B解析：集合{}16A x x =-≤≤，{}1B x x =>，所以，A B ＝(16]， 2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D. 答案：C 解析：i i a z -+=1＝1(1)2a a i-++为纯虚数，所以，a ＝1 3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若45A a b =︒==，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒ 答案：D解析：由正弦定理，得：sin 45sin B =︒，解得：sin 2B =，因为b ＞a ，故B ＝60︒或120︒ 4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34 D. 1答案：B解析：不等式所表示的平面区域如下图所示，1yz x =+0(1)y x -=--，表示平面区域内一点P （x ，y ）与点Q （－1,0）之间连线的斜率，显然直线BQ 的斜率最小，B （1,1），此时min 101112BQ z k -===+ 5.已知平面α⊥平面β，=l αβ ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立 其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 答案：B解析：如下图（1），m n ⊥，//n l ，则有m l ⊥，由面面垂直的性质，知m β⊥，故①正确；如图（2），可知②③不正确；由图（1）（2）（3）知④正确，故选B 。

2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R2．命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0A．∃xC．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤03．实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy4．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n5．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．36．如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π7．已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．28．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．9．△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．25011．若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．14．设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=．15．直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．18．（12.00分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．19．（12.00分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．20．（12.00分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|y=}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|x≥1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0A．∃xC．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤0【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：特称命题的否定为全称命题，可得∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是命题“∃x“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故选：C．【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，属于基础题．3．实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy【分析】运用不等式的性质，以及指数函数的单调性，以及作差法，即可得到所求结论．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，则＜，A错；﹣==＞0，由x+y﹣2﹣（x﹣y）=2y﹣2=2（﹣）＜0，则﹣＜，则B正确；y=（）x在R上递减，可得（）x＜（）y，C错；由x＞y＞0，可得x2＞xy，则D错．故选：B．【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查作差法和函数的单调性的运用，属于基础题．4．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断．【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题．5．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大．此时z最大，此时z的最大值为z=2×1=2，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．6．如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π【分析】根据正切函数y=tan（2x+）的图象，求出OD、EF的值，即可求出△DEF的面积．【解答】解：函数y=tan（2x+），令x=0，得y=tan=×=1，∴OD=1；EF=T==，∴△DEF的面积为S△DEF=××1=．故选：A．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．2【分析】建立坐标系，设P点坐标，利用坐标表示出，从而得出结论．【解答】解：以A为原点建立坐标系，则O（1，1），B（2，0），C（2，2），设P（2，x），则=（1，x﹣1），=（0，x﹣2），且0≤x≤2．∴=（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，∴当x=时，取得最小值为﹣．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．8．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数图象经过的特殊点判断即可．【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；所以排除B，A故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．9．△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由（+）﹣=0得出BA=BC，根据有一个角为的等腰三角形求出AC的长，再利用双曲线的定义建立a与c的关系式，继而解出离心率．【解答】解：∵（+）•=0，又=，∴===0，则，即BA=BC，则△ABC是一个角为的等腰三角形，由题意得：C点在双曲线的右支上，∴AB=BC=2c，AC=2c，又AC﹣BC=2a，即2c﹣2c=2a，解得离心率e==．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．250【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=10满足条件n是奇数，a=0，S=0不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100不满足条件n≥m，n=9，满足条件n是奇数，a=40，S=140不满足条件n≥m，n=10，不满足条件n是奇数，a=50，S=190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【分析】根据题意求出φ的值，利用降幂公式化简函数f（x），再求出它的单调增区间．【解答】解：锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞，∴2φ=，解得φ=；∴函数f（x）=sin2（x+φ）==﹣cos（2x+），∴2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．12．已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）【分析】画出f（x）的图象，对a讨论：0＜a＜a+≤1，1＜a＜a+≤2，0＜a ＜1＜a+＜2，由分段函数求函数值，可得a的范围；1＜a＜a+≤2，1＜a＜2＜a+＜4，2＜a＜a+＜4，运用不等式的解法，即可得到所求范围．【解答】解：由于a＜a+，若0＜a＜a+≤1，可得﹣log2a≥﹣log2（a+），解得0＜a≤；当1＜a＜a+≤2时，f（x）递增，不成立；由0＜a＜1＜a+＜2，可得﹣log2a≥log2（a+），可得＜a＜，且≤a≤，可得0＜a≤；由1＜a＜a+≤2，可得f（a）＜f（a+），此时a无解；由1＜a＜2＜a+＜4，即有＜a＜，由题意可得log2a≥log2（4﹣a﹣），a≥﹣a．解得a≥，可得≤a＜；由2＜a＜a+＜4，可得2＜a＜．综上可得，a的范围是（0，]∪[，）．故选：D．【点评】本题考查分段函数的运用：求自变量的范围，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得z=，∴|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14．设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=28．【分析】根据已知条件和等边数列的通项公式求得公比q2=2，然后代入求值即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意得：q2+q4=6，解得q2=2或q2=﹣3（舍去），∴a5+a7+a9=a1（q4+q6+q8）=1×（22+23+24）=28．故答案是：28．【点评】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题和易错题．15．直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．【解答】解：直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，直线经过抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=，直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，可得：|AB|=x1+x2+p=，即+2=，可得k2=3，解得k=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求解三角形求得OC，即三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG==，GC==，∴OC=，∴三棱锥外接球表面积为4π×=．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．【分析】（1）利用余弦定理计算OB；（2）设∠COD=θ，用θ表示出四边形的面积，利用三角变换和θ的范围得出面积的最大值．【解答】解：（1）由点C（，）可知∠AOC=30°，∠COD=60°．∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=1，∴BC=3，在△OBC中，由余弦定理可得OB2=1+9﹣2×1×3×cos60°=7，∴OB=．（2）设∠COD=θ，则∠DOE=﹣θ，∵C在第一象限，E在第二象限，故0＜﹣θ＜，∴＜θ＜．∴S=sinθ，S△DOE=（﹣θ，△COD∴四边形OCDE的面积为S=sinθ+sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=sin （θ+）．∵，∴当θ=时，四边形OCDE的面积取得最大值为．【点评】本题考查了余弦定理，三角恒等变换，属于中档题．18．（12.00分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出BE⊥平面ABCD，从而AC⊥BE，再由AC⊥BD，得AC⊥平面BDFE．（2）推导出FE OB，从而四边形BOFE为平行四边形，进而OF∥BE，OF⊥平面ABCD，∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DF﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面BDFE⊥平面ABCD，BE⊥BD，平面BDFE∩平面ABCD=BD，∴BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，又∵AC⊥BD，且BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDFE．解：（2）设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为等腰梯形，，AB=2CD=4，∴OD=OC=，OB=OA=2，∵FE OB，∴四边形BOFE为平行四边形，∴OF∥BE，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，∴∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，∴，又∵，∴OF=OB=2，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣，0），F（0，0，2），C（﹣，0，0），A （2，0，0），=（0，），=（，0），∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为=（1，0，0），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，2，﹣1），cos＜＞===．∴二面角B﹣DF﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【分析】（1）由已知：++…+=．当n=1时，=，即a1a2=2．当n=2时，+=，设等差数列{a n}为d＞0，利用等差数列的通项公式解得a1，d，可得a n．（2）由已知：++…+=．当n≥2时，++…+=．相减可得：当n≥2时，a n a n+1=n（n+1），可得b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．计算b2n﹣1+b2n．【解答】解：（1）由已知：++…+=．当n=1时，=①，即a1a2=2．当n=2时，+=，②②﹣①，=；即a2a3=6，设等差数列{a n}为d，由a1a2=2，a2a3=6，有a1（a1+d）=2，（a1+d）（a1+2d）=6，∵d＞0，解得a1=1=d，则a n=1+n﹣1=n．（2）由已知：++…+=．③当n≥2时，++…+=．④③﹣④得：当n≥2时，=，即a n a n+1=n（n+1），结合a1a2=2，得：a n a n+1=n（n+1），b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．+b2n=﹣（2n﹣1）•2n+2n•（2n+1）=4n．∴b2n﹣1数列{b n}的前2n项和S2n=4×（1+2+…+n）==2n2+2n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12.00分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．【分析】（1）先根据椭圆的定义，确定点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，再写出椭圆的方程；（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线AB′过定点Q（0，2），继而求出△PAB′面积的最大值【解答】解：（1）由已知得：|NF1|=|NM|，∴|NF1|+|NF2|=|MN|+|NF2|=|4，又|F1F2|=2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a=4，2c=2，即a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=4﹣2=2，∴点N的轨迹方程是+=1．证明：（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，显然△=8（1+4k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣∴k AB′=，∴直线AB′：y﹣y1=（x﹣x1），∴令x=0，得y===+1=2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△PAB′的面积S=|x1+x2|==≤，当且仅当k=±时，等号成立．∴△PAB′的面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）求出导函数，对a分类讨论，根据到合适呢判断函数的极大值，确定a的值即可；（2）构造关于a的函数令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），得出函数的最大值，把问题转化为最值问题，对b分类讨论得出b的范围即可．【解答】解：（1）由题意，f'（x）=（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x=﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]=﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．．（ⅰ）当a=0时，f'（x）=﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）=，不合题意．（ⅱ）当a＞0时，1﹣＜1，令f'（x）＞0，得1﹣＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1﹣或x＞1，所以f（x）在（1﹣，1）单调递增，（﹣∞，1﹣），（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）==，得a=1．综上所述a=1．（2）令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+x）≥0，则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于g（a）≤g（0）≤bln（x+1），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h'（x）=﹣（e﹣x﹣xe﹣x）=，其中（x+1）e﹣x＞0，∀x∈（0，+∞），令p（x）=be x+x2﹣1，x∈[0，+∞，则h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，①b≥1时，p（x）≥p（0）=b﹣1≥0，所以对，∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以对任意，∀x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）=0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立．②0＜b＜1时，由p（0）=b﹣1＜0，p（1）=be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得P（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x0）＜0．从而x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．综上所述，b≥1．【点评】本题考查了导函数的综合应用和函数的构造，二次求导问题，综合性强，难度较大请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．【分析】（1）利用已知条件把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，基本不等式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出函数f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1）依题意：f（x）+|x﹣1|=|x﹣1|+|2x+1|+|x﹣1|=|2x﹣2|+|2x+1|≥|2x﹣2﹣2x﹣1|=3，当且仅当2x﹣2=﹣（2x+1），即x=时，等号成立．（2）①当1＞﹣，即a＞﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=+1=2，故a=2；②当1＜﹣，即a＜﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=﹣﹣1=2，故a=﹣6；③当1=﹣时，即a=﹣2时，f（x）=3|x﹣1|有最小值0，不符合题意，舍去；故a=2或﹣6．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查求函数的最值问题以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

厦门市2017届高三毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分为150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高，球的表面积公式24S R π=． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0<2+3=2x x x A -|，{})3lg(x y x B -==，则=B A ∩（ ▲ ）．A ．{}21|<<x xB ．{}31|<<x xC ．{}32|<<x xD ．{}3|<x x ．2．已知双曲线22221x y a b-=00a b >>（，）的一条渐近线为x y 5=，则双曲线的离心率为（ ▲ ）．AB ．2 CD ．6 3．如图，函数)(x f 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为)4,0()0,2(，)4,6(，则'(1)(3)=f f +（ ▲ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ▲ ）．A ．31B ．21C ．53D ．325．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（），则⎪⎭⎫⎝⎛-6tan πα的值为（ ▲ ）．A ．33-B ．53-C ．335-D ．533- 6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

厦门市2017届高三毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分为150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高，球的表面积公式24S R π=． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0<2+3=2x x x A -|，{})3lg(x y x B -==，则=B A ∩（ ▲ ）．A ．{}21|<<x xB ．{}31|<<x xC ．{}32|<<x xD ．{}3|<x x ．2．已知双曲线22221x y a b-=00a b >>（，）的一条渐近线为x y 5=，则双曲线的离心率为（ ▲ ）． AB ．2 CD ．6 3．如图，函数)(x f 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为)4,0()0,2(，)4,6(，则'(1)(3)=f f +（ ▲ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 4．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ▲ ）．A ．31 B ．21 C ．53 D ．325．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点2（），则⎪⎭⎫⎝⎛-6tan πα的值为（ ▲ ）．A ．33-B ．53-C ．335-D ．533-6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

2017年福建省普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．平面向量()2,1=a ，(),2m =-b ，若a 与b 共线，则m 的值为（ ） A ．1- B ．4- C ．1 D ．43．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是20x y ±=，则其离心率为（ ）A B ．2C D ．54．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅ ”的充要条件是 A ． 2a >- B ．2a ≤- C ．1a >- D ．1a ≥-5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是A ．2B ．92 C ．32D ．3 6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于A ．0B ．8C ．144D ．1627．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22- 8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <，有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12．523)1(xx +展开式的常数项是 ．13．圆C 过坐标原点，圆心在x 轴的正半轴上．若圆C 被直线0x y -=截得的弦长为22,则圆C 的方程是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（0>a ）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m 的最大值是 .15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，若1>m 时，则P m ∉． 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈， 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-== 代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)17. (本小题满分13分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥. （Ⅰ）求证：CD AB ⊥；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出BCBN的值；若不存在，说明理由．18. (本小题满分13分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）． 19. (本小题满分13分)已知12(1,0),(1,0)F F -为平面内的两个定点，动点P 满足12PF PF +=记点P 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且0OA OB OC ++=．（ⅰ）试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB 过点1F 时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积． 20．(本小题满分14分)设函数)(x f 的图象是由函数21cos sin 3cos )(2-+=x x x x g 的图象经下列两个步骤变换得到： （1）将函数)(x g 的图象向右平移12π个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象；（2）将函数()h x 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1(0)2m m <<倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数)(x f 的图象． （Ⅰ）求)(x f 的表达式；（Ⅱ）判断方程x x f =)(的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列}{n a 满足)(,011n n a f a a ==+，试探究数列}{n a 的单调性，并加以证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知向量11⎛⎫⎪-⎝⎭在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101m M 变换下得到的向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求曲线02=+-y x y 在矩阵1M-对应的线性变换作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标为(,)4π，曲线C的参数方程为1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求直线OM 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数,a b 满足29a b +=．（Ⅰ）若93b a -+<，求x 的取值范围； （Ⅱ）若,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．2017年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．D ； 8．C ； 9．B ； 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．4 ； 12．10； 13．()2224x y -+=； 14．43； 15．①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②……………………………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③………………………………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin 22A B A BA B +--=-.………………………………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,……………………………………………9分 所以222sin sin sin A C B +=.……………………………………………10分设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.…………………………………………12分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.……………………………………………13分 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，……………………………………………8分 因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………………12分所以ABC ∆为直角三角形. ……………………………………………13分17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．解法一：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥．………………………………2分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面． ∴BD A CD 平面⊥．……………………………………3分又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥．……………………………………4分（Ⅱ）以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D(1,1,0)M ．∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--．………………6分设平面ACD 的法向量为),,(z y x =， 则⊥⊥,∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=，∴点M 到平面ACD的距离n MCd MC⋅== ．……………………………………………8分（Ⅲ）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60．……………………9分设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-， ∴(12,2,1)AN λλ=--，又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=且直线AN 与平面ACD 所成角为60，∴0sin 60AN n AN n⋅==，……………………………………………11分 可得01282=-+λλ， ∴2141-==λλ或（舍去）． 综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60，此时41=BC BN ．…………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由已知条件可得AD A ⊥B，AB AD ==121=⋅=∆AD AB S ABD ． 由（Ⅰ）知BD A CD 平面⊥，即CD 为三棱锥C-ABD 的高，又CD=2， ∴3231=⋅=∆-ABD ABD C S CD V ， 又∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，…………………………6分 ∴312121===---ABD C ADC B ADC M V V V ， ∵AD CD ⊥，，∴221=⋅=∆DC AD S ACD ， 设点M 到平面ACD 的距离为d ，则1133ADC d S ∆⋅=，即1133d ⨯=解得d =22，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22.…………………………………8分 （Ⅲ）同解法一． 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，………………………………6分 由已知条件可得AD A ⊥B ，由（Ⅰ）知CD AB ⊥， 又AD CD D = ，∴ CD AB A 平面⊥， ∴点Ｂ到平面ACD 的距离等于线段AB 的长． ∵2=AB ，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22……………………………………………8分 （Ⅲ）同解法一．18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．…………………6分因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分（Ⅲ）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则9()10P A =.………………9分 随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且9(2,)10B ξ . 所以2299()()(1)(0,1,2)1010kk k P k C k ξ-==-=，…………………………………………11分 所以变量ξ的分布列为…………………………………………12分11881012 1.8100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=（天）,或92 1.810E nP ξ==⨯=（天）. ……………………13分19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点P 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之和为定值 所以点P 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆．…………………………………………2分又a =1c =，所以1b =，故所求方程为2212x y +=．…………………………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=．…………………………5分（ⅰ）可设直线AB 的方程为y kx n =+(0)k ≠，代入2222x y +=并整理得，222(12)4220k x knx n +++-=，依题意，0∆>，则 122412kn x x k +=-+，121222()212ny y k x x n k +=++=+， 从而可得点C 的坐标为2242(,)1212kn n k k -++，12OCk k =-． 因为12AB OC k k ⋅=-，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．……………………………8分（ⅱ）若AB x ⊥轴时，(1,),(1,22A B --,由0OA OB OC ++= ， 得点(2,0)C ，所以点C 不在椭圆Γ上，不合题意． 因此直线AB 的斜率存在．……………………………9分由（ⅰ）可知，当直线AB 过点1F 时, 有n k =，点C 的坐标为22242(,)1212k kk k-++． 代入2222x y +=得，4222221682(12)(12)k k k k +=++，即22412k k =+，所以2k =±． ……………………………11分（1）当2k =时，由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =-．故AB 、OC 及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高1224h =⨯=，所求等腰三角形的面积11248S =⨯⨯=． （2）当2k =时，又由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =， 同理可求直线AB 、OC 与x． 综合（1）（2），直线AB 、OC 与x轴所围成的三角形的面积为8．…………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++= 得：1230x x x ++=，1230y y y ++=．………………………5分（ⅰ）因为点11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，所以有：221122x y +=，222222x y +=，两式相减，得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=， 从而有1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+． 又123y y y +=-，33OC y k x =， 所以12AB OC k k ⋅=-，即直线AB 与OC 的斜率之积为定值．………………………………8分 （ⅱ）同解法一．20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.解:(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x g x x x x x +=-=+- …………………2分1cos 22sin 226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭…………………………3分 ()sin h x x ∴=,…………………………4分()sin 1f x m x =+.…………………………5分(Ⅱ)方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………6分理由如下：由(Ⅰ)知()sin 1f x m x =+，令()()sin 1F x f x x m x x =-=-+,因为()010F =>,又因为102m <<,所以3102222F m πππ⎛⎫=-+<-< ⎪⎝⎭. 所以()0F x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭至少有一个根. …………………………7分 又因为()'1cos 1102F x m x m =-<-<-<, 所以函数()F x 在R 上单调递减,所以函数()F x 在R 上有且只有一个零点，即方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………9分(Ⅲ)因为()110,sin 1,n n n a a f a m a +===+211,a a =>所以又3 sin11a m =+，因为012π<<，所以0sin11<<，所以321a a >=． 由此猜测1(2)n n a a n ->≥,即数列{}n a 是单调递增数列. …………………………11分以下用数学归纳法证明:,n N ∈且2n ≥时,10n n a a ->≥成立.(1)当2n =时,211,0a a ==,显然有210a a >≥成立.(2)假设(2)n k k =≥时,命题成立，即10(2)k k a a k ->≥≥．…………………………12分 则1n k =+时,()1sin 1k k k a f a m a +==+， 因为102m <<，所以()111sin 11122k k k a f a m a m π--==+<+<+<． 又sin x 在()0,2π上单调递增，102k k a a π-≤<<，所以1sin sin 0k k a a ->≥，所以1sin 1sin 1k k m a m a -+>+，即111sin sin 1()0k k k k a m a f a a +-->+==≥，即1n k =+时,命题成立. …………………………13分综合(1) ,(2)，,n N ∈且2n ≥时, 1n n a a ->成立.故数列{}n a 为单调递增数列. …………………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．解：（Ⅰ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111101m m ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011m ，即m =1．…………………………………………3分（Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………4分 设曲线02=+-y x y 上任意一点(,)x y 在矩阵1M -所对应的线性变换作用下的像是(,)x y ''.由1101x x x y y y y '--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……………………………………………5分 所以,x y x y y '-=⎧⎨'=⎩得,x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩代入曲线02=+-y x y 得2y x ''=．………………………6分 由(,)x y 的任意性可知,曲线02=+-y x y 在矩阵1M -对应的线性变换作用下的曲线方程为x y =2. ………………7分（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(,)4π得点M 的直角坐标为(,4)４，所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．…………………………………………3分（Ⅱ）由曲线C的参数方程1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）化为普通方程为2)1(22=+-y x ，……………………………5分圆心为(1,0),A，半径为r =由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25-=-r MA ．…………7分（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）由29a b +=得92b a -=，即|6|2||b a -=． 所以93b a -+<可化为33a <，即1a <，解得11a -<<．所以a 的取值范围11a -<<．…………………………………………4分（Ⅱ）因为,0a b >， 所以23332()()32733a ab a b z a b a a b +++==⋅⋅≤===，…………………………………6分 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27．…………………………………………7分。

2017年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，，则A∩B等于（）A．[﹣1，6]B．（1，6]C．[﹣1，+∞）D．[2，3] 2．（5分）已知复数（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a等于（）A．﹣1B．0C．1D．3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．（5分）若实数x，y满足条件，则的最小值为（）A．B．C．D．15．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线m⊂α，直线n⊂β，且m⊥n，有以下四个结论：①若n∥l，则m⊥β②若m⊥β，则n∥l③m⊥β和n⊥α同时成立④m⊥β和n⊥α中至少有一个成立其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．147．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P 不在直线AF上，则△P AF周长的最小值为（）A．4B．5C．D．8．（5分）某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600．为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入x1＝1，x2＝2，d＝0.1，则输出n的∥值为（）A．2B．3C．4D．510．（5分）已知定义在（0，+∞）上连续可导的函数f（x）满足xf'（x）+f（x）＝x，且f（1）＝1，则（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）有最大值1D．f（x）有最小值111．（5分）已知双曲线，过x轴上点P的直线l与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO＝60°，∠MNQ＝30°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．412．（5分）已知P，Q为动直线y＝m（0＜m＜）与y＝sin x和y＝cos x在区间上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x0，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的展开式中，的系数为．14．（5分）化简：﹣＝．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为16．（5分）若实数a，b，c满足（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，则|b﹣c|的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}，满足a1＝1，，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）设，求T2n．18．（12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念．某机构随机调查了本市500名成年市民某月的骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．记本市一个年满18岁的青年人月骑车的平均次数为μ．以样本估计总体．（Ⅰ）估计μ的值；（Ⅱ）在本市老年人或中年人中随机访问3位，其中月骑车次数超过μ的人数记为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．（12分）在如图所示的六面体中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABEF 是直角梯形，∠F AB＝90°，AF∥BE，BE＝2AF＝4．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角E﹣AB﹣D为60°，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当k＝1时，求证：2f（x）≤2﹣x﹣e1﹣x恒成立．21．（12分）已知椭圆，动圆P：（圆心P为椭圆C上异于左右顶点的任意一点），过原点O作两条射线与圆P 相切，分别交椭圆于M，N两点，且切线长的最小值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：△MON的面积为定值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△P AB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x ＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．2017年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，，则A∩B等于（）A．[﹣1，6]B．（1，6]C．[﹣1，+∞）D．[2，3]【解答】解：由题意知，集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}＝[﹣1，6]，＝{x|x＞1}＝（1，∞），则A∩B＝（1，6]，故选：B．2．（5分）已知复数（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a等于（）A．﹣1B．0C．1D．【解答】解：∵＝是纯虚数，∴，得a＝1．故选：C．3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°，或120°．故选：D．4．（5分）若实数x，y满足条件，则的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意作平面区域如下，的几何意义是点A（x，y）与点D（﹣1，0），连线的直线的斜率，故当A（1，1）时，z＝有最小值，z＝＝；故选：B．5．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线m⊂α，直线n⊂β，且m⊥n，有以下四个结论：①若n∥l，则m⊥β②若m⊥β，则n∥l③m⊥β和n⊥α同时成立④m⊥β和n⊥α中至少有一个成立其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：①若n∥l，m⊥n，则m⊥l，∵平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线m⊂α，∴m⊥β，正确；②若m⊥β，则m⊥l，∵m⊥n，∴n，l位置关系不确定，不正确；③m⊥β，n⊥α可以同时成立，此时m⊥l，n⊥l，不正确；④由③可知，m⊥β和n⊥α中至少有一个成立，正确，故选：B．6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．14【解答】解：如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴＝；∴＝，，；∴．故选：D．7．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P 不在直线AF上，则△P AF周长的最小值为（）A．4B．5C．D．【解答】解：求△P AF周长的最小值，即求|P A|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|因此，|P A|+|PF|的最小值，即|P A|+|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|P A|+|PD|最小，因此的最小值为x A﹣（﹣1）＝3+1＝4，∵|AF|＝＝2，∴△P AF周长的最小值为4+2，故选：C．8．（5分）某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600．为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，基本事件总数n＝C＝120，3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数m＝＝120﹣4﹣20＝96，3人中既有男生又有女生的概率p＝＝．故选：D．9．（5分）二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入x1＝1，x2＝2，d＝0.1，则输出n的∥值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，x1＝1，x2＝2，d＝0.1，令f（x）＝x2﹣2，则f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2＞0，m＝1.5，f（1.5）＝0.25＞0，满足条件f（m）f（x1）＜0，x2＝1.5，此时|1.5﹣1|＝0.5＞0.1，不合精确度要求．n＝2，m＝1.25，f（1.25）＝﹣0.4375＜0．不满足条件f（m）f（x1）＜0，x1＝1.25，此时|1.5﹣1.25|＝0.25＞0.1，不合精确度要求．n＝3，m＝1.375，f（1.375）＝﹣0.109＜0．不满足条件f（m）f（x1）＜0，x1＝1.375，此时|1.5﹣1.375|＝0.125＞0.1，不合精确度要求．n＝4，m＝1.4375，f（1.4375）＝0.066＞0．满足条件f（m）f（x1）＜0，x2＝1.4375，此时|1.4375﹣1.375|＝0.0625＜0.1，符合精确度要求．退出循环，输出n的值为4．故选：C．10．（5分）已知定义在（0，+∞）上连续可导的函数f（x）满足xf'（x）+f（x）＝x，且f（1）＝1，则（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）有最大值1D．f（x）有最小值1【解答】解：由题意可知：xf'（x）+f（x）＝x，则[xf（x）]′＝x，两边积分可知：∫[xf（x）]′dx＝∫xdx，则xf（x）＝x2+C，则f（x）＝x+，（x＞0），由f（1）＝1，则C＝，则f（x）＝x+，则f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＝0解得：x＝1，当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，∴当x＝1时，f（x）取最小值，最小值为1，故选：D．11．（5分）已知双曲线，过x轴上点P的直线l与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO＝60°，∠MNQ＝30°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：∵M，Q关于原点对称，∴k MN•k QN＝，∵k MN＝﹣，k QN＝﹣，∴＝1，∴e＝＝＝，故选：A．12．（5分）已知P，Q为动直线y＝m（0＜m＜）与y＝sin x和y＝cos x在区间上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x0，则（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sin x），则，∴，∴，∴S″＝﹣4cos x﹣（﹣2x）sin x，∵，∴S''（x）＜0，∴S′（x）在区间上单调递减，且，，∴S′（x）在区间存在唯一零点，即为x0．令S′（x0）＝0得：，即．由不等式得：，解得：，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的展开式中，的系数为40．【解答】解：通项公式T r+1＝（2x）5﹣r＝25﹣r，令5﹣r＝，解得r＝3．∴的系数＝＝40．故答案为：40．14．（5分）化简：﹣＝4．【解答】解：由﹣＝＝．故答案为4．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为【解答】解：由已知可得该几何体的是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面是一个边长为2的等腰直角三角形，故底面半径r＝，棱锥的高h＝，球心在棱锥的高上，且R2＝（h﹣R）2+r2，即R＝，故外接球的表面积S＝4πR2＝，故答案为：16．（5分）若实数a，b，c满足（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，则|b﹣c|的最小值是1．【解答】解：∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，∴a＝2b+1，a＝c+lnc．∴2b+1＝c+lnc，b＝．∴|b﹣c|＝，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），f′（c）＝1﹣＝，可得：c＝1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）＝2＞0．∴|b﹣c|＝≥1，故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}，满足a1＝1，，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）设，求T2n．【解答】证明（Ⅰ）：法一：由，得＝＝+，∴﹣＝，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，法二：由，得﹣＝﹣＝（+）﹣＝∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，（Ⅱ）解：设b n＝﹣＝（﹣），由（Ⅰ）得，数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴﹣＝﹣，即b n＝（﹣）＝﹣×，∴b n+1﹣b n＝﹣（﹣）＝﹣×＝﹣，且b1＝﹣×＝﹣（+）＝﹣∴{b n}是首项b1＝﹣，公差为﹣的等差数列，∴T2n＝b1+b2+…+b n＝﹣n+×（﹣）＝﹣（2n2+3n）18．（12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念．某机构随机调查了本市500名成年市民某月的骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．记本市一个年满18岁的青年人月骑车的平均次数为μ．以样本估计总体． （Ⅰ）估计μ的值；（Ⅱ）在本市老年人或中年人中随机访问3位，其中月骑车次数超过μ的人数记为ξ，求ξ的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得下表本市一个青年人月骑车的平均次数： μ＝++35×+45×+55×＝40．（5分）（Ⅱ）本市老年人或中年人中月骑车时间超过40次的概率为＝．（7分）ξ＝0，1，2，3，ξ～B，故P （ξ＝k ）＝（k ＝0，1，2，3）．．（9分）所以ξ的分布列如下：（11分）E（ξ）＝＝0.6．（12分）19．（12分）在如图所示的六面体中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABEF 是直角梯形，∠F AB＝90°，AF∥BE，BE＝2AF＝4．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角E﹣AB﹣D为60°，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG．∵ABCD是正方形，∴O是DB的中点，∴OG∥BE，OG＝，又因为AF∥BE，AF＝，所以OG∥AF且OG＝AF，所以四边形AOGF是平行四边形，（3分）∴AC∥FG，又因为FG⊂平面DEF，AC⊄平面EDF∴AC∥平面DEF（5分）（2）∵ABCD是正方形，ABEF是直角梯形，∠F AB＝90°，∴DA⊥AB，F A⊥AB∵AD∩AF＝A，∴AB⊥平面AFD，同理可得AB⊥平面EBC．又∵AB⊂平面ABCD，所以平面AFD⊥平面ABCD，又因为二面角E﹣AB﹣D为600，所以∠F AD＝∠EBC＝60°，BE＝2AF＝4，BC＝2，由余弦定理得EC＝2，所以EC⊥BC，又因为AB⊥平面EBC，∴EC⊥AB，所以EC⊥平面ABCD，（7分）法一：以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系．则C（0，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，），（8分）所以，，，设平面DEF的一个法向量为，则即令z＝，则x＝﹣3，y＝3，所以（11分）设直线CE和平面DEF所成角为θ，则sinθ＝|cos＝|（12分）20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当k＝1时，求证：2f（x）≤2﹣x﹣e1﹣x恒成立．【解答】解：（Ⅰ）法1：由已知∵x＞0，∴k＝，令g（x）＝，g′（x）＝＝﹣＝0，x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝1，x→+∞，g（x）→0，x→0，g（x）→﹣∞，综上：k≤0或k＝1时，有1个零点0＜k＜1时，有2个零点，k＞1时，有0个零点；法2：f′（x）＝，k≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→+∞，所以，有1个零点，k＞0时，f′（x）＝＝0，x＝＞0，x∈（0，），f（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）max＝f（）＝ln（），k＞1时，f（x）max＝ln（）＜0，0个零点，k＝1时，f（x）max＝ln（）＝0，1个零点，0＜k＜1时，f（x）max＝ln（）＞0，x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→﹣∞，所以，此时有2个零点综上：k≤0或k＝1时，有1个零点0＜k＜1时，有2个零点k＞1时，有0个零点；（Ⅱ）证明：法一：要证2f（x）≤2﹣x﹣e1﹣x，即证e1﹣x+2f（x）﹣2+x＝2lnx﹣x+e1﹣x≤0，令g（x）＝2lnx﹣x+e1﹣x，g′（x）＝，令h（x）＝2﹣x﹣xe1﹣x，h′（x）＝﹣1+（x﹣1）e1﹣x，x∈（0，1），h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＝，令m（x）＝x﹣1﹣e x﹣1，m′（x）＝1﹣e x﹣1＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）单调递减，h（1）＝﹣e1﹣x+﹣1＝0，x∈（0，1），h（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＜g（1）＝0，x∈（1，+∞），h（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝0，综上：g（x）≤g（1）＝0；法二：要证2f（x）≤2﹣x﹣e1﹣x，即证e1﹣x+2f（x）﹣2﹣x＝2lnx﹣x+e1﹣x≤0，令g（x）＝2lnx﹣x+e1﹣x，g′（x）＝﹣e1﹣x+﹣1，令h（x）＝﹣e1﹣x+﹣1，h′（x）＝，令m（x）＝x2﹣2e x﹣1，m′（x）＝2x﹣2e x﹣1，令t（x）＝2x﹣2e x﹣1，t′（x）＝2﹣2e x﹣1＝2（1﹣e x﹣1），x∈（0，1），t′（x）＞0，m′（x）单调递增，x∈（1，+∞），t′（x）＜0，m′（x）单调递减，m′（x）max＝m′（1）＝0，∴m′（x）≤0，∴m（x）单调递减，m（0）＝﹣1，∴m（x）＜0，∴h′（x）＜0，∴h（x）单调递减，h（1）＝﹣e1﹣x+﹣1＝0，x∈（0，1），h（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＜g（1）＝0，x∈（1，+∞），h（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝0，综上：g（x）≤g（1）＝0..21．（12分）已知椭圆，动圆P：（圆心P为椭圆C上异于左右顶点的任意一点），过原点O作两条射线与圆P 相切，分别交椭圆于M，N两点，且切线长的最小值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：△MON的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）如图1，因为椭圆，焦点在x轴上，P（x0，y0）在椭圆方程上，则y02＝b2（1﹣），由＜b＜2，得：x02+y02＝（1﹣）x02+b2≥b2＞＝r2，故点O在圆P外，不妨设OM与圆P相切于T，则有：切线长|OT|＝＝，__（1分）代入得|OT|＝≥，（3分）由已知得：＝，解得：b2＝2，所以椭圆的方程为：；（4分）（Ⅱ）证明：1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得|x0|＝r＝，代入椭圆方程得：|x0|＝，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则△MON的面积为．（5分）2°当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：y＝kx，由d＝r得：＝，整理得：（3x02﹣4）k2﹣6kx0y0+3y02﹣4＝0（*），（6分）由1°知：y02﹣4≠0，即|x0|≠，此时|y0|≠，方程（*）必有两个非零根，记为k1，k2（k1＜k2），则k1k2分别对应直线OM，ON的斜率，由韦达定理得：k1k2＝，将x02＝4﹣2y02，代入得：k1k2＝＝﹣（7分）解法一：（求交点坐标）由上知：k1＜0＜k2，设点N位于第一、三象限，点M位于第二、四象限，若点N位于第一象限，点M位于第二象限，设OM：y＝k1x与椭圆方程联立可得：M（﹣，﹣）设ON：y＝k2x与椭圆方程联立可得：N（，）（9分）S △MON＝﹣﹣＝（x N﹣x M）（y N+y M）﹣（﹣x M）y M﹣（x N y N）＝（x N y M﹣x M y N），（10分）代入坐标有：S△MON＝2×＝2×＝2×，＝2×＝同理，当点M、N位于其它象限时，结论也成立综上，△MON的面积为定值．（12分）解法二：（探寻直线MN方程特征）（接上）设M（x1，y1）（x2，y2），由于点P不与点A、B重合时，直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为：y＝kx+m，将MN与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，△＝16k2m2﹣（1+2k2）（2m2﹣4）＝32k2+16﹣8m2，由△＞0得4k2+2＞m2，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1x2＝，（8分）kOM•kON＝＝﹣，则x1x2+2y1y2＝x1x2+2（kx1+m）（kx2+m）＝（1+2k2）x1x2+2km（x1+x2）+2m2＝0，代入有：（1+2k2）+2km（﹣）+2m2＝0，整理得：m2＝2k2+1；（9分）又|MN|＝|x1﹣x2|＝＝•＝2•，而原点O到直线MN的距离为d＝＝，（11分）S△MON＝|MN|•d＝×2•×＝．所以△MON的面积为定值．（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△P AB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝7，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣3＝0，（3分）直线l的直角坐标方程为y＝x．（5分）（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2＝16，由题意设A（ρ1，），B （ρ2，），则ρ12﹣4ρ1cosθ﹣3＝0，即ρ12﹣2ρ1﹣3＝0，得ρ1＝3或ρ1＝﹣1（舍），ρ2＝8cos＝4，则丨AB丨＝丨ρ1﹣ρ2丨＝1，（7分）C2（4，0）到l的距离为d＝＝2．以AB为底边的△P AB的高的最大值为4+2．则△P AB的面积的最大值为×1×（4+2）＝2+．（10分）选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x ＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵m＞1，∴，作出函数f（x）的图象，如图所示：由f（x）＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}及函数图象，可得，得m＝3．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝，∴f（x）的最小值为2．关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，则2＜a2+a﹣4，即a2+a﹣6＞0，即（a+3）（a﹣2）＞0，∴a＜﹣3，或a＞2，实数a的取值范围{a|a＜﹣3，或a＞2 }．。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。