三角函数专题解三角形

高考数学三角函数与解三角形解答题专题一、归类解析题型一：三角函数的图象和性质【解题指导】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解．【例】设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g )6( 的值．【变式训练】 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求： (1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 题型二：解三角形【解题指导】 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．【例】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求角A 和边长c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【变式训练】在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．题型三：三角函数和解三角形的综合应用【解题指导】 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．【例】如图，某机械厂欲从AB ＝2米，AD ＝2 2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且EB ＝EF ，AF <BE .设∠BEF ＝θ，四边形ABEF 的面积为f (θ)(单位：平方米)．(1)求f (θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当BE ，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值．【变式训练】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B －b cos C ＝c cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)若f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12，求f (A )的取值范围． 二、专题突破训练1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的部分图象如图． (1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )在区间]125,0[π上的最值，并求出相应的x 值．2．设函数f (x )＝2tan x 4·cos 2x 4－2cos 2)124(π+x ＋1. (1)求f (x )的定义域及最小正周期．(2)求f (x )在[－π，0]上的最值．3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象过点P )012(，π，图象上与P 点最近的一个最高点坐标为)63(，π. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (x )<3，求x 的取值范围．4．已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP →·QP →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．5.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．6．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t (ω>0)，若f (x )的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)． (1)求f (x )的表达式和f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若函数F (x )＝g (x )＋k 在区间]2,0[ 上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．。

三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。

数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周
合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分
成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割
2
月月考）要得到
y
cos
2x
的图象
C1
,只要将
y
sin
2x
3
图象
C2
怎样变化得到( )
A．将
y
sin
2x
3
的图象
C2
沿
x
轴方向向左平移
12
个单位
B．将
y
sin
2
x
3
的图象 C2 沿
x
11
轴方向向右平移
12
个单位
C．先作 C2
f (x) 2m n 3 1，下列命题，说法正确的选项是（ ）
3
A．
f
6
x
2
f
(x)
B．
f
6
x
的图像关于
x
4
对称
C．若 0
x1
x2
2
，则
f
( x1 )
f
(x2 )
D．若 x1, x2 , x3
3
,
2
，则
f
(x1)
f
(x2 )
f
( x3 )
15．（2020
届山东省菏泽一中高三
CB 2CD, cos CDB 5 ，则（ 5
A． sin CDB 3 10
）
B． ABC 的面积为 8

三角函数解三角形专题一．解答题（共33小题）1．设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．2．已知函数f（x）=4sinx•sin（x+）﹣1，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．3．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．4．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．5．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若x=x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．6．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且f（α+）=，求tan（α﹣）的值．7．已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．8．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．9．已知函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间[0，]的最大值及所对应的x值．10．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．11．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零点；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．12．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．13．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣2（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=（C）=﹣1，若2sinA=sinB，求△ABC的面积．14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c=1，cosA=，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．16．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，（1）若C=，△ABC的面积为，求a的值；（2）求的值．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）•cosC=c•cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b﹣a）sinB+（2a﹣b）sinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，求b的数值范围．22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC，角A为锐角．（1）求sinA与a的值；（2）求b的值及三角形面积．23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=．（Ⅰ）求tanC的值；（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．24．在△ABC 中，角A，B，C 为三个内角，已知A=45°，cos B=．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB 的中点，求CD的长及△ABC 的面积．25．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求△ABC周长的最小值．26．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知3a2=3b2+3c2．（1）求A；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．27．已知圆O的半径为2，它的内接三角形ABC满足c2﹣a2=4（c﹣b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求三角形ABC面积S的最大值．三角函数解三角形专题参考答案与试题解析一．解答题（共33小题）1．设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．【解答】解：f（x）=cos2x+sin2（x+）．⇔f（x）=cos2x+⇔f（x）=cos2x+sin2x+⇔f（x）=sin（2x+）+，（1）最小正周期，∵sinx单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）∴2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）解得：x∈[，]，（k∈Z）∴f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[，]，（k∈Z）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+∵x∈[﹣，），∴2x∈[，]，由三角函数的图象和性质：可知：当2x=时，f（x）取得最小值，即=0．当2x=时，f（x）取得最大值，即．∴x∈[﹣，）时，f（x）的取值范围在．2．已知函数f（x）=4sinx•sin（x+）﹣1，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=4sinx•sin（x+）﹣1，=4sinx（sinx+cosx）﹣1，=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期T=．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴f（x）=2sin（2x﹣）在区间[﹣，]上的最大值为，最小值为﹣2．3．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），化简可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1=﹣cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax﹣）+1∵函数的最小正周期为．即T=由T=，可得a=2．∴a的值为2．故f（x）=2sin（4x﹣）+1；（Ⅱ）x∈[0，]时，4x﹣∈[，]．当4x﹣=时，函数f（x）取得最小值为1﹣．当4x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．4．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+），=，由于函数的最小正周期为π，故ω==1，（Ⅱ）所以：f（x）=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于x在区间[0，]上，所以：函数的单调递增区间为：[]．函数的单调递减区间为：[]．5．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若x=x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+sin（x﹣）cos（x﹣），=﹣cos2x+sin2x+sin﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T=值域为：[，]．（Ⅱ）令f（x0）=0，可得sin（2x0﹣）=＜0∵x0∈[0，]，∴2x0﹣∈[﹣，0]，cos（2x0﹣）=那么：sin2x0=sin[（2x0﹣）﹣]=sin（2x0﹣）cos（）﹣cos（2x0﹣）sin=．6．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且f（α+）=，求tan（α﹣）的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（x﹣）+cosx===所以：函数f（x）的最小正周期为：（2）由于f（x）=则：f（）=sin（）=cosα=由于α是第一象限角所以：sinα=则：则：tan（α﹣）=7．已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max=2．当时，f（x）min=﹣1．8．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．【解答】解：（Ⅰ），=+1，=2sin（2x+）+1，所以函数的最小正周期T=．（Ⅱ）由于，则：，所以，即，所以函数的值域为f（x）．9．已知函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间[0，]的最大值及所对应的x值．【解答】解：（I）由已知得=．所以函数f（x）的最小正周期T=π．由，得，所以函数f（x）的单调增区间为．（II）当，则，∴．故函数f（x）的最大值为，由2x﹣=﹣得x=0，故函数f（x）在区间[0，]的最大值及所对应的x值是0．10．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T=，（2）由（1）可知，f（x）=sin（2x+），∵x∈[﹣，]上，∴2x+∈[]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]．故得函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为1，．11．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零点；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数．化简可得：f（x）=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）（Ⅰ）∴函数f（x）的最小正周期T==π，令，即∴函数f（x）的零点是．（Ⅱ）∵，∴．∴当，即时，函数f（x）的最小值为；当，即时，函数f（x）的最大值为2．∴f（x）在区间上的最大值为2，最小值．12．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，f（x）=．=，=，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，则：（0＜A＜π），解得：A=，利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．解得：bc=1所以△ABC的面积为：．13．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣2（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=（C）=﹣1，若2sinA=sinB，求△ABC的面积．【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x+cos2x﹣1=sin2x+cos2x﹣1=sin （2x+）﹣1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）由2f（C）=﹣1，得sin（2C+）=，∵0＜C＜π，∴＜2C+＜，∴2C+=，即C=．又2sinA=sinB，即b=2a；由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=3a2=3，∴a=1，b=2．==．∴S△ABC14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=﹣sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=﹣1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）∵sin（）cos（）﹣sin2（）=，∴，∴，即，∴．∵B=，∴cosC====．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c=1，cosA=，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）由cosA=，0＜A＜π，得sinA=，∴S=，即bc=6．又，解得a=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos2A=，sin2A=2sinAcosA=，故cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．16．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，（1）若C=，△ABC的面积为，求a的值；（2）求的值．【解答】解：（1）△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，则：利用正弦定理得：a=2b．∵，所以：，解得：．（2），=﹣4（1﹣cosC），=．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=2cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）•cosC=c•cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理知===2R，又因为（2a﹣b）•cosC=c•cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA；………………（4分）∵0＜A＜π，∴sinA＞0；∴cosC=；………………（6分）又0＜C＜π，∴C=；………………（8分）=absinC=ab=，（2）∵S△ABC∴ab=4 ………………（10分）又c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=4，∴（a+b）2=16，∴a+b=4；∴周长为6．………………（14分）19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．【解答】解：（Ⅰ）因为（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，所以a2+c2﹣b2=﹣ac．…..（2分）由余弦定理得，，…．（4分）因此，B=120°．…..（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+C=60°，所以：cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC …..（7分）=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC …..（8分）=cos（A+C）+2sinAsinC …..（9分）==，…..（10分）故A﹣C=30°或A﹣C=﹣300，因此，C=15°或C=45°．…..（12分）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b﹣a）sinB+（2a﹣b）sinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b﹣a）sinB+（2a﹣b）sinA．整理得：2c2=（2b﹣a）b+（2a﹣b）a，即：b2+a2﹣c2=ab，则：，由于：0＜C＜π，则：C=．（Ⅱ）由于：sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，则：sinC+sin（B﹣A）=sin（A+B）+sin（B﹣A），整理得：sinBcosA=2sinAcosA，所以：cosA=0，或sinB=2sinA．（1）当cosA=0时，A=，c=2则：b=，所以：．（2）sinB=2sinA，即：b=2a，利用余弦定理得：，解得：，所以：．所以：．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，求b的数值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，=，由正弦定理可得=，即为c2+a2﹣b2=﹣ac，可得cosB==﹣，0＜B＜π，可得B=；（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accos=（a+c）2﹣2ac+ac=4﹣ac=4﹣a（2﹣a）=（a﹣1）2+3，由0＜a＜2，可得b2∈[3，4），可得b的范围是[，2）．22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC，角A为锐角．（1）求sinA与a的值；（2）求b的值及三角形面积．【解答】解：（1）∵sinA=sinC，∴a=c=3．∵cos2A=1﹣2sin2A=﹣，∴sinA=．（2）∵A是锐角，∴cosA=，由余弦定理得：cosA=，即=，解得b=5．=bcsinA==．∴S△ABC23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=．（Ⅰ）求tanC的值；（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccos，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得b=c，∴a2=b2﹣c2=c2，即a=c．∴cosC==．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（Ⅱ）tan2C===﹣，∴tan（2C﹣）===7．24．在△ABC 中，角A，B，C 为三个内角，已知A=45°，cos B=．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB 的中点，求CD的长及△ABC 的面积．【解答】解：（I）∵cosB=，B∈（0°，180°），∴sinB==．∴sinC=sin（B+45°）=sinBcos45°+cosBsin45°=．（II）由正弦定理可得，可得b=6．由（I）可得：cosB=，∴B＜45°，∴B+A＜90°，∴C＞90°，∴cosC=﹣=﹣．由由余弦定理可得：AB2=（6）2+102﹣2×6×10cosC=196，解得AB=14．在△ACD中，CD2=（6）2+72﹣2××7cos45°=37，∴CD=．△ABC 的面积S=25．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求△ABC周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵=，即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，A=．（Ⅱ）∵A=，且，∴bc=4，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=4，∴a≥2，又b+c=4，当且仅当b=c=2时，a的最小值为2，b+c的最小值为4，则周长a+b+c的最小值为6．26．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知3a2=3b2+3c2．（1）求A；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．（1）∵S=，∴由已知得：，【解答】解：∴化简得：=﹣，∴tanA=﹣，A∈（0，π），∴A=．（2）在△ABC中，由正弦定理得：．∴∴b=2sinB，c=2sinC=2，记△ABC周长为y，∴y=a+b+c=2sinB+2sin（﹣B）+3．化解得：y=2sinB+2（+3=2sin（B+）+3．∵B，∴周长y）综上所述：△ABC周长的取值范围（6，3+2）．27．已知圆O的半径为2，它的内接三角形ABC满足c2﹣a2=4（c﹣b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求三角形ABC面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC外接圆的半径是2，代入c2﹣a2=4（c﹣b）sinB得，c2﹣a2=4（c﹣b）×=bc﹣b2，即，由余弦定理得，cosA==，∵0＜A＜π，∴A=；（Ⅱ）∵三角形ABC外接圆的半径是2，∴由正弦定理得，则a=4×=2，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴≥（2﹣）bc，解得bc≤，当且仅当b=c时取等号，∴三角形ABC面积S==，∴三角形ABC面积S的最大值是．。