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厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ） A ．q ⌝ B ．p q ∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos 2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若复数满足2z i i ⋅=-14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为 ．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B==（2）因为sin B=，B是锐角，所以cos B=设BC x=，在ABC∆中，2222cosAB BC AB BC B AC+-⋅⋅=即27216x x+-⋅=化简得：290x--=解得x=或x=（舍去）则CD BC BD=-=-=由ADC∠和ADB∠互补，得sin sin sinADC ADB B∠=∠==所以ADC∆的面积11sin22S AD DC ADC=⋅⋅⋅∠==18．解：（1）因为()1555202a aS+==，即158a a+=34a=即124a d+=，①因为358,,a a a为等比数列，即2538a a a=所以()()()2111427a d a d a d+=++，化简得：12a d=②联立①和②得：12a=，1d=所以1na n=+（2）因为()()11112nn nb na a n n+=+=⋅++1112n nn n⎛⎫+=-+⎪++⎝⎭所以111111123233445nT⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112nn n⎡⎤⎛⎫++-+⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S ∆∆+=. （ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅ 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-，2y =，所以124y y k +==，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：)4y x =±-.21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x'=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x -++--= ①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增（2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+ 令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x x ϕ'=-< 所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=， 且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '<所以()()200000max ln 24x x h x h x x x ==-+， 因为005ln 4x x =-得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+= 化简得2221sin ρθ=+ （2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==，2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++， 当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++ ()()22213x x ≥--+=， 当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =. ②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a =-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学（文）试题全析全解1．B 【解析】{}{}{}0,1,2,3,13,0,1,2A B x x A B ==-≤<∴⋂=故选B 2．C【解析】命题:R,sin cos q x x x ⌝∀∈= 是假命题； 因为命题p 为假，命题q 为真，故命题p q ∧为假命题， 因为命题p ⌝为真，命题q 为真，故命题p q ⌝∧为真命题； 故选C 3．D【解析】0.322log 0.30,21,00.31,?a b c b c a ∴===∴ 故选D【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 5．D【解析】画出可行域如图所示，可知当目标函数2z x y =+过点()4,1A -时取最大值，最大值为max 2417z =⨯-= 故选D6．C【解析】对于A ． 若,a b αα ，则a b 错误，因为 ,a b 可以拍下，相交或异面；对于B 若,a ααβ⊥⊥，则aβ 错误，因为a 还可以与β相交；对于C 若,a b αα⊥ ，则a b ⊥正确；对于D ，若,a ααβ⊥ ，则a β⊥错误，因为 可能//a β 故选C8．B【解析】()2sin 1cos22sin cos y x x x x ∴=+= ，故函数为奇函数，排除D;当4x π=时；22sincos 0442y ππ==>，排除C ；当22x π=< 时， 22sin cos 022y ππ==排除A 学科网 故选B 9．A【解析】如图所示， (),0F c -， PQ OF ⊥设(),P x y 则菱形PFQO 的面积为212,2c y c y c ⨯⨯⨯=∴= 则tan 212cPOF c ∠== ，即渐近线OP 的方程为2y x =- ，故双曲线的渐近线方程为2y x =± 选A 10．C【解析】第1次运行， 211,0,0002n n a S -====+= ，不符合n m ≥ ，继续运行； 第2次运行， 22,2,0222n n a S ====+= ，不符合n m ≥ ，继续运行； 第3次运行， 213,4,4262n n a S -====+= ，不符合n m ≥ ，继续运行； 第4次运行， 24,8,86142n n a S ====+= ，不符合n m ≥ ，继续运行； 第5次运行， 215,12,1412262n n a S -====+= ，不符合n m ≥ ，继续运行； 第6次运行， 26,18,2618442n n a S ====+= ，不符合n m ≥ ，继续运行； 第7次运行， 217,24,2444682n n a S -====+= ，不符合n m ≥ ，继续运行； 第8次运行， 28,32,68321002n n a S ====+= ，符合n m ≥ ，推出运行，输出100S = ； 故选C 11．D【解析】在ABC ∆中， 2AB =， 1AC =， 120BAC ∠=︒， BD BC AC AB λλ==-（）AD BC AB BD BC AB AC AB AC AB λ⎡⎤∴⋅=+⋅=+-⋅-⎣⎦（）（）（）221121AB AC AC AB AC AB AB AC λλλλλ⎡⎤=-+⋅-=-⋅--+⎣⎦（）（）（）（）2211221120122754cos λλλλ=-⨯⨯⨯︒--⨯+⋅=-=（）（），解得34λ= ． 故选D13【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=14．83【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，侧面PBC ⊥底面ABC ，且PBC ⊥与ABC 都是等腰直角三角形， ∴这个三棱锥的体积为1111842242232323V V =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯＝＝．．故答案为83 15．13a ≤-或2a e ≥【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（） 存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，）， 过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝； 设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0xe ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x xx x e e x x e e --∴＝，＝，得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（） 存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．故答案为： 13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用． 16【解析】根据题意，如图：椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，则122F F c=， 直线1PF21212PF tan PF F F F ∠==则有23PF c =，则13PF ==，则122a PF PF =+=，则椭圆的离心率c e a ==【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出椭圆的图形，结合直线的斜率分析2PF 的值．17．(1)；(2)【解析】试题分析：（1）直接利用余弦定理和正弦定理求出结果． （2）利用（1）的结论和余弦定理求出三角形的面积．（2）因为sin B =B 是锐角，所以cos B =设BC x =，在ABC ∆中， 2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即27216x x +-⋅=化简得： 290x --=解得x =x =则CD BC BD =-=由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin 7ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠==18．(1) 1n a n =+；(2) ()()1222n n n nT n +=++． 【解析】试题分析：（1）由520S =可得1545202a d ⨯+=， 化为： 124a d +=．由358,,a a a 成等比数列，可得()225381114270a a a a d a d a d d =+=++≠，（）（），， 化为： 12a d =．联立解得： 1a d ，．即可得出n a ． （2）()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++ 1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出． 试题解析： （1）因为()1555202a a S +==，即158a a +=34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得： 12a d =② 联立①和②得： 12a =， 1d = 所以1n a n =+ （2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++ 1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()123n +++++()111222n n n +⎛⎫=-+⎪+⎝⎭ ()()1222n n nn +=++19．(1)证明见解析；(2)2． 【解析】试题分析：（1）直接利用线面垂直和面面垂直的性质求出结果． （2）利用等体积转化法求出结果．（2）取AB 中点E ，连接PE ． ∵PA PB =，∴PE AB ⊥．学#科网又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ⋂平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD ．∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==． 又∵CDAB ， AD CD ⊥，∴122BCDS CD AD AD ∆=⋅=． ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =．cos45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥．∴12PAD S PA AD ∆=⋅=．20．(1) 24y x =；(2) )4y x =±-．【解析】试题分析：（1）设点P x y （，），圆心00N x y （，），由圆与y 轴相切于点C ，得| 2|PF NC =，结合两点间的距离公式整理可得点P 的轨迹方程为24y x = ； （2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x = ，可得14ABFAOFSS+= ．试题解析：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，1x =+，整理得： 24y x =．所以点P 的轨迹方程为： 24y x =．（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为： 4x =， 易得14ABF AOF S S ∆∆+=．（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为： ()4y k x =-， ()11,A x y ， ()22,B x y ， 由()24{4y x y k x ==-消去x 并整理得： 24160ky y k --=，所以124y y k+=， 1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅ 211322y +⋅⋅≥⋅= 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y = 2y =或1y =- 2y =，所以1243y y k +==±，解得： k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l 的方程为： )4y x =±-． 21．(1)答案见解析；(2)0．【解析】试题分析：（1）求函数的定义域和导数，讨论a 的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据（1）求出求出函数f x （）的极小值为g a （），若3212254g a b a a a --+（）＜（） 恒成立，转化为224a a b alna -+＞恒成立，构造函数设2124x x h x xlnx x =-+（），＞， 根据导数和函数的函数，求出102max h x ∈-（）（，）， 即可求出满足条件的最小整数b②若0a >，由()0f x '=，得11x a=， 2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈⋃+∞⎪⎝⎭时， ()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 （ⅱ）若1a =， ()0f x '≥， ()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， ()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， (),a +∞单调递增 （2）由（1）得：若1a >， ()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， (),a +∞单调递增 所以x a =时， ()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==--由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>， ()5ln 4h x x x -+'= 令()()5ln 4x h x x x ϕ='=-+， 当()1,x ∈+∞时， ()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>， ()()3312ln2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈， ()0005ln 04h x x x =-+='，且()01,x x ∈， ()00h x '>， ()0,2x x ∈， ()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =- 得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()max b h x >， b Z ∈，所以min 0b =【点睛】本题主要考查函数单调性，极值，最值和导数的关系，求函数的导数，其中构造心还是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．22．(1) 2221sin ρθ=+；(2) 43．【解析】试题分析：（1）利用已知条件把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出结果． 试题解析：（1）将1C 的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+23．(1)证明见解析；(2) 2a =或6a =-．【解析】试题分析：（1）当1a =时，利用绝对值三角不等式可证： ()13f x x +-≥； （2）分①当12a >-，②当12a <-，③当12a=-时，三种情况分类讨论，去掉绝对值符号，即可得到实数a 的值．试题解析：（1）依题意： ()1121f x x x x +-=-++ 12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立．（2）①当12a>-，即2a >-时， ()31,,2{1,1, 231,1,ax a x a f x x a x x a x -+-≤-=++-<<+->则当2a x =-时， ()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =． ②当12a<-，即2a <-时， ()31,1,{1,1, 231,,2x a x a f x x a x ax a x -+-≤=---<<-+-≥- 则当2a x =-时， ()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-． ③当12a=-时，即2a =-时， ()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去．。
2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R2．命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0A．∃xC．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤03．实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy4．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n5．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．36．如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π7．已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．28．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．9．△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．25011．若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．14．设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=．15．直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．18．（12.00分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．19．（12.00分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．20．（12.00分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|y=}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|x≥1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0A．∃xC．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤0【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：特称命题的否定为全称命题，可得∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是命题“∃x“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故选：C．【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，属于基础题．3．实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy【分析】运用不等式的性质，以及指数函数的单调性，以及作差法，即可得到所求结论．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，则＜，A错；﹣==＞0，由x+y﹣2﹣（x﹣y）=2y﹣2=2（﹣）＜0，则﹣＜，则B正确；y=（）x在R上递减，可得（）x＜（）y，C错；由x＞y＞0，可得x2＞xy，则D错．故选：B．【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查作差法和函数的单调性的运用，属于基础题．4．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断．【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题．5．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大．此时z最大，此时z的最大值为z=2×1=2，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．6．如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π【分析】根据正切函数y=tan（2x+）的图象，求出OD、EF的值，即可求出△DEF的面积．【解答】解：函数y=tan（2x+），令x=0，得y=tan=×=1，∴OD=1；EF=T==，∴△DEF的面积为S△DEF=××1=．故选：A．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．2【分析】建立坐标系，设P点坐标，利用坐标表示出，从而得出结论．【解答】解：以A为原点建立坐标系，则O（1，1），B（2，0），C（2，2），设P（2，x），则=（1，x﹣1），=（0，x﹣2），且0≤x≤2．∴=（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，∴当x=时，取得最小值为﹣．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．8．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数图象经过的特殊点判断即可．【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；所以排除B，A故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．9．△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由（+）﹣=0得出BA=BC，根据有一个角为的等腰三角形求出AC的长，再利用双曲线的定义建立a与c的关系式，继而解出离心率．【解答】解：∵（+）•=0，又=，∴===0，则，即BA=BC，则△ABC是一个角为的等腰三角形，由题意得：C点在双曲线的右支上，∴AB=BC=2c，AC=2c，又AC﹣BC=2a，即2c﹣2c=2a，解得离心率e==．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．250【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=10满足条件n是奇数，a=0，S=0不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100不满足条件n≥m，n=9，满足条件n是奇数，a=40，S=140不满足条件n≥m，n=10，不满足条件n是奇数，a=50，S=190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【分析】根据题意求出φ的值，利用降幂公式化简函数f（x），再求出它的单调增区间．【解答】解：锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞，∴2φ=，解得φ=；∴函数f（x）=sin2（x+φ）==﹣cos（2x+），∴2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．12．已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）【分析】画出f（x）的图象，对a讨论：0＜a＜a+≤1，1＜a＜a+≤2，0＜a ＜1＜a+＜2，由分段函数求函数值，可得a的范围；1＜a＜a+≤2，1＜a＜2＜a+＜4，2＜a＜a+＜4，运用不等式的解法，即可得到所求范围．【解答】解：由于a＜a+，若0＜a＜a+≤1，可得﹣log2a≥﹣log2（a+），解得0＜a≤；当1＜a＜a+≤2时，f（x）递增，不成立；由0＜a＜1＜a+＜2，可得﹣log2a≥log2（a+），可得＜a＜，且≤a≤，可得0＜a≤；由1＜a＜a+≤2，可得f（a）＜f（a+），此时a无解；由1＜a＜2＜a+＜4，即有＜a＜，由题意可得log2a≥log2（4﹣a﹣），a≥﹣a．解得a≥，可得≤a＜；由2＜a＜a+＜4，可得2＜a＜．综上可得，a的范围是（0，]∪[，）．故选：D．【点评】本题考查分段函数的运用：求自变量的范围，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得z=，∴|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14．设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=28．【分析】根据已知条件和等边数列的通项公式求得公比q2=2，然后代入求值即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意得：q2+q4=6，解得q2=2或q2=﹣3（舍去），∴a5+a7+a9=a1（q4+q6+q8）=1×（22+23+24）=28．故答案是：28．【点评】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题和易错题．15．直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．【解答】解：直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，直线经过抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=，直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，可得：|AB|=x1+x2+p=，即+2=，可得k2=3，解得k=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求解三角形求得OC，即三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG==，GC==，∴OC=，∴三棱锥外接球表面积为4π×=．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．【分析】（1）利用余弦定理计算OB；（2）设∠COD=θ，用θ表示出四边形的面积，利用三角变换和θ的范围得出面积的最大值．【解答】解：（1）由点C（，）可知∠AOC=30°，∠COD=60°．∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=1，∴BC=3，在△OBC中，由余弦定理可得OB2=1+9﹣2×1×3×cos60°=7，∴OB=．（2）设∠COD=θ，则∠DOE=﹣θ，∵C在第一象限，E在第二象限，故0＜﹣θ＜，∴＜θ＜．∴S=sinθ，S△DOE=（﹣θ，△COD∴四边形OCDE的面积为S=sinθ+sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=sin （θ+）．∵，∴当θ=时，四边形OCDE的面积取得最大值为．【点评】本题考查了余弦定理，三角恒等变换，属于中档题．18．（12.00分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出BE⊥平面ABCD，从而AC⊥BE，再由AC⊥BD，得AC⊥平面BDFE．（2）推导出FE OB，从而四边形BOFE为平行四边形，进而OF∥BE，OF⊥平面ABCD，∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DF﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面BDFE⊥平面ABCD，BE⊥BD，平面BDFE∩平面ABCD=BD，∴BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，又∵AC⊥BD，且BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDFE．解：（2）设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为等腰梯形，，AB=2CD=4，∴OD=OC=，OB=OA=2，∵FE OB，∴四边形BOFE为平行四边形，∴OF∥BE，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，∴∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，∴，又∵，∴OF=OB=2，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣，0），F（0，0，2），C（﹣，0，0），A （2，0，0），=（0，），=（，0），∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为=（1，0，0），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，2，﹣1），cos＜＞===．∴二面角B﹣DF﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【分析】（1）由已知：++…+=．当n=1时，=，即a1a2=2．当n=2时，+=，设等差数列{a n}为d＞0，利用等差数列的通项公式解得a1，d，可得a n．（2）由已知：++…+=．当n≥2时，++…+=．相减可得：当n≥2时，a n a n+1=n（n+1），可得b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．计算b2n﹣1+b2n．【解答】解：（1）由已知：++…+=．当n=1时，=①，即a1a2=2．当n=2时，+=，②②﹣①，=；即a2a3=6，设等差数列{a n}为d，由a1a2=2，a2a3=6，有a1（a1+d）=2，（a1+d）（a1+2d）=6，∵d＞0，解得a1=1=d，则a n=1+n﹣1=n．（2）由已知：++…+=．③当n≥2时，++…+=．④③﹣④得：当n≥2时，=，即a n a n+1=n（n+1），结合a1a2=2，得：a n a n+1=n（n+1），b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．+b2n=﹣（2n﹣1）•2n+2n•（2n+1）=4n．∴b2n﹣1数列{b n}的前2n项和S2n=4×（1+2+…+n）==2n2+2n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12.00分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．【分析】（1）先根据椭圆的定义，确定点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，再写出椭圆的方程；（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线AB′过定点Q（0，2），继而求出△PAB′面积的最大值【解答】解：（1）由已知得：|NF1|=|NM|，∴|NF1|+|NF2|=|MN|+|NF2|=|4，又|F1F2|=2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a=4，2c=2，即a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=4﹣2=2，∴点N的轨迹方程是+=1．证明：（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，显然△=8（1+4k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣∴k AB′=，∴直线AB′：y﹣y1=（x﹣x1），∴令x=0，得y===+1=2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△PAB′的面积S=|x1+x2|==≤，当且仅当k=±时，等号成立．∴△PAB′的面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）求出导函数，对a分类讨论，根据到合适呢判断函数的极大值，确定a的值即可；（2）构造关于a的函数令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），得出函数的最大值，把问题转化为最值问题，对b分类讨论得出b的范围即可．【解答】解：（1）由题意，f'（x）=（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x=﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]=﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．．（ⅰ）当a=0时，f'（x）=﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）=，不合题意．（ⅱ）当a＞0时，1﹣＜1，令f'（x）＞0，得1﹣＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1﹣或x＞1，所以f（x）在（1﹣，1）单调递增，（﹣∞，1﹣），（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）==，得a=1．综上所述a=1．（2）令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+x）≥0，则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于g（a）≤g（0）≤bln（x+1），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h'（x）=﹣（e﹣x﹣xe﹣x）=，其中（x+1）e﹣x＞0，∀x∈（0，+∞），令p（x）=be x+x2﹣1，x∈[0，+∞，则h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，①b≥1时，p（x）≥p（0）=b﹣1≥0，所以对，∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以对任意，∀x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）=0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立．②0＜b＜1时，由p（0）=b﹣1＜0，p（1）=be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得P（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x0）＜0．从而x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．综上所述，b≥1．【点评】本题考查了导函数的综合应用和函数的构造，二次求导问题，综合性强，难度较大请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．【分析】（1）利用已知条件把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，基本不等式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出函数f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1）依题意：f（x）+|x﹣1|=|x﹣1|+|2x+1|+|x﹣1|=|2x﹣2|+|2x+1|≥|2x﹣2﹣2x﹣1|=3，当且仅当2x﹣2=﹣（2x+1），即x=时，等号成立．（2）①当1＞﹣，即a＞﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=+1=2，故a=2；②当1＜﹣，即a＜﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=﹣﹣1=2，故a=﹣6；③当1=﹣时，即a=﹣2时，f（x）=3|x﹣1|有最小值0，不符合题意，舍去；故a=2或﹣6．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查求函数的最值问题以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
福建省厦门市高三上学期质检检测数学理【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】一、选择题【题文】1、{}=⋂⎭⎬⎫⎩⎨⎧==>+==B A B A ，则，设集合x -31y x 02x x （ ） .{}2.->x x A {}3.<x x B {}32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：∵A={x|x>-2},B={x|x<3},∴A ∩B={x|-2<x<3},故选D. 【思路点拨】化简两已知集合，再求它们的交集. 【题文】2、是，则，：已知命题p 21sinx x p 00⌝≥∈∃R （ ） . 21sin ,.00≤∈∃x R x A 21sin ,.00<∈∃x R x B21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案】【解析】D 解析：根据特称命题的否定方法得选项D 正确，故选 D. 【思路点拨】根据特称命题的否定方法确定结论.【题文】3、()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==已知向量（，），，若存在使得，则（ ） .A.0B.2C.0或2D.0或-2 【知识点】向量的坐标运算. F2【答案】【解析】C 解析：根据题意得：()()()()22,1,2,120,0m m m m l l l+=++=即20120m m l l ìï+=ïíï+=ïïî解得m=0或2，故选C. 【思路点拨】利用向量的坐标运算得，关于,m l 的方程组求解.【题文】4、面积等于轴所围成的封闭图形的及，与直线曲线x 2x 1x x 3y 2===（ ） .A.1B.3C.7D.8【知识点】定积分的应用. B13 【答案】【解析】C 解析：所求=2232113|7x dx x ==ò，故选C.【思路点拨】根据定积分的几何意义求解. 【题文】5、()过点的图像的一条对称轴经函数R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x 1-32x cos 2y 2π（ ） . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6.πA ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6.πB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3.πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3.πD【知识点】二倍角公式；函数()cos y A x w j =+的性质. C4 C6【答案】【解析】D 解析：已知函数为2cos 3y x p 骣÷ç÷=+ç÷÷ç桫，经检验在A 、B 、C 、D 四个选项中，只有选项D 中横坐标使已知函数取得最值，故选D. 【思路点拨】弦函数的对称轴是使函数取得最值的x 值. 【题文】6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） ..,m ,A l l m a a ^^P 若则 .,,B l m m la a ^蘜若则ααl m m l C 则若,,.⊂ m l m l D 则若,,.αα【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A 解析：对于选项A ：设过直线m 的平面交平面a 于n ，因为m a P , 所以m ∥n, 又l a ^，所以l n ^，所以l m ^，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确.【题文】7、等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和11S （ ） .A.58B.88C.143D.176【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】B 解析：因为3a +9a =16，所以()39111116118822aa S +?´===， 故选B.【思路点拨】利用等差数列的性质求解.【题文】 8. 在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ） .【知识点】函数的图像与性质. B8【答案】【解析】A 解析：因为f(x)是奇函数，所以排除选项C 、D.又21()cos f x x x ¢=+在x ∈0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫大于零恒成立，所以f(x)在 0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫上是增函数，故选A. 【思路点拨】利用函数的奇偶性、单调性确定结论.【题文】9.椭圆E ：13222=+y a x 的右焦点为F,直线m x y +=与椭圆E 交于A,B 两点。
厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}10A x x x =+>，{B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}0x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}01x x <≤ D ．R2．命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是（ ）A ．32000,10x x x ∃∈-+<RB ．32000,10x x x ∃∈-+≥RC ．32,10x x x ∀∈-+>RD ．32,10x x x ∀∈-+≤R 3．实数,x y 满足0x y >>，则（ ）A ．11x y > BC ．1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2x xy <4．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m αββ⊥⊥，则m α∥ B ．若,m n m α⊥∥，则n α⊥C ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥D ．若,,m m n βααβ⊂=∥I ，则m n ∥5．已知实数,x y 满足1,20,21,x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值等于（ ）A ．-7B ．52-C ．2D ．3 6．如图所示，函数26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点,,D E F ，则DEF ∆的面积等于（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 7．已知正方形ABCD 的边长为2，对角线相交于点O ，P 是线段BC 上一点，则OP CP⋅uu u r uu r 的最小值为（ ）A ．-2B ．12-C ．14- D ．2 8．函数()[]()2cos 2,21x xf x x x =∈-+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．ABC ∆中，23B π∠=，,A B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，若()0BA BC AC +⋅=uu r uu u r uuu r，则E 的离心率为（ ）A 1B 1C 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =（ ） A ．100 B ．140 C ．190D ．25011．若锐角ϕ满足sin cos ϕϕ-=，则函数()()2sin f x x ϕ=+的单调增区间为（ ） A ．()52,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()72,21212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 12．已知函数()()22log ,02,log 4,24,x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()12f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．170,2,22⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U B ．1770,,242⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UC．72,2⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U D．77,42⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z 满足()1i 2i z -=，则z = ．14．设等比数列{}n a 满足11a =，356a a +=，则579a a a ++= ． 15．直线()1y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，若163AB =，则k = ． 16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长； （2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.18．如图，直角梯形BDFE 中，EF BD ∥，BE BD ⊥，EF =等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，24AB CD ==，且平面BDFE ⊥平面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值.19．数列{}n a 满足122311111n n na a a a a a n ++++=+L . （1）若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若()11nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 20．已知点()1F，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.21．已知函数()()()2xf x ax x a e a -=++∈R .（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题1-5:BCBDC 6-10:ACADC 11、12：BD二、填空题13．28 15．．1003π三、解答题17．解：（1）由点12C ⎫⎪⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ∠=︒，由图象可得60COD ∠=︒；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ∠=︒，2DB =； 由余弦定理得2222cos120OB OD DB OD DB =+-⋅⋅︒；解得OB =； （2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=- 1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()112sin sin 22362EOD COD S S S πππθθθθ∆∆⎛⎫⎛⎫=+=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭113sin sin sin cos 22244θθθθθ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵62ππθ<<，∴2363πππθ<+<；当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 18．证明：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD = ∴BE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC BE ⊥， 又∵AC BD ⊥，且BE BD B =I ， ∴AC ⊥平面BDFE .解：（2）设A C B D O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，2DOC π∠=，24AB CD ==，∴OD OC ==OB OA ==∵FE OB ∥，∴四边形BOFE 为平行四边形， ∴OF BE ∥，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角， ∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()B，()0,D，(0,0,F，()C，()A(DF =uuu r，)CD =uu u r ，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =r，由0,0,DF n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uu u r r得0,0,+=-= 令2x =得，()2,2,1n =-r，2cos ,3n AC ==r uuu r . ∴二面角B DF C --的余弦值为23. 19．解：（1）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L 当1n =时，12112a a =①，即122a a = 当2n =时，12231123a a a a +=② ②-①，得23116a a =；即236a a = 设等差数列{}n a 公差为d ，由122326a a a a =⎧⎨=⎩，有()()222226a d a a d a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩因为0d >，解得221a d =⎧⎨=⎩，则()22n a a n d n =+-= （2）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L ③ 当2n ≥时，122311111n n n a a a a a a n--+++=L ④ ③-④得：当2n ≥时，111n n na a n +=+，即()11n n a a n n +=⋅+， 结合122a a =，得：()()11n n a a n n n +=⋅+∈*N()()()1111n nn n n b a a n n +=-⋅=-+()()()2121212221n n b b n n n n -+=-⋅-⋅+⋅+()221214n n n n =+-+= ()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++L 484n =+++L()()44212n n n n +==+20．解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=又12F F =N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N 的轨迹方程是22142x y +=. （2）设直线():10AB y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得22241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得()2212420k x kx ++-=，∴()21221228140,4,12212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x -'-=-+，所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ， 所以PAB '∆的面积12221212PQB PQA k S S S x x k'∆∆=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当2k =±时，等号成立.所以PAB '∆面积的最大值是2. 21．解：（1）由题意，()()()221x xf x ax e ax x a e --'=+-++ ()2121x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()11xe x ax a -=--+-. （ⅰ）当0a =时，()()1xf x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >， 所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()131f e e=≠，不合题意. （ⅱ）当0a >时，111a-<， 令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >，所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()2131a f e e+==，得1a =. 综上所述1a =. （2）令()()2xx g a exx a xe --=++，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，()20xex x -+≥，则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()0ln 1g a g b x ≤≤+， 即()ln 1xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（ⅰ）当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0xxe ->，此时()ln 1xxeb x ->+，不合题意.（ⅱ）当0b >时，令()()ln 1xh x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，则()()()2111x x xxb be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞， 令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()h x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增， 所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=， 即不等式()ln 1xb x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.②01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减， 则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
厦门2018届高三第一学期期末质检文科数学一、选择题：1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C D 二、填空题13．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z = ．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为 ．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF的斜率为3，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b . 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门2018届高三第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B ==（2）因为sin 7B =，B 是锐角，所以cos 7B = 设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即272167x x +-⋅=化简得：290x --=解得x =或x =则CD BC BD =-==由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠==18．解：（1）因为()1555202a a S +==，即158a a += 34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =②联立①和②得：12a =，1d = 所以1n a n =+ （2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L 1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=.20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，1x =+，整理得：24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =， 易得14ABF AOF S S ∆∆+=.（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅= 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-2y =，所以1243y y k +==±，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l 的方程为：)4y x =±-. 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x '=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x-++--=①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 （2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =- 得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sincos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-.③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
