二阶常系数非齐次线性微分方程

常州５－学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｏ１．１５．ＮＯ．２　

Ｊｕｎ．２００２　

二阶常系　数非齐次线性微分方程特解形式　

林金火　

（常州工学院应ｆｌ】技术学院，江苏常州２１３００２）　

摘要：基于有关的微分方程特解，既从实数与复数，又从“分”与“合”进行分析研究，从而推导方　

程的特解结构和形式，为此归纳出相关表，形成教学特色，便于学生学习。　

关键词：微分方程；特解结构；特解形式表　

中图分类号：０２４１．８１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—０４３６（２００２）０２—００１３—０４　

二阶常系数齐次线性微分方程　

Ｙ　＋　＋ｑＹ＝０　（１）　

相应的代数方程　

ｒ　＋　ｒ＋ｑ＝０　（２）　称为（１）式的特征方程　

对于二阶常系数非齐次线性方程　

Ｙ　＋　＋ｑＹ＝ｆ（　）　（３）　

其中的自由项ｆ（　）取直接函数：　

①户（　）＝ａ０＋ａ　ｌ　＋ａ　２　＋…＋ａｎｘ　称为　

的　次多项式，简称多项式；　

②ｅ　称指数函数式，其中　为常数；　

③（ＣＯＳＺ￣＇Ｘ，ｓｉｎｕ　）称三角函数式，其中叫为常　

数。其结合式为：　

ｆ（　）＝户（　）ｅ　ＣＯＳＺＵ３２或ｆ（　）＝户（　）ｅ　ｓｉｎｗｘ分别是　

户（　）ｅ‘　’　＝户（　）ｅ　ｌ　ｃｏｓｚ￣，３２＋ｉｐ（　）ｅ　

ｓｉｎｗｘ的实部与虚部，若设　

＝　＋ｕｔ　则ｆ（　）＝Ｐ（　）ｅ　

下面讨论　

Ｙ　＋　＋ｑＹ＝Ｐ（　）ｅ　（４）　

的特解形式。　

１．自由项ｆ（　）＝　（　）ｅ　分解因式的　

特解　

由二阶非齐次线性微分方程解的定理知道（４）　

收稿日期：２００１—１０　２２　式的通解为对应齐次方程（１）式的通解Ｙ０＝ＣｌＹｌ＋　

Ｃ２Ｙ２与其非齐次线性方程的一个特解ｙ之和。即　

Ｙｏ　Ｃ１　Ｙｌ＋Ｃ　２２２＋ｙ　

其中Ｃ．，　为任意常数。　

１．１分解式的特解形式分析　

由微分方程解的意义，可以推想其特解ｙ的形　

式也是一个（一般不同于　（　））多项式与ｅｗ之积　

一阶非线性微分方程解法探析

一、前言

随着科学技术的发展，在很多领域出现了非线性问题，如对宇宙空间的研究、对地理环境的考查、对生物多样性的分析等，都会涉及非线性问题。在电力生产及电力系统，或者与数学分支有交叉的研究领域，也常需要用到非线性问题的求解来分析和计算电力系统的控制问题，为电力系统提供一些有价值的理论依据。在实际的生活中，也经常会碰到很多非线性问题。而要解决这些问题，就需要建立不同模型的非线性方程，通过求解计算了解他们之间的对应关系。所以，微分方程的求解过程对科学研究、社会生活和经济发展都有特殊的意义。数学作为理论联系实际的一种最为关键的工具，更应该发挥它的巨大作用。而众多非线性问题的高阶方程都是以一阶微分方程为基础，所以研究清楚一阶微分方程的解法，对其他问题的解决有重大的推动作用。本文列举一阶非线性微分方程中两种常见的解法，对其展开具体的讨论和分析。

二、微分方程的定义及特点

将一个未知数函数与该函数的导数以及自变量这三者联系起来建立的等式称为微分方程。而平时所说的微分方程的阶数就是指该方程中未知数导数的最高阶数。如像y′+P（x）y=f（x）这个方程，导数的最高阶数为一阶，所以就称之为一阶微分方程。

我们在解决一些非线性问题时第一步要做的就是建立微分方程，然后再找出能满足条件的对应函数，将这一函数代入原方程能使等式两边恒成立，这一个过程就是微分方程的求解过程，找到的这一函数就称为该微分方程的解。如函数y=f（x）存在n阶连续导数y（n），如果有等式F（x，y，y1，yn，…，y（n））=0，那么y=f（x）就称为该微分方程的解。而对于一阶微分方程，实际上就是该方程的一个特例，通常在寻找特解时需要规定方程的初始条件或者处值时：如x=x0时，y=y0，而x0和y0就是给定的具体值，再求出微分方程的特解。

三、微分方程的两种基本解法

1.常数变易法。非线性微分方程没有固定的解法，但是很多常见的方程也可以使用线性微分方程中的常数变易法来求解。我们可以将其转化为线性微分方程，然后利用线性微分方程中常用的常数变易法来进行类似的求解过程。

第２０卷第２期　Ｖｏｌ＿２Ｏ　Ｎｏ．２　四川文理学院学报　Ｓｉｃｈｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｃｆ　Ａｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　２０１０年０３月　Ｍａｒ．２０１Ｏ　二阶常系数线性非齐次微分方程的通解　张金战　（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县７４２５００）　摘要：在已知二阶常系数齐次微分方程　＋　＋ｇｙ＝０的一个特解的条件下，讨论了求二阶常系数线性　非齐次檄分方程　＋Ｐｙ　＋ｑＹ＝，（　）的一个特解ＨＡ－法，从而根据齐次方程的特征根的不同情形给出了非齐次　微分方程的通解公式．　关键词：线性微分方程；特解；通解　弓Ｉ　言　中图分类号：Ｏ１７５．１　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—５２４８（２０１０）０２—０００８—０２　二阶常系数线性非齐次微分方程是指　），　＋　＋ｑＹ＝　），　（１）　其中Ｐ，ｑ是常数　）是关于　的连续函数．　文献［１］指出，方程（１）的通解等于其对应的齐次方　程　＋　’＋ｑＹ＝０　（２）　的通解和方程（１）的一个特解之和．而方程（２）的通解可　以通过其特征方程的根而得到，并且从方程（２）的通解出　发，利用常数变易法可求出方程（１）的一个特解．但这种　方法运算较繁，因而人们试图用其它方法得到方程（１）的　一个特解．文献［Ｉ］讨论了当　）＝ｐ　（　）ｅ“和，（　）＝ｅ　［ｐ三ｌ　（　）ｃｏｓｂｘ＋ｐ２’（ｘ）ｓｉｎｂｘ］两种情形下方程（１）的特解　形式．本文在已知方程（２）的一个特解的条件下，拟讨论　求方程（１）的一个特解的方法，从而利用文献［１］的结果　根据方程（２）的特征根的不同情形给出方程（１）的通解公　式．　１预备知识　引理１　设　（　）是二阶线性齐次微分方程　＋ｐ（　）），　＋ｑ（ｘ）ｙ＝Ｏ　（３）　的一个特解，则二阶线性非齐次微分方程　Ｙ”＋ｐ（　）），　＋ｑ（ｘ）ｙ＝　）　（４）　的通解是　，，＝Ｃ１“＋ｃ２ｕ］—ｌ＿ｅ－ｌｅ（ｓ）￣ｄｘ＋　』　Ｉ＿ｅ叫　出［』　（　）　８　ｅｌＰ（ｘ）ｄ＊，ｉｘ］ａｘ，　其中ｃ。，ｃ：是任意常数，ｐ（　），ｑ（ｘ）　）都是连续函数，』ｐ　（ｘ）ｄｘ是ｐ（　）的一个原函数，下同．　证明见文献［２—４］．　推论１设　（　）是方程（３）的一个特解，则　Ｙ　＝ｕ』　ｅ　出［ｆｕｆ（Ｘ）ｅＩＰ（ｚ）＇ｔ＂ｄｘ］ｄ￣　Ｕ　是方程（４）的一个特解．　证明：在引理１的结论中取ｑ＝ｃ２＝０即可．　推论２设ｕ（　）是方程（２）的一个特解，则　１　Ｙ‘＝　［』　）　］如　／Ｚ　是方程（１）的一个特解．　证明：在引理ｌ的结论中取ｃ　＝ｃ：＝０，ｐ（　）＝ｐ（ｐ为　常数）即可．　定义１…称Ａ　＋ｐＡ＋ｑ＝０为方程（２）的特征方程，　特征方程的根称为方程（２）的特征根．　引理２“　１）若方程（２）有两个互不相等的实特征根　Ａ　，Ａ：，则（２）的通解为　Ｙ＝ｃｌｅ　＋ｃ２ｅ扣　（ｃｌ，ｃ２为任意常数）．　２）若方程（２）有两个相等的实特征根Ａ　一Ａ　＝Ａ，则　（２）的通解为　Ｙ＝Ｃｌｅｈ＋Ｃ２Ｘ，ｅ“（ｃＩ，ｃ２为任意常数）．　３）若方程（２）的特征根是一对共轭虚根ａ＋ｂｉ，ＣＩ—ｂｉ，　则（２）的通解为　＝ｅ　（ｃ１　ｓｉｎｂｘ＋Ｃ２ｃｏｓｂｘ）　（ｃＩ，ｃ２为任意常数）．　引理３“　方程（１）的通解等于方程（２）的通解与它　本身的一个特解之和．　・收稿日期：２００９—１２—２１　作者简介：张金战（１９６５一），男，甘肃礼县人。副教授，硕士，主要从事高等数学和高等代数研究。

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-考试文档- 二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线形微分方程的概念

形如 )(xfqyypy (1)

的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实数,)(xf为已知的连续函数.

如果0)(xf,则方程式 (1)变成

0qyypy (2)

我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.

二、二阶常系数齐次线性微分方程

1．解的叠加性

定理1 如果函数1y与2y是式(2)的两个解, 则2211yCyCy也是式(2)的解,其中21,CC是任意常数.

证明 因为1y与2y是方程(2)的解,所以有

0111qyypy

0222qyypy

将2211yCyCy代入方程(2)的左边,得

)()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC

=0)()(22221111qyypyCqyypyC

所以2211yCyCy是方程(2)的解.

定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.

叠加起来的解从形式看含有21,CC两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. -