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现代控制理论-大作业-倒立摆-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。
基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。
关键词：二级倒立摆；极点配置；Simulink目录1.绪论 (1)2 数学模型的建立和分析 (2)2.1 数学建模的方法 (2)2.2 二级倒立摆的结构和工作原理 (2)2.3 拉格朗日运动方程 (3)2.4推导建立数学模型 (4)3 二级倒立摆系统性能分析 (10)3.1 稳定性分析 (10)3.2 能控性能观性分析 (11)4 状态反馈极点配置 (12)4.1 二级倒立摆的最优极点配置1 (12)4.2 二级倒立摆最优极点配置2 (14)5. 二级倒立摆matlab仿真 (16)5.1 Simulink搭建开环系统 (16)5.2 开环系统Simulink仿真结果 (16)5.3 Simulink搭建极点配置后的闭环系统 (17)5.4极点配置Simulink仿真结果 (18)5.4.1 第一组极点配置仿真结果 (18)5.4.2 第二组极点配置仿真结果 (20)6.结论 (22)7.参考文献 (23)附录一 (24)1.绪论倒立摆最初诞生于麻省理工学院，仅有一级摆杆，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上。
后来在此基础上，人们又进行拓展，设计出了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。
现代控制一级倒立摆倒立摆实验电子工程学院自动化学号：目录1实验设备简介 (4)1.1倒立摆介绍 (4)1.2直线一级倒立摆 (5)2 倒立摆建模 (6)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6)2.1.1受力分析 (6)2.1.2微分方程建模 (8)2.1.3状态空间数学模型 (9)2.2 实际系统模型建立 (10)3系统定性、定量分析 (11)3.1系统稳定性与可控性分析 (11)3.1.1稳定性分析 (11)3.1.2能控性分析 (13)4极点配置的设计步骤 (13)4.1极点配置的计算 (13)4.2用MATLAB进行极点配置的计算 (15)4.3极点配置的综合分析 (16)5小结 (17)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。
常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。
1.2直线一级倒立摆根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质的杆组成的系统。
倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
2 倒立摆建模2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车和均质杆组成的系统。
现代控制理论实验报告——倒立摆小组成员：指导老师：2013.5实验一建立一级倒立摆的数学模型一、实验目的学习建立一级倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。
二、实验内容写出系统传递函数和状态空间方程，用Matlab进行仿真。
三、Matlab源程序及程序运行的结果（1）Matlab源程序见附页（2）给出系统的传递函数和状态方程（a）传递函数gs为摆杆的角度：>> gsTransfer function:2.054 s-----------------------------------s^3 + 0.07391 s^2 - 29.23 s - 2.013（b）传递函数gspo为小车的位移传递函数：>> gspoTransfer function:0.7391 s^2 - 20.13---------------------------------------s^4 + 0.07391 s^3 - 29.23 s^2 - 2.013 s（c）状态矩阵A,B,C,D：>> sysa =x1 x2 x3 x4x1 0 1 0 0x2 0 -0.07391 0.7175 0x3 0 0 0 1x4 0 -0.2054 29.23 0b =u1x1 0x2 0.7391x3 0x4 2.054c =x1 x2 x3 x4y1 1 0 0 0y2 0 0 1 0d =u1y1 0y2 0Continuous-time model.（3）给出传递函数极点和系统状态矩阵A的特征值（a）传递函数gs的极点>> PP =5.4042-5.4093-0.0689（b）传递函数gspo的极点>> PoPo =5.4042-5.4093-0.0689（c）状态矩阵A的特征值>> EE =-0.06895.4042-5.4093（4）给出系统开环脉冲响应和阶跃响应的曲线（a）开环脉冲响应曲线（b）阶跃响应曲线四、思考题（1）由状态空间方程转化为传递函数，是否与直接计算传递函数相等？答：由状态空间方程转化为传递函数：>> gso=tf(sys)Transfer function from input to output...0.7391 s^2 - 6.565e-016 s - 20.13#1: ---------------------------------------s^4 + 0.07391 s^3 - 29.23 s^2 - 2.013 s2.054 s + 4.587e-016#2: -----------------------------------s^3 + 0.07391 s^2 - 29.23 s - 2.013#1为gspo传递函数，#2为gs的传递函数而直接得到的传递函数为：>> gspoTransfer function:0.7391 s^2 - 20.13---------------------------------------s^4 + 0.07391 s^3 - 29.23 s^2 - 2.013 s>> gsTransfer function:2.054 s-----------------------------------s^3 + 0.07391 s^2 - 29.23 s - 2.013通过比较可以看到，gspo由状态空间方程转化的传递函数比直接得到的传递函数多了s的一次项，而6.565e-016非常小几乎可以忽略不计，因此可以认为两种方法得到的传递函数式相同的，同理传递函数gs也可以认为是相同的。
内蒙古科技大学本科生毕业设计说明书（毕业论文）题目：倒立摆现代控制理论研究倒立摆现代控制理论研究摘要倒立摆系统是一个复杂的非线性、强耦合、多变量和自不稳定系统。
在控制工程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪性等许多控制中的关键问题，是检验各种控制方法的理想工具。
理论是工程的先导，它对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景，单级倒立摆与火箭的飞行有关，二级倒立摆与双足机器人的行走有相似性，日常生活中的任何重心在上，支点在下的问题都与倒立摆的控制有极大的相似性，所以对倒立摆的稳定控制有重大的现实意义。
迄今，人们已经利用古典控制理论、现代控制理论及多重智能控制理论实现了多种倒立摆系统的稳定控制[5]。
倒立摆的控制方法有很多，如状态反馈控制，经典PID控制，神经网络控制，遗传算法控制，自适应控制，模糊控制等。
其控制方法已经在军工、航天、机器人和一般工业过程等领域得到了应用。
因此对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论和现实意义，成为控制领域中经久不衰的研究课题。
本文是应用线性系统理论中的极点配置、线性二次型最优（LQR）和状态观测器等知识，设计了倒立摆系统线性化模型的控制器，通过MA TLAB仿真，研究其正确性和有效性。
通过分析仿真结果，我们知道了，状态反馈控制可以使倒立摆系统很好的控制在稳定状态，并具有良好的鲁棒性。
关键词：倒立摆；现代控制；Matlab仿真；Modern Control Theory Of Inverted PendulumAbstractInverted pendulum system is a complex nonlinear and strongly coupled，multi-variable and unstable system since．In control engineering，it can effectively reflect such stabilization，robustness，with the mobility of control and tracking，and many other key issue，It is the test ideal for a variety of control methods．Theory is the project leader，inverted pendulum control system also has important engineering research background，inverted pendulum with single-stage related torocket for the flight，Inverted pendulum and biped walking robot similar nature in any life in the center of gravity，the fulcrum in the next issue with the inverted pendulum control has a great similarity，so the stability control of inverted pendulum significant practical significance.So far，it has been the use of classical control theory，modern control theory and control theory of multiple intelligence to achieve a variety of inverted pendulum system stability control[5].Inverted pendulum control methods there are many，such as the state feedback control，the classic PID control，neural network control，genetic algorithm control，adaptive control，fuzzy control.The control method has been in military，aerospace，robotics and general industrial processes and other areas have been intended use.Therefore，the control of inverted pendulum system research has important theoretical and practical significance，of becoming enduring research topics in the field.This is the application of the theory of linear systems pole placement，linear quadratic optimal (LQR) and the state observer of such knowledge，the design of the linear inverted pendulum model of the controller，through simulation to study the correctness and effective sex.By analyzing the results of MATLAB simulation，state feedback control can make a goodcontrol of inverted pendulum system in a stable state，and has good robustness，stability control features.Key words: Inverted pendulum；Modern control；Matlab simulation；目录摘要 (I)Abstract (II)第一章绪论 (1)1.1倒立摆系统模型简介 (1)1.2倒立摆研究的背景与意义 (2)1.3国内外研究现状、水平和发展趋势 (3)1.3.1倒立摆和控制理论的发展 (3)1.3.2倒立摆的控制方法 (4)1.3.3倒立摆的发展趋势 (5)1.4本论文的主要工作介绍 (6)第二章一级倒立摆的数学模型建立及其性能分析 (7)2.1 系统的组成 (7)2.2 一级倒立摆数学模型的建立 (8)2.2.1 数学模型的建立 (8)2.2.2 系统的结构参数 (9)2.2.3 用牛顿力学方法来建立系统的数学模型 (9)2.2.4 一级倒立摆的性能分析[7] (13)2.3 本章小结 (15)第三章现代控制理论在倒立摆控制中的应用 (16)3.1 自动控制理论的发展历程 (16)3.2 经典控制理论 (18)3.2.1 PID控制现状 (18)3.2.2 PID控制的基本原理 (18)3.2.3 常用PID数字控制系统 (20)3.3 现代控制理论 (21)3.3.1 极点配置[11] (22)3.3.2 线性二次型最优的控制理论[7,8] (24)3.3.3 加权矩阵的选取 (26)3.3.4 状态观测器[7] (26)3.4 本章小结 (29)第四章MA TLAB仿真技术 (30)4.1 仿真软件——Matlab简介 (30)4.1.1 MA TLAB的优势 (30)4.2 Simulink简介 (32)4.3 S-函数简介 (33)4.3.1 用M文件创建S-函数 (34)4.4 倒立摆仿真模块的建立 (36)4.5 本章小结 (37)第五章一级倒立摆线性模型系统的仿真 (38)5.1 倒立摆控制器结构选择 (38)5.2 一级倒立摆线性模型系统仿真 (38)5.2.1 Simulink仿真 (42)5.3 本章小结 (46)结束语 (48)参考文献 (49)附录A (51)致谢 (53)第一章绪论1.1倒立摆系统模型简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性的系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台，但它并不是我们想象的那样抽象，其实在我们日常生活中就有很多这样的例子。
摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统,是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的.本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。
基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。
关键词：二级倒立摆；极点配置；Simulink目录1.绪论 (1)2 数学模型的建立和分析 (1)2。
1 数学建模的方法 (1)2。
2 二级倒立摆的结构和工作原理 (2)2。
3 拉格朗日运动方程 (3)2。
4推导建立数学模型 (3)3 二级倒立摆系统性能分析 (9)3.1 稳定性分析 (9)3。
2 能控性能观性分析 (10)4 状态反馈极点配置 (11)4。
1 二级倒立摆的最优极点配置1 (11)4.2 二级倒立摆最优极点配置2 (12)5。
二级倒立摆matlab仿真 (14)5。
1 Simulink搭建开环系统 (14)5.2 开环系统Simulink仿真结果 (14)5.3 Simulink搭建极点配置后的闭环系统 (15)5.4极点配置Simulink仿真结果 (16)5.4。
2 第二组极点配置仿真结果 (18)6。
结论 (19)7.参考文献 (20)附录一 (21)1.绪论倒立摆最初诞生于麻省理工学院,仅有一级摆杆，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上.后来在此基础上，人们又进行拓展，设计出了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。
在控制理论的发展过程中,为验证某一理论在实际应用中的可行性需要按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
专业实验报告
图3调节出的PID 控制器
获得理想响应曲线后，记录相应的D K 、P K 、I K ，将该组数据代入实物系统，观察倒立摆系统的稳态稳定情况，并据此再次调节D K 、P K 、I K ，直至达到理想效果为止。
已知2+(8)I D P I
PID
P D K K s K s K C K K s s s
+++=（s)=
图5 直线一级倒立摆 PID 控制界面
图6 直线一级倒立摆PID 控制实验结果倒立摆系统状态空间模型
图7 图8
图9 状态空间极点配置实物控制平台
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。
进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-UpControl”中的“Swing-Up Control Demo，如图10
图10 状态空间极点配置实物控制效果
（此表在授位前请放入硕士学位申请书中相应位置）。
倒立摆实验报告机自82组员：李宗泽李航刘凯付荣倒立摆与自动控制原理实验一. 实验目得：1、运用经典控制理论控制直线一级倒立摆，包括实际系统模型得建立、根轨迹分析与控制器设计、频率响应分析、PID 控制分析等内容、２、运用现代控制理论中得线性最优控制LQR方法实验控制倒立摆3、学习运用模糊控制理论控制倒立摆系统4、学习MATLAＢ工具软件在控制工程中得应用５、掌握对实际系统进行建模得方法,熟悉利用MATＬＡB 对系统模型进行仿真,利用学习得控制理论对系统进行控制器得设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察与分析，非常直观得感受控制器得控制作用。
二、实验设备计算机及MATＬAB、ＶC等相关软件固高倒立摆系统得软件固高一级直线倒立摆系统,包括运动卡与倒立摆实物倒立摆相关安装工具三．倒立摆系统介绍倒立摆就是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术得有机结合,其被控系统本身又就是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合得非线性系统，可以作为一个典型得控制对象对其进行研究。
倒立摆系统作为控制理论研究中得一种比较理想得实验手段，为自动控制理论得教学、实验与科研构建一个良好得实验平台,以用来检验某种控制理论或方法得典型方案,促进了控制系统新理论、新思想得发展。
由于控制理论得广泛应用,由此系统研究产生得方法与技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中得垂直度控制、卫星飞行中得姿态控制与一般工业应用等方面具有广阔得利用开发前景．倒立摆已经由原来得直线一级倒立摆扩展出很多种类,典型得有直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆与复合倒立摆等，本次实验采用得就是直线一级倒立摆。
倒立摆得形式与结构各异,但所有得倒立摆都具有以下得特性: １）非线性2）不确定性3) 耦合性4) 开环不稳定性5）约束限制倒立摆控制器得设计就是倒立摆系统得核心内容,因为倒立摆就是一个绝对不稳定得系统,为使其保持稳定并且可以承受一定得干扰,需要给系统设计控制器，本小组采用得控制方法有:ＰID控制、双PIＤ控制、ＬＱR控制、模糊PIＤ控制、纯模糊控制四.直线一级倒立摆得物理模型:系统建模可以分为两种:机理建模与实验建模。
基于倒立摆的现代控制模型建立及分析姓名：学号：教师：专业：二〇〇九年十二月二十九日目录第一章绪论 (1)第二章倒立摆系统建模 (2)2.1状态空间表达式 (2)2.1.1数学模型建立 (2)2.1.2状态变量及状态空间表达式 (3)2.1.3系统的约旦标准型 (4)2.1.4 系统的并联实现 (5)第三章倒立摆系统状态空间表达式的解 (7)3.1状态转移矩阵 (7)3.2系统在单位阶跃函数作用下的解 (7)第四章倒立摆系统的能控性和能观性 (8)4.1倒立摆系统的能控性 (8)4.2倒立摆系统的能控标准型 (8)4.2.1能控标准Ⅰ型 (8)4.2.2能控标准Ⅱ型 (9)4.3倒立摆系统的能观性 (10)4.4倒立摆系统的能观标准型 (10)4.4.1能观标准Ⅰ型 (10)4.4.2能观标准Ⅱ型 (11)第五章倒立摆系统的稳定性与李亚普诺夫方法 (12)第六章倒立摆系统的综合 (13)6.1系统性能指标的确定 (13)6.2系统极点配置 (13)6.3状态观测器 (14)6.3.1全维状态观测器 (14)6.3.2降维观测器 (15)6.4利用状态观测器实现状态反馈 (18)第七章倒立摆系统的最优控制方案及控制器设计 (20)参考文献 (21)第一章绪论倒立摆作为一个高阶次、多变量、非线性和强祸合的自然不稳定系统，一直是控制领域研究的热点问题。
它广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人、杂技顶杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的理论价值和实践价值。
这些物理装置与控制系统的稳定性密切相关，深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
倒立摆的研究具有重要的工程应用价值。
如机器人问题，机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来己有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。
再如太空应用中，倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，它也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象，因此，倒立摆机理的研究又具有重要的工程应用背景，成为控制理论中经久不衰的研究课题。
现在控制理论实验实验一用matlab完成倒立摆系统的分析与综合班级：自动化32011003学号：3201100318姓名：周伟指导老师：闫茂德实验一用Matlab完成倒立摆系统的分析与综合目录1 绪论................................................... 错误！未定义书签。
1.1 控制理论的发展 .....................................................1.2 倒立摆的相关知识 ...................................................1.3 倒立摆主要控制方法 .................................................2 直线一阶倒立摆数学模型的建立 (2)2.1 倒立摆系统的物理结构与建模 .........................................2.2 系统参数设定 .......................................................2.3 系统能控性与能观性 .................................................3 极点配置控制方案的设计 (6)3.1 极点配置理论 .......................................................3.2 极点配置算法 .......................................................3.3 极点配置控制方案的设计 .............................................4 控制系统的MATLAB仿真 (12)4.1 MATLAB软件介绍.......................................................4.2 极点配置控制方案的仿真...............................................5 小结 (16)1 绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展可以分为三个阶段:第一阶段是经典控制理论阶段.第二阶段是现代控制理论阶段。
倒立摆原理倒立摆是一种经典的控制系统理论实验装置，它由一个竖直支架和一个可以绕水平轴自由旋转的杆组成。
倒立摆系统具有不稳定性，即当杆子竖直时，只要有微小的干扰，它就会失去平衡。
然而，通过适当的控制方法，我们可以使倒立摆保持在竖直位置上。
这种控制方法的研究对于理解控制系统的稳定性和鲁棒性具有重要意义，也在工程实践中有着广泛的应用。
倒立摆系统的原理可以用控制理论来描述。
在倒立摆系统中，我们可以将竖直位置作为系统的平衡点，而杆子偏离竖直位置的角度则成为系统的状态变量。
控制系统的目标就是通过对杆子施加力或扭矩，使得杆子的角度保持在竖直位置附近，即实现对系统状态的控制。
为了实现这一目标，我们可以利用传统的PID控制器，也可以采用现代控制理论中的状态反馈控制、模糊控制、神经网络控制等方法。
在控制倒立摆系统时，我们需要考虑到系统的动力学特性。
倒立摆系统的动力学方程通常可以通过拉格朗日方程或牛顿-欧拉方程来建立。
通过对系统的动力学特性进行分析，我们可以得到系统的传递函数或状态空间方程，从而为控制器的设计提供基础。
在实际应用中，我们还需要考虑到传感器的噪声、执行器的非线性特性、外部扰动等因素对系统性能的影响，这些因素都需要在控制器设计中进行考虑。
除了传统的控制方法外，现代控制理论中还提出了许多新颖的控制方法，例如模糊控制和神经网络控制。
这些方法可以更好地适应非线性、时变系统，并且具有较强的鲁棒性。
在倒立摆系统中，这些新颖的控制方法也得到了广泛的应用，并取得了良好的控制效果。
总的来说，倒立摆系统作为经典的控制理论实验装置，具有重要的理论研究和工程应用价值。
通过对倒立摆系统的研究，我们可以更好地理解控制系统的稳定性和鲁棒性，为工程实践中的控制问题提供解决思路。
同时，倒立摆系统也为新型控制方法的研究和应用提供了一个重要的平台。
相信随着控制理论和技术的不断发展，倒立摆系统将会在更多领域展现其重要的作用。
现代控制理论结课大作业一、引言现代控制理论是现代科学技术的重要组成部分，广泛应用于工程控制系统中。
在控制理论课程的学习过程中，结课大作业是一项重要的任务。
本文将介绍现代控制理论结课大作业的相关要求和设计思路。
二、研究背景现代控制理论是控制理论的一个重要分支，它主要研究控制系统的建模、分析和设计方法。
通过运用数学和工程技术知识，利用现代控制理论可以对各种系统进行精确的描述和控制。
因此，现代控制理论在自动控制领域具有广泛的应用。
三、大作业要求现代控制理论结课大作业要求学生能够独立选择一个控制系统并进行详细的研究和设计。
具体要求如下： 1. 选择一个真实的控制系统作为研究对象；2. 系统建模：根据实际情况，选择合适的建模方法，将系统转化为数学模型；3. 系统分析：通过分析系统模型，对系统的稳定性、鲁棒性等进行评估； 4. 系统设计：基于现代控制理论的设计思想，设计适合该系统的控制器； 5. 系统仿真：利用仿真软件对设计的控制系统进行验证和优化； 6. 结果分析和总结：对仿真结果进行分析，总结设计过程和经验教训。
四、设计思路在完成现代控制理论结课大作业时，需要有清晰的设计思路和步骤。
以下是一个可能的设计思路供参考： 1. 选择合适的控制系统：可以选择一个典型的工业控制系统，或者选择一个与个人兴趣相关的系统； 2. 进行系统建模：根据系统的实际情况，选择适合的建模方法，如状态空间法、传递函数法等；3. 系统分析：利用控制理论的知识和工具，分析系统的稳定性、鲁棒性，确定系统的可控性和可观性等性能指标；4. 系统设计：基于现代控制理论，设计一个合适的控制器结构，并选择适当的控制参数；5. 系统仿真：利用仿真软件，对设计的控制系统进行仿真验证，观察系统的响应特性和控制性能； 6.结果分析和总结：根据仿真结果，分析系统的优点和不足之处，并总结设计过程中的经验教训。
五、实例分析下面以一个简单的倒立摆系统为例，介绍如何完成现代控制理论结课大作业。
机械工程试验二——直线倒立摆控制实验实验报告摘要倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
本实验针对固高公司提供的倒立摆实验设备，对一、二倒立摆的控制方法进行了研究，并做了相应的仿真和实物控制。
首先应用PID、状态反馈、LQR、三种方法分别对一级倒立摆进行建模，完成实时控制，得到了较好的控制效果。
然而，由于以上方法的抗干扰能力差，鲁棒性弱，所以尝试运用模糊控制，使控制性能进一步提高。
对于二级倒立摆，由于其控制变量多、非线性强，所以控制规则与隶属函数很难确定。
考虑这些原因，文中采用了神经模糊推理系统(ANFIS)，对二级倒立摆做了实时控制，该方法生成规则数少，形式简单，实时性更好。
对于控制难度更高的三级倒立摆，本文采用遗传算法优化LQR参数后，用最优控制的方法，对倒立摆系统进行了仿真研究，得到了很好的控制效果。
完成本实验后，通过对一、二倒立摆的多种实物控制的过程和结果进行研究，可以看出控制的难度在不断加大，需要运用的控制方法也越来越先进。
在运用PID控制时，由于倒立摆是多输出的复杂系统，所以选择合适的输出量是关键问题：状态反馈方法中，为了使系统响应速度快而且能够满足试验设备硬件要求，极点的选择是主要的设计问题：在模糊控制器的设计过程中，隶属函数的选取和控制规则的确定是难点，而应用ANFIS推理系统后，规则确定和隶属函数选取的问题就迎刃而解了。
关键词：倒立摆，PID，LQR，单级，双级，模糊控制，状态反馈目录1 倒立摆实验介绍 (5)1.1 倒立摆概述 (5)1.2 倒立摆系统的组成 (5)2 直线一级倒立摆的控制 (8)2.1 直线一级倒立摆的建模 (8)2.2 系统稳定性、可控性、可观性分析 (11)2.3 PID控制方法对一级倒立摆控制............... 错误！未定义书签。
摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。
基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。
关键词：二级倒立摆；极点配置；Simulink目录1.绪论..............................................................2 数学模型的建立和分析..............................................2.1 数学建模的方法..................................................2.2 二级倒立摆的结构和工作原理......................................2.3 拉格朗日运动方程................................................2.4推导建立数学模型.................................................3 二级倒立摆系统性能分析............................................3.1 稳定性分析....................................................3.2 能控性能观性分析..............................................4 状态反馈极点配置..................................................4.1 二级倒立摆的最优极点配置1.....................................4.2 二级倒立摆最优极点配置2.........................................5. 二级倒立摆matlab仿真............................................5.1 Simulink搭建开环系统............................................5.2 开环系统Simulink仿真结果.......................................5.3 Simulink搭建极点配置后的闭环系统................................5.4极点配置Simulink仿真结果........................................5.4.1 第一组极点配置仿真结果........................................5.4.2 第二组极点配置仿真结果........................................6.结论..............................................................7.参考文献..........................................................附录一..............................................................1.绪论倒立摆最初诞生于麻省理工学院，仅有一级摆杆，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上。
后来在此基础上，人们又进行拓展，设计出了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。
在控制理论的发展过程中，为验证某一理论在实际应用中的可行性需要按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，成本低廉；作为一个控制对象，他又相当复杂，同时就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法才能使之稳定，因此倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型实验设备。
综合文献资料，倒立摆控制的方法主要有：PID控制，状态反馈，利用云模型，神经网络控制，遗传算法，自适应控制，模糊控制，变论域自适应模糊控制理论，智能控制等多种算法来实现倒立摆的控制。
本文主要构建二级倒立摆的数学模型的建立与分析，对倒立摆系统进行控制方法的研究。
本文就以下几个问题进行了论述。
1.二级倒立摆的数学模型的建立与分析。
在建模部分，首先采用拉格朗日方程推导数学模型，并对系统的可控性可观性进行分析，并分析倒立摆系统控制的难易程度。
2.二级倒立摆的控制原理及方法的研究。
本文主要采用状态反馈极点配置的方法对二级倒立摆进行研究。
3.采用Matlab语言进行数字仿真，分析仿真结果。
2 数学模型的建立和分析2.1 数学建模的方法所谓系统的数学模型就是利用数学结构来反映系统内部之间、内部与外部某些因素之间的精确的定量的表示。
它是分析、设计、预报和控制一个系统的基础，所以要对一个系统进行研究，首先要建立它的数学模型。
建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本文采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。
Lagrange方程有如下特点：1.它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度是一致的。
2.理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
grange方程是以能量观点建立起来的运动方程，为了列出系统的运动方程，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量－系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量－广义力。
因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
2.2 二级倒立摆的结构和工作原理如图2.1，系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体（小车，上摆，下摆，皮带轮等）和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。
光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，下面一节摆杆（和小车相连）的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡和伺服驱动器，上面一节摆杆的角度和角速度信号则由光电码盘3反馈。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持两节摆杆的平衡。
图2.1 系统结构和工作原理图2.3 拉格朗日运动方程拉格朗日提出了用能量的方法推导物理系统的数学模型，首先我们引入广义坐标，拉格朗日方程。
广义坐标：系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标，广义坐标数等同于系统自由度数。
如果系统的运动用n维广义坐标q1,q2,…q n来表示，我们可以把这n维广义坐标看成是n维空间的n位坐标系中的坐标。
对于任一系统可由n维空间中的一点来表征。
系统在n维空间中运动形成的若干系统点连成一条曲线，此曲线表示系统点的轨迹。
拉格朗日方程：L(q,q̇)=T(q,q̇)−V(q,q̇)(2.1) 式中，L——拉格朗日算子，q——系统的广义坐标，T——系统的动能，V——系统的势能。
拉格朗日方程由广义坐标i q和L表示为:d dt ?L ?q i −?L?q i=f i (2.2)式中，n i 3,2,1=，i f ——系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别是21,,θθx 。
2.4推导建立数学模型在推导数学模型之前，我们需要几点必要的假设： 1.上摆、下摆及小车均是刚体；2.皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象；3.小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；4.小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感；5.下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；6.上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度； 二级倒立摆的运动分析示意图如图2.2图2.2 二级倒立摆运动分析示意图倒立摆系统参数如下： 小车系统的等效质量M =1.32Kg 摆杆1 质量1m =0.04Kg 摆杆1 转动中心到杆质心距离1l =0.09m 摆杆2 质量m 2=0.132Kg摆杆2 转动中心到杆质心距离l 2=0.27m质量块质量3m =0.208Kg 作用在系统上的外力F摆杆1 与垂直向上方向的夹角1θ 摆杆2 与垂直向上方向的夹角2θ首先，计算系统的动能：321m m m M T T T T T +++=(2.3)M T 小车动能：T M =12Mẋ2(2.4)1m T 摆杆1动能：111m m m T T T ''+'=(2.5)式中，T m1′--摆杆1质心平东动能T m1′′--摆杆1绕质心转动动能22'111111(sin )(cos )12m d x l d l T m dt dt θθ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221111111111cos 22m x m l x m l θθθ-+(2.6) 212112121121''161312121θθω l m l m J T p m =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==(2.7)则21211111121''1'1132cos 21θθθ l m x l m x m T T T m m m +-=+= (2.8)2m T 摆杆2动能：222m mm T T T ''+'= (2.9)式中，T m2′--摆杆1质心平东动能T m2′′--摆杆1绕质心转动动能()()22211122*********12cos cos 2sin sin 22m x l l m l l θθθθθθθθ=--++(2.10) 2222222222222''261312121θωω l m l m J T m =⎪⎭⎫ ⎝⎛==(2.11)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++122121222221212cos 434421θθθθθθ l l l l m(2.12)3m T 质量块动能：2223311131112cos 22m x m l x m l θθθ=-+ (2.13) 因此，可以得到系统总动能：212131113232cos 221θθθ l m x l m x m +-+ (2.14)系统的势能为：()11131121122cos 2cos 2cos cos m gl m gl m g l l θθθθ=+++(2.15)至此得到拉格朗日算子L ：()22112113cos cos 2cos 2θθθl l g m gl m +--(2.16)由于因为在广义坐标21,θθ上均无外力作用，有以下等式成立：011=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θθL L dt d (2.17)022=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θθL L dt d (2.18)展开(2.17)、(2.18)式，分别得到(2.19)、(2.20)式 0))cos sin ))((2(11321=++++θθxg m m m (2.19)22111222112123sin 6sin()46cos()3cos 0g l l l x θθθθθθθθθ---++--= (2.20)将(2.19)、(2.20)式对21,θθ 求解代数方程，得到以下两式 )))(cos 912124(2(21223211θθ-+---m m m m l(2.21)))(cos 4))(3(916(21222212222213212θθ-+++-l l m l l m m m m (2.22) 表示成以下形式： ),,,,,,(212111x x x f θθθθθ= (2.23)),,,,,,(212122x x x f θθθθθ=(2.24)取平衡位置时各变量的初值为零，1212(,,,,,,)(0,0,0,0,0,0,0)0A x x x θθθθ===(2.25)将(2.23)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令11100A f K x=∂==∂(2.26)1231120112313(244)2(4312)A gm gm gm f K m m m l θ=---∂==∂---(2.27)121302123192(4312)A f m gK m m m l θ=∂==∂---(2.28) 11400A f K x=∂==∂(2.29)115010A f K θ=∂==∂ (2.30)116020A f K θ=∂==∂(2.31)123117012313(24)2(4312)A m m m f K xm m m l =---∂==∂---(2.32)得到线性化之后的公式x K K K 172131121++=θθθ(2.33)将),,,,,,(212122x x x f θθθθθ=在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令22100A f K x=∂==∂(2.34)123222012212322(2())164(3())9A g m m m f K m l m m m l θ=++∂==∂-++ (2.35)123223022212324(3())163(4(3()))9A g m m m f K m l m m m l θ=++∂==-∂-++ (2.36) 22400A f K x=∂==∂(2.37)225010A f K θ=∂==∂ (2.38)226020A f K θ=∂==∂(2.39)123123227022123242(2())(3()3164(3())9A m m m m m m f K xm l m m m l =++-++∂==∂-++ (2.40)得到x K K K 272231222++=θθθ(2.41)即:x K K K 172131121++=θθθ (2.42)x K K K 272231222++=θθθ(2.43)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程:xu = (2.44)取状态变量如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======2615423121θθθθ x x x x x x x x (2.45)则状态空间方程如下：u K K x x x x x x K K K K x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000(2.46)将以下参数代入 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======27.009.08.9208.0132.004.032.121321l l g m m m M 求出各个K 值：得到状态方程各个参数矩阵： 3 二级倒立摆系统性能分析 3.1 稳定性分析二级倒立摆的特征方程为:det()0I A λ-= (3.1)Matlab 中，用函数eig(A )来计算系统矩阵的特征值，经过计算，系统的特征值为：[]9.5972 4.77259.5972 4.772500λ=-- (3.2) 开环系统有两个开环极点位于S 平面右半平面上，所以系统是不稳定的。
