2016年上海市高考数学试卷及答案(理数)

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已知 a∈R,函数 f(x)=log2 1 + .
(1)当 a=5 时,解不等式 f(x)>0; (2)若关于 x 的方程 f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围;
(3)设
a>0,若对任意
t∈
1 2
,1
,函数
f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过
13.(2016 上海,理 13)设 a,b∈R,c∈[0,2π),若对任意实数 x 都有 2sin
3
-
π 3
=asin(bx+c),则满足条件的
有序实数组(a,b,c)的组数为
.
答案 4 a=±2,b=±3,当 a,b 确定时,c 唯一,故有 4 种组合.
14.
(2016 上海,理 14)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,O 为正八边形 A1A2…An 的中心,A(1,0),任取不同的
3
(2016 上海,理 16)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) A.ρ=6+5cos θ B.ρ=6+5sin θ C.ρ=6-5cos θ D.ρ=6-5sin θ
答案 D 依次取θ=0,π2,π,32π,
结合图形可知 只有ρ=6-5sin θ满足,选 D. 17.(2016 上海,理 17)已知无穷等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 lim Sn=S,下列条件中,使得
当 a1<0 时,qn<12,从而 q2<12,选 B.
18.(2016 上海,理 18)设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为 R 的三个函数,对于命题:①若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、 g(x)+h(x)均为增函数,则 f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;②若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均 是以 T 为周期的函数,则 f(x)、g(x)、h(x)均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是( ) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题 答案 D 因为 f(x)=

为
，其中
3
B1 与 C 在平面
AA1O1O 的同侧。
O
（ 1）求三棱锥 C O1A1B1 的体积；学 .科网
（ 2）求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小。
2
AC 长为
， A1B1 长
3
A1 B1
Aபைடு நூலகம்
C
20、（本题满分 14）
有一块正方形菜地 EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到
7、方程 3sin x 1 cos2 x 在区间 0,2 上的解为 ___________ 学 .科 .网
8、在 3 x
n
2 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 x
256，则常数项等于 _________
9、已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7 ，则该三角形的外接圆半径等于 _________
22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 .
1 已知 a R ，函数 f ( x) log2 ( a) .
x
（ 1）当 a 5 时，解不等式 f ( x) 0 ；
（ 2）菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍，由此得到 S1 面积
的“经验值” 为 8 。设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点， 请计算以 EH 为一边、 3
另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH 的面积，并判断哪一
个更接近于 S1 面积的经验值
21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 .
5、已知点 (3,9) 在函数 f ( x) 1 ax 的图像上，则 f (x)的反函数 f 1( x) ________

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC xC x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。