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苏教版高中数学选修4-5-5.4.2 排序不等式-教学案设计

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苏教版高中数学选修4-5-5.4.2 排序不等式-教学案设计

1 / 5 排序不等式

教学目标

1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题；

2．体会运用经典不等式的一般思想方法

教学重点

应用排序不等式证明不等式

教学难点

排序不等式的证明思路

教学过程

一、复习准备：

1．提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）

2．举例：说说两类经典不等式的应用实例。

二、讲授新课：

1．教学排序不等式：

① 看书：

如 如图，设AOB，自点O沿OA边依次取n个点12,,,nAAAL，OB边依次取取n个点12,,,nBBBL，在OA边取某个点iA与OB边某个点jB连接，得到ijAOB，这样一一搭配，一共可得到n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的ijAOB不同，问：OA边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形的面积和最大（或最小）？

教学札记

苏教版高中数学选修4-5-5.4.2 排序不等式-教学案设计

2 / 5 设,(,1,2,,)iijjOAaOBbijnL，由已知条件，得

123123,nnaaaabbbbLL

因为ijAOB的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为

代数问题：1212,,,,,,,nncccbbbLL设是数组的任何一个排列 则1122nnSacacacL何时取最大（或最小）值？

我们把1122nnSacacacL叫做数组12(,,,)naaaL与12(,,,)nbbbL的乱序和。

其中， 1121321nnnnSababababL称为 序和。

2112233nnSababababL称为 序和。这样的三个和大小关系如何？

设有两个有序实数组：12aa···na；12bb···nb，12,,cc···nc是12,bb，···,nb的任一排列，则有1122abab···+nnab （同序和）1122acac+···+nnac

（乱序和）121nnabab+···+1nab （反序和），当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时，反序和等于同序和。（要点：理解其思想，记住其形式）

三、应用举例：

例1：设12,,,naaa是n个互不相同的正整数，求证：

32122211112323naaaann。

分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？

证明过程：

设12,,,nbbb是12,,,naaa的一个排列，且12nbbb，则121,2,,nbbbn。

又222111123n，由排序不等式，得

3322112222222323nnaabbababnn…

小结：分析目标，构造有序排列。

四、巩固练习：

1．已知,,abc为正数，求证：3332222()()()()abcabcbaccab。 苏教版高中数学选修4-5-5.4.2

排序不等式-教学案设计

3 / 5 解答要点：由对称性，假设abc，则222abc，

于是 222222aabbccacbacb，222222aabbccabbcca， 两式相加即得。

五、课堂小结：

排序不等式的基本形式。

排序不等式

【学习目标】

1． 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题；

2． 体会运用经典不等式的一般思想方法

【学习重难点】

1． 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题；

2． 体会运用经典不等式的一般思想方法

【学习过程】

1．一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，,iiabR(i1，2，…，n)，则： 。当且仅当 时， 等号成立。

2．排序不等式检验操作： 填表：

3．一般性证明： 苏教版高中数学选修4-5-5.4.2 排序不等式-教学案设计

4 / 5 12,naaaL设12nbbbL1212c,,,,,,nnccbbbLL是的任意一个排列，因为有n！个不同的排列。 所以， 1122nnSacacacL的不同值也只有有限个。其中必有最大值和最小值。考察1122nnSacacacL，

10.若11cb，则应有某1(1)kcbk，且1kcc，对换1,kcc得11kknnSacacacLL

0SS。 SS 。

说明将1122nnSacacacL中第一项换为11ab后， 和式变 。

20.若11cb，则转而考察2c，并进行类似讨论。可证将式中第二项换为22ab后，和式变 。如此继续下去， 经有限步调整， 可知一切和数中， 最大和数只能是

。且不难知道， 最小和数只能是 。 因此12 SSS反序和乱序和顺序和即。

30.容易发现， 当12,naaaL或12nbbbL时， 12 SSS；

如果12,,,,naaaL不全相等， 12,,,nbbbL也不全相等。 则,(1,)ijijn和,(1,)lklkn

使,ijlkaabb，考察和数

2()()iijjllkkikjllikjSSabababababababab

2()()iijjllkkiljklikjSSabababababababab

∵ ()()0ijklSSaabbSS

∴ 12SSSS。

定理(排序不等式， 又称排序原理)：12,naaaL设12nbbbL为两组数，

1212c,,,,,,nnccbbbLL是的任意一个排列， 则121321nnnnababababL1122nnacacacL112233nnababababL。

当且仅当12,naaaL或12nbbbL时， 等号成立。

【合作探究】 苏教版高中数学选修4-5-5.4.2 排序不等式-教学案设计

5 / 5 例1．若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，

求证：32122211112323naaaannLL。

例2． 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

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最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式》本章要览

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第三讲 柯西不等式与排序不等式

本章要览

知识概要

数学研究中,发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式,人们称它为经典不等式.柯西不等式与排序不等式就属于这样的不等式.通过本讲的学习,我们可以领会这些不等式的数学意义,几何背景,证明方法及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.

本讲的主要内容有:

1.柯西不等式的几种不同形式及几何意义.

2.用参数配方法讨论柯西不等式.

3.用向量递归解法讨论排序不等式.

4.利用柯西不等式求一些特殊函数的极值.

学法指导

在学习柯西不等式和排序不等式时,要注意体会它们的推导方法及其中蕴含的数学思想;在使用这两个不等式处理问题时,一要注意前提条件,特别是求极值时要注意“＝”成立的条件;二要注意这两个不等式的结构特点,很多不等式的证明可通过转化写成其中的一种形式,从而获得解决.

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2一般形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2一般形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5

河北省唐山市开滦第二中学高中数学3.2一般形式的柯西不等式学

案新人教A版选修4-5

【学习目标】

1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】一般形式的柯西不等式

【学习过程】一、问题情景导入平面上向量的坐标（x,y）是二维形式的，空间向量的坐标（x,y,z）是三维形式的

二、自学探究：（阅读课本第37-40页，完成下面知识点的梳理）

定理：设123123,,,,,,,,

nnaaaabbbb是实数，则＿＿＿＿＿＿＿＿当且仅当＿＿＿＿＿＿或存在一个实数k，使得＿＿＿＿＿＿时，等号成立。

三、例题演练：

例1、已知123,,,,,

naaaa都是实数，求证：

2

121()

naaa

n≤222

12naaa

例2、已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明;

2222abcd＞abbccdda例3、已知231xyz，求222xyz的最小值

【课堂小结与反思】【课后作业与练习】

1、设,,abc∈R，且1abc，则abc的最大值是

2、设x,y,z∈R，2x+2y+z+8=0,则222(1)(2)(3)xyz的最小值是多少

3、设123,,,,

nxxxx都是正实数，且123nxxxxS求证：222

12

121n

nxxxS

SxSxSxn



4、设12(1)lgxxxxnanfx

n

，若0≤a≤1，n∈N且n≥2，求证：

22fxfx

45、若实数x+y+z=1,则求22223xyz的最小值6、已知实数,,,abcd满足3abcd,

22222365abcd,求a的最大值

7、已知1abc，且,,abc∈R，求

222

abbcca

的最小值

苏教版高中数学选修4-5-5.4.1 柯西不等式-教学案设计

苏教版高中数学选修4-5-5.4.1 柯西不等式-教学案设计

苏教版高中数学选修4-5-5.4.1 柯西不等式-教学案设计

1 / 5 柯西不等式

【教学目标】

①认识二维形式的柯西不等式的三角形式

②柯西不等式的一些简单应用

【教学重点】

①认识二维形式的柯西不等式的几种形式

②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系

【教学难点】

运用柯西不等式证明不等式

【教学过程】

教学顺序 设计意图

复习

问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？

定理1（二维形式的柯西不等式）

若a，b，c，d都是实数，则

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

当且仅当ad=bc时，等号成立。 本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式：

新课讲授过程

①在平面直角坐标系中，设点12,pp的坐标分别为1111,,,xyxy，根据 △12Opp的边长关系，你能发现1122,,,xyxy这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？

通过观察分析推理后得出定理3 1. 1.让学生通过观察得出二维形式的三

角不等式从而得到定理3（二维形式的三角不等式）

2.引导学生利用柯西不等式证明定

3.即以经典不等式为依据得出定理3中的不等关系，这是柯西不等式的一个简单的应用。 22122122222121)()(yyxxyxyx22222222||abcdacbdabcdacbd苏教版高中数学选修4-5-5.4.1 柯西不等式-教学案设计

2 / 5 ②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？ 例3的解决也是柯西不等式的一个简单的应用，让学生体会柯西不等式的用处

在解决问题的过程中，让学生体会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决具体问题的方法。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式讲义含解析新人教A版选修4_5

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式讲义含解析新人教A版选修4_5

1 二 一般形式的柯西不等式

名称 形式 等号成立条件

三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)

一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)

[点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

利用柯西不等式证明不等式

[例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn

＝[(x1)2＋(x2)2＋…＋(xn)2]·1x12＋1x22＋…＋1xn2≥

x1·1x1＋x2·1x2＋…＋xn·1xn2＝n2，

∴1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

柯西不等式的结构特征可以记为：

(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋

a2b2＋…＋anbn)2.

其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．