数阵图例题讲解

1．把1至6分别填入图18-1的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．

[分析与解]

记横行的中间一个数为a，则有1+2+3+…+6+a＝21+a＝2倍对应和，所以a可以填奇数，即1，3，5，对应和为11，12，13，下面给出几种填法：

其中的每个图形的横行左右可调换位置，每个竖列的后三个数字位置任意排列．

2．把l0至20这11个数分别填入图18-2．的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．

[分析与解]

设中间圆圈内的数为a，有a被加了5次，而其他位置圆圈内的数字在计算5次和是都只被加了1次，所以有5个和＝(10+11+…+19+20)+4a＝165+4a，因为5个和，165都是5的倍数，所以4a也应该是5的倍数，则a应是5的倍数，所以a可取10，15，20．

当a为10时，有5个和＝165+4×10＝205，所以每条线段上的和为205÷5＝41，如下左图；

当a＝15时，有5个和＝165+4×15＝225，所以每条线段上的和为225÷5＝45，如下中图；

当a＝20时，有5个和＝165+4×20＝245，所以每条线段上的和为245÷5＝49，如下右图．

3．请分别将l，2，4，6这4个数填在图18-3的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．

[分析与解]

在计算3个圆圈内的数字和时，已经填出的3个数字各计算了2次，中间的数字计算了3次，另外3个位置只计算了1次，中间的数字较另外3个位置多计算了2次．

设中间那个数为a，有2a+2×(5+7+3)+(1+2+4+6)＝15+15+15，即2a+43＝45，有a＝1．

于是得到下图：

4．在图18-4的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数．那么标有*的圆内填的数是多少?

[分析与解]

我们知道在计算图中所有线段两端数字的和时，每个圆圈内的数字都被加了2次，于是有这7个连续自然数和的2倍为10+6+9+12+8+11+14＝70，即这7个连续自然数的和为35，则中间数为35÷7＝5，于是这7个数为2，3，4，5，6，7，8．

1 54321

776655443322117654321a 有趣的数阵图

首先我们观察下图：

图中有4个大圆，每个圆周上都有四个数字，神奇的是，每个圆周上的四个数字之和都等于20。不信，你就算算。

上面这幅图就是数阵图。

把给定的一些数按一定的要求或规律填在特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。数阵图绚丽迷人，变化多端，引人入胜。常见的主要有三种：（1）辐射型（2）封闭型（3）复合型。一般说来，数阵图主要讨论以下两个问题：

（1） 满足某种条件的填法是否存在；

（2） 在填法存在的情况下，把待定的数字补充完整。

这一讲我们学习辐射型数阵图。

【例1】 把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8。

【分析与解】这是辐射型数阵图。你可能觉得这道题太简单了，七拼八凑就会写出正确答案。可是，你明白其中的道理吗？下面我们就一起来探索其中的道理，只有弄清其中的道理，才可能解答更复杂巧妙的数阵图问题。

中间方格的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“中心数”。用字母a表示。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于8。所以横行的三个数之和加上竖列的三个数之和为（8＋8=）16，即（1＋2＋3＋4＋5）＋a =8＋8，整理得：15＋a =16。

为什么还要加上a呢？因为 a是中心数，相加时一共被加了两次，其余各数均被加了一次。在计算1＋2＋3＋4＋5时已计算了一次，所以最后还要加上a。

解得：a =1

求出了中心数。其余各数就好填了。如图所示。

【例2】 把1～7这七个数分别填入下图的各个方格内，使每条线段上三个○内数的和相等。

1 2

3 4 5 6 7

8 9 2 654321cba 【分析与解】首先，我们分析一下，这七个○内的数中，哪几个数是关键？由图我们看到，在计算每条线段上三个数的和的过程中，都要用到中心数。另外，还要知道每条线段上三个数的和是几。所以，确定中心数和每条线段上三个数的和是解答本题的关键。

四年级奥数：数阵图（一）

我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。

例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。

在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：

9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，

8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。

因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。

因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经试验，有下面八种不同填法：

上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。 例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。

三年级奥数

--数阵图与幻方

知识框架

一、数阵图定义及分类：

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

三、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 987654321

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．