高考数学理一轮复习 63不等式的证明课件

基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

 解题技巧

技巧一：凑项

例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

技巧二：凑系数

例：

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

技巧三： 分离、换元

例：求2710(1)1xxyxx的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

1不等式选讲第2讲证明不等式的基本方法练习理选修4.5

1.[2015·重庆高考]若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.

答案－6或4

解析当a≤－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤a

x－2a－1a

3x－2a＋1x>－1，

∴f(x)

min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6.

当a>－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤－1

－x＋2a＋1－1

3x－2a＋1x>a，

∴f(x)

min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4.

综上，a＝－6或a＝4.

2．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．

答案x|

x>1

4

解析|2x＋1|－2|x－1|>0⇔|2x＋1|>2|x－1|⇔(2x＋1)2

>4(x－1)2

⇔12x>3⇔x>1

4，

∴原不等式的解集为x|

x>1

4.

3．[2016·南昌月考]若实数a，b，c满足a2

＋b2

＋c2

＝4，则3a＋4b＋5c的最大值为

________．

答案

102

解析由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2

≤(a2

＋b2

＋c2

)(9＋16＋25)＝200，所以－

10

2≤3a＋4b＋5c≤102，所以3a＋4b＋5c的最大值为

102.

4．[2015·黄陵一模]设关于x的不等式|x|＋|x－1|

＝2，则不等式的解

集为________；若不等式的解集为∅，则a

的取值范围是________．

答案－1

2

，3

2(－∞，1]

解析a

＝2时，不等式|x

|＋|x

－1|<2可化

为x

≤0

－x

＋1－x

<2

或0

<1

x

＋1－x

<2或

x

≥1

x

＋x

－1<2，解得－1

2

≤0或0

<1或1≤x

<3

2，即－1

2

<

3

2，

故不等式的解集为－1

2

，3

2.

因为|x

|＋|x

－1|≥|x

－(x

－1)|＝1，所以若不等式|x

|＋|x

－1|

的解集为∅，则a

的

取值范围是(－∞，1]．

5．[2015·江苏高考]解不等式x

＋|2x

＋3|≥2.

解

原不等式可化为x

<－3

2

－x

－3≥2

或x

≥－3

2

3x

＋3≥2.

1 课时作业(七十)

第70讲 不等式的性质及绝对值不等式

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1．不等式|2x－1|≥3的解集是________．

2．若x>－1，则x＋1x＋1的最小值是________．

3．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|，则f(x)的值域是________．

4．[2011·江西卷] 对于x∈R，不等式||x＋10－||x－2≥8的解集为________．

能力提升

5．[2011·深圳二模] 设a>0，b>0，则下列不等式中，不恒成立的是________．

①(a＋b)1a＋1b≥4

②b＋2a＋2>ba

③a＋b1＋a＋b

④aabb>abba

6．不等式x－2x>x－2x的解集是________．

7．[2011·汕头二模] 若a>b>0，则a＋1ba－b的最小值是________．

8．[2011·浙江五校联考] 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|－a，若对任意实数x都有f(x)>0成立，则实数a的取值范围为________．

9．设a>0，b>0,2a＋b＝3，则ab的最大值为________．

10．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是____________．

11．若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)始终平分圆M：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的周长，则1a＋4b的最小值为________．

12．(13分)[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.

(1)证明：－3≤f(x)≤3；

(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

难点突破

13．(12分)[2011·古田模拟] 已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.

(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；

(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．

2 课时作业(七十)

1 几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定及有关性质练习 理 选修4.1

1．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，AC＝3，BC＝4，则BF的长为 (

)

A.13 B.43

C.83 D.163

答案 B

解析 因为DE∥BC，所以ADAB＝AEAC＝23.

因为DF∥AC，所以ADAB＝CFCB.

两式联立可得23＝CF4，解得CF＝83，

故BF＝4－83＝43.

2．如图所示，▱ABCD中，AE∶EB＝2∶5，若△AEF的面积等于4 cm2，则△CDF的面积等于(

)

A．10 cm2 B．16 cm2

C．25 cm2 D．49 cm2

答案 D

解析 ▱ABCD中，△AEF∽△CDF，

由AE∶EB＝2∶5，得AE∶CD＝2∶7，

∴S△AEFS△CDF＝AECD2＝272，

∴S△CDF＝722×S△AEF＝494×4＝49 (cm2)． 2 3．一个直角三角形的一条直角边为3，斜边上的高为125，则这个三角形的外接圆半径是( )

A．5 B.52

C.54 D．25

答案 B

解析 长为3的直角边在斜边上的射影为 32－1252＝95，故由射影定理知斜边长为3295＝5，因此这个直角三角形的外接圆半径为52.

4. [2016·汉中模拟]如图，在梯形ABCD中，E为AD的中点，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，则AB等于( )

A．30 cm B．40 cm

C．50 cm D．60 cm

答案 B

解析 因为EF＝30 cm，即FG＋EG＝30 cm，

又FG－EG＝10 cm，所以FG＝20 cm.

因为E为AD的中点，EF∥AB，

所以F为BC的中点．

所以G为AC的中点，

所以AB＝2GF＝2×20＝40(cm)．