1
D
B A 1
A
F 立体几何——平行的证明
【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
（第1题图）
2
【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线
【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE
【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点.
求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
A
B
C
D
E
F G M
3
P
E
D
C
B
A
【例8】如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
090,BAD FAB BC
∠=∠=//=
1
2
AD ，BE //=
1
2
AF ，,G H 分别为,FA FD 的中点 （Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （Ⅱ）,,,C D F E 四点是否共面？为什么？
（.3）
利用平行四边形的性质
【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;
分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形
【例10】在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
4
（I ）证法一：
因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 2
1
=
在ABCD Y 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 2
1
=
因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。
(4)利用对应线段成比例
【例12】如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND
BN
， 求证：MN ∥平面SDC
分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形
【例13】如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC
分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形
A F
E
B
C D
M
N
【例14】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1)求出该几何体的体积；
(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.
【例15】直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD ＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．
(1)求证EF∥平面ADD1A1；
（2）求几何体DD1AA1EF的体积。
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