高考数学一轮复习 不等式的证明课件 文 湘教版选修45

1不等式选讲第2讲证明不等式的基本方法练习理选修4.5

1.[2015·重庆高考]若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.

答案－6或4

解析当a≤－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤a

x－2a－1a

3x－2a＋1x>－1，

∴f(x)

min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6.

当a>－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤－1

－x＋2a＋1－1

3x－2a＋1x>a，

∴f(x)

min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4.

综上，a＝－6或a＝4.

2．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．

答案x|

x>1

4

解析|2x＋1|－2|x－1|>0⇔|2x＋1|>2|x－1|⇔(2x＋1)2

>4(x－1)2

⇔12x>3⇔x>1

4，

∴原不等式的解集为x|

x>1

4.

3．[2016·南昌月考]若实数a，b，c满足a2

＋b2

＋c2

＝4，则3a＋4b＋5c的最大值为

________．

答案

102

解析由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2

≤(a2

＋b2

＋c2

)(9＋16＋25)＝200，所以－

10

2≤3a＋4b＋5c≤102，所以3a＋4b＋5c的最大值为

102.

4．[2015·黄陵一模]设关于x的不等式|x|＋|x－1|

＝2，则不等式的解

集为________；若不等式的解集为∅，则a

的取值范围是________．

答案－1

2

，3

2(－∞，1]

解析a

＝2时，不等式|x

|＋|x

－1|<2可化

为x

≤0

－x

＋1－x

<2

或0

<1

x

＋1－x

<2或

x

≥1

x

＋x

－1<2，解得－1

2

≤0或0

<1或1≤x

<3

2，即－1

2

<

3

2，

故不等式的解集为－1

2

，3

2.

因为|x

|＋|x

－1|≥|x

－(x

－1)|＝1，所以若不等式|x

|＋|x

－1|

的解集为∅，则a

的

取值范围是(－∞，1]．

5．[2015·江苏高考]解不等式x

＋|2x

＋3|≥2.

解

原不等式可化为x

<－3

2

－x

－3≥2

或x

≥－3

2

3x

＋3≥2.

§选修4－5 不等式选讲

考纲展示►

1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．

2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．

3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．

考点1 含绝对值不等式的解法

1.绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤________，当且仅当________时，等号成立；

(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；

(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤________，当且仅当________时，等号成立．

答案：(1)|a|＋|b| ab≥0

(3)|a－b|＋|b－c| (a－b)(b－c)≥0

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解法

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a ________ ________ R

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔____________；

②|ax＋b|≥c⇔____________.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

解法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

答案：(1){x|－a

{x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0}

(2)①－c≤ax＋b≤c ②ax＋b≥c或ax＋b≤－c

[典题1] 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.

[解] 解法一：如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

选修4-5

第二节

不等式证明的基本方法

1．已知a、b、x、y均为正实数，且1a>1b，x>y.

求证：xx＋a>yy＋b.

证明：∵xx＋a－yy＋b＝bx－ayx＋ay＋b，

又1a>1b，且a、b均为正实数，

∴b>a>0.

又x>y>0，

∴bx>ay.

∴bx－ayx＋ay＋b>0，即xx＋a>yy＋b.

2．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

a2＋b2＋c2≥3(abc)23，①

1a＋1b＋1c≥3(abc)13，②

所以(1a＋1b＋1c)2≥9(abc) 23.

故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc) 23＋

9(abc) 23.

又3(abc) 23＋9(abc) 23≥227＝63，③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc) 23＝9(abc) 23时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．

法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①

同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②

故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥ab＋bc＋ac＋

31ab＋31bc＋31ac≥63.③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．

3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.

解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，

2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥33x－y21x－y2＝3，

1 / 19 选修4－5 不等式选讲

1．两个实数大小关系的基本事实

a>b⇔________；a＝b⇔________；a

2．不等式的基本性质

(1)对称性：如果a>b，那么________；如果________，那么a>b.即a>b⇔________.

(2)传递性：如果a>b，b>c，那么________．

(3)可加性：如果a>b，那么____________．

(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么________；如果a>b，c<0，那么________．

(5)乘方：如果a>b>0，那么an________bn(n∈N，n>1)．

(6)开方：如果a>b>0，那么na________nb(n∈N，n>1)．

3．绝对值三角不等式

(1)性质1：|a＋b|≤________.

(2)性质2：|a|－|b|≤________.

性质3：________≤|a－b|≤________.

4．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a

(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔______________；

②|ax＋b|≥c⇔______________.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2 / 19 5．基本不等式

(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么a＋b2________ab，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均．