2018_2019高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式导学案新人教A版选修4_5

基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

 解题技巧

技巧一：凑项

例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

技巧二：凑系数

例：

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

技巧三： 分离、换元

例：求2710(1)1xxyxx的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

高中数学学科

【高中数学】绝对值不等式

一、基础知识

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，

等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，

右边等号成立.

2．绝对值不等式的解法

(1)|x|a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|

|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R

(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

考点一绝对值不等式的解法

[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.高中数学学科

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

[解](1)由题意得f(x)

＝x－4，x≤－1，

3x－2，－1

－x＋4，x>32，

故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，

当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.

故f(x)>1的解集为{x|1

f(x)<－1的解集为x|x<13或x>5.

所以|f(x)|>1的解集为x|x<13或15.

[题组训练]1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.

解：当x<－1时，

原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，

解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；

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1 / 4 二 绝对值不等式

1.绝对值三角不等式

课后篇巩固探究

A组

1.设ab>0,下面四个不等式:

①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.

其中正确的是()

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

解析∵ab>0,∴a,b同号.

∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.

答案C

2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()

A.10 B.3 C.7 D.4

解析因为|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.

答案D

3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()

A.m>n B.m

解析由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

∴≤1≤.∴m≤n.

答案D

4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ()

A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2

C.|a+b|+|a-b|=2 D.不确定

解析当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.

答案B

5.若关于x的不等式|x|+|x-1|

A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,1] D.(-∞,1)

解析∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,

∴若关于x的不等式|x|+|x-1|

答案C

6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.

解析因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.

答案51

7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.

第一讲 不等式和绝对值不等式

复习课 学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．

1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.

(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．

(6)开方：如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．

3．基本不等式

(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．

(2)定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．

(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．

(4)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．

(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；

(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求．

4．绝对值不等式的解法

解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法

(1)根据绝对值的定义．

(2)分区间讨论(零点分段法)．

(3)图象法．

5．绝对值三角不等式

(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．