人教课标版高中数学选修4-5：《排序不等式》教案2-新版

一般形式的柯西不等式

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,,,均为实数，则

22222)())((bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：

231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx

二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到成立.1,2,3)时，等号(b使得a，或存在一个实数k， 0β 即共线时， β ， α 当且仅当)babab(a)bb)(baa(a2332211232221232221iiik这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，iiba,（i1，2，…，n）为任意实数，则：22222212121122()()()nnnnaaabbbababab

即

211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf

1 / 2

不等式

不等式的性质

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

0baba

0baba

0baba

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质（6个）：

基本不等式

1、定理1：如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“=”）

2、定理2：如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”）

3、已知x, y都是正数。则

（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2p；

（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值214s

三个正数的算术—几何平均不等式

1、引理：若Rcba,,，则abccba3333（当且仅当cba时取“=”） 2 / 2

2、定理3：若Rcba,,，则33abccba。（当且仅当cba时取“=”）

3、推论：n个正数的算术—几何平均不等式：naaan21≥nnaaa21

4、已知x,y,z都是正数。则

（1）如果积xyz是定值p，那么当x=y=z时，和x+y+z有最小值33p；

（2）如果和x+y+z是定值s，那么当x=y=z时，积xyz有最大值3127s

1 二 一般形式的柯西不等式

名称 形式 等号成立条件

三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)

一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)

[点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

利用柯西不等式证明不等式

[例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn

＝[(x1)2＋(x2)2＋…＋(xn)2]·1x12＋1x22＋…＋1xn2≥

x1·1x1＋x2·1x2＋…＋xn·1xn2＝n2，

∴1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

柯西不等式的结构特征可以记为：

(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋

a2b2＋…＋anbn)2.

其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．

河北省唐山市开滦第二中学高中数学3.2一般形式的柯西不等式学

案新人教A版选修4-5

【学习目标】

1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】一般形式的柯西不等式

【学习过程】一、问题情景导入平面上向量的坐标（x,y）是二维形式的，空间向量的坐标（x,y,z）是三维形式的

二、自学探究：（阅读课本第37-40页，完成下面知识点的梳理）

定理：设123123,,,,,,,,

nnaaaabbbb是实数，则＿＿＿＿＿＿＿＿当且仅当＿＿＿＿＿＿或存在一个实数k，使得＿＿＿＿＿＿时，等号成立。

三、例题演练：

例1、已知123,,,,,

naaaa都是实数，求证：

2

121()

naaa

n≤222

12naaa

例2、已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明;

2222abcd＞abbccdda例3、已知231xyz，求222xyz的最小值

【课堂小结与反思】【课后作业与练习】

1、设,,abc∈R，且1abc，则abc的最大值是

2、设x,y,z∈R，2x+2y+z+8=0,则222(1)(2)(3)xyz的最小值是多少

3、设123,,,,

nxxxx都是正实数，且123nxxxxS求证：222

12

121n

nxxxS

SxSxSxn



4、设12(1)lgxxxxnanfx

n

，若0≤a≤1，n∈N且n≥2，求证：

22fxfx

45、若实数x+y+z=1,则求22223xyz的最小值6、已知实数,,,abcd满足3abcd,

22222365abcd,求a的最大值

7、已知1abc，且,,abc∈R，求

222

abbcca

的最小值